Đồ họa máy tính - Chương 3 pot

Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

39

Chương III: Một số thuật toán đồ họa cơ bản

I. Vẽ đoạn thẳng

Xét đoạn thẳng y = m.x +b có hệ số góc 0<m<1, ta chọn điểm đầu và điểm cuối sao cho dx
=x2-x1>0. Làm sao để vẽ đoạn thẳng nối (x1,y1) (x2,y2) trong khi ta chỉ có thể ra lệnh cho
màn hình vẽ từng điểm ảnh (kiểư như PutPixel của TP)?

Bản chất của quá trình này là sự rời rạc hóa và nguyên hóa một đối tượng thực (ở đây là
đoạn thẳng thực - đoạn thẳng toán h
ọc) trên màn hình sao cho cuối cùng ta có tập các Pixel
trông “giống” đối tượng nhất.
Bản chất của các thuật toán vẽ đoạn thẳng là đi tìm tập các pixel liền nhau sao cho
trông chúng “giống” với đoạn thẳng thực nhất
Thế nào là giống ?
- Liên tục (không đứt đoạn)
- Gần với đoạn thẳng thực (đoạn thẳng toán học) nhất
Hơn nữa, còn vấn
đề tối ưu tốc độ, nghĩa là thuật toán phải tô các pixel trong thời gian
nhanh nhất
Bài toán: ta phải vẽ đoạn thẳng y = m.x +b có hệ số góc 0<m<1, dx>0 (các trường hợp
khác đều có thể quy về trường hợp này)
Đầu tiên ta nhận xét, với các đoạn thẳng dạng này, nếu (x
i
, y
i
) là điểm ảnh đã vẽ được ở

bước thứ i (điểm màu đen) thì
- chắc chắn x
i+1
= x
i
+1
- y
i+1
=y
i
hoặc y
i+1
=y
i
+1
do đó điểm ảnh ở bước (i+1) tiếp theo chỉ có thể là 1 trong 2 trường hợp như hình vẽ. Vấn
đề quy về việc chọn điểm nào trong hai điểm đó.










x1 x2
y1
y2

Làm sao vẽ
đoạn thẳng nối
2 điểm này
V
1
2
x
i

y
i

x
i+1

(x
i
+1, y
i
)
(x
i
+1, y
i
+1)
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

40
1. Thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng
Việc quyết định chọn y

i+1
là y
i
hay y
i
+1 dựa vào phương trình của đoạn thẳng thực.












Ta sẽ tính tọa độ của điểm y = m (x
i
+1) + b thuộc về đoạn thẳng thực, sau đó chọn điểm
nào gần với nó nhất trong 2 điểm, nghĩa là
y
i+1
= round(y) = round(m.x
i+1
+b)
Như vậy sẽ tốn 1 phép nhân và 1 phép cộng số thực. Để cải thiện tốc độ, người ta dùng cách
sau để khử phép nhân. Nhận xét rằng:
y

i
= m.x
i
+ b
y
i+1
= m.x
i+1
+b ⇒ y
i+1
= y
i
+ m




Ví dụ:
Cho A(12,20) và B(22,27), ta có m=0.7



Begin
x < x
2
?
Yes
No
End
x:=x+1; y:=y+m;

PutPixel(x,round(y));
m:=dy/dx ;
x:=x1; y:=y1;
putpixel(x,round(y));
Lưu đồ thuật toán
DDA

(x
i
+1, y)
y
(x
i
+1, round(y))
(x
i
, y
i
)
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

41


i x
i
y
i
y
0 12 20 20

1 13 21 20.7
2 14 21 21.4
3 15 22 22.1
4 16 23 22.8
5 17 24 23.5
6 18 24 24.2
7 19 25 24.9
8 20 26 25.6
9 21 26 26.3
10 22 27 27

Thuật toán DDA vẽ đoạn thẳng
{ Vẽ đoạn thẳng trong trường hợp 0<m<1, dx >0}
uses crt,graph;
var
gd,gm:integer;
i,x1,y1,x2,y2,x:integer;
y,m:real;
Begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'');
Randomize;
Repeat {vẽ các đoạn thẳng ngẫu nhiên}
x1:=random(GetMaxX);
x2:=x1+random(GetMaxX-x1);
y1:=random(GetMaxY);
y2:=y1+random(x2-x1);
x:=x1; y:=y1;
m:=(y2-y1)/(x2-x1);
putpixel(x,round(y),white);
for i:=x1 to x2 do

begin
x:=x+1;
y:=y+m;
putpixel(x,round(y),white);
end;
delay(1000);
Until Keypressed;
closegraph;
End.




Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

42


2. Thuật toán Bresenham vẽ đoạn thẳng

Trong hình vẽ (x
i
+1,y) là điểm thuộc đoạn thẳng thực, ta có: y = m(x
i
+1) + b. Giả sử ở bước
i ta đã xác định được điểm (x
i
,y
i
).
Đặt
d
1
= y – y
1
;
d
2
= (y
i
+1) - y ;

Việc chọn điểm tiếp theo (x
i+1
, y
i+1
) là S hay P tùy thuộc vào việc d

1
lớn hơn hay nhỏ hơn d
2
,
nói cách khác là phụ thuộc vào dấu của (d
1
– d
2
)
• Nếu d
1
– d
2
<0, ta sẽ chọn S, tức là y
i+1
= y
i

• Trường hợp còn lại: d
1
– d
2
>0, ta sẽ chọn P, tức là y
i+1
= y
i
+1
Đặt
p
i

= dx (d
1
– d
2
).
Thay d
1
= y – y
1
; d
2
= (y
i
+1) – y vào ta có
p
i
= dx (2y - 2y
i
-1)
Thay y = mx
i
+b = dy(x
i
+1)/dx + b vào ta có
p
i
= 2dx [dy(x
i
+1)/dx +b] – 2y
i

dx –dx
= 2x
i
dy – 2y
i
dx +C
với C = 2dy + (2b-1)dx là hằng số.
Ta nhận xét rằng, nếu tại bước thứ i ta xác định được dấu của p
i
thì sẽ xác định được điểm
cần tô ở bước i+1.
Làm sao để tính giá trị của p
i
? ta dùng phương pháp “lũy tiến” như sau.
Ta có:
p
i+1
–p
i
= (2x
i+1
dy – 2y
i+1
dx +C) - (2x
i
dy – 2y
i
dx +C) = 2dy -2dx(y
i+1
– y

i
)
• Nếu p
i
<0 thì điểm được chọn là S, tức là y
i+1
= y
i
⇒ p
i+1
= p
i
+2dy
• Nếu p
i
>0 thì điểm được chọn là P, tức là y
i+1
= y
i
+1 ⇒ p
i+1
= p
i
+2dy -2dx
Cuối cùng, giá trị p
0
được tính từ điểm ảnh đầu tiên (x
0
, y
0

) theo công thức sau
p
0
= 2x
0
dy – 2y
0
dx + c
Thay giá trị của c vào, chú ý rằng điểm đầu (x
0
, y
0
) cũng thuộc đoạn thẳng thực nên y
0
=
mx
0
+ b = x
0
dy/dx + b, suy ra
p
0
= 2dy -dx

tóm lại là:
x
i
+1
S
y

x
i

y
i
+1
y
i

d
1
d
2
(x
i
+1,y)
P
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

43



Ví dụ:

Cho A(12,20) và B(22,27), ta có
dx = 22 – 12 = 10 ; dy = 27 – 20 = 7;
c1 = 2dy = 14 ; c2 = 2(dy-dx) = -6;
p
0

= 2Dy – dx = 4


i x
i
y
i
p
i

0 12 20 4
1 13 21 -2
2 14 21 12
3 15 22 6
4 16 23 0
5 17 24 -6
6 18 24 8
7 19 25 2
8 20 26 -4
9 21 26 10
10 22 27 4


p
0


y
1

y
0


p
1


y
2

p
2



Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

44

Thuật toán Bresenham vẽ đoạn thẳng

{ Vẽ đoạn thẳng trong trường hợp 0<m<1, dx >0}
uses crt,graph;
var
gd,gm:integer;
i,x1,y1,x2,y2,dx,dy,p,c1,c2,x,y:integer;

Begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'');
Randomize;
Repeat
x1:=random(GetMaxX);
x2:=x1+random(GetMaxX-x1);
y1:=random(GetMaxY);
y2:=y1+random(x2-x1);
{vẽ đoạn thẳng (x1,y1) (x2,y2) }
Begin
x < x
2
?
Yes
No
End
x:=x+1;
PutPixel(x,y);
p:=2dy - dx ;
c1=2dy;
c2=2(dy-dx);
x:=x1; y:=y1 ;
putpixel(x,y);
p < 0 ?
Yes
p:=p+c1; p:=p + c2; y:=y+1;
No
Lưu đồ thuật toán
Bresenham

Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

45
dx:=x2-x1;
dy:=y2-y1;
p:=2*dy - dx;
c1:=2*dy;
c2:=2*(dy-dx);
x:=x1;
y:=y1;
putpixel(x,y,white);
for i:=x1 to x2 do
begin
if p<0 then p:=p+c1 else
begin
p:=p+c2; y:=y+1;
end;
x:=x+1;
putpixel(x,y,white);
end;
delay(1000);
Until Keypressed;
closegraph;
End.

3. Thuật toán MidPoint vẽ đoạn thẳng

Thuật toán này thực chất là 1 cách diễn giải khác của thuật toán Bresenham. Ta lựa chọn
y
i+1
là y
i
hay y
i
+1 bằng cách so sánh trung điểm của O của PS với đường thẳng thực
• Nếu O nằm phía dưới đường thẳng, ta chọn P
• Nếu O nằm phía trên, ta chọn S
Phương trình đường thẳng thực: Ax + By + C = 0
với A = y
2
– y
1
; B = x
1
– x
2
; C = x

2
y
1
– x
1
y
2
;
Đặt F(x,y) = Ax + By + C, ta biết rằng
• F(x,y) <0 nếu điểm (x,y) nằm phía trên đường thẳng
• F(x,y) =0 nếu điểm (x,y) thuộc đường thẳng
• F(x,y) >0 nếu điểm (x,y) nằm phía dưới đường thẳng
vì vậy, vấn đề quy về việc xét dấu của p
i
= 2F(O) = 2F(x
i
+1,y
i
+1/2)
• Nếu p
i
<0 tức là O nằm phía trên đường thẳng ⇒ ta chọn S
x
i
+1
S
x
i
y
i

+1
y
i

P
O: điểm giữa
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

46
• Nếu p
i
>0 tức là O nằm phía dưới đường thẳng ⇒ ta chọn P
Làm sao để tính p
i
? tương tự như thuật toán Bresenham, ta cũng dùng phương pháp “lũy
tiến”, dùng giá trị ở bước trước p
i
để tính giá trị ở bước tiếp theo p
i+1
Ta có: p
i+1
– p
i
=2F(x
i+1
+1,y
i+1
+1/2) - 2F(x
i
+1,y

i
+1/2)
= 2[A(x
i+1
+1)+B(y
i+1
+1/2)+C] - 2[A(x
i
+1)+B(y
i
+1/2)+C]
= 2dy – 2dx(y
i+1
– y
i
)
Như vậy
• Nếu p
i
<0 thì ta chọn y
i+1
= y
i
, do đó p
i+1
= p
i
+2dy
• Nếu p
i

>0 thì ta chọn y
i+1
= y
i
+1 , do đó p
i+1
= p
i
+2dy – 2dx
Cuối cùng, giá trị đầu p
0
được tính như sau: nhận xét rằng điểm đầu (x
0
, y
0
) thuộc đoạn
thẳng thực tức là Ax
0
+ By
0
+C = 0
p
0
= 2F(x
0
+1,y
0
+1/2) = 2[A(x
0
+1)+B(y

