Giáo trình sức bền vật liệu - Chương 6 pot

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

47
Chơng 6.
Uốn phẳng

I. Khái niệm về uốn phẳng
Mặt phẳng chứa các lực v
mômen đợc gọi l mặt phẳng
tải trọng (hình 6.1).
Đờng tải trọng l giao
tuyến giữa mặt phẳng tải trọng
v MCN của thanh.
Mặt phẳng quán tính chính
trung tâm tạo nên bởi trục của
thanh v một trục quán tính
chính trung tâm của MCN.
Một thanh chủ yếu chịu
uốn gọi l dầm. Trục của dầm
sau khi bị uốn cong vẫn nằm
trong một mặt phẳng quán tính
chính trung tâm thì sự uốn đó đợc gọi l uốn phẳng.
Uốn phẳng chia ra lm hai loại: uốn thuần tuý v uốn ngang phẳng.

Uốn thuần tuý phẳng
: Trên MCN của dầm chỉ có một thnh phần
mômen uốn M
x
(M
y
)

nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Uốn ngang phẳng: Trên MCN của nó có hai thnh phần nội lực l lực
cắt Q
y
v mômen uốn M
x
(hoặc Q
x
v M
y
).
II. dầm chịu uốn phẳng thuần tuý
1.
ứ
ng suất trên MCN của dầm chịu uốn thuần tuý
b) Thí nghiệm

Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có MCN hình
chữ nhật trớc v sau khi biến dạng (hình 6.2).







Hình 6.2

Hình 6.1
Trớc khi biến dạng
Sau khi biến dạng
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

48
Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý

một số giả thiết:


Giả thiết về MCN phẳng
: MCN của thanh trớc v sau biến dạng
vẫn phẳng v vuông góc với trục của thanh.


Giả thiết về các thớ
dọc
: trong suốt quá trình

biến dạng các thớ dọc luôn
song song với nhau v song
song với trục thanh.
Thớ không bị dãn, không
bị co gọi l thớ trung ho. Các
thớ trung ho tạo thnh mặt
trung ho (lớp trung ho).
Giao tuyến của mặt trung ho
với MCN gọi l đờng trung
ho.
b) ứng suất trên MCN
Xét một MCN no đó v chọn hệ trục toạ độ nh hình 6.1 với trục Ox
l trục đờng trung ho.
Trên MCN chỉ có ứng suất
pháp, không có ứng suất
tiếp vì ứng suất tiếp lm
MCN sẽ bị vênh đi góc sẽ
không còn vuông nữa.
Theo định luật Húc:

zz
E=
(a)

Thớ trung ho không
bị biến dạng:
12 12
OO z OO .= =

Xét một thớ mn (hình 6.4): Trớc khi biến dạng ta có:

mn z= =
.
Sau khi biến dạng, ta có:


+

=
)y(mn


Độ dãn di tỷ đối của thớ mn bằng:
z
(y) y

+

==


(b)

Thay (b) vo (a), ta đợc:
z
y
E=

(c)
Tại một MCN bán kính

có trị số xác định, E l một hằng số. Vậy quy
luật phân bố ứng suất pháp trên MCN l phẳng nh trên hình 6.5a. Giao
tuyến của mặt phẳng ứng suất với MCN chính l trục trung ho (đờng trung
Hình 6.4
z
y
Hình 6.
3

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

49
ho). Rõ rng ứng suất pháp trên các đờng thẳng song song với trục trung
ho có trị số nh nhau. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp nh
trên hình 6.5b.









Hình 6.5
Ta có quan hệ giữa mômen uốn M
x
v ứng suất pháp
z
:

= = =


2
xz x
FF
EE
MydFydFJ

x
x
M1
EJ
=

(6.1)
So sánh (c) v (6.2) ta suy ra công thức ứng suất pháp trên MCN:

x
z
x
M
y
J
=
(6.2)
2. Vị trí trục trung ho
Uốn phẳng thuần tuý trên mọi MCN thnh phần lực dọc N
z

= 0. Ta có:

= =

zz
F
NdF0

z
F
E
NydF0
=
=


(6.3)
Đẳng thức trên đợc thoả mãn, khi:
=
=

x
F
ydF S 0
(6.4)
trong đó
x
S
l mômen tĩnh của MCN đối với trục trung ho.
Vậy trục trung ho l một trục trung tâm.

