Chương 2 NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ pptx

Chương 2
NỘI SUY VÀ LẤY XẤP XỈ HÀM SỐ
I. Nội suy. 1. Đặt vấn đề.
- không biết biểu thức giải tích của hàm;
y = f ( x );
-
biết giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm trên đoạn
[ a, b] ( bằng đo đạc hoặc thực nghiệm):
x
y=f( x )
x
o
x
1
. . . x
i
. . . x
n-1
x
n
y
o
y
1
. . . y
i
. . . y
n-1
y
n

- Tìm giá trị của hàm số tại một số điểm trung gian khác.
-
Xây dựng một hàm φ( x ) có biểu thức đơn giản, có giá trị
trùng với giá trị của f ( x ) tại các điểm , còn tại
các điểm khác trên đoạn [a, b] thì φ( x ) khá gần f( x ) [phản
ảnh gần đúng quy luật f( x ) ] có thể suy ra giá trị gần đúng
của f( x ) tại các giá trị x bất kỳ thoả mãn x
o
< x < x
n
.
x
o
x
1
. . . x
n
Bài toán nội suy:
- φ( x ) – hàm nội suy của f( x ) trên đoạn [a, b].

-
Ý nghĩa hình học: xây dựng đường cong y = φ( x ) đi qua các
điểm cho trước (x
i
, y
i
), I = 0, 1, . . . , n.

2. Đa thức nội suy.

Thường chọn đa thức làm hàm nội suy vì:
-
Đa thức là loại hàm đơn giản;
- Luôn có đạo hàm và nguyên hàm;
- Việc tính giá trị của chúng đơn giản.
- Trên đoạn a ≤ x ≤ b cho một lưới các điểm chia (điểm nút)
x
i
; i = 0, 1, 2, . . ., n; với
a ≤ x
o
, x
1
, x
2
, . . . .x
n
≤ b.
- Cho giá trị tương ứng của hàm y = f( x ) tại các nút:
x
y=f( x )
x
o
x
1
. . . x
i
. . . x
n-1
x

n
y
o
y
1
. . . y
i
. . . y
n-1
y
n
- Cần xây dựng một đa thức bậc n:
P
n
( x ) = a
o
x
n
+ a
1
x
n-1
+ . . . + a
n-1
x + a
n
.
sao cho P
n
(x) trùng với f(x) tại các nút x

i
,
P
n
(x
i
) = y
i
; i= 0, 1, 2, . . . , n.
Bài toán:
)1(

Sự duy nhất của đa thức nội suy: đa thức nội suy P
n
( x ) của
hàm f( x ) định nghĩa ở trên nếu có thì chỉ có một mà thôi.
Đa thức nội suy có thể xây dựng theo nhiều cách nhưng do
tính duy nhất nên các dạng của nó đều có thể quy về nhau.
3. Đa thức nội suy Lagrăng.
trong đó
;
)) ()() ((
)) ()() ((
)(
11
11
niiiiioi
niio
i
xxxxxxxx

xxxxxxxx
xl
−−−−
−−−−
=
+−
+−
l
i
(x) – đa thức bậc n P
n
(x) – đa thức bậc n
=
)(
ji
xl
1 khi j = i;
0 j ≠ I ;
P
n
(x
i
)= y
i
; i = 0, 1, 2, . . ., n.
);()(
0
xlyxP
i
n

i
in
∑
=
=
( 2 )
( 2 ) – đa thức nội suy Lagrăng.

*/ Nội suy tuyến tính. ( n = 1 )
x
y
x
o
x
1
y
o
y
1
( 2 )
);()()(
111
xlyxlyxP
oo
+=
( 3 )
o
o
o
o

xx
xx
xl
xx
xx
xl
−
−
=
−
−
=
1
1
1
1
)(;)(
;)(
1
1
1
1
o
o
o
on
xx
xx
y
xx

xx
yxP
−
−
+
−
−
=
Có dạng P
1
(x) = Ax + B - bậc nhất đối với x.
*/ Nội suy bậc 2. ( n = 2 )
x
y
x
o
x
1
x
2
y
o
y
1
y
2
);()()()(
22112
xlyxlyxlyxP
oo

++=
( 4 )
))((
))((
)(;
))((
))((
)(
21
2
1
21
21
xxxx
xxxx
xl
xxxx
xxxx
xl
oo
o
oo
o
−−
−−
=
−−
−−
=
;

))((
))((
)(
122
1
2
xxxx
xxxx
xl
o
o
−−
−−
=
P
2
(x) có dạng : P
2
(x) = Ax
2
+ Bx + C - bậc 2 đối với x.