0
+1/2)+C]
= 2(Ax
0
+ By
0
+C) + 2A +B = 2A+B
= 2dy –dx

II Vẽ đường tròn

Thuật toán MidPoint




Đầu tiên ta nhận xét rằng, do tính đối xứng của đường tròn nên ta chỉ cần vẽ được
cung AB là cung 1/8 đường tròn, sau đó lấy đối xứng qua các trục và các đường phân giác
ta sẽ có cả đường tròn. Chẳng hạn như ở hình vẽ trên nếu xác định được điểm (x,y), lấy đối
xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất ta thu được điểm (y,x), lấy đối xứng
qua trụ
c hoành ta thu được 2 điểm (y,-x) và (x,-y) Nếu ta chia thành 16,32 phần thì
việc xác định tọa độ 15,31 điểm đối xứng còn lại sẽ rất khó. Còn nếu chia thành 4 hay 2
phần thì số điểm lân cận cần phải loại trừ có thể nhiều hơn 2 điểm.



(x,y)
(y,x)
(y, -x)

(x, -y)(-x, -y)
(-y, -x)
(-y, x)
(-x, y)
A
B
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

47













Gọi R là bán kính đường tròn, ta xuất phát từ điểm A (0,R) để vẽ cung AB. Nhìn hình vẽ ta
thấy, nếu (x
i
, y
i
) là điểm ảnh đã vẽ được ở bước thứ i thì điểm ảnh (x
i+1
, y

i+1
) ở bước tiếp
theo chỉ có thể là S hoặc P, tức là
• x
i+1
= x
i
+ 1
• y
i+1
∈ {y
i
, y
i
-1}

Giống như thuật toán vẽ đoạn thẳng, ý tưởng chính để lựa chọn giữa S và P ở đây là căn cứ
vào vị trí tương đối của điểm giữa M của SP với đường tròn. Nếu M nằm bên trong đường
tròn như hình vẽ thì ta sẽ chọn S vì nó gần điểm thực Q hơn so với P. Ngược lại nếu M nằm
ngoài đường tròn thì P sẽ được chọn.

Đặt F(x,y) = x
2
+ y
2
– R
2
, các định lý toán học cho ta biết rằng
• F(x,y) <0 nếu điểm (x,y) nằm trong đường tròn
• F(x,y) =0 nếu điểm (x,y) nằm trên đường tròn

• F(x,y) >0 nếu điểm (x,y) nằm ngoài đường tròn

Đặt p
i
= F(M) = F(x
i
+1,y
i
– ½) ta có
• Nếu p
i
<0 tức là M nằm trong đường tròn, ta sẽ chọn S, tức là y
i+1
= y
i

• Nếu p
i
≥0 ta sẽ chọn P, tức là y
i+1
= y
i
-1
Cách tính giá trị của p
i
cũng tương tự như ở thuật toán vẽ đoạn thẳng. Ta có:

p
i+1
– p

i
= F[x
i+1
+1,y
i+1
– ½] - F[(x
i
+1,y
i
– ½)]
= [(x
i+1
+1)
2
+(y
i+1
– ½)
2
- R
2
] - [(x
i
+1)
2
+(y
i
– ½)
2
- R
2

]
= 2x
i
+3+(y
i+1
2
– y
i
2
) – (y
i+1
- y
i
)
Do đó
• Nếu p
i
<0 ta chọn y
i+1
= y
i
⇒ p
i+1
= p
i
+ 2x
i
+3
• Nếu p
i

≥0 ta chọn y
i+1
= y
i
-1 ⇒ p
i+1
= p
i
+ 2x
i
-2y
i
+5
Cuối cùng ta tính giá trị đầu p
0
ứng với điểm A(0,R)
p
0
=F(x
0
+1,y
0
-1/2) = F(0,R-1/2) = 5/4 -R
y
i

y
i
-1
x

i
+1 x
i
P
S
M: điểm giữa
Q(x
i
+1,y)
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

48

Thuật toán MidPoint vẽ đường tròn
Uses crt,graph;
Var
gd,gm,x,y,R,p,mau:integer;

