Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5 doc

84 Chương 2. Quá trình dừng
Các hệ số h
i
được xác định truy hồi như sau
h
0
=1
h
1
= β
1
+ α
1
=0, 7
h
2
= β
2
+ α
1
h
1
+ α
2
=(0,7)(0, 7) −(0, 1)=0,39
h
j
=0, 7h
j−1
− 0, 1h
j−2

j =2,3,
Ví dụ 2.9. Xét dãy ARMA(1, 1) (X
n
) như sau
X
n
= αX
n−1
+ W
n
+ βW
n−1
(2.7)
trong đó |α| < 1, |β| < 1.
Ta có
Φ(z)=1−αz, Φ(B)=1− αB
1
Φz
=
1
1 − αz
=
∞

i=0
α
i
z
i
.

Vậy
H(z)=(1+βz)(
∞

i=0
α
i
z
i
)
=
∞

i=0
α
i
+ β
∞

i=0
α
i
z
i+1
=
∞

i=0
α
i

+ β
∞

i=1
α
i−1
z
i
=1+
∞

i=1
(α
i
+ βα
i−1
)z
i
=1+(α + β)
∞

i=1
α
i−1
z
i
.
Thành thử
X
n

= H(B)W
n
= W
n
+(α + β)
∞

i=1
α
i−1
W
n−i
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 85
Tiếp theo dựa vào biểu diễn trung bình trượt này ta hãy tìm hàm tự tương
quan của (X
n
). Nhân hai vế của (2.7) với X
n−h
ta được
X
n
X
n−h
− αX
n−1
X
n−h
= W
n
X

n−h
+ βW
n−1
X
n−h
.
Lấy kỳ vọng hai vế ta được
K(h) − αK(h − 1) = EW
n
X
n−h
+ βEW
n−1
X
n−h
.
Với h =1chú ý rằng EW
k
X
m
=0nếu k>mvà EW
k
X
k
= σ
2
ta được
K(1) − αK(0) = βσ
2
.

Cho h =0ta được
K(0) − αK(1) = σ
2
+ β(α + β )σ
2
= σ
2
(1 + αβ + β
2
).
Với h ≥ 2 thì EW
n
X
n−h
=0,EW
n−1
X
n−h
=0do đó
K(h) − αK(h − 1)=0.
Từ đó với h ≥ 2
K(h)=α
h−1
K(1).
Từ hệ
K(1) − αK(0) = βσ
2
K(0) − αK(1) = σ
2
+ β(α + β )σ

2
dễ dàng tìm được
K(1) = σ
2

α + β +
(α + β)
2
α
1 − α
2

K(0) = σ
2

1+
(α + β)
2
1 − α
2

và
K(h)=α
h−1
K(1) nếu h ≥ 2.
86 Chương 2. Quá trình dừng
2.1.3 Độ đo phổ và mật độ phổ
Trong tiết này chúng ta sẽ trình bày một đặc trưng quan trọng của dãy dừng:
Đó là khái niệm độ đo phổ.
Định lý 2.11. Giả sử K(h) là hàm tự tương quan của dãy dừng (X

n
). Khi
đó tồn tại và duy nhất một độ đo hữu hạn µ trên [−π,π] sao cho K(h) có
biểu diễn tích phân sau
K(h)=

π
−π
e
ihx
dµ(x).
Độ đo µ được gọi là độ đo phổ của dãy dừng X
n
.
Chứng minh. Do K(n) là hàm xác định không âm nên với z
j
= e
−ixj
ta có
n

j=1
n

k=1
K(j − k)e
−ix(j−k)
=
n−1


m=−(n−1)
K(m)e
−ixm
(n −|m|) , ∀x.
Đặt
f
n
(x)=
1
2π
n−1

m=−(n−1)
K(m)e
−ixm

1 −
|m|
n

.
Ta có f
n
(x) ≥ 0 , ∀x và

π
−π
f
n
(x)dx = K(0)

(vì

π
−π
e
−imx
dx =0nếu m =0). Gọi µ
n
là độ đo trên [−π,π] với hàm mật
độ f
n
(x).Họđộđo{µ
n
} là compact yếu nên ta trích ra được một dãy con
{µ
n
k
} hội tụ yếu tới độ đo hữu hạn µ. Ta chứng tỏ µ là độ đo cần tìm. Thật
vậy với mỗi m cố định ta có

π
−π
e
imx
dµ
n
k
(x)=

π

−π
e
imx
f
n
k
(x)dx =
= K(m )

1 −
|m|
n
k

, với n
k
≥|m|.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 87
Cho n
k
→∞ta được

π
−π
e
imx
dµ(x)=K(m) .
Độ đo µ là duy nhất. Thật vậy giả sử µ và ν là hai độ đo thoả mãn
K(n)=


π
−π
e
inx
dµ(x)=

π
−π
e
inx
dν(x) .
Vì mọi hàm liên tục g( x) hoàn toàn có thể xấp xỉ đều bằng các đa thức
lượng giác
n

k=1
c
k
e
ikx
, do đó ta suy ra

π
−π
g(x)dµ(x)=

π
−π
g(x)dν(x) , với mọi hàm liên tục g(x) .
Vậy ta có µ = ν .