3. ứ
ng suất kéo v nén lớn nhất

z
có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm mép trên hay mép dới.
Nếu trục trung ho l đối xứng, ví dụ MCN l hình chữ nhật, hình tròn, chữ I,

kn
zz
max max
=
. Tổng quát ta viết:
x
z
max
x
M
W
=
;
x
x
max
J
W
y
=
(6.5)
MCN m đờng trung ho không chia đều chiều cao (hình 6.6)
kn

zmax zmax

. Kí hiệu khoảng cách từ điểm xa nhất tới trục trung ho l
kn
max max
y(y)
ứng suất kéo (nén) lớn nhất:
= =
xx
k
zmax
kk
xmax x
MM
Jy W
(6.6)
y
_

+
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

50

= =
xx
n
zmin
nn
xmax x

MM
Jy W
(6.7)
trong đó, đại lợng:
()
3
x
x
max
J
Wm
y
=
l mômen
chống uốn của MCN đối với trục trung ho.
Ví dụ, MCN hình chữ nhật

32
x
x
J2bhbh
W
h2 12h 6
== =
,
Hình tròn:
3
3
x
x

J
d
W0,1d
d/2 32

==
;
Hình vnh khăn:
() ()
3
434
x
D
W10,1D1
32

=
;
d
D

=

Điều kiện dầm có độ bền đều:
kn
z max z max
=

Nếu dầm lm bằng vật liệu dẻo thì MCN phải đối xứng qua đờng trung
ho, nếu dầm lm bằng vật liệu giòn thì MCN phải thoả mãn điều kiện:

[]
[]
k
k
max
n
n
max
y
y

=


Biểu thức trên cho thấy: cùng MCN có diện tích F, nếu môđun chống
uốn lớn thì cng tiết kiệm vật liệu ngời ta đa vo tỷ số không thứ
nguyên
x
3
W
F
=
, đợc gọi l mômen chống uốn riêng của mặt cắt.
cng lớn thì mức độ tiết kiệm vật liệu cng tốt. MCN hợp lý khi dầm
chịu uốn l tính chất lm tiết kiệm nguyên vật liệu. Việc chế tạo các thép cán
định hình có MCN hình chữ I, hình chữ C dựa trên tính chất hợp lý ny.
4. Điều kiện bền
Dầm lm từ vật liệu dẻo vì
n

ch
k
ch
=
theo (6.5), ta có:

[]
x
z
max
x
M
W
=
(6.13)

Dầm lm từ vật liệu giòn, vì
kn
ch ch




phải viết 2 điều kiện bền:

[]
k
x
zmax
k

k
x
M
W
=
(6.14);
[]
n
n
x
zmin z
n
max n
x
M
W

= =
(6.15)
Tìm vị trí MCN có ứng suất pháp lớn nhất. Nếu dầm có MCN không
thay đổi v vật liệu của dầm l dẻo thì lấy ở MCN có mômen uốn lớn nhất.
Trờng hợp dầm có MCN thay đổi ta phải lấy MCN có ứng suất pháp lớn
nhất. Trờng hợp dầm lm bằng vật liệu giòn ta phải tìm MCN thoả mãn các
biểu thức (6.14), (6.15) (kéo - nén).

Hình 6.6
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

51
III. Uốn ngang phẳng

Uốn ngang phẳng, trên MCN của thanh có ứng suất pháp do
mômen uốn v ứng suất tiếp do lực ngang gây ra. Hình 6.7 mô tả hiện
tợng uốn ngang (trục bị uốn cong), lm cho các MCN ban đầu không
còn phẳng nữa sau khi bị uốn ngang.