*/ Sai số nội suy.
Định lý. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và có trong [a, b] đạo
hàm liên tục đến cấp n+1 thì sai số nội suy r
n
(x) =f(x) – P
n
(x)
có biểu thức:

[ ]
bac
n
x
cfxr
n
n
,;
)!1(
)(
)()(
)1(
∈
+
=
+
π
( 5 )
)) ()(()(
1 no
xxxxxxx −−−=
π
([a, b] - khoảng chứa các nút x
i
)
Gọi
[ ]
baxxfM
n
,;)(max

)1(
∈=
+
thì
;)(
)!1(
)( x
n
M
xr
n
π
+
≤
-
Ưu điểm của đa thức nội suy Lagrăng : đơn giản;
- Nhược điểm : thêm một nút thì phải tính lại toàn bộ.

4. Đa thức nội suy Niutơn.
a/ Sai phân hữu hạn.
y = f(x) có giá trị y
i
= f(x
i
) tại các nút x
i
cách đều nhau với
x
i+1
– x

i
= h = const; i = 0, 1, 2, . . ., n
x
0
; x
1
= x
o
+ h; x
2
= x
0
+ 2h; . . .x
i
= x
o
+ ih . . .
Định nghĩa sai phân hữu hạn của hàm y = f(x):
Sai phân cấp 1(hạng 1):
Δy
i
= y
i+1
– y
i
;
Sai phân cấp hai:
Δ
2
y

i
= Δy
i+1
–Δy
i
;
Δ
n
y
i
= Δ(Δ
n-1
y
i
) = Δ
n-1
y
i+1
–Δ
n-1
y
i
;
Sai phân cấp n là sai phân của sai phân cấp n-1:
Sai phân cấp 3:
Δ
3
y
i
= Δ

2
y
i+1
–Δ
2
y
i
;
;
1 oo
yyy
−=∆
;2)()(
12112
2
ooo
yyyyyyyy +−=−−−=∆
;33
123
3
oo
yyyyy
−+−=∆
;)1()1(
!3
)2)(1(
!2
)1(
!1
1

1
321 o
nn
nnnno
n
yyy
nnn
y
nn
y
n
yy
−+−+
−−
−
−
+−=∆
−
−−−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b/ Đa thức nội suy Niutơn tiến (nội suy về phía phải).
Trường hợp các nút cách đều, Niutơn đa thức có dạng:
)()())(()()(
1121
−
−⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+−−+−+=
nonooon
xxxxaxxxxaxxaaxP
- x = x

o
a
o
= P
n
(x
o
) = y
o
;
- x = x
1
;
)(
1
1
1
1
h
y
h
yy
xx
axP
a
oo
o
on
∆
=

−
=
−
−
=
- x = x
2
;
!22
2
2
)(2
.2
2
))((
)()(
2
2
2
12
2
12
2
122
212
2
h
y
h
yyy

h
yyyy
hh
h
h
y
yy
xxxx
xxaaxP
a
oooo
o
o
o
oon
∆
=
+−
=
−−−
=
⋅
∆
−−
=
−−
−−−
=
;
!

i
o
i
i
hi
y
a
∆
=
;)(
iin
yxP
=
no
aaaa ,,,,
21
⋅⋅⋅
Xác định
từ điều kiện

);()(
!
))((
!2
)(
!1
)(
11
2
2

−
−⋅⋅⋅−
∆
+⋅⋅⋅+−−
∆
+−
∆
+=
no
n
o
n
o
o
o
o
on
xxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxP
Đổi biến, đặt
h
xx

t
o
−
=
x = x
o
+ t.h
x
i
= x
o
+ i.h
x - x
i
= x - x
o
- i.h = t.h - i.h = (t-i)h;
;
!
)1) (1(
!2
)1(
)(
2
o
n
ooon
y
n
nttt

y
tt
ytyxP
∆
+−−
+⋅⋅⋅+∆
−
+∆+=
Thường dùng để tính các giá trị của hàm ở gần x
o
đầu bảng.
3/ Đa thức nội suy Niutơn lùi (nội suy về phía phải)
Với cách làm tương tự nhưng bắt đầu với x = x
n
);()(
!
))((
!2
)(
!1
)(
11
2
2
2
1
xxxx
hn
y
xxxx

h
y
xx
h
y
yxP
n
n
o
n
nn
n
n
n
nn
−⋅⋅⋅−
∆
+⋅⋅⋅+−−
∆
+−
∆
+=
−
−−
;
!
)1) .(1(
!2
)1(
!1

