Báo cáo nghiên cứu khoa học: " CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC" docx

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
1
CÁC TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ TỪ THAM SỐ
ĐẾN NGHIỆM CHO BÀI TOÁN ELLIPTIC
SOME PROPERTIES OF MAPPING FROM COEFFICIENTS
TO SOLUTIONS FOR ELLIPTIC PROBLEMS

Trần Nhân Tâm Quyền
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Xét bài toán Cauchy cho phương trình elliptic
với điều kiện
biên thuần nhất. Một số tính chất tốt của ánh xạ
từ tham số đến nghiệm được thể hiện như
là tính liên tục Lipschitz, sự khả vi vô hạn lần, các công thức xác định và cận của ánh xạ đạo
hàm. Sự khả vi liên tục đến cấp hai của ánh xạ
đã được trình bày trong [2] khi và
được mở rộng lên
trong [3]. Tuy nhiên chúng ta không thấy bất cứ kết quả nào về sự
khả vi vô hạn lần của
cũng như công thức cho .
ABSTRACT
In considering the Cauchy problem for elliptic equation
with
a homogeneous boundary condition, some fine properties of mapping from coefficients to
solutions
are performed as Lipschitz continuity, infinite differentiability, defined formulas and
bounds of derivative mapping. The twice continuous differentiability of
was shown in [2] for
and extended for in [3]. However, we have not seen any result of the infinite

differentiability of
nor a formula for .
1. Đặt vấn đề
Trong các bài toán elliptic ngược chúng ta cần phải xác định hệ số từ
một nghiệm
của phương trình. Phương pháp tiêu chuẩn để xác định là phương pháp
bình phương tối thiểu, nghĩa là tìm như nghiệm cực tiểu của phiến hàm
trên tập chấp nhận được , với là ánh xạ từ tham
số đến nghiệm. Như vậy việc nghiên cứu các tính chất tốt của
như tính liên tục
Lipschitz, sự khả vi là cần thiết.
2. Ánh xạ từ tham số đến nghiệm
Cho
là một vector với các thành phần nguyên không âm, ký hiệu
. là tập hợp tất cả các hàm khả vi liên tục đến cấp trên
và có giá compact trong , và .
Một hàm , với là một miền bị chặn trong , được gọi là đạo
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
2
hàm suy rộng trong của một hàm nếu

với mọi . Rõ ràng đạo hàm suy rộng của hàm nếu có là duy nhất, và
hàm thường được ký hiệu là .
Ta ký hiệu , , là tập hợp của tất cả các hàm có đạo
hàm suy rộng . Tập hợp là một không gian vector với các phép
toán thông thường. Hơn nữa, là một không gian Hilbert với tích vô hướng

Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên là
.
Ngoài ra, ta định nghĩa với bao đóng được lấy theo chuẩn của

.
Bây giờ xét bài toán Cauchy cho phương trình elipptic:

Trong đó là một miền bị chặn trong có biên liên tục Lipschitz,
và .
Ta gọi
là một nghiệm của hệ elliptic này nếu:
.
Với mỗi và , đặt

Như vậy, là một nghiệm của hệ elliptic trên nếu u là nghiệm của
phương trình biến phân:

(1)
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
3
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ được suy ra từ Định lý biểu diễn
Riesz với giả thiết thông thường: tồn tại các hằng số dương và sao cho
hầu khắp nơi (h.k.n.) trong . Do đó chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ
từ tham số đến nghiệm bởi điều kiện rằng là nghiệm của
phương trình biến phân (1), ở đây
Chúng ta chú ý rằng là một dạng song tuyến tính theo hai biến và
. Tuy nhiên hàm này phi tuyến theo biến . Ngoài ra, chúng ta có thể thấy rằng tồn
tại các hằng số dương và sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn
với mọi và , (2)
với mọi và . (3)
Hơn nữa, đánh giá tiêu chuẩn sau cho nghiêm
, với mỗi , của bài
toán biến phân elliptic thỏa mãn

. (4)
Ngoài ra, từ định nghĩa, chúng ta có các đẳng thức sau: với mọi và
,

3. Các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm
Định lý 1. Ánh xạ F liên tục Lipschitz và
(5)
với mọi
Chứng minh. Theo định nghĩa,


