luận văn căn và đế của module

3

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại,
nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm
Abel và không gian véc tơ. Tính linh hoạt và phổ quát của module đ mang lại
những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, chúng ta sẽ có dịp soi sáng,
củng cố lí thuyết về không gian véc tơ và nhiều lí thuyết toán học khác.
Trong lí thuyết module, chúng ta đ biết đến module con tối đại và
module con đơn, từ đó chúng ta xây dựng đợc khái niệm căn và đế của module.
Đây là hai công cụ quan trọng rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu, tìm hiểu lí
thuyết module. Căn và đế của module cùng với những tính chất của nó đ trở
thành những kiến thức cơ sở đóng vai trò to lớn trong việc nghiên cứu về đồng
cấu vành và một số module nh: Module hữu hạn sinh, module nội xạ, module
xạ ảnh, Từ đó chúng ta có khả năng tìm hiểu sâu hơn một số đặc trng của
vành và module.
Là sinh viên ngành S phạm Toán, trên cơ sở đ đợc trang bị những kiến
thức nền tảng về module và với mong muốn đợc học hỏi, trau dồi thêm vốn
kiến thức về toán học nói chung và lí thuyết module nói riêng. Chính vì vậy tôi
đ lựa chọn đề tài: Căn và đế của module cho khoá luận tốt nghiệp của
mình. Trong đề tài này tôi dự kiến hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về
module làm cơ sở lí luận để tìm hiểu căn và đế và từng bớc đi sâu nghiên cứu
nó. Thêm vào đó tôi còn trình bày hệ thống bài tập áp dụng nhằm hiểu sâu hơn
phần lí thuyết.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hoá một cách khoa học các khái niệm về module, căn và đế của
module kèm theo các ví dụ minh hoạ, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế,

đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, module. Ngoài ra, khoá luận
còn đa ra hệ thống các bài tập nhằm vận dụng và củng cố lí thuyết.
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là căn và đế của module, trong


4

đó tập trung vào các tính chất của nó. Bên cạnh đó, khoá luận còn trình bày hệ
thống các khái niệm bổ trợ có thể coi nh kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc
nghiên cứu các đối tợng chính và hệ thống bài tập áp dụng nhằm củng cố lí
thuyết.
4. Phơng pháp nghiên cứu
+ Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Trớc hết là đọc các tài liệu liên quan
đến đại số hiện đại, module để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối
tợng chính. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của căn
và đế module qua các tài liệu liên quan.
+ Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá kiến thức
về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, đa vào các ví dụ minh hoạ chi tiết.
5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành
Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về
căn và đế của module.
6. Bố cục của khoá luận
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của
khoá luận gồm ba chơng.
Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Chơng này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản nhất
về lí thuyết module. Cụ thể là: Đại cơng về module: Trong đó bao gồm các nội
dung nh tìm hiểu về module, module con, module thơng, đồng cấu module,

tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số module thờng gặp. Sau đó là
trình bày những vấn đề cơ bản của một số cặp module đặc biệt có tính chất đối
ngẫu với nhau nh: Module con cốt yếu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ;
module sinh, đối sinh; module Noether, Artin.
Chơng 2: Căn và đế của module
Đây là chơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó tìm hiểu
định nghĩa và các tính chất của căn và đế module. Từng bớc đi sâu nghiên cứu
căn và đế trên cơ sở nghiên cứu căn của module xạ ảnh, module hữu hạn sinh, đế
của module hữu hạn đối sinh, căn của vành


5

Chơng 3: Bài tập áp dụng
Chơng này trình bày hệ thống bài tập cùng lời giải nhằm áp dụng và củng
cố lại phần lí thuyết đ trình bày ở hai chơng trớc đó. Ngoài ra là một số bài
tập đề nghị dành cho ngời đọc muốn tìm hiểu thêm về module, căn và đế của
module.
Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn đợc giả thiết là vành giao
hoán có đơn vị
1 0

.

6

Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị

Chơng này trình bày những khái niệm về module, module con, module
thơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại
module thờng gặp nh module đơn, module tối đại, module tự do, và một số
lớp module quan trọng có tính chất đối ngẫu: Module con cốt yếu, đối cốt yếu;
module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin. Đây là
những kiến thức mở đầu giúp chúng ta tiếp cận và tìm hiểu về căn và đế của
module.
1.1. Đại cơng về module
Trong phần này ta tìm hiểu những kiến thức chung nhất về module, đồng cấu
module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module thờng gặp.
1.1.1. Module, module con, module thơng

Định nghĩa 1. Cho R là một vành. M là một nhóm cộng Abel. Trang bị cho M
phép nhân ngoài với các phần tử của R: R
ì
M

M
(r, x)

rx
thoả mn các điều kiện : (i) (a + b)x = ax + bx
(ii) a(x + y) = ax + ay
(iii) (ab)x = a(bx)
(iv) 1.x = x
Với mọi a, b

R; x,y

M.
Khi đó M đợc gọi là R- module hay module trên vành R.
Ví dụ:
(i) Mỗi ideal của vành R là một R- module.
(ii) Mỗi vành cũng là một module trên chính nó.
(iii)
K
là một trờng, các K- module chính là các không gian vectơ trên chính nó.
(iv) Mỗi nhóm Abel cộng M đợc coi là một

- module với phép nhân ngoài
đợc xác định nh sau: Với mỗi
x M

và
n


thì nx = x + x + + x (tổng
gồm n phần tử x) với
n
+


; 0x =
0
M
; nx = (-n)(-x) nếu
n



.
Các ví dụ trên chứng tỏ rằng khái niệm module là một khái niệm tổng quát của


7

các khái niệm: Vành, ideal, không gian vectơ và nhóm Abel.
Định nghĩa 2. Mỗi tập con không rỗng N của một R- module M đợc gọi là một
R- module con của M nếu bản thân N cũng là một R- module với hai phép cộng
và nhân trong M thu hẹp vào N. Khi đó M đợc gọi là module mở rộng của N.
Ví dụ:

(i) Với M là R- module. {0} và M là hai R- module con tầm thờng của M.
(ii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M là
Z
- module con của M.
(iii) M là R- module. Khi đó với x