Procedure PutPixel8(x,y,c:integer);
Begin
putPixel(x,y,c); putPixel(y,x,c); putPixel(y,-x,c); putPixel(x,-y,c);
putPixel(-x,-y,c); putPixel(-y,-x,c); putPixel(-y,x,c); putPixel(-x,y,c);
End;

Begin
gd:=detect; initgraph(gd,gm,'');
SetViewPort(GetMaxX div 2, GetMaxY div 2, GetMaxX,GetMaxY,false);
Randomize;
R :=100 + random(200);
Begin

x < y ?
Yes
No
End
x:=x+1;
PutPixel(x,y);
p:=5/4 -R;
x:=0; y:=R ;
PutPixel8
(
x
,y);
p < 0 ?
Yes
p:=p+2x+3; p:=p+2(x-y); y:=y-1;
No
Lưu đồ thuật toán
MidPoint vẽ
đường tròn
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

49
mau:=random(GetMaxColor); {Vẽ đường tròn MidPoint màu ngẫu nhiên }
x:=0; y:=R;
PutPixel8(x,y,mau);
p:=1-R;
while (x<y) do
begin
if p<0 then p:=p+2*x+3
else

begin
p:=p+2*(x-y)+5;
y:=y-1;
end;
x:=x+1;
PutPixel8(x,y,mau);
end;
readkey;
End.

VTại sao phải so sánh p
i
với 0 trong các thuật toán trên ? bản chất việc so sánh này là gì ?

VTrong thuật toán MidPoint, tại sao phải nhân F() với 2 khi gán cho p
i
trong công thức p
i

= 2. F()

VHãy so sánh thuật toán vẽ đoạn thẳng DDA với 2 thuật toán còn lai về mặt tốc độ thực
hiện ? (Gợi ý: 2 thuật toán kia cải thiện đáng kể số phép tính cần thực hiện, vì sao? )

VVì sao nói thuật toán vẽ đoạn thẳng MidPoint chẳng qua là 1 cách diễn giải khác của
thuật toán Bresenham ?

VTrong thuật toán vẽ đường tròn MidPoint, vì sao không chia đường tròn thành nhiều hơn
hoặc ít hơn 8 phần ?

VTrong chương trình minh họa thuật toán vẽ đường tròn MidPoint, tại sao không để như
lý thuyết là: p
0
:= 5/4 –R mà sửa thành p
0
:= 1- R ?



III Cắt xén (Clipping)

1. Thuật toán Cohen-Sutherland


Bài toán: giả thiết rằng cửa sổ hiển thị là một hình chữ nhật với các cạnh song song với các
trục tọa độ như hình vẽ. Cho một đoạn thẳng bất kỳ, hãy xác định phần nào của nó nằm
trong cửa sổ (tức là được hiển thị), phần nào nằm ngoài (bị che khuất).



Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

50

Cách làm: đầu tiên ta nhận xét rằng một điểm P(x,y) nằm trong cửa sổ (được nhìn thấy) khi
và chỉ khi thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện
x
max
≥ x ≥ x
min

y
max
≥ y ≥ y
min

Ngược lại, nếu một trong 2 điều kiện bị vi phạm thì P nằm ngoài cửa sổ và sẽ không được
hiển thị.
Các đoạn thẳng chỉ có thể thuộc một trong những trường hợp sau:
• Hoàn toàn nằm trong cửa sổ, ví dụ như AB, khi đó cả 2 đầu mút đều nằm bên trong
cửa sổ
• Hoàn toàn nằm ngoài cửa sổ (bị che toàn phần), ví dụ như CD, EF
• Chỉ một phần nằm trong cửa sổ và được hiển thị, ví dụ như KL và IJ