Hình 6.7
1. ứ
ng suất pháp
Trong uốn phẳng, lực cắt ứng suất tiếp. Các ứng suất tiếp phân bố theo
chiều cao mặt cắt không đều. Do ảnh hởng đó, các biến dạng góc cũng có
trị số thay đổi theo chiều cao của MCN lm cho mặt cắt sau khi bị uốn không
còn phẳng nữa m hơi bị vênh theo chữ S (hình 6.8).
Nếu lực cắt bằng hằng số thì MCN đều vênh nh nhau
sự vênh không ảnh hởng đến độ dãn hoặc độ co
công thức tính ứng suất pháp (6.2) vẫn còn đúng
trong trờng hợp uốn ngang phẳng:
x
z
x
M
y
J
=
.
2. ứ
ng suất tiếp

ứng suất tiếp trên MCN:
zx

v
zy
(hình 6.9a). Theo định luật đối ứng
ứng suất tiếp (mặt ngoi dầm không chịu ngoại lực theo phơng z)
zx

=0, có nghĩa tại điểm xét có =
zy
. Từ lý thuyết đn hồi giả thiết:
Tất cả các ứng suất tiếp trên MCN đều // với lực cắt.
ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng của MCN.
Tách từ dầm một đoạn có chiều di dz (hình 6.9), sau đó bằng mặt cắt
ABCD song song v cách mặt phẳng Oxz một khoảng y chia đoạn thanh
ny thnh hai phần v xét phần không chứa gốc O (ABCDEFGH).
Hình 6.8
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

52

Gọi
12

z
z
va
l ứng suất pháp trên các mặt cắt 11 v 22, b(y) = AB v
c
F
l diện tích của mặt cắt ABEF, b
c

chiều rộng của phần diện tích đó tại
điểm cách trục trung ho y. Có thể thấy:

+
= =
12
xzx
zz
xx
MMdM
y; y
JJ
(a)
Xét sự cân bằng phân tố phần dới, ta có:

12
cc
zz z yzc
FF
FdFdFb.dz0= + =


.
(b)
Thay (a) vo (b) v chú ý rằng
=
x
y
dM
Q

dz
, ta có:

==

c
y
zy yz
c
x
F
Q.y
dF
Jb

.
= =

c
c
yyx
zy
cc
xx
F
QQS
ydF
J
bJb
(6.16)

trong đó
()
c
x
Sy
l mômen tĩnh của diện tích F
c
đối với trục trung ho x.Với
mặt cắt l dải chữ nhật hẹp:

c
c
x
FS =
(6.17)
- toạ độ trọng tâm phần tiết diện bị cắt đối với trục trung ho.
Công thức (6.16) đợc gọi l công thức Juravxky (1855). Công thức
ny cho thấy: trị số ứng suất tiếp ứng với "lớp thớ dọc" bất kì cách trục
trung ho x một khoảng y, tỉ lệ thuận với lực cắt Q
y
v mômen tĩnh S
x
(y)
của phần MCN giới hạn bởi "lớp thớ" đó, nhng tỉ lệ nghịch với mômen
quán tính J
x
của MCN v chiều rộng b(y) của "lớp thớ" đợc xét.

x
y
Q
y


zy


zx


tp

a)
b)
c)
Hình 6.9
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

53
3.
ứ
ng suất tiếp của một số mặt cắt đơn giản
a) MCN hình chữ nhật (hình 6.10): Ta có:

23
c2 c
xx
bh bh

S y ;J ;b b
24 12

= = =




2
y
zy
3Q
4y
1
2bh h

=



Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN (hình 6.10):

max

tại các điểm trên trục trung ho:
yy
max
3Q 3Q
2bh 2F
= =

(6.18)

b) MCN hình tròn
()
4
32
c22c22
xx
R2
J ;b2Ry;S Ry
43


===



()
y
22
zy
4
4Q
Ry
3R
=



Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN cho trên hình 6.11:

yy
max
2
4Q Q
4
3R 3F
= =

(6.19)
c) MCN chữ I (thép cán)
:
2
yx
zy
x
QS dy/2
J.d





=


yx
max
zy
x

QS
J.d
=

(
c
xx
y
SSd.y.
2
=
với S
x
l mômen tĩnh một nửa chữ I)

Tại điểm A:
2
yx
1
x
dh
QS t
22
J.d

=
.

Tại điểm ở đế:
2
yx
2
x
dh
QS t
22
J.b












=


Do d<b nên

1
>

2
nên khi kiểm tra bền chỉ chú ý đến
max
zy

v

1
.
Hình 6.1
0

Hình 6.11
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

54
4. Điều kiện bền
Đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, việc tìm vị trí điểm nguy hiểm v
viết điều kiện bền có phức tạp hơn. Dựa vo biểu đồ phân bố ứng suất pháp
v tiếp, dọc theo chiều cao ta thấy trên hình 6.13.