)(
2
2
1 o
n
nnnn
y
n
nttt
y
tt
y
t
yxP
∆
−++
+⋅⋅⋅+∆
+
+∆+=
−−
Ưu điểm của công thức nội suy Niutơn: thêm nút chỉ cần thêm
số hạng, không cần phải tính lại.
Để thuận tiện tính toán thường lập bảng sai phân đường chéo.

x y Δy
Δ
2
y
Δ
3

y Δ
4
y Δ
5
y Δ
6
y
x
o
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
y
o
y
1
y
2
y
3
y

4
y
5
y
6
Δy
o
Δy
1
Δy
2
Δy
3
Δy
4
Δy
5
Δ
2
y
o
Δ
2
y
1
Δ
2
y
2
Δ

2
y
3
Δ
2
y
4
Δ
3
y
o
Δ
3
y
1
Δ
3
y
2
Δ
3
y
3
Δ
4
y
o
Δ
4
y

1
Δ
4
y
2
Δ
5
y
o
Δ
5
y
1
Δ
6
y
o
Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy tiến

x y Δy
Δ
2
y
Δ
3
y Δ
4
y Δ
5
y Δ

6
y
x
n-6
x
n-5
x
n-3
x
n-2
x
n-1
x
n
Δy
n-6
Δy
n-5
Δy
n-4
Δy
n-3
Δy
n-2
Δy
n-1
Δ
2
y
n-6

Δ
2
y
n-5
Δ
2
y
n-4
Δ
2
y
n-3
Δ
2
y
n-2
Δ
3
y
n-6
Δ
3
y
n-5
Δ
3
y
n-4
Δ
3

y
n-3
Δ
4
y
n-6
Δ
4
y
n-5
Δ
4
y
n-4
Δ
5
y
n-6
Δ
5
y
n-5
Δ
6
y
n-6
Bảng sai phân đường chéo của công thức nội suy lùi
x
n-4
y

n-6
y
n-5
y
n-3
y
n-2
y
n-1
y
n
y
n-4

4/ Sai số của phép nội suy Niutơn.
Vẫn dùng công thức sai số đã biết trong phần nội suy Lagrăng
nhưng
thay đạo hàm hạng n+1 bằng sai phân hạng n+1
- Với công thức nội suy tiến:
;
)!1(
)) (1(
)()()(
1
o
n
n
y
n
nttt

xPxfxr
+
∆
+
−−
≅−=
- Với công thức nội suy lùi:
;
)!1(
)) (1(
)()()(
1
o
n
n
y
n
nttt
xPxfxr
+
∆
+
++
≅−=

II. Lấy xấp xỉ hàm số. Phương pháp bình phương nhỏ nhất.
1. Đặt vấn đề.
*/Lấy xấp xỉ bằng các đa thức nội suy có những nhược điểm:
- Nếu nhiều nút bậc của đa thức nội suy sẽ rất lớn
tính toán không thuận tiện

-
Việc buộc P
n
(x
i
) = y
i
không hợp lý ( các số liệuđo đạc, thực
nghiệm có thể không chính xác sai số lớn khi nội suy)
- Không thật phù hợp nếu f(x) là hàm tuần hoàn.
*/ Thường có nhu cầu “làm trơn” các đường cong thực nghiệm,
hoặc biểu diễn các quan hệ thực nghiệm dưới dạng một hàm
số đã biết nào đó, ví dụ:
y = a + bx; y = a + bx + cx
2
;
y = a + bcosx + csinx; y = ae
bx
; y = ax
b
; . . .
Lấy xấp xỉ một hàm số là tìm một hàm số khác hoặc một tổ
hợp các hàm số khác mà sai khác với hàm số đã cho đủ bé
theo một nghĩa nào đó.

2. Lấy xấp xỉ bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất.
- Cho hàm số f(x) và đa thức:
);()()()()(
22110
xCxCxCxCxQ

mmo
ϕϕϕϕ
+⋅⋅⋅+++=
( a )
mix
i
, ,2,1,0);( =
ϕ
- hệ các hàm số nào đó của x;
mo
CCCC , ,,,
21
- các hệ số.
-
Cần xác định sao cho Q(x) trên tập đã cho
X x sai khác vơi f(x) nhỏ nhất có thể.
mo
CCCC , ,,,
21
Q(x) – đa thức xấp xỉ của f(x).
- Khi
,)(; )(;)(;1)(
2
21
m
mo
xxxxxxx
====
ϕϕϕϕ
; )(

2
21
m
mom
xCxCxCCxQ
++++=
( b )
là một đa thức đại số thông thường.
Phương pháp thường dùng khi lấy xấp xỉ[ xác định các hệ số
của ( a ) hoặc ( b ) ] là phương pháp bình phương nhỏ nhất.

