Copy (2) of 5.Chuong 4 doc

Sức bền vật liệu
chơng 4
xoắn thanh tròn
Mục đích : Trình bày khái niệm về thanh tròn chịu xoắn và cách tính
toán sức bền cho thanh tròn chịu xoắn ấy
Yêu cầu : Nắm đợc khái niệm về thanh tròn chịu xoắn, bài toán siêu tĩnh
khi xoắn và giải thành thạo 3 bài toán sức bền về thanh tròn chịu xoắn
4.1. Khái niệm chung
4.1.1.Định nghĩa :
Một thanh cân bằng dới tác dụng của các ngoại lực là các ngẫu lực nằm
trong các mặt cắt của thanh thì thanh ấy gọi là thanh chịu xoắn .
Ta chỉ nghiên cứu dạng mặt cắt đơn giản nhất là mặt cắt tròn .
m m

Hình 4.1. Thanh tròn chịu xoắn
Ví dụ thực tế:
m
Hình 4.2. Thanh tròn chịu xoắn trong thực tế
4.1.2.Mô men xoắn nội lực :
Xét một thanh tròn chịu xoắn, ta dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh tại một vị trí
bất kỳ. Xét sự cân bằng của phần bên trái, ta thấy nội lực trên mặt cắt phải thu
gọn thành một mô -men có độ lớn bằng mô- men ngoại lực và ngợc chiều. Đó là
mô- men xoắn nội lực. Mô- men xoắn nội lực ký hiệu là M
z


Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 52
Sức bền vật liệu

m m
m Mz

m


Hình 4.3.Nội lực trong thanh tròn chịu xoắn
Mặt cắt 1-1 chọn tại vị trí bất kỳ vì vậy ta có thể kết luận: Trong thanh
chịu xoắn nh trên ở mọi mặt cắt ngang nội lực chỉ có một thành phần là mô-
men xoắn nội lực M
z

Kết luận: Vậy thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt của thanh
nội lực chỉ có thành phần M
z.
Dấu của M
z
quy ớc nh sau :
m m
Mz
. Mz

M
z
> 0 M
z
< 0
Hình 4.4. Quy ớc về dấu của thanh tròn chịu xoắn
Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều
kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại
Chú ý: Khi giải toán nếu cha biết chắc chiều của M
z
thì cứ giả thiết cho

nó một chiều dơng ( quay ngợc chiều kim đồng hồ ) nếu tính ra đợc giá trị dơng
thì chiều giả thiết đúng và ngợc lại .
- Các mặt cắt khác nhau có mô- men xoắn nội lực khác nhau. Để thấy rõ
sự biến thiên đó ngời ta cũng dùng biểu đồ nh trong ví dụ sau đây .
Ví dụ 1: Tính và vẽ biểu đồ cho thanh chịu xoắn nh hình vẽ.
Biết : m
C
= 1 kNm , m
D
= 3 kNm , m
E
= 2 kNm
Bài giải :
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 53
Sức bền vật liệu
Căn cứ vào điểm đặt của mô-men xoắn ngoại lực chia thanhthành 4 đoạn :
AC , CD , DE và EB
Xét đoạn AC , dùng mặt cắt 1-1 cắt AC tại một vị trí bất kỳ .Giữ lại phần
bên phải xét sự cân bằng của nó ,dễ thấy đoạn này không có mô-men ngoại lực
tác động nên mô-men xoắn nội lực bằng 0.
Xét đoạn CD, dùng mặt cắt 2-2 cắt CD tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân
bằng của phần bên phải : m
Z
= M
Z1
- m
C
= 0
Từ đó : M
Z1

= m
C
= 1 kNm
Xét đoạn DE , dùng mặt cắt 3-3 cắt DE tại một vị trí bất kỳ ,xét sự cân
bằng của phần bên phải : m
Z
= M
Z2
+ m
D
- m
C
= 0
M
Z2
= m
C
- m
D
= - 2 kNm
Đoạn EB tơng tự nh đoạn AC không có mô-men xoắn nội lực .
Biểu đồ đợc trình bày nh hình vẽ .
3 D
E m
E
m
D
2 C
1
B A