Đầu tiên, thuật toán Cohen – Sutherland dùng 4 đường thẳng chứa cạnh cửa sổ
chia mặt phẳng thành 9 phần. Mỗi điểm A(x,y) thuộc mặt phẳng sẽ được gán mã 4 bit abcd
theo cách sau:
• a=1 ⇔ y > y
max
: A nằm phía trên cửa sổ
• b=1 ⇔ y < y
min
: A nằm phía dưới cửa sổ
• c=1 ⇔ x > x
max
: A nằm phía phải cửa sổ
• d=1 ⇔ x < x
min
: A nằm phía trái cửa sổ
Khi đó, ta nhận xét rằng:
• đoạn thẳng sẽ hoàn toàn nằm trong cửa sổ nếu cả 2 đầu mút đều bằng 0000
• đoạn thẳng sẽ hoàn toàn nằm ngoài cửa sổ nếu kết quả phép AND của 2 đầu mút
khác 0000
Thực vậy, nhận xét đầu là hiển nhiên. Để minh họa cho nhận xét 2, xét đoạn thẳng EF:
E = 1010, F = 0010 ⇒ (E) AND (F) = (1010) and (0010) = 0010 ≠ 0
bit thứ 3 của cả
2 đầu mút E và F đều bằng 1, chứng tỏ chúng đều nằm bên phải cửa sổ, do
đó cả đoạn thẳng dĩ nhiên cũng nằm bên phải cửa sổ và sẽ không được hiển thị.
Vấn đề còn lại là, nếu kết quả phép AND hai đầu mút bằng 0000, khi đó thuật toán sẽ
tìm giao của đoạn thẳng với các biên của cửa sổ và xét từng phần của nó. Ta ký hiệu 4
đường th
ẳng chứa cạnh cửa sổ là:
x
min

x
max
y
min
y
max
1001
0001
0101 0100
0000
1000 1010
0010
0110
J
I
J’
I’
A
B
C
D
E
F
K
L
K’
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

51
• đường 1: y = y

max

• đường 2: y = y
min

• đường 3: x = x
max

• đường 4: x = x
min

Khi đó nhìn vào mã của 2 đầu mút ta sẽ biết ngay đoạn thẳng đó cắt cạnh nào của cửa sổ. Ví
dụ:

Xét đoạn IJ
• Mã của I = 0100, bít thứ 2 =1 nên chắc chắn nó sẽ cắt đường 2
• Mã của J = 0001, bít thứ 4 =1 nên chắc chắn nó sẽ cắt đường 4
Xét đoạn KL
• Mã của L = 0100, bít thứ 3 =1 nên chắc chắn nó sẽ cắt
đường 3

Việc xác định tọa độ giao điểm là rất đơn giản vì ta đã biết rõ 2 đầu mút. Sau khi chia đoạn
thẳng thành các đoạn, ta lặp lại thuật toán với mỗi đoạn chia cho đến khi kết thúc. Ví dụ ta
xét đoạn IJ
• Bước 1: kết quả phép and bằng 0 nhưng 2 đầu mút khác 0: tìm giao điểm với biên I’
• Bước 2: loại đoạn II’
• Bước 3: xét đ
oạn JI’ : tìm giao điểm J’
• Bước 4: loại đoạn JJ’. Kết thúc với đoạn I’J’ được hiển thị


2. Thuật toán Sutherland - Hodgman


Bài toán: ta cần cắt 1 đa giác bất kỳ Y vào trong cửa sổ là một đa giác lồi X.

Cách làm: Ta sẽ duyệt lần lượt các cạnh của X, với mỗi cạnh đó ta lại xét lần lượt cạnh của
Y. Kết quả sau khi xén với cạnh thứ i (của cửa sổ X) sẽ được dùng để xén với cạnh tiếp theo
i+1 của X. Quy tắc là:
x
min
x
max

y
min
y
max
1
2
J
I
J’
I’
3
K
L
K’
4
0001
0100
0010
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

52
• nếu cạnh đang xét của Y đi từ trong cửa sổ ra ngoài (P
i-1
ở trong, P
i
ở ngoài) thì chỉ
giữ lại giao điểm I của P
i-1
P
i

với cạnh đang xét của X.
• nếu cạnh đang xét đi từ ngoài vào trong (tức là P
i-1
ở ngoài, P
i
ở trong): giữ lại giao
điểm I và P
i

• trường hợp cạnh ở ngoài hoàn toàn: loại bỏ
• trường hợp cạnh ở trong hoàn toàn: giữ lại P
i
.