-
Nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất là tìm
cực tiểu của hàm
[ ]
;)()(
0
2
∑
=
−=
n
i
ii
xQxfM
( c )
f(x
i
), i = 0, 1, . . ., n là những giá trị đã biết của f(x) trên tập
điểm x

o
, x
1
, . . ., x
n
.
Coi các hệ số C
k
là các ẩn phải tìm, để M cực tiểu phải có:
), ,1,0(;0 mk
C
M
k
==
∂
∂
( d )
Từ ( d ) tìm được các hệ số C
k
.
f(x
i
) – Q(x
i
)
- Sai số tại x
i
khi thay f(x) bằng Q(x).

3. Một số trường hợp thường gặp.

a/ Đa thức xấp xỉ được chọn dưới dạng các hàm tuyến tính.
x
y=f(x)
x
o
x
1
. . . x
i
. . . x
n-1
x
n
y
o
y
1
. . . y
i
. . . y
n-1
y
n
*/ Q(x) = ax + b
( c ):
[ ]
( )
;)()(
0
2

0
2
∑∑
==
−−=−=
n
i
ii
n
i
ii
baxyxQxfM
Để M bé nhất:
;0;0
=
∂
∂
=
∂
∂
b
M
a
M
;
;
2
ii
iiii
ybnxa

yxxbxa
∑=+∑
∑=∑+∑
Để thuận tiện tính toán thường lập bảng:
x
i
y
i
x
i
2
x
i
y
i
Σ
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
Thay các số liệu ở bảng vào và giải ph/trình a, b.

*/ Q(x) = ax
2
+ bx + c.
( )
;
0
2
2
∑
=

−−−=
n
i
iii
cbxaxyM
;0;0;0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
c
M
b
M
a
M
;
;
;
2
23
2234
iii
i
iiii
iiiii

ycnxbxa
xyxcxbxa
xyxcxbxa
∑=+∑+∑
∑=∑+∑+∑
∑=∑+∑+∑
x
i
y
i
x
i
2
x
i
2
y
i
Σ
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
y
i
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
x
i
3
x
i

4
x
i
y
i

b/ Đa thức xấp xỉ là những hàm phi tuyến.
Trong nhiều trường hợp có thể tuyến tính hoá để việc tính
toán thuận lợi:
*/
;
1
bax
y
+
=
Đặt Y = 1/y Y = ax + b;
*/
;
bax
x
y
+
=
Đặt Y = 1/y và X = 1/x Y = a + bX;
*/
;
bx
aey =
với a > 0;

Lấy logarit thập phân cả 2 vế:
logy = loga + xbloge;
Đặt logy = Y; X = x; A = loga; B = bloge Y = A + BX
Chuyển bảng số liệu thực nghiệm sang quan hệ giữa X
i
và Y
i

để tìm A, B. Sau đó a = 10
A
; b = B/loge.
*/ y = ax
b
( a > 0). logy = loga + b.logx
Đặt Y = logy; B = loga; X = logx; A = b;
Y = AX + B
Chuyển bảng số liệu sang quan hệ của X
i
và Y
i
để tìm A, B.

2/ Cho quan hệ thực nghiệm:
x
i
1 2 3 4 5
y
i
9.8 17,2 25,8 37,1 49,7
Biểu diễn mối quan hệ đó

bằng hàm bậc 2
y = a + bx + cx
2
Xác định các hệ số a, b, c theo p/p bình phương nhỏ nhất.
1
2
3
4
5
15
9,8
17,2
25,8
37,1
49,7
139,6
1
4
9
16
25
55
1
16
81
256
625
979
9,8
68,8

232,2
593,6
1242,5
2146,9
x
i
y
i
x
i
2
x
i
3
x
i
4
y
i
x
i
y
i
x
i
2

n = 5
Σ
1

8
27
64
125
225
Hệ phương trình:
( a )
9,8
34,4
77,4
148,4
248,5
518,5
;
2
iii
ycnxbxa ∑=+∑+∑
;
2234
iiiii
xyxcxbxa ∑=∑+∑+∑
;
23
i
iiii
xyxcxbxa
∑=∑+∑+∑