M; Tập hợp Rx ={rx | r

R} là một R-
module con của M (module con xyclic sinh bởi x).
(iv) R là vành. Vành đa thức R[x, y] là một R- module. Khi đó R[x] là một R-
module con của R[x, y].
Mệnh đề 1. Mỗi tập con N của R- module M là một R- module con của M khi và
chỉ khi 0
M
N

và
ax by N
+
với mọi
, ; , .
x y N a b R


Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.
Điều kiện đủ: Vì
1. ( 1).
x y x y N
= +

với mọi
,
x y N

nên N là một nhóm
con của nhóm cộng M. Mặt khác do 0 .0
R M
ax ax N
= +
với mọi
x N

và
a R

nên N đóng kín với phép nhân ngoài. Bốn tiên đề của module thoả mn
cho N vì N là con của R- module M. Vì vậy N là một R- module con của M.
Định nghĩa 3. Cho M là R- module và N là một module con của M.
Khi đó N là một nhóm con của nhóm Abel (M, +) nên ta có nhóm thơng:
M N
= { |
x x N x M
= +
}
cùng hai phép toán:
+) Phép cộng:
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
x N x N x x N
+ + + = + +

+) Phép nhân vô hớng:
R M N M N
ì


( , )
r x N rx N
+ +


Với
1 2
, ,
; .
r R x x x M

Khi đó
M N
cũng là một R- module và gọi là module
thơng của module M theo module N.
Ví dụ:
(i) R là vành, I là một ideal của R. Khi đó
R I
là R- module và:


8

R I

= {
x
= x + I,
x R

}
(ii)

n

*

;
n
n
=

là


module.
Định nghĩa 4. Cho M là một R- module. Cái triệt của M đợc kí hiệu là Ann(M),
là tập tất cả các phần tử
a R

sao cho ax = 0,
x M

.
Ví dụ:

Với I là một ideal của vành R. Khi đó cái triệt của R- module
R I
là Ann(
R I
) = I.
1.1.2. Đồng cấu module
Định nghĩa 5. Cho M, N là các
R
- module. Một ánh xạ
:
f M N

đợc gọi là một
đồng cấu
R
- module hay ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mn hai điều kiện:
(i)
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
+ = +

(ii)
( ) ( )
f ax af x
=

Với mọi
, ; .
x y M a R

Nhận xét:
(i)
f
là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tơng ứng đồng cấu là: Đơn cấu, toàn
cấu, đẳng cấu.
(ii) Nếu
}
{
( ) 0
N
f M = thì
f
đợc gọi là đồng cấu không và kí hiệu là 0.
(iii)
1
{ | ( ) 0} (0):
Kerf x M f x f

= = =
Hạt nhân hay hạch của
.
f

Im ( ) { | : ( )}
f f M y N x M y f x
= = =
đợc gọi là ảnh của
.
f

Nếu
M N
=
thì
f
là tự đồng cấu của
.
M
Nếu
f
là đẳng cấu, khi đó
M
và
N
là
R
- module đẳng cấu viết là
.
M N


Ví dụ:
(i) Cho
N
là
R
- module con của module
.
M

ánh xạ
N M

: Phép nhúng chính tắc là một đẳng cấu.

x x


(ii)
M N

là một đồng cấu 0.

0
x


(iii) Cho
N
là
R
- module con của module
.
M
Xét ánh xạ
:
p M M N

_
x x




9

p
là một toàn cấu chiếu chính tắc và
Im ; .
p M N Ker p N
= =

Mệnh đề 2. ánh xạ
:
f M N

là một đồng cấu các
R
- module khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ); , ; , .
f ax by af x bf y a b R x y M
+ = +

Chứng minh. (

)
f

là đồng cấu. Ta chứng minh
( ) ( ) ( )
f ax by af x bf y
+ = +

Vì
f
là đồng cấu nên
, , ,
a b R x y M

ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
f ax by f ax f by af x bf y
+ = + = +

(

) Ngợc lại nếu
( ) ( ) ( ); , ; ,
f ax by af x bf y a b R x y M
+ = +
thì
( ) (1. 1. ) 1. ( ) 1. ( ) ( ) ( )
f x y f x y f x f y f x f y
+ = + = + = +

( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) ( ).
f ax f ax y af x f y af x

= + = + =

Vậy
f
là một đồng cấu.
Mệnh đề 3. Nếu các ánh xạ :
f M M


và :
g M M


là hai đồng cấu các
R
- module thì ánh xạ tích :
gf M M


cũng là một đồng cấu module.
Chứng minh. Ta có
( ) [ ( )] [ ( ) ( )]
gf ax by g f ax by g af x bf y
+ = + = +


[ ( )] [ ( )]
ag f x bg f y
= +
( ) ( ) , ; ,

agf x bgf y a b R x y M
= +

Do đó
gf
là một đồng cấu module.
Nhận xét:
Cho
:
f M N

là
R
- đồng cấu module. Khi đó ta có:
(i)
f
là đồng cấu 0 khi và chỉ khi
.
Ker f M
=

(ii)
f
là toàn cấu khi và chỉ khi
Im .
f N
=

(iii)
( ) ( ) ; (0 ) (0 )

M N
f x f x x M f f
= =
.
(iv) Nếu U là module con của M; V là module con của N thì
1
( )
f V

là module
con của M. Đặc biệt
Kerf
là module con của M,
( )
f U
là module con của N.
Định nghĩa 6. Cho M và N là các
R
- module. Kí hiệu
( , )
R
Hom M N
là tập gồm
tất cả các
R
- đồng cấu từ M vào N. Với
, ( , )
R
f g Hom M N

và
,
a b R

ta có:
( )( ) ( ) ( ) .
af bg x af x bg x x M
+ = +

Khi đó:
( )( ) [ ]( ) [ ]( )
af bg cx dy c af bg x d af bg y
+ + = + + +
, ; , .
x y M c d R


Do đó
( , ).
R
af bg Hom M N
+



10

Tập
( , )
R

Hom M N
với các phép toán xác định nh trên trở thành một
R
- module
và gọi là module các đồng cấu từ M đến N.
Định lí 1 (Định lí đồng cấu module). Cho
:
f M N

là một đồng cấu các
R
-
module và
:
p M M Kerf

là một toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất
một đơn cấu
_
:
f M Kerf N


_
( )
x f x


Sao cho biểu đồ sau giao hoán:

Tức là
_
.
f p f
=

Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh
f
là ánh xạ. Thật vậy, có
_
x M Kerf

nên
_
.
x x Kerf x M
= + Giả sử
x x


khi đó
.
x x

=
Suy ra
x x Kerf

hay
( ) 0
f x x

=
. Do đó
( ) ( ) 0
f x f x

=
(vì
f
là đồng cấu) hay
( ) ( ').
f x f x
=
Vậy từ
'
x x
=
ta có
( ') ( ).
f x f x
= Do đó
f
là ánh xạ.
Ta có
f
là một đồng cấu vì:
)

( ( ) ( ) ( ) ( )
f ax by f ax by f ax by af x bf y
+ = + = + = +
=
( ) ( ); , , , .
a f x b f y x y M a b R
+

Mặt khác
x Ker f
nên
( ) 0 ( ) .
f x f x x M
= = Vậy
.
f p f
=

Hệ quả 1. Cho
:
f
M N

là một đồng cấu các R- module. Khi đó ta có
Im .
M Kerf f

Và nếu
f
là toàn cấu thì

.
M Kerf N


Chứng minh. Thật vậy với
:
f M Kerf N


( ) ( )
x f x f x
=


là đơn cấu thì
Im .
M Kerf f
Mặt khác
Im Im
f f
= nên
Im .
M Kerf f

Nếu
f
là toàn cấu thì
Im .
f N
=

Do đó
.
M Kerf N


Hệ quả 2. Cho P là module con của N; N là module con của M. Khi đó ta có:
( ) ( ).
M N M P N P



M K erf


f



M

N



f

p

11

Chứng minh. Xét đồng cấu
:
f M P M N



x P x N
+ +


Với mọi
.
x M

Dễ thấy
f
là toàn cấu nên
.
Im
f M N
=
Ta có:
| ( ) 0 .
{ } { | ( ) 0, } { | | }
x f x
Kerf x P f x x M x P x N x M N P
=
= = + = = + =

Vậy
.
{ | | }
Kerf x P x M x N N P
= + =
Do đó áp dụng Hệ quả 1 ta có:
( ) ( )
M P N P M N


Hệ quả 3. Nếu M và N là hai module con của cùng một module thì ta có:

.
( ) ( )
M N N M M N
+


Chứng minh. Xét đồng cấu
: ( )
f M M N N
+

( )
x f x x x N
= = +


Ta sẽ chỉ ra

f
là toàn cấu. Thật vậy với mỗi
( )
z z N M N N
= + +
ta có
z x y
= +

với
, .
x M y N

Do đó
z z N x y N x N
= + = + + = +
vì
y N

suy ra
( ) .
f x z
=

Vậy với mỗi
( )
z M N N
+
luôn tồn tại
x M

để
( )
f x z
=
nên
f
là một toàn cấu. Từ
đó suy ra
.
Im ( )
f M N N
= +
Mà
{ | ( ) 0} { | }
Kerf x M f x x x M x N
= = = =


M N
=


Do đó áp dụng Hệ quả 1 có
.
( ) ( )
M M N M N N
+

1.1.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp các module
Định nghĩa 7. Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử (
)
I
M


là một họ các R-
module chỉ số hóa bởi I. Khi đó ta xây dựng hai khái niệm:
(i) Tích trực tiếp:
Kí hiệu M =
I
M




là tích Descartes của (
)
I
M


. Ta xây dựng phép cộng trong
M và phép nhân ngoài các phần tử của R với phần tử của M:
a)
( ) ( ) ( )
I I I
x y x y

+ = +

b)
( ) ( )
I I
a x ax


=

Với mọi
,( ) ; ( ) .
I I
a R x M y M




Với hai phép toán này M là một R- module.
R- module M xây dựng nh trên đợc gọi là tích trực tiếp của họ các R- module


12

(
)
I
M

. Ta có
I
M




= {
( ) |
I
x x M




}. Nếu
M N I


=
thì ta kí hiệu
I
M




bởi
.

I
N

(ii) Tổng trực tiếp:
Trong M =
I
M




ta lấy tập con
I
M




bao gồm tất cả các phần tử của M với
các thành phần bằng 0 hầu hết chỉ trừ mội số hữu hạn thành phần có thể khác 0.
Tức
{( ) | ; 0
I
I
M x x M x




= =

trừ một số hữu hạn
}
.
Khi đó
I
M




cũng là R- module và là module con của
I
M




.
I
M




đợc gọi là tổng trực tiếp của họ các R- module (
)
I
M

.
Nếu
M

=
N I


thì ta kí hiệu
I
M




bởi
( )
.
I
N

Nhận xét:
(i) Nếu họ các R- module (
)
I
M


chỉ gồm một số hữu hạn các module thì ta có:
I

M




=
I
M





(ii) Nếu coi vành R là R- module thì tích trực tiếp của nR- module R kí hiệu là
.
n
R

Định nghĩa 8 (Tổng trực tiếp trong). Cho
{ }
I
N


là một họ tùy ý các module
con của R- module M. Khi đó nếu
[ ]
I
N N

={0}
I


thì
I
N




đợc
gọi là tổng trực tiếp trong của họ các module con đ cho.
Kí hiệu là
N
I




;
N
I

={
| ; 0
I
x x M x



=

hầu hết trừ một số hữu hạn}.
Một module con N của M đợc gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại một
module con F của M để M = N

F.
Ví dụ:
R là vành. Khi đó vành đa thức R[x, y] là một R- module nhận R[x] và yR[x, y] làm
các R- module con của nó và ta có R[x, y] = R[x]

yR[x, y]; R[x] và yR[x, y] là các
hạng tử trực tiếp của R[x, y].
Nhận xét:
N là tổng trực tiếp trong của họ
{ }
I
N


khi và khi mỗi phần tử x của có thể biểu
diễn một cách duy nhất dới dạng sau:

13

1 2
; ; ;1 .
n i i
i
x x x x x N I i n


= + + +

Định nghĩa 9. Đơn cấu
:
A B


của các R- module đợc gọi là chẻ ra nếu
Im

là hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu
:
B C


đợc gọi là chẻ ra nếu
Ker

là hạng tử trực tiếp của B.