1
2
3 m
C
Mz
1
m
D
m
C

1kNm
Mz
2

- 2 kNm
Hình 4.5. Biểu đồ nội lực Mz
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 54
Sức bền vật liệu
Chú ý : ở các đoạn thanh không có mô -men ngoại lực biểu đồ là một
đoạn thẳng trùng với đờng chuẩn .
Tại vị trí đặt mô-men ngoại lực m biểu đồ có bớc nhảy , trị số bớc nhảy
đúng bằng trị số m.
Giá trị dơng của M
Z
đặt ở trên đờng chuẩn , giá trị âm đặt ở dới đờng
chuẩn .
Trong một số bài toán thờng cho các số liệu N , n , lúc đó tính m nh sau
:
. m =

N
; hay : m

= 9,55
n
N

4.1.3. ứng suất xoắn :
a/ Thí nghiệm :
Xét một thanh chịu xoắn nh hình vẽ .Kẻ trên mặt ngoài của thanh những
đờng sinh cách đều và song song với trục biểu thị cho thớ dọc , các đoạn thẳng
vuông góc với trục biểu thị cho các mặt cắt ngang . Tác dụng mô- men xoắn
ngoại lực m vào thanh ta thấy :
Các đờng sinh đều lệch đi một góc nào đó do vậy các ô chữ nhật đều
biến thành các ô hình bình hành .
Các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh vẫn giữ thẳng có bán kính không
đổi về độ dài.
Khoảng cách giữa các đoạn thẳng vuông góc với trục biểu thị cho các mặt
cắt ngang không đổi
Trớc khi biến dạng
Sau khi biến
dạng
m

Hình 4.6. Biến dạng khi xoắn
b/ Các giả thuyết về xoắn :
Coi biến dạng xảy ra bên trong thanh cũng nh biến dạng quan sát đợc ở
bên ngoài, dựa vào các nhận xét trên ngời ta nêu ra ba giả thuyết sau:
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 55

Sức bền vật liệu
1/ Sau khi biến dạng mặt cắt của thanh xoay quanh trục một góc nào đó
nhng vẫn giữ phẳng và vuông góc với trục của thanh .
2/ Khoảng cách giữa hai mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng về xoắn
không thay đổi .
3/ Trớc và sau khi chịu biến dạng xoắn bán kính của mặt cắt vẫn là đoạn
thẳng có chiều dài không đổi .
Từ những giả thuyết trên ta suy ra rằng : Khi chịu xoắn chỉ xẩy ra hiện tợng
xoay của các mặt cắt ngang quanh trục thanh. Do đó tại mọi điểm trên mặt cắt
ngang chỉ phát sinh ứng suất tiếp vuông góc với bán kính đi qua điểm đó .
c/ Thiết lập công thức tính ứng suất tiếp :
Trên một thanh chịu xoắn xét một điểm A tại một mặt cắt bất kỳ cách
ngàm một khoảng là l , cách trục một đoạn . Khi có mô - men xoắn ngoại lực
theo giả thuyết trên , điểm A chuyển dời trên một cung tròn tới vị trí mới A' .
Nh vậy thớ dọc BA đã xoay đi một góc tới vị trí mới BA' . Lúc đó độ trợt tơng
đối đợc tính: =
l
AA
'
.
hay : =
l

Theo định luật Húc về cắt ứng suất tiếp tại A sẽ là :
A
= G. Vậy

A
= G.
l

.
(1 )
Lấy một diện tích vô cùng nhỏ dF bao quanh điểm A, nội lực trên đó sẽ là
(
A
.dF ) và mô-men do nội lực đó gây ra là : (
A
.dF ) . =
A
. . dF
A
B
l