Do đó, ,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
4

Chọn , ta được:

và đó là điều phải chứng minh

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán đạo hàm các cấp của ánh xạ F từ tham số đến
nghiệm. Chọn a là một điểm trong của A. Với
có chuẩn đủ nhỏ thì
và do đó là xác định. Theo định nghĩa, , ta
có

Suy ra,

hay ,
(6)
Xét dạng tam tuyến được định bởi

Ta có:

(7)
Bổ đề sau đây được suy ra từ định lý biểu diễn Riesz và chúng ta bỏ qua phép
chứng minh ở đây.
Bổ đề 2. Cho
là một dạng tuyến tính liên tục trên . Khi đó, với
mỗi , tồn tại duy nhất một nghiệm của phương trình biến phân
.
Hơn nữa,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
5

Công thức (6) gợi ý cho ta kết quả sau:
Tính chất 3. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi tại a và
, là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân

(8)
Hơn nữa,
(9)
Chứng minh. Với , theo Bổ đề 2, hoàn toàn được xác
định từ (8). Hơn nữa, theo (7),
(10)
Từ (6) và (8) chúng ta được

Do đó,

Chọn ta suy ra

Như vậy, theo (10),

Thay ta có bất đẳng thức

(11)
Điều này chứng tỏ rằng Ngoài ra, theo (10) và (4) ta có bất đẳng thức (9).
Khẳng định đã được chứng minh
Bây giờ chúng ta sẽ tính đạo hàm cấp hai của ánh xạ F. Muốn vậy, chúng ta lấy
a là một điểm trong của tập A và chọn , trong đó h có chuẩn đủ nhỏ, và xét
Từ công thức (8) ta có
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
6

Do đó, với mọi
Công thức (12) giúp chúng ta đi đến kết quả sau:
Tính chất 4. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, hàm F khả vi cấp hai tại a và
là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân, với
mọi ,

Hơn nữa,
(14)
Chứng minh. Với và ta có và
là các dạng tuyến tính liên tục trên nên theo Bổ đề 2, hoàn
toàn được xác định từ (13). Đặt Ta có




(15)
Từ (12) và (13), với có chuẩn đủ nhỏ và mọi , ta có

Thực hiện các phép biến đổi chúng ta suy ra được, với có chuẩn đủ nhỏ và
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009
7
mọi ,

Chọn , ta suy ra

Theo (11) chúng ta có:
(16)
Sự kết hợp giữa (15) và (16) kéo theo được

Bây giờ lấy >0 bất kỳ, chọn sao cho khi thì .
Như vậy, mọi >0, tồn tại sao cho khi thì:

Điều này có nghĩa là Phần còn lại của Định lý được suy từ bất đẳng
thức (15) 
Kết quả sau đây có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.
Định lý 5. Với mỗi a thuộc phần trong của tập A, ánh xạ F từ tham số đến nghiệm khả
vi mọi cấp tại a và đạo hàm cấp k của F,
,
là nghiệm duy nhất của phương trình biến phân


Hơn nữa,
.
Ở đây, là dạng tam tuyến được xác định bởi


TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 3(32).2009

8
4. Kết luận
Chúng ta đã nghiên cứu các tính chất của ánh xạ từ tham số đến nghiệm. Như
vậy phiến hàm là khả vi trên phần trong của tập chấp nhận được
. Do đó chúng ta hy vọng rằng có thể sử dụng phương pháp gradient liên hợp hoặc
phương pháp phần tử hữu hạn để giải số cho nghiệm , và đây là một vấn đề mà chúng
tôi đang nghiên cứu.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV
spaces, SIAM, 2006, 634 p.
[2] F. Colonius and K. Kunisch, “Stability for parameter estimation in two point
boundary value problems”, Journal Fur Mathematik, 370, Band, 1986, 1 – 29.
[3] F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”,
Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63.
[4] L C. Evans and R F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions,
CRC Press, 1992, 268 p.
[5] M S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse
problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of
Solids, 12, 2007, 259 – 276.
[6] O A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics,
Springer – Verlag, 1984, 322 p.