Hình 6.13
ở các điểm ngoi mép xa trục trung ho nhất - điểm A (C):
Điều kiện đối với vật dẻo:
[]
x

z
x
M
max
W

=
(6.20)
Vật liệu giòn:
[]
k
x
z
k
k
x
M
max
W
=
;
[]
n
x
z
n
n
x
M
max

W

=
(6.21)
Điểm trên trục trung ho - điểm O (hình 6.13):
[
]
max
max


(6.22)
Những điểm có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp - điểm B đa về ứng
suất tơng đơng
tđ
. Vậy điều kiện đợc viết l: max
tđ
[] (6.23)
Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, ứng suất tính toán tơng
đơng tại điểm B, có dạng:
22
td(B) z(B) zy(B)
4=+
(6.24)
5. Chọn kích thớc MCN, xác định tải trọng cho phép
Khi chọn kích thớc của MCN hoặc xác định tải trọng cho phép, đầu
tiên ta xuất phát từ điều kiện cơ bản (6.20), (6.21). Sau đó, nếu cần thiết ta
mới kiểm tra điều kiện bền về trợt v điều kiện bền khi có cả ứng suất pháp

z

v ứng suất tiếp (ví dụ, mặt cắt chữ I). Tại chỗ tiếp giáp giữa lòng v đế
ứng suất
z
v đều khá lớn v ngời ta cũng chỉ quan tâm khi trên mặt cắt
đó giá trị mômen uốn, lực cắt đều rất lớn.
6. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 6.1: Một dầm bằng vật liệu có ứng suất pháp cho phép khi kéo
[
]
2
k
3,5kN / cm=
v nén
[
]
2
n
11kN / cm=
, chịu lực nh trên hình 6.14a.
Kiểm tra độ bền của dầm.
Bi giải: Trình tự các bớc thực hiện
- Vẽ biểu đồ mômen uốn, cho trị số maxM
x
= 4,5kN.m
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

55

Hình 6.14
- Tìm các đặc trng cần thiết của MCN (hình 6.14c), ta đợc các trị số:

4
x
J 370cm=
;
kn
max max
y
2, 67cm;
y
7,33cm==

- Tính các giá trị
kn
zz
max ; max
:
[] []
kk 2 nn 2
xx
zA max zB max
kn

xx
MM
max y 3,25kN / cm ; max y 8,92kN / cm
JJ
== = == =

Vậy dầm đủ bền.
Ví dụ 6.2: Cho dầm chịu lực nh trên
hình 6.15. Chọn đờng kính của dầm cho
hai trờng hợp: dầm có MCN không đổi,
dầm có ba bậc nh hình 6.15. Biết l=80 cm,
P=5kN,
[
]
2
16kN / cm=
,
[
]
2
8kN / cm=
.
Bi giải
- Dầm có MCN không đổi. Theo điều
kiện bền cơ bản (6.13), ta có:

[
]
3
xmax

0,1d M /

trong đó:
2
xmax
M5.80/410kN.cm==


()
2
3
d 10 / 0,1.16 4cm=

- Dầm ba bậc (hình 6.16). Trị số d
1
, d
2

đợc xác định theo công thức (6.20).
Đối với đoạn giữa:
2
x
max M 10 kNcm=

Đối với đoạn hai đầu:
x
M 30.P / 2 30.5 / 2 75kNcm===

Từ điều kiện bền cơ bản (6.13), ta có:
2

33
11 22
10 75
0,1d d 4cm; 0,1.d d 3,6cm
16 16
= =

Với kích thớc đã chọn dầm lm việc đủ
bền.
16
Hình 6.15
+
+
Hình 6.16
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