Mệnh đề 4. 1) Đồng cấu module
:
A B


là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn
tại đồng cấu
:
B A


sao cho
A
id

=
. Khi đó
B
=
Im

Ker


.
2) Đồng cấu
:
B C

là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
:
C B



sao cho
C
id

=
. Khi đó
B Ker

=
Im

.
Chứng minh. 1) Giả sử
:
A B


là đơn cấu chẻ ra. Khi đó
1
Im
B B

= +
. Do

mỗi phần tử
b B

ta viết đợc duy nhất dới dạng
1
( ) ;
a b

+
1 1
;
a A b B

;
Do

là đẳng cấu giữa
A
và
Im

nên tơng ứng:
:
B A




1
( )

a b a

+


là một đồng cấu và ta có
A
id

=
.
Ngợc lại, giả sử tồn tại đồng cấu
:
B A


sao cho
A
id

=
. Khi đó

là đơn cấu.
Lấy
b B

. Ta có
( ( )) 0
b b

=
nghĩa là
1
( )
b b b Ker

=
. Do đó ta có:
Im .
B Ker

= +

Ta sẽ chứng minh
Im 0.
Ker

=

Thật vậy lấy
Im
a Ker



suy ra tồn tại
x A

sao cho

( )
x a

=
và
0 ( ) ( ( ))
a x x

= = =
. Suy ra
0
a
=
.
Vậy
Im
B Ker

=
.
2) Nếu
:
B C


là toàn cấu chẻ ra thì
1
B Kerf B
=
. Khi đó

1
1 1
| : .
B
B C

=

Gọi
1
:
B B
à

là phép nhúng chính tắc ta đợc
1
:
C B
à

=
thoả mn
C
id

=
.
Ngợc lại, nếu tồn tại đồng cấu
:
C B

sao cho
C
id

=
thì

là đơn cấu và

là toàn cấu. áp dụng phần 1) ta đợc
Im
B Ker

=
nghĩa là

là toàn cấu
chẻ ra.
Mệnh đề 5. Cho R- module M và N là một module con của nó. Khi đó nếu N là
một hạng tử trực tiếp của M thì M

N

.
M N

Chứng minh. N là một hạng tử trực tiếp của M do đó theo định nghĩa tồn tại một

14

module con F của M sao cho M = N

F. Ta chỉ cần chứng minh F

.
M N

Xét phép chiếu chính tắc p: M

M N
Gọi
|
F
p
: F


M N
là thu hẹp của p
lên F. Ta chứng minh
|
F
p
là một đẳng cấu R- module. Thật vậy vì Ker p = N
nên ta có Ker
|
F

p
= N

F = {0} do đó
|
F
p
là một đơn cấu. Mặt khác với mỗi
x
=
x
+
N

M N
ta viết
x
= y + z với y

F; z

N thì ta có:
x
=
x
+
N = y + z + N = y + N
vì z

N do đó

x
=
|
F
p
(y). Vậy
|
F
p
cũng là một toàn cấu do đó nó là một đẳng
cấu. Suy ra M

N


.
M N

Ta đ biết tổng trực tiếp
0
A B M
M A B
A B



+ =
=
=

Mở rộng khái niệm này ta có các khái niệm sau:
Định nghĩa 10. Cho
A
là module con của R- module
M
.
1) Module con
*
A
của
M
đợc gọi là phần bù cộng tính đối với
A
trong
M
nếu:
(i)
*
;
A A M
+ =

(ii)
*
A
là module con tối tiểu có tính chất
*
.
A A M

+ =

2) Module con
A

của
M
đợc gọi là phần bù theo giao (hay

- bù) nếu:
(i)
0;
A A

=


(ii)
A

là module con tối đại có tính chất
0.
A A

=


Mệnh đề 6. Giả sử
,
A B

là hai module con của
.
M
Khi đó
M A B
=
khi và
chỉ khi
B
đồng thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của
A
trong
.
M

Chứng minh. (

) Suy ra từ định nghĩa.
(

) Giả sử
M A B
=
và
C
là module con của
B
thỏa mn
.
A C M

+ =
Khi đó
theo Luật modular ta có: ( ) ( )
A B C A C B M B B
+ = + = =

mà
0
A B
=


nên
.
C B
=
Do đó
B
là phần bù cộng tính đối với
A
trong
.
M
Bây giờ nếu
B E

và
0
A E
=

với
E
là module con của
M
thì theo Luật modular ta có:
( ) ( )
A E B A B E M E
+ = + =


Mà
0
A E
=

nên
.
B E
=
Vậy
B
là

- bù của
A
trong
.
M

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những cặp module đặc biệt có tính chất đối ngẫu
với nhau.


15


1.1.4. một số loại module thờng gặp
Định nghĩa 11. Cho I là một tập khác rỗng và
{ }
I
N


là một họ tuỳ ý các
module con của một R- module M. Khi đó kí hiệu
I
N




={
I
x




|

x

N


,
I


}
là tổng hữu hạn các phần tử của
I
N




.
I
N




đợc gọi là tổng của họ
{ }
I
N

các module con của M.
Nhận xét:
Giả sử
{ }
I
N


là họ tuỳ ý các module con của một R- module. Khi đó ta có các
kết quả sau:
(i)
I
N




và
I
N




là các R- module con của M.
(ii) Nếu họ
{ }
I
N

lồng nhau thì
I
N




cũng là một module con của M.
Định nghĩa 12. Giả sử S là một tập con của một R- module M. Khi đó giao của
tất cả các module con chứa S của M cũng là một module con của M và đợc gọi
là module con của M sinh bởi S.
Kí hiệu: <S >
<S > là module con của M bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa S.
S đợc gọi là một tập sinh hay hệ sinh của module <S >.
Nếu <S > = M thì ta nói S là một hệ sinh của M hay M đợc sinh bởi S. Nếu S
không chứa thực sự một hệ sinh của M thì S đợc gọi là hệ sinh cực tiểu của M.
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M đợc gọi là một module hữu hạn sinh.
Nếu M có hệ sinh chỉ gồm một phần tử thì M đợc gọi là một module đơn sinh.
Nhận xét:
(i) Nếu S =

thì < S > = {0}. Do đó khi nói module sinh bởi tập S thì ta luôn
coi S
.


(ii) S

và S

M là R- module. Khi đó tổng:
1
n
i i
i
a x
=

với
1
, , ;
n i
x x S a R

và
1
i n

đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S.