Ví dụ
Đầu tiên ta xét cạnh UV của cửa sổ cắt là tam giác UVT.

Cạnh đang xét (theo chiều vecto) Hướng đi Quyết định giữ lại
AB (xét với UV) Từ ngoài vào trong P,B
BC (xét với VT) Trong ra ngoài Q
CD Ngoài vào trong R,D
DE Hoàn toàn nằm trong E
EK (xét với TU) Trong ra ngoài M
KF Hoàn toàn nằm ngoài Loại hết
FG Ngoài vào trong I,G
GH (xét với UV) Trong ra ngoài J
HA Hoàn toàn nằm ngoài Loại hết

Ta thu được đa giác (theo thứ tự): P,B,Q,R,D,E,M,I,G,J như hình vẽ
Đoạn mã giả (pseudocode) sau minh họa cho thuật toán trên.

t:=1
for i:=1 to n do {Đa giác cửa sổ X có n cạnh}
for j:=1 to m do {Đa giác bị cắt Y có m cạnh }
k:=j+1; {Xét cạnh X
j
X
j+1
của đa giác cửa sổ X}
if k>n then k:=1 ;
if (X
j
ở trong) then
A
B
P
Q
C
R
D
E
K
F
G
J
H
U
V

M
I
T
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

53
begin
if (X
k
ở trong) then Y
t
:= Y
k

else Y
t
:= giao điểm của X
j
X
k
với cạnh i của X
t:=t+1;
end
else
if (X
k
ở trong ) then
begin
Y
t

:= giao điểm;
t:=t+1;
Y
t
:= X
k
;
t:=t+1;
end;

Vấn đề: cho tọa độ 1 điểm, làm sao biết điểm đó ở trong/ngoài đa giác lồi X ?

Bổ đề: nếu điểm đó nằm bên phải 1 cạnh nào đó của đa giác lồi X theo chiều dương thì nó
nằm ngoài X. Nếu nó nằm bên trái tất cả các cạnh thì nó nằm bên trong X

Bổ đề: cho vector AB và điểm P(x,y), P nằm bên trái vector AB (như hình vẽ) nếu và ch
ỉ
nếu (x
2
– x
1
)(y – y
1
) – (y
2
– y
1
)(x – x
1
) >0
Ta công nhận, không chứng minh bổ đề toán này.

Vấn đề: cho tọa độ tập đỉnh của đa giác lồi X dưới dạng 1 danh sách có thứ tự (nghĩa là nếu
biết 1 đỉnh thì ta luôn biết 2 đỉnh kề của nó), làm sao xếp chúng lại “theo chiều dương” ?

Cách làm: Chọn đỉnh có hoành độ nhỏ nhất, ký hiệu là A như hình vẽ. Gọi 2 đỉnh kề nó là
B,C trong đó x
B
< x
C
. Thứ tự theo chiều dương sẽ là BAC. Sau đó ta chỉ việc đi tới đỉnh tiếp
theo C
Thật vậy, ta có thể thấy rõ khi nhìn hình vẽ. Chỉ có 3 trường hợp:
• B,C nằm ở 2 phía của đường thẳng x = x
A

• B,C cùng nằm bên phải đường thẳng đó
• B,C cùng nằm bên trái
chiều dương
bên phải
bên trái
A(x
1
,y
1
)
B(x
2
,y
2
)
P(x,y)
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

54

2. Clipping một đoạn thẳng vào đường tròn















Gọi d là khoảng cách từ tâm O tới đoạn thẳng AB.
• Nếu d > bán kính r ⇒ clip(AB) = ∅
• Nếu d = bán kính r ⇒ clip(AB) = {điểm tiếp xúc}
• Nếu d < bán kính r, ta chia thành 3 trường hợp
o Cả A,B đều nằm trong đường tròn: clip(AB) = AB
o Một trong hai điểm (giả sử là A) nằm ngoài đường tròn. Gọi C là giao của AB
với đường tròn ta có clip(AB) = BC
o Cả 2 cùng nằm ngoài đườ
ng tròn, xét dấu:
 Nếu (x
A
-x
C
) (x