Hình 4.7. ứng suất trong thanh tròn chịu xoắn

Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 56
Sức bền vật liệu
Tổng hợp mô - men nội lực trên toàn bộ diện tích F của mặt cắt chính
là mô- men xoắn nội lực trên toàn bộ mặt cắt ngang đó
Từ ngoài nhìn vào mặt cắt nếu mô- men xoắn ngoại lực quay cùng chiều
kim đồng hồ thì mô- men xoắn nội lực dơng và ngợc lại
M
Z
=

F
A

dF



M
Z
=

F
dF
l
G
2




M
Z
= G .
l

.

dF.
2


Ngời ta gọi đại lợng =

dF.
2

là mô- men quán tính độc cực của mặt
cắt đối với tâm O và ký hiệu J
O
.Nghĩa là : J
O
=

dF.
2

Vậy :
M
Z
= G
l

. J
O
Hay :
l

=
O
Z
JG
M
.

(2 )
Thay (2 ) vào (1 ) ta có :

A
=

O
z
J
M
(3 ).
Đối với mỗi mặt cắt ngang ta có :
O
z
J
M
. không đổi , vậy :
ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang (
A
) tỉ lệ với bán kính . Khi
= R thì đạt giá trị lớn nhất :

max
=

R
J
M
O
Z

.

Ngời ta đặt
O
O
W
R
J
=
.
Vậy :
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 57
Sức bền vật liệu

max
=
O
Z
W
M

Rõ ràng
max
tỉ lệ nghịch với W
O
. Nên W
O
càng lớn thì
max
càng nhỏ . Vì

vậy W
O
đợc gọi là mô -đun chống xoắn của mặt cắt ngang .
Với mặt cắt tròn đặc có đờng kính là D thì : J
O
0,1 D
4

W
O
0,2 D
3


ma x


min
Hình 4.8. Sự phân bố của ứng suất xoắn trên mặt cắt ngang
4.1.4.Góc xoắn :
Theo công thức (2 ) ta có :

O
Z
JG
M
l .
=

Vậy :



=
O
Z
JG
lM
.
.
( Rađian)
Đổi ra độ ta có :
.

=

0
180
.
O
Z
JG
lM
.
.
( độ )

.
.

Để so sánh góc xoắn của thanh có chiều dài khác nhau ngời ta dùng khái niệm
góc xoắn tơng đối . Ký hiệu .Ta có :


=
l

=
0
.JG
M
Z
( Rađian / m )
Đổi ra độ ta có :
.
=

0
180

0
.JG
M
Z
( độ/m )
.
.
Trong đó G.J
O
tỉ lệ nghịch với và đợc gọi là độ cứng khi xoắn . GJ

O
phụ
thuộc vào từng loại vật liệu .
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 58
Sức bền vật liệu
Chú ý : Xét sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang ta thấy mặt cắt
ngang chịu ứng suất không hợp lý , ở tâm ứng suất bằng 0 ,càng ra ngoài chu vi
ứng suất càng lớn .Vì vậy ở những kết cấu quan trọng ngời ta làm các thanh
chịu xoắn có mặt cắt hình vành khăn .Tỉ số D/d càng cao càng tốt .Tuy nhiên
không thể chọn quá gần 1 vì lúc đó ống rất mỏng .Vì vậy tuỳ theo điều kiện
thực tế phải chọn d, D cho hợp lý .
4.2.tính thanh tròn chịu xoắn
Khi tính toán thanh tròn chịu xoắn thờng ta phải tính cả hai điều kiện sau
đây :
4.2.1.Điều kiện bền :
Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện bền khi ứng suất tiếp lớn nhất trên
mặt cắt nguy hiểm không vợt quá ứng suất cho phép .

max
=
O
Z
W
M
[ ]
Trong đó [ ] là ứng suất tiếp cho phép của vật liệu , có thể xác định theo
công thức kinh nghiệm sau đây :
[ ] = ( 0,5 ữ 0,6 ) [ ]
Thực tế với thép [ ]

( 2 ữ 13 ) kN/ cm
2

Từ điều kiện bền ta cũng có ba bài toán cơ bản khi tính thanh chịu xoắn
4.2.2.Điều kiện cứng :
Thanh chịu xoắn đảm bảo điều kiện cứng khi góc xoắn tơng đối lớn nhất
của thanh không vợt quá góc xoắn tơng đối cho phép .