16

Ví dụ:
(i) Với S = {x}; M = < S > = <{x}
>
= Rx =
{ | }

rx r R

là module đơn sinh.
(ii)

- module

các số hữu tỷ không có hệ sinh hữu hạn.
Thật vậy, giả sử X = {
1 2
, , ,
n
a a a
} là một hệ sinh hữu hạn của

. Khi đó
1
2
1
a
có
thể biểu diễn dới dạng tổng hữu hạn:
1 1
1
1

2
a x a
= +
1

,
i i i
i
x a a




.
Suy ra
1 1 1
2
a xa
= +
1
2
i i
i
x a


. Do đó
1 1
(1 2 ) =
x a

1
2
i i
i

x a


. Đặt m = 1- 2
1
x
. Từ đó ta
có: m
1
a
=
1
2
i i
i
x a


. Giả sử (
1
m
)
1
a
=
1 1
1
; y
i i i
i

y a y a

+


. Khi đó:

1 1 1
1
i i
i
a my a my a

= + =

1
1 1
2
i i i i
i i
x a y my a

+

=
1
1 1
.
(2 )
i i i i i

i i
x y my a ra

+ =


với
1
2 .
i i i
r x y my
= +
Điều này chứng tỏ X \ {
1
a
} cũng là một hệ sinh của

.
Tiếp tục quá trình này sau n bớc ta đợc tập rỗng là hệ sinh của

.
Do đó

={0} (vô lí). Vậy

- module

các số hữu tỷ không có hệ sinh hữu hạn.
Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu một số loại module có quan hệ mật thiết với
module hữu hạn sinh.

Định nghĩa 12. Module con A của R- module M đợc gọi là module tối đại nếu
A

M và A không chứa trong một module con thực sự nào của M.
Mệnh đề 7. Trong module hữu hạn sinh mỗi module con thực sự đợc chứa
trong một module con tối đại.
Để chứng minh mệnh đề trên ta nhắc lại bổ đề Zorn:
Cho A là một tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thự tự hoàn toàn trong A có cận
trên trong A thì A có phần tử tối đại.
Chứng minh mệnh đề trên.
Giả sử S = {
1
, ,
s
m m
} là hệ sinh của M. Nếu A là module của M và A

M thì tập
các module con của M:

=
{ | | }
B A B M B M

là khác rỗng vì A
.


Ta có

là tập sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Để áp dụng đợc bổ đề Zorn ta
chỉ cần chỉ ra mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn L của

có cận trên trong
.


Đặt C =

B, với B

L. Suy ra C là cận trên của L. Khi đó A

C. Giả sử C = M.


17

Vì <S > = M nên
{
1
}
, ,
s
m m

C. Do đó tồn tại module con B

L sao cho
{

1
, , }
s
m m

B
. Nghĩa là B = M, (trái giả thiết về

(B

M)). Suy ra C

M do
đó C

.

Vậy L có cận trên trong
.

Theo Bổ đề Zorn trong

có phần tử tối
đại, giả sử phần tử đó là D. Ta sẽ chứng minh D là module con tối đại của M.
Thật vậy, gọi N là module con của M sao cho: D

N

M; N

M. Do đó N

.


Mặt khác vì D là phần tử tối đại của

nên N = D. Vậy D là module con tối đại
của M. Ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 4. Mỗi module hữu hạn sinh
0
M

đều chứa module con tối đại.
Mệnh đề 8. Cho R- module M, N và K là các module con của M. Khi đó module
con S sinh bởi N và K là module N + K = {x + y | x

N; y

K}.
Chứng minh. Ta có N + K là module con của M. N

N + K và K

N + K
suy ra S

N + K.
Ngợc lại, với mỗi z

N + K thì z = x + y; với x

N, y

K. Do S là module sinh
bởi N và K nên x

S, y

S. Suy ra x + y

S. Do đó N + K

S. Vậy S = N + K.
Mệnh đề 9 (Luật modular). Nếu U, V, W là những module con của R- module
M và V

W thì : (U + V)

W = (U

W) + V.
Chứng minh. Ta chứng minh (U + V)

W

(U

W) + V.
Thật vậy

x

(U + V)

W ta có
x U V
x W



+

hay
x a b
x W



= +

với
,
a U b V


Vì V

W nên từ b

V có b

W. Mà
x a b W
b W



= +

nên
a

W. Suy ra
a U W
b V






hay
( ) .
x a b U W V
= + +

Vậy (U + V)

W

(U

W) + V (1)
Ngợc lại
( )
y U W V
+

,
y c d
= +
với
c U W
d V









Do đó ta có
hay suy ra
c W
c U c d U V
c W c d U V c W
d V d V d W

+ +
+ +


Từ đó:
c d U V
c d W



+ +
+
nên
( ) )
c d U V W hay y U V W
+ + +




18

Vậy (U

W) + V

(U + V)

W (2)
Từ (1) và (2) ta có (U + V)

W = (U

W) + V.
Định nghĩa 14. Cho M là R- module. M đợc gọi là module đơn nếu M là
module khác 0 và chỉ có hai module con là 0 và chính nó.
Ví dụ:
(i) K là một trờng, mọi K- không gian vectơ chiều 1 là K- module đơn.
(ii) Với

là một module trên chính nó, khi đó

không phải là

- module đơn
vì: 0
2


, với
2

là module con thực sự của

.
Nhận xét:
Module đơn luôn sinh bởi một phần tử (module đơn sinh).
Thật vậy, giả sử M là module là R- module đơn. Ta chứng minh:
M = Rx = {rx |
x

M; r

R}
Vì M là R- module đơn nên M

0. Do đó tồn tại
\
x M

{0}. Xét Rx có
x Rx


vì x = 1. x

Rx với 1

R. Do đó
0 .
Rx M

Mặt khác vì M là module đơn nên

Rx = M. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 10. Cho N là một module con của R- module M. Khi đó R- module N là
cực đại nếu và chỉ nếu module thơng
M N
là đơn.
Chứng minh. N là module cực đại của M nếu và chỉ nếu N

M và không có
module con P của M sao cho
N P M



, tức là module thơng
M N
khác
không và chỉ có hai module con là 0 và chính nó. Theo định nghĩa thì
M N
là
module đơn. Vậy mệnh đề đợc chứng minh.
Định nghĩa 15. Tập con S của R- module M đợc gọi là một tập độc lập tuyến
tính nếu từ mỗi đẳng thức
1 1 1
0, , ,
n n n
a x a x x x S
+ + =
từng đôi một khác
nhau ta đều có
1

0
n
a a
= = =

. Ngợc lại ta có S đợc gọi là một tập phụ thuộc
tuyến tính.
Một R- module M đợc gọi là một module tự do nếu M có một hệ sinh S độc lập
tuyến tính. Khi đó tập S đợc gọi là một cơ sở của M.
Ví dụ:
(i) Vành R là một R- module tự do trên chính nó với cơ sở là {1}.