B
-x
C
) <0 thì clip(AB)=CD (trường hợp (c))
 Nếu (x
A
-x
C
) (x
B
-x
C
) >0 thì clip(AB)=∅ (trường hợp (b))


IV. Tô màu vùng khép kín

Cho một vùng khép kín được giới hạn bởi một đường biên đồng màu. Vấn đề đặt ra là tô
màu cho miền trong của vùng đó. Có 2 phương pháp chính: tô theo dòng quét (scan line fill)
và tô dựa theo đường biên (boundary fill).

1. Thuật toán tô màu theo đường biên (Boundary algorithm)

Cách tô này yêu cầu phải biết trước tọa độ một điểm (điểm “gieo”) nằm bên trong
vùng cần tô. Bắt đầu từ điểm đó ta sẽ tô “loang” dần ra các vùng xung quanh bằng việc đọc
màu của các
điểm lân cận để kiểm tra xem chúng đã được tô màu hay chưa. Nếu đã được tô,
B
A
C

B
A
C
B
A
C
B
O
A
d
B
O
A
d
B
A
(b)(a) (c)
C
D
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

55
hoặc màu của điểm lân cận là màu của biên thì dừng lại và xét điểm khác, nếu không thì tô
điểm lân cận đó.
Có vài phương pháp khác nhau để xác định lân cận như: loại 4 điểm, loại 8 điểm

Procedure BFill ( x,y,c,B:integer)
{(x,y) điểm đang xét, c: màu tô, B: màu đường biên }
Var
t: integer;

Begin
t:=GetPixel(x,y);
if (t <>B) and (t<>c) then
{
putpixel(x,y,c);
BFill(x-1,y,c,B);
BFill(x+1,y,c,B);
BFill(x,y-1,c,B);
BFill(x,y+1,c,B);
}
Cách làm như trên có nhược điểm là khi gọi đệ quy cho 4 điểm lân cận không xét tới việc
chúng đ
ã được kiểm tra ở các bước trước hay chưa. Cần có cải tiến để không xét lại những
điểm đã được kiểm tra rồi.

2. Thuật toán tô màu dựa theo dòng quét (Scan-line algorithm)

Giả sử dùng cần tô là một đa giác N đỉnh {P
i
=(x
i
,y
i
)} i=1 N
Ta sử dụng 1 dòng quét song song với trục Ox đi từ đỉnh trên cùng (Ymax) đến đỉnh
dưới cùng (Ymin) của vùng cần tô. Với mỗi giá trị y = y
i
, dòng quét cắt các đường biên của
vùng cần tô tạo thành các đoạn thẳng. Ta tô màu các điểm nằm giữa hai đầu mút của các
đoạn thẳng đó.

Lân cận 4 điểm Lân cận 8 điểm
Đồ họa máy tính - Khoa CNTT - ĐHSPHN

56

Các bước:
- Xác định Ymax, Ymin của đa giác cần tô
- Với mỗi dòng quét y = y
i
(Ymin ≤ y
i
≤ Ymax), xác định hoành độ giao điểm với các
cạnh của đa giác
- Sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần thành các cặp (x
0
, x
1
)
- Tô các đoạn (x
0
, x
1
), (x
2
, x
3
), (x
4

, x
5
)
Tuy nhiên, có một ngoại lệ là khi dòng quét đi qua đỉnh P của đa giác. Khi đó ta phải chia
thành 2 trường hợp:
- Nếu 2 cạnh kề của P có hướng ngược nhau, một cạnh đi lên một cạnh đi xuống thì
trong danh sách giao điểm ta sẽ tính là 2 giao điểm có tọa độ trùng nhau ở đỉnh P.
Nghĩa là x
i
= x
i+1
= x
P

- Nếu 2 cạnh kề của P cùng hướng nhau, cả hai cùng đi lên hoặc đi xuống thì P chỉ
được tính là 1 giao điểm.







1
2,3
4
1
23
Ymax
Ymin