56
IV. Chuyển vị của dầm chịu uốn
Khi dầm chịu uốn
phẳng trục của dầm
bị uốn cong gọi l đờng
đn hồi (hình 6.17).
Chuyển vị đứng
của MCN tại K gọi l độ
võng y(z) của dầm.
Góc lập bởi tiếp tuyến với đờng đn hồi tại điểm K v trục của dầm
trớc khi biến dạng gọi l góc xoay (z).
1. Phơng trình vi phân gần đúng của đờng đn hồi
Từ (6.1) ta có bán
kính cong của đờng

đn hồi đợc xác định
bởi công thức:

x
x
M1
EJ
=

(a)
Mặt khác ta có:

()
3/2
2
1y
1y

=


+
(b)
Từ (a) v (b) suy ra:
()
x
x
M
yz
EJ

=
(6.28)
Dấu - do mô men uốn ( 0
2


y do biến dạng l vô cùng bé) v độ lồi
(lõm) của dầm l trái dấu nhau (hình 6.18).
2. Tính độ võng, góc xoay bằng phơng pháp tích phân không
định hạn
Muốn tính góc xoay v độ võng tại mặt cắt bất kỳ của dầm, ta lần lợt
tích phân phơng trình (6.28) hai lần:

() ()
x
1
x
M
yz z dz C
EJ

= = +

(6.29)

()
x
12
x

M
y z dz dz C z C
EJ

= + +



(6.30)
Các hằng số tích phân C
1
v C
2
xác định từ các điều kiện biên tại các
mặt cắt đặt liên kết v điều kiện liên tục của độ võng v góc xoay tại vị trí
tiếp giáp giữa các đoạn dầm.
Hình 6.1
7
Hình 6.
1
8

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

57
Ví dụ 6.3: Xét dầm công-xôn chịu
mômen uốn M
0
tại đầu tự do (hình 6.19),
biết độ cứng của dầm EJ

x
= const. Tính độ
võng v góc xoay tại điểm A.
Bi giải: Xét mặt cắt 1-1, ta có: M
x
= M
0

Thay vo (6.28) v tích phân lần lợt hai
lần ta đợc:

0
x
M
y
EJ

=
;
0
1
x
M
yzC
EJ

= +
;
2
0

12
x
M
y.zCzC
EJ
=
++

Điều kiện biên:
()
()

=


===


=



2
00
12
xx
y0
MM
z: C ; C
EJ 2EJ

y0
l
ll
l
l

Vậy độ võng, góc xoay tại A l:
()
2
0
x
M
y
2EJ
=
l
l
;
()

= =
0
A
x
M
y
EJ
l
l

Dấu - chứng tỏ điểm A chuyển vị lên trên, ngợc chiều dơng của trục y.
Góc xoay tại A quay ngợc chiều kim đồng hồ.
Ví dụ 6.4: Cũng với dầm nh trên nhng chịu lực tập trung P (hình 6.20).
Tính độ võng, góc xoay tại A?
Bi giải: Tại mặt cắt 1-1, ta có:
M
x
= -P.z
(dấu - do M
x
lm căng thớ trên)
Thay vo (6.28), ta có:
x
P.z
y
EJ

=

Tích phân liên tiếp 2 lần:
2
1
x
P.z
yC
2EJ

=+
;
3

12
x
P.z
yCzC
6EJ
=++

Điều kiện biên:
()
()

=


=

=


=



= + =


2
1
x
33 3

2
xxx
P
C
y0
2EJ
z:
y0
PPP
C
6EJ 2EJ 3EJ
l
l
l
l
lll

Vậy độ võng tại A l:
()
3
2
x
P
y0 C
3EJ
==
l

Góc xoay tại A l:
() ()

2
1
x
P
0y0C
2EJ

= ==
l

y
A
> 0 chứng tỏ điểm A chuyển vị xuống dới. Còn
A
< 0 chứng tỏ góc
xoay tại A quay cung chiều kim đồng hồ.
Hình 6.19
Hình 6.2
0

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

58
3. Phơng pháp hm gián đoạn
Phơng pháp hm gián đoạn cho phép biểu diễn mômen uốn thnh biểu
thức duy nhất trên ton chiều di của dầm, v chỉ có 2 hằng số tích phân xác
định từ điều kiện biên
việc tính toán độ võng góc xoay tại mặt cắt bất kỳ
trên ton dầm đợc đơn giản hoá rất nhiều
có thể áp dụng tin học hoá.