19

(ii) Mỗi không gian vectơ trên một trờng K đều là K- module tự do vì nó luôn
có cơ sở.
(iii) R
ì
R cũng là một R- module tự do với cơ sở là {(1,0); (0,1)}.
Định lí 2 (Tính chất phổ dụng). Cho F là module tự do với cơ sở
{ | }
i
U e i I
=

và A là R- module. Khi đó ánh xạ
:
f U A

đều đợc mở rộng một cách duy
nhất thành đồng cấu
: .
F A



Chứng minh. Đồng cấu
:
F A


đợc xác định bởi hệ thức:
( ) ( )
i i i i
e x f e x

=


Nếu
:
F A


là một đồng cấu mở rộng của
f
thì ( ) ( ),
i i
e f e i I

=
và
( ) ( ) ( ) ( ).
i
i i i i i i i
e x e x f e x e x

= = =


Do đó
.

=
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Mọi R- module M đều đẳng cấu với thơng của một R- module tự do.
1.2. Module con cốt yếu, đối cốt yếu
1.2.1. Module con cốt yếu
Định nghĩa 16. Module con
A
của module
M
đợc gọi là module con cốt yếu
(hay lớn) trong
M
nếu mỗi module con khác không
B
của

M
ta luôn có
0
A B



(hay
0
A B
=

khi
B
= 0). Khi đó
M
đợc gọi là mở rộng cốt yếu của
.
A

Kí hiệu
*
.
A M


Ví dụ:
(i) Cho
M
là R- module. Ta luôn có

M
*
.
M


(ii) Với

là

- module. Mỗi ideal khác 0 trong

đều cốt yếu vì với
, 0
a b


ta đều có 0
ab a b


.
Mệnh đề 11. 1) Nếu trong module
M
có các dy các module con:
A B C


thì
*

A M

kéo theo
*
.
B C


2) Nếu
*
, 1
i
A M i n

thì
1
*
.
n
i
i
A M
=


3) Nếu
:
M N

là đồng cấu module và
*
B N

thì
1
*
( ) .
B M






20

Chứng minh. 1) Giả sử
E
là module con khác 0 của
C
. Khi đó
E
cũng là
module con của
.
M
Vì
*
A M

nên
0
A E


. Vì
A B

nên
0
B E


. Do đó
*
.
B C


2) Ta chứng minh
1
*
n
i
i
A M
=

bằng qui nạp theo

n
.
Với
n
=1:
1
*
A M

ta có
1
*
A M


đúng.
Giả sử mệnh đề đúng với
n
-1 tức là
1
1
*
.
n
i
i
A A M

=
=

Ta giả sử
E
0

là một module con
của
M
, vì
*
n
A M

nên
0
n
A E


và
1
1
*
n
i
i
A A M

=
=

nên
1
1
( ) 0
n
i
i
A E

=

. Do đó
( ) ( ) 0
n n
A A E A A E
=

(vì
*
A M

). Từ đó suy ra
*
.
n
A A M

Vậy
1
*
.
n
i
i
A M
=

3) Giả sử
E
là một module con của
M
và
1
( ) 0 (*)
E B


=


Khi đó ta có
( ) 0
B E

=

nên

( ) 0
E

=
(vì
*
B N

). Suy ra:
1 1
(0) ( )
B
E Ker





do đó
1
( ).
E Ker B




Vậy
1
( ) 0.
E E B

= =

Do đó từ (*) ta có:
1
*
( ) .
B M




1.2.2. Module con đối cốt yếu
Định nghĩa 17. Module con
A
của
M
đợc gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với
module
E M

ta đều có
A E M
+
(hay
A E M
+ =
kéo theo
E M

=
).
Kí hiệu
0
.
A M


Ví dụ:
(i) Với mỗi
M
là R- module ta đều có
0
0 .
M


(ii) Trong

- module tự do chỉ có module tầm thờng là 0 là đối cốt yếu.
Thật vậy, giả sử
F
là

- module tự do với cơ sở là
{ | }.
i
e i I

Khi đó

i
I
F e
=


Giả sử
A
là module con khác 0 của
F
và
0
a A

. Khi đó có
a
biểu diễn duy
nhất dới dạng
1
1
;
n
i i n i
a e x e x x
= + +

. Chọn
, 1
n n
>

sao cho
1
( , ) 1
n x
=

Đặt
1
1
( )
i i
i i
E e e n

= +

. Ta có
a E F
+ =

nghĩa là
A E F
+ =
với
.
E F

Suy ra
A

không là module con cốt yếu của
.
F



21

(iii) Mỗi module hữu hạn sinh trong

- module

là đối cốt yếu trong module

. Thật vậy, gọi
A
là module con của

sinh bởi tập hữu hạn
1 2
{ , , , }
n
q q q


.
E
là một module con của

sao cho:

A E
+ =

. Khi đó
1 2
{ , , , }
n
q q q E

là
một hệ sinh của

- module

và bản thân
E
là một hệ sinh của

. Do đó
E
=

. Vậy
0
A


.
Mệnh đề 12. 1) Nếu trong
M

có dy những module con:
A B C

thì
0
B C


kéo theo
0
.
A M


2)
0
, 1
i
A M i n

thì
0
1
.
n
i
i
A M
=

3) Nếu
:
M N


là đồng cấu module và
0
A M

thì
0
( ) .
A N



Chứng minh. 1) Giả sử
D
là module con trong
M
sao cho:
.
A D M
+ =

Ta chứng minh
0
.

A M

Ta có
.
B D M
+ =
Theo Luật modular ta có:

( ) ( )
D C B D B C M C C
+ = + = =


Mặt khác vì
0
B C

nên từ trên ta có
D C C
=

do đó
C D

. Suy ra
M A D D
= + =
. Vậy từ
A D M
+ =

có
D M
=
nên
0
.
A M


2) Ta chứng minh bằng quy nạp theo
n

Với
n
=1 mệnh đề luôn đúng do theo giả thiết
0
1
.
A M


Giả sử ta chứng minh đợc
0
2
.
n
A A A M
= + +

Ta phải chứng minh
0
1 1
.
n
A A A A M
+ = + +

Giả sử
D
là module con của
M
sao cho
1
( )
A A D M
+ + =
(1)
Vì
0
1
A M

nên từ (1) suy ra
A D M
+ =
(2)
Mặt khác
0
2

n
A A A M
= + +

nên từ (2) ta có
.
D M
=
Kết hợp với (1) ta có
1
( )
A A M
+ =
hay
0
1
n
i
i
A M
=


khi
0
, 1
i
A M i n

.

