Bài tập động học Véc-tơ từ bất biến Véc-tơ tâm sai pot

Bài tập động học Véc-tơ từ bất
biến Véc-tơ tâm sai (hay còn gọi
là Véc-tơ Runge-Lenz)
Đề bài:
Vận dụng tính bất biến của để tìm Mômen động lượng của một sao chổi nhỏ
quanh mặt trời. Vì sao chổi nhỏ và không phản xạ nhiều ánh sáng, các nhà
thiên văn không thể quan sát sao chổi liên tục mà chỉ thấy nó ở các vị trí tương
đối với mặt trời tại 3 thời điểm khác nhau: , và . Biết khối lượng mặt
trời là M, khối lượng sao chổi là m và hằng số hấp dẫn là G.
Véc-tơ Zcònđược gọi làVéc-tơ tâm sai, xemtrong bài viết sauđể biết thêm
chi tiết:
Bài nàykhá là phức tạp vàđòi hỏi bạn phải cókiến thức vàkhả năng biến đổi Véc-
tơ rất tốt.
Như đã biết,vớichuyểnđộngtrong trườnghap dẫn,cái hằng số k trong biểu thức
của Z sẽ là k = GMm; mômen động lượng sẽ là hằngsố, tức véc-tơ 2
lần diện tích quét là hằngsố. (Bạncó thể không cần hiểu tại saomình
lại gọi là véc-tơ diện tích quét, chỉ cầnbiết đó là một véc-tơ bấtbiếncó giá trị bằng
tích hữu hướng của vận tốccủa sao chổi với véc-tơ khoảngcách giữa mặt trờivà
nó)
Từ biểuthức của thì ta có thể lầnngược lại biểu thức cho tích hữu hước của véc-
tơ diện tích quét vàvận tốc tứcthời của saochổi:
=>
=>
=>
là véc-tơ đơn vị của
là véc-tơ đơn vị của
là véc-tơ đơn vị phụ
Chú ý là 3véc-tơ này luôn vuông góc với nhau
Cũng nhớ công thức sau đây:
Giờ giả sử ta muốn tìmvận tốc tại vị trí ở giữa, tức ,thì việc đầu tiên,ta khai
triểntronghệ toạ độ affin với 2 véc-tơ cơ sở là và .

Chú ý cũngtheotính chất củavéc-tơ tâmsai, ta cũng cóbiểu thức đúng chomọi vị
trí của saochổi:
=>
Nhâncả 2 vế của biểu thức với thì ta được:
Mẹo của bài này là ở chỗ sau đây: Giờ ta không biểu diễn các véc-tơ liên hệ với
nhau thông quahệ affinnữa, mà biểu diễn dưới dạngvéc-tơ vớivéc-tơ; thế thì:
Viết lại biểu thức dưới dạng đẹp mắt hơn -toàn véc-tơ vớinhau:
=>
Vì cho nên kếtquả cuối cùng là:
Mạch vuông vô hạn
Bài toán đặt ra: Tìm điện trở tương đương giữa 2 điểm khác nhau trên
mạch vuông vô hạn (mỗi đoạn thẳng tương ứng với điện trở giá trị R)? Đây là
một bài toán Vật Lý vô cùng nổi tiếng về điểm trở mà bài giải tổng quát của
nó chưa từng xuất hiện trên bất cứ tài liệu Vật Lý của Việt Nam từ trước tới
nay. Câu lạc bộ Vật Lý và Tuổi trẻ xin đem tới các bạn lời giải chi tiết của bài
toán này.