Hm gián đoạn đợc định nghĩa nh sau:

()
n
n
xa khixa
xa
0khixa



=

<


với x R, n N, n 0, a = const R.
Có nghĩa l hm gián đoạn chỉ có giá trị khác 0 khi đối số l không âm.
Khi đó các dấu ngoặc nhọn có thể coi nh dấu ngoặc tròn thông thờng. Còn
khi đối số âm thì hm gián đoạn bằng 0.
Từ định nghĩa hm gián đoạn ta có tính chất sau:

nn1
d
xa n.xa
dx

=
;
n1

n
xa
xadx C
n1
+


=+
+


Sử dụng hm gián đoạn ta có thể biểu diễn mômen uốn của dầm đối với
các loại tải trọng khác nhau:
a) Mô men tập trung
0
x0
MM.za=

Dấu - vì mô men uốn lm căng
thớ trên.
b) Lực tập trung
1
x
MP.za=

c) Lực phân bố đều đến hết chiều
di dầm:
2
x
q. z a

M
2

=

d) Lực phân bố đều trên một đoạn
của dầm
22
x
q. z a q. z b
M
22

=

áp dụng nguyên lý cộng tác tác dụng ta sẽ viết đợc biểu thức mômen
uốn cho dầm với tác dụng đồng thời của nhiều tải trọng khác nhau. Thay biểu
thức của M
x
vo (6.28) vo tích phân lần lợt hai lần giống nh phơng pháp
tích phân không định hạn ta sẽ thu đợc độ võng, góc xoay tại mặt cắt bất kỳ.
Hai hằng số tích phân đợc xác định từ các điều kiện liên kết của dầm.
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

59
Ví dụ 6.5: Từ hình (6.19) ta có (chọn gốc toạ độ tại A):
0
x0
MM.z0=

0
0
x
M.z 0
y
EJ


=
;
1
0
1
x
M.z 0
yC
EJ


= +
;
2
0
12
x
M.z 0
yCzC
2EJ

=

++

Điều kiện biên:
()
()
22 2
0000
12
xxxx
y0
MMMM
z: C ; C
EJ 2EJ EJ 2EJ
y0

=


====


=



l
llll
l
l

Vậy độ võng, góc xoay tại A l:
()
2
0
A
x
M
yy0
2EJ
==
l
;
()
0
A
x
M
y0
EJ

= =
l

Kết quả giống nh phơng pháp tích phân không định hạn.
Ví dụ 6.6: Từ hình 6.20:
1
x
MP.z0
=

(chọn gốc toạ độ tại A)

1
x
P. z 0
y
EJ


=
;
2
1
x
P. z 0
yC
2EJ


=+
;
3
12
x
P. z 0
yCzC
6EJ

=
++

Điều kiện biên:
(
)
()
2333
12
xxxx
y0
PPPP
z: C ; C
2EJ 6EJ 2EJ 3EJ
y0

=


= = = + =


=



l
llll
l
l

Vậy độ võng, góc xoay tại A l:

()
3
A
x
P
yy0
3EJ
==
l
;
()
2
A
x
P
y0
2EJ

= =
l

Kết quả giống nh phơng pháp tích phân không định hạn.
Ví dụ 6.7: Tính độ võng, góc xoay
tại điểm giữa của dầm.
Từ hình 6.21, ta có:
12
x
q.a q
Mz0z0
22

=

12
x
q.a q
EJ.y z0 z0
22

= +

23
x1
q.a q
EJ .y z 0 z 0 C
46

= + +

34
x12
q.a q
EJ.y z0 z0 C.zC
12 24
= + + +

Điều kiện biên:
()
()
3
1

2
qa
z0:y0 0
C
24
za:ya 0
C0


==
=



==



=


Vậy độ võng v góc xoay tai C:
4
C
x
a5qa
yy
2 384EJ

==

;
C
a
y0
2


= =



Hình 6.21
EJ = const
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

60
4. Phơng pháp tải trọng giả tạo (phơng pháp đồ toán)
Liờn h vi phõn gia ni lc v ngoi lc nh sau:

2
y
x
2
dQ (z)
dM(z)
q
(z)
dz dz

==

Cũn i vi phng trỡnh ng n hi, ta cú phng trỡnh vi phõn:

22
xx
22
xx
MM
dy dy dy
dz EJ dz dz EJ

= = =

Ta cú s tng ng nhau, do vy nu to ra mt ti trng gi to
x
gt
x
M
q
EJ
=
, bng phng phỏp mt ct xỏc nh c Q
gt
v M
gt
trờn dm
gi to. Giỏ tr ú chớnh l vừng v gúc xoay trờn dm thc tng ng.
iu kin liờn kt ca dm gi to v dm thc phi cú mi tng quan
sao cho giỏ tr Q

gt
v M
gt
trờn dm gi to phi ỳng bng giỏ tr vừng v
gúc xoay trờn dm thc tng ng (bng 6.1).
Bng 6.1

Trỡnh t gii bi toỏn bng phng phỏp ti trng gi to :
- V biu mụmen un M
x
cho trờn dm thc.
- V dm gi to vi cỏc liờn kt phự hp vi iu kin vừng, gúc
xoay tng ng trờn dm thc
Ch−¬ng 6. Uèn ph¼ng thanh th¼ng

61
- Đặt biểu đồ M
x
lên dầm giả tạo, nhưng chú ý là tung độ bằng M
x
/EJ
x
,
chiều mũi tên của tải trọng giả tạo hướng về phía thớ căng của dầm
thực (do đó thoả mãn
x
gt
x
M
q

EJ
=−
)
- Xác định Q
gt
và M
gt
⇒ độ võng và góc xoay của dầm thực.
⇒ Ðể tiện lợi trong quá trình tính toán sau này, chúng ta xác định trước
diện tích và hoành độ trọng tâm của một số biểu đồ (bảng 6.2).
Bảng 6.2
Hình Diện tích z
c



F =
2
f.
3
l


F =
2
f.
3
l

F =
f.
n
l
+1


1
2
l


3
8
l



n2
l
+

Ví dụ 6.8: Xác định độ võng
và góc xoay tại đầu B của dầm
chịu lực như hình 6.23.
Giải
Biểu đồ momen uốn M phân
bố bậc nhất như 6.23.
Chọn dầm giả tạo thích ứng.

Tải trọng giả tạo có chiều
hướng lên. Ta có:
2
BB gt
PP
yQ.
EJ 2 2EJ
′
=ϕ = = =
ll l

3
Bgt
P2P
yM
EJ 2 2 2EJ
== =
ll l
l


Hình 6.22
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

62
5. Điều kiện cứng của dầm chịu uốn phẳng
Khi chế tạo các bộ phận của công trình (cầu, dầm chịu lực của các to
nh, )
cần kiểm tra xem biến dạng lớn nhất của kết cấu không đợc
vợt quá giá trị cho phép đợc quy định bởi yêu cầu của thiết kế.

Biến dạng lớn nhất đó l:

[]
max
y
f
l
;
[]
max



l

trong đó y
max
;
max
l độ võng v góc xoay lớn nhất của dầm; l l chiều di
của dầm. [f] l giá trị cho phép của độ võng trên một đơn vị di. [
] l giá trị
cho phép của góc xoay trên một đơn vị di.
V. BI TON SIấU TNH
Cng nh trong cỏc bi toỏn v kộo, nộn v xon, õy ta cng gp
nhng bi toỏn siờu tnh v un
cn
phi thit lp thờm phng trỡnh bin
dng
Vớ d, cho dm chu lc nh hỡnh

6.23. Siờu tnh bc 1.

Da vo iu kin vừng ti B
ca dm bng 0 lp phng trỡnh
bin dng:
y
B
= 0
é vừng B do phn lc R
B
v do
ti trng phõn b q.
Da vo phng phỏp toỏn ta
chn dm gi to v ti trng phõn b
gi to nh hỡnh 6.23. Mụmen gi to
ti B do ti trng q
gt
gõy nờn l :

Tr s ca mụmen gi to ú
chớnh l vừng ti B. Vi iu kin
vừng bng khụng ta cú phng
trỡnh:
3
4
B
R
q
0
8EJ 3EJ

=
l
l



Khi ó cú R
B
ta d dng v c biu ni lc ca dm
H ỡnh 6.23