3) Giả sử
( )
A D N

+ =
với
D
là module con của
N
với
m M

tùy ý ta có
( ) ( )
m a d

= +
với
,
a A d D

suy ra
( ) ( ) ( )
d m a m a

= =
nên
1
( )
m a D

do đó
1
( )
m A D


+
hay
1
( )
M A D


+
. Hiển nhiên ta có
1
( ) .
A D M


+
Vậy
1
( )
M A D

= +
(*)


22

Mặt khác do
0
A M

nên từ (*) ta có
1
( )
D M


=
suy ra
( ) ( )
A M D


. Do
đó
( )
N A D D

= + =
. Vậy
0

( ) .
A N



Mệnh đề 13. Đối với
,
a M

R- module
aR
không là module đối cốt yếu trong
M
khi và chỉ khi tồn tại module con tối đại
K
sao cho
.
a K


Chứng minh. (

) Nếu
K
là R- module con tối đại của
M
với
,
a M

.
a K


Ta chứng minh
aR
không là đối cốt yếu.
Thật vậy, vì
,
a M

a K

nên
.
aR K M
+ =
Do đó
K M

nên
aR
không là đối
cốt yếu.
(

)
aR
không là đối cốt yếu. Ta chỉ ra tồn tại module con tối đại
,

K
.
a K

Ta
sử dụng Bổ đề Zorn. Đặt

là tập tất cả các module con
B
của
,
M
B M

sao
cho
; { | ; }.
aR B M B B M aR B M
+ = = + =
Tập

vì
aR
không là đối cốt
yếu. Gọi L là một dây chuyền trong

theo quan hệ bao hàm. Khi đó ta có L có
lân cận trên là
0
B B B L

=

. Ta chứng minh
0
.
B M

Thật vậy, giả sử
0
a B


thì
a B

với B nào đó thuộc L. Khi đó ta có
aR B

nên
,
M aR B B
= + =
trái
với giả thiết về
.
B M

Do đó
0
a B

hay
0
.
B M

Hiển nhiên
0
,
B aR M
+ =
theo
định nghĩa về

ta có
0
.
B

Vì
0
B
là lân cận trên của L trong

mà
0
B


nên theo Bổ đề Zorn trong

có phần tử tối đại
.
K

Ta chứng tỏ
K
là module con tối đại trong
.
M
Thật vậy, giả sử có module con
E
của
M
sao cho
, .
K E K E

Khi đó
.
E


Mặt khác
M aR K aR E M
= + +
nên
.
aR E M
+ =

Suy ra
E M
=
vì
.
aR E


Vậy
K
là module con tối đại trong
.
M

Định lí 3. Cho
A
là module con của R- module
.
M
Khi đó
*
A M

khi và chỉ
khi với mỗi phần tử khác không
m M

tồn tại
r R

sao cho
0 .
mr A


Chứng minh. (

) Nếu
0
m

thì
0.
mR

Vì
*
A M

nên
0.
A mR


Tồn tại
r R

sao cho
0 .
mr A

(

) Giả sử
B
là module con khác 0 của
.
M
Lấy
0
m B

suy ra tồn tại
r R

sao cho
0 .
mr A

Vì
mr B

nên
mr A B


suy ra
0.
A B

Vậy
*
.
A M





23

1.3. Module xạ ảnh, module nội xạ
1.3.1. Module xạ ảnh
Định nghĩa 18. Một R- module P đợc gọi là xạ ảnh nếu mọi đồng
cấu
: .
f P M


Và mọi toàn cấu :
g M M


các R- module đều tồn tại đồng
cấu
:
h P M

sao cho
gh f
=
hay biểu đồ sau giao hoán:



Ví dụ:
Với K là một trờng, K- không gian vectơ V là một module xạ ảnh.
Thật vậy, giả sử K- không gian vectơ V có cơ sở là
1
{ , , }
n
e e

, K- không gian
vectơ V là một module tự do. Xét toàn cấu :
g M M


và đồng cấu
:
f V M


với
,
M M

là hai K- không gian vectơ. Ta có :

f V M




( )
i i
e f e



Vì
g
là toàn cấu nên với mỗi ( )
i
f e M



luôn tồn tại
i
x M

để
( ) ( )
i i
g x f e
=

Xét ánh xạ
:
h V M



i i
e x



Với mỗi phần tử
x V

có biểu diễn duy nhất
1
n
i i
i
x a e

=


, với
,1
i
a K i n

suy ra
1 1 1
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
n n n
i i i i i i
i i i
g h x g h a e a g h e a g x
= = =
= = =


=
1
( ) ( )
n
i i
i
a f e f x
=
=



Vậy
gh f
=
hay biểu đồ sau giao hoán:

Do đó K- không gian vectơ V là module xạ ảnh.
Nhận xét:
(i) Một R- module P đợc gọi là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mọi toàn cấu R- module
:
g M M


, ánh xạ cảm sinh
( , ) ( , )
A A
Hom P M Hom P M


là toàn cấu.

h gh


M

M


0



V

h


f




g
M

M


0



P


h


f

g

24

(ii) R- module tự do là module xạ ảnh.
(iii) Mỗi module là ảnh toàn cấu của một module xạ ảnh.
Định lí 4. Nếu
i
I
P P
=
thì
P
là module xạ ảnh khi và chỉ khi
i
P
là module xạ
ảnh, với mọi
.
i I


Chứng minh.
( )

Giả sử
P
là module xạ ảnh và
:
A B

là một toàn cấu,
:
i
P B


là một đồng cấu tùy ý. Gọi :
i i
P P


là phép chiếu tự nhiên ta có
: .
i
P B


Do
P
là module xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu
:
k P A

sao cho
biểu đồ sau giao hoán:
P


i

k
P
i




A


B

0

Hay
.
i
k

=
Gọi :
i i
P P
à

là phép nhúng chính tắc ta có
i
h k

à
=
là đồng cấu
từ
i
P
tới
.
A
Hơn nữa ta có
.
i i i
h k
à à
= = =
Do đó
i
P
là module xạ ảnh.
( )