[ ]



=
O
Z
O
JG
M
.
.
180

.
.
Từ điều kiện cứng ta cũng có ba bài toán cơ bản .
Tính thanh chịu xoắn phải tính theo cả hai điều kiện trên .Kết quả lấy theo
hớng thoả mãn cả hai điều kiện đó
Ví dụ :
Trục truyền rỗng AB có đờng kính không đổi d
1

= 10 cm , d
2
= 5 cm chịu
tác dụng của mô-men xoắn m
C
= 1kNm , m
D
= 3 kNm , m
E
= 1kNm , m
F

=1kNm . Hày :
- Vẽ biểu đồ mô-men xoắn nội lực .
- Tính ứng suất
max
và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm .
- Tính góc xoắn của từng đoạn thanh và của toàn trục ,biết G = 8.10
3
kN/cm
2
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 59
Sức bền vật liệu
Bài giải :
a/ Biểu đồ mô-men xoắn nội lực :
Bằng phơng pháp vẽ nhanh ta xác định đợc biểu đồ mô-men xoắn nội lực nh
hình vẽ. Trên biểu đồ này ta thấy các mặt cắt ngang trên đoạn thanh DE có mô-
men xoắn nội lực là lớn nhất : M
max
z

= 2kNm = 200 kNcm
b/ Tính ứng suất
max
và vẽ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt nguy hiểm :
Ta có :

)43
1
maxã
max
1(.2,0



==
d
M
W
M
z
O
m
z
=
)
10
5
1(10.2,0
200
4

4
3

= 1,07kN/ cm
2
ứng suất
1

ứng với đờng kính d
2
có thể xác định nh sau :
5,0
10
5
1
2
max
1
===
d
d


vậy :
1

= 0,5 .
max
= 0,5 . 1,07 = 0,535 kN / cm
2

c / Tính góc xoắn :
- Đoạn CD :
O
CD
Z
CD
JG
lM
.
.
.
180


=
=
=

4
43
10
5
110.1,0.10.8.14,3
200).100(180
- 0,153 (độ)
- Đoạn DE :
O
DE
Z
DE
JG
lM
.
.
.
180
.


=
=
=

4
43
10
5
1.10.1,0.10.8.14,3
200.200.180
0,306 (độ)
A C D E F B

200cm 200cm 200cm 200cm 200cm
2kNm
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 60
Sức bền vật liệu
1kNm

max

min

d
D
Hình 4.9. Biểu đồ nội lực của thanh tròn , rỗng chịu xoắn
- Đoạn EF :
O
EF
Z
EF
JG
lM
.
.
.
180


=
=

4
43
10
5
1.10.1,0.10.8.14,3
200.100.180
= 0,153 (độ)
Vậy góc xoắn trên toàn bộ thanh là :

=++=
DECDBC

0,306 (độ)
4.2.3. Bài toán siêu tĩnh khi xoắn :
Nhiều khi tính thanh chịu xoắn ta gặp bài toán siêu tĩnh. Nghĩa là khi đó
nếu chỉ dùng các phơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải bài toán
.Lúc đó phải bổ xung thêm phơng trình dựa vào điều kiện biến dạng.
Thí dụ :
Cho một thanh tròn bị ngàm cả hai đầu. Một mô- men ngoại lực m tác dụng vào
thanh tại điểm C. Cho GJ
O
bằng hằng số , hãy vẽ biểu đồ nội lực của thanh !
Bài giải :

A 2a

A C B
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 61
Sức bền vật liệu
M
A
M
B
m
o

2/3 m
0

1/3 m
0
Hình 4.10. Biểu đồ ứng suất của thanh siêu tĩnh khi xoắn
Dới tác dụng của m tại hai đầu ngàm phát sinh hai mô - men M
A
và M
B

quay quanh trục thanh . Ta có :
m
Z
= M
A
+ M
B

- m
0
= 0
Tởng tợng bỏ ngàm A , thanh trở thành tĩnh định .Để tác dụng cơ học
không thay đổi ta phải có
A
= 0 , Vậy :
M
A
. a M
A
- m
0

A
=
AC
+
CB
= + . 2a = 0
GJ
O
GJ
O
Tính ra :
M
A
= 2/3 m
0
M

B
= 1/3 m
0
Ta có biểu đồ nh hình vẽ .

câu hỏi và bài tập chơng 4
Câu hỏi :
1/ Thế nào là thanh chịu xoắn thuần tuý ? Cho ví dụ ?
2/Trong thanh chịu xoắn thuần tuý có các thành phần nội lực gì ? Cách xác định
3/Trình bày quy ớc về chiều của Mô - men xoắn nội lực?
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 62
Sức bền vật liệu
4/ Nêu cách vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực M
z
?
5/ Trình bày các giả thuyết cơ bản khi nghiên cứu về thanh tròn chịu xoắn ?
6/ Giải thích công thức tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trong thanh tròn chịu
xoắn ? Nêu quy luật phân bố của chúng qua biểu đồ ?
7/ Khi tính về xoắn phải tính theo những điều kiện nào? các bài toán suy ra từ
đó ?
8/ Thế nào là các mặt cắt ngang hợp lý của thanh tròn chịu xoắn ? Cho thí dụ
9/ Thế nào là bài toán siêu tĩnh khi xoắn ?
Bài tập
1 .Trục có đờng kính không đổi d = 75 mm chịu tác dụng của các mô - men
xoắn: m
1
= 100 kNcm , m
2
= 60 kNcm , m
3

= m
4
= 20 kNcm. Hãy :
a/ Vẽ biểu đồ mô - men xoắn nội lực của trục ?
b/ Kiểm tra bền cho trục , biết [] = 9kN/ cm
2
c/ Tính góc xoắn của thanh , kiểm tra điều kiện cứng , biết :
[] = 0,4 (độ / m ) , G = 8.10

kN/ cm
2
các kích thớc khác cho nh hình vẽ .
100 cm 150 cm 200 cm
m
4
m
3
m
2
m
1
2. Trục chịu tác dụng của các mô - men xoắn :
m
1
= 4m
0
, m
2
= m
3

= m
4
= m
5
= m
0
-

Hãy xác định và vẽ biểu đồ nội lực của trục ?
- Tính mo, biết :
d = 4 cm, [] = 8 kN/ cm
2
, G = 8.10
3
kN/ cm
2

, [] = 0,85 (độ / m )
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 63
Sức bền vật liệu
3 . Trục thép truyền công suất N = 295 kW và có n = 300 vòng / ph .Tính đờng
kính trục biết : [] = 8 kN/ cm
2

[] = 0,3 (độ / m ) , G = 8.10
3
kN/ cm
2
.
4.Một trục tròn rỗng có d

1
= 7,5 cm, d
2
= 5 cm dài l =100 cm. Khi trục chịu mô-
men xoắn Mz = 350 kN.cm thì góc xoắn phatsinh trên trục là = 1
0
Hãy:
- Xác định ứng suất lớn nhất trên mặt cắt của trục và vẽ biểu đồ phân bố
ứng suất trên mặt cắt.
- Xác định trị số mô-đun đàn hồi G của vật liệu?
5.Trục đặc AB có d= 8 cm, hai đầu ngàm. Tại điểm C cách đầu A một đoạn 50
cm tác dụng một mô-men xoắn m = 750 kNm. Hãy xác định ứng suất lớn nhất
trên trục
50 cm 100 cm
A m C B
Khoa Cơ khí - Trờng ĐH Kinh tế kỹ thuật công nghiệp 64