Xét biểu đồ giao hoán: P
i

i
à


h
i

P






A


B

0
Trong đó

là toàn cấu,

là đồng cấu,
i
à
là phép nhúng chính tắc còn
i
h
là
đồng cấu có đợc vì
i
P
là module xạ ảnh,

.
i i
h
à
=
Ta có thể giả sử
i
P P
=
là
tổng trực tiếp ngoài.
Khi đó ta có một đồng cấu :
i
h P P A
=


( ) ( )
i i i
x h x



Với mọi
( )
i
x x P
=
ta có
( ) ( ( )) ( ) ( )

i i i i i i i
h x h x h x x
à
= = =



( ( )) ( ).
i i i
x x
à
= =






25

Vậy
h

=
hay
i
P P
=
là module xạ ảnh.
Định lí 5. Cho R- module P. Khi đó các điều kiện sau tơng đơng:

(a) P là module xạ ảnh;
(b) Mỗi toàn cấu
:
B P


là chẻ ra.
Chứng minh.
( ) ( ).
a b

Xét biểu đồ:



trong đó
P
là module xạ ảnh. Theo định nghĩa tồn tại đồng cấu
:
P B


sao
cho
1 .
P

=
Khi đó

là toàn cấu chẻ ra.
( ) ( ).
b a

Ta có tồn tại một module tự do
F
và toàn cấu
: .
f F P

Khi đó toàn
cấu
f
là chẻ ra. Theo Mệnh đề 4,
P
đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của
.
F
Vì
F
là module xạ ảnh nên theo Định lí 4, ta có
P
là module xạ ảnh.
Định lí 6 (Bổ đề về cơ sở đối ngẫu). Các phát biểu sau là tơng đơng:
(a) R- module P là xạ ảnh;
(b) Đối với mỗi tập hợp
{ | }
i
y i I

các phần tử của P trên R tồn tại một họ
(
|
i
i I


), trong đó
*
( , )
i R
P Hom P R

=

sao cho
p P

thì:
(i)
( ) 0
i
P


chỉ với một số hữu hạn
i I

.
(ii)

( )
i i
I
P y P

=

.
(c) Tồn tại tập hợp
{ | };
i i
y i I y P

và họ (
*
| );
i i
i I P


sao cho có (i)
và (ii).
Chứng minh. (a)

(b). Giả sử P là R- module xạ ảnh. Khi đó ta có một module
tự do F với cơ sở là
{ | }
i
x i I

và toàn cấu f:
F P

sao cho
( )
i i
f x y
=
. Do P là
xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu
:
h P F

sao cho biểu đồ sau giao hoán:








B

P

0


P

1
P










F

P

0


P


h

1
P




f


26

Xét ánh xạ đồng cấu
:
i
F R




;
i i j
j I
x r r




(ta đặt

0
j
r
=
nếu trong tổng
i
i
x r

hạng tử với chỉ số j vắng mặt).
Khi đó với phần tử
a
=
i
i
x r

của f ta có
( ) 0
j
a


chỉ với một số hữu hạn
j I


và ta có
( )
i i

a x a

=

. Lấy
;
i i
h i I

=
; Ta có
*
i
P


và với
:
p P


( ) ( ) 0
i i
P h P

=
chỉ với một số hữu hạn
i I

. Hơn nữa ta có:

( ) ( ( ( ))) ( ) ( ) ( )
i i i i i i
P fh P f x h P f x h P y P

= = = =


Vậy ta có (i) và (ii).
(b)

(c). Hiển nhiên.
(c)

(a). Do (ii) nên tập hợp
{ | }
i
y i I

là một hệ sinh của P. Khi đó ta có toàn
cấu f:
F P

, trong đó F là module tự do. Xét tơng ứng k:
P F



( )
ii
P x P

Do (i) có
( ) 0
i
P

=
hầu hết trừ một số hữu hạn
i I

và
( )
i
P

đợc xác định duy
nhất nên k là một ánh xạ và là một đồng cấu module. Do đó ta có:
( ) ( ( )) ( )
i i i i
fk P f x P y P P

= = =



Nghĩa là
1

P
fk
=
. Theo Mệnh đề 4, f là toàn cấu chẻ ra và theo Định lí 5 ta có P
là xạ ảnh.
1.3.2. Module nội xạ
Định nghĩa 19. Mỗi R- module I đợc gọi là module nội xạ nếu với mọi đồng
cấu :
f M I


và mọi đơn cấu :
g M M


các R- module luôn tồn tại một
đồng cấu
:
h M I

sao cho
hg f
=
hay biểu đồ sau giao hoán:



Nhận xét:
(i) Một R- module là nội xạ nếu và chỉ nếu mọi đơn cấu
:

g M M


ánh xạ
cảm sinh
: ( , ) ( , )
R R
Hom M I Hom M I



là toàn cấu.

h hg



0


M




M

I


f

h


g




27

(ii) Từ định nghĩa ta có nếu I là một R- module nội xạ và
M M


là các R-
module thì mọi đồng cấu R- module từ
M

đến I đều mở rộng đợc thành một
đồng cấu R- module từ M đến I.
Ví dụ:
Mỗi không gian vectơ V trên một trờng K là một K- module nội xạ vì mỗi ánh
xạ tuyến tính từ không gian vectơ con của W đến V đều có thể mở rộng ra toàn
không gian W.
Định lí 7. Nếu

i
I
Q Q
=
thì
Q
là module nội xạ khi và chỉ khi
i
Q
là nội xạ với
.
i I


Chứng minh. Chứng minh tơng tự Định lí 4.
Định lí 8. Cho R- module
.
Q
Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng:
(a)
Q
là R- module nội xạ
(b) Mỗi đơn cấu
:
Q B


là chẻ ra.
Chứng minh. (

) Do
Q
là module nội xạ nên tồn tại đồng cấu
:
B Q


sao
cho biểu đồ sau giao hoán:


hay
Q
id

=
. Do đó

là chẻ ra.
(

) Ta xét biểu đồ các đồng cấu module sau:



Với
g
là đơn cấu. Gọi
K
là module con của

Q B

gồm tất cả các cặp có dạng
( ( ); ( ))
f a g a a A

. Đặt
( )
N Q B K
=
. Khi đó
:
B N


và
:
Q N


là
các đồng cấu và hình vuông sau giao hoán:





0

A

B



Q

g


f



0



Q



B



Q

Q
id



A





B



Q

g

f

N