Chú ý. Nếu X
n
nhận giá trị thực thì K(h) nhận giá trị thực. Khi đó ta
có
K(h)=

π
−π
cos hxdµ(x) .
Nếu độ đo µ tuyệt đối liên tục dµ = f(x)dx thì mật độ f(x) của µ được gọi
là mật độ phổ của X
n
. Trong trường hợp này ta nói X
n
có phổ liên tục. Như
vậy ta có:
Định nghĩa 2.6. Hàm f(x) được gọi là mật độ phổ của dãy dừng (X
n
) với
hàm tự tương quan K(h) nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [−π,π] và
K(h)=

π
−π
e
ihx
f(x)dx.
Định lý sau đây cho biết khi nào một hàm là hàm mật độ phổ của một
dãy dừng.
Định lý 2.12. Hàm f(x) không âm xác định trên đoạn [−π,π] là hàm mật

độ phổ của một dãy dừng khi và chỉ khi
88 Chương 2. Quá trình dừng
1. f(x) là hàm chẵn: f(x)=f(−x) ∀x ∈ [−π,π]
2.

π
−π
f(x)dx < ∞.
Chứng minh. Điều kiện cần chúng ta đã chứng minh. Bây giờ ta giả thiết
hàm f(x) có các tính chất vừa nêu. Đặt
K(h)=

π
−π
e
ihx
f(x)dx.
Đổi biến u = −x ta được
K(−h)=

π
−π
e
−ihx
f(x)dx
=

π
−π
e

ihu
f(−u)du
=

π
−π
e
ihu
f(u)du
= K(h).
Vậy K(h) là hàm chẵn. Hơn nữa nếu a
1
, , a
n
là các số phức tuỳ ý thì
n

r,s=1
a
r
¯a
s
K(r −s)=

π
−π
n

r,s=1
a

r
¯a
s
e
ix(r−s)
f(x)dx
=

π
−π





n

r=1
a
r
e
ixr





2
f(x)dx
≥ 0.

Do đó K(h) xác định không âm . Vậy theo định lý tồn tại dãy dừng (X
n
)
nhận K(h) là hàm tự tương quan do đó nhận f(x) là hàm mật độ phổ.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để dãy (X
n
) có phổ liên tục.
Định lý 2.13. Nếu
∞

h=−∞
|K(h)| < ∞
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 89
thì (X
n
) có phổ liên tục và mật độ phổ của nó được cho bởi công thức sau
f(x)=
1
2π
∞

h=−∞
e
−ihx
K(h). (2.8)
Chứng minh. Đầu tiên nhận xét rằng chuỗi (2.8) hội tụ tuyệt đối do đó hàm
f(x) được xác định đúng đắn. Với mỗi số m nguyên dương ta đặt
f
m
(x)=

1
2πm
E


X
k
e
−ikx


2
=
1
2πm
E

m

r,s=1
X
r
X
s
e
−irx
e
isx

=

1
2πm

|h|<m
(m −|h|) e
−ihx
K(h).
Rõ ràng f
m
(x) không âm với mỗi m và
f
m
(x) →
1
2π
∞

h=−∞
e
−ihx
K(h)=f(x)
khi m →∞nên f(x) không âm. Tiếp theo ta có

π
−π
e
ikx
f(x)dx =

π

−π
1
2π
∞

h=−∞
e
i(k−h)x
K(h)dx
=
1
2π
∞

h=−∞
K(h)

π
−π
e
i(k−h)x
dx
= K(k).
Vậy f(x) là mật độ phổ của dãy X
n
.
Hệ quả 2.1. Một hàm chẵn K(h) khả tổng tuyệt đối
∞

h=−∞

|K(h)| < ∞
90 Chương 2. Quá trình dừng
sẽ là hàm tự tương quan của một dãy dừng khi và chỉ khi
f(x)=
1
2π
∞

h=−∞
e
−ihx
K(h) ≥ 0. (2.9)
Trong trường hợp này f(x) chính là mật độ phổ của dãy dừng.
Chứng minh. Điều kiện cần ta vừa chứng minh. Giả sử f(x) thoả mãn (2.9).
Do K(h) chẵn nên dễ thấy f(x) chẵn. Mặt khác từ công thức (2.9) suy ra
K(h)=

π
−π
e
ihx
f(x)dx.
Từ chứng minh của định lý 2.12 ta suy ra K(h) xác định không âm. Vậy
nó là hàm tự tương quan của một dãy dừng .
Hệ quả trên cho ta một phương pháp rất hiệu lực để kiểm tra một hàm
chẵn khả tổng tuyệt đối có phải là hàm tự tương quan hay không. Phưong
pháp này tỏ ra đơn giản hơn so với việc kiểm tra tính xác định không âm
của hàm đang xét. Xét ví dụ sau (so sánh nó với ví dụ 2.4).
Ví dụ 2.10. Ta sẽ chứng minh rằng hàm sau đây
K(h)=










1 nếu h =0
θ nếu h = ±1
0 nếu |h| > 1
là hàm xác định không âm nếu và chỉ nếu |θ|≤1/2. Thật vậy K(h) rõ ràng
là hàm chẵn và khả tổng tuyệt đối. Vậy theo hệ quả trên nó sẽ là hàm tự
tương quan khi và chỉ khi hàm
f(x)=
1
2π
∞

h=−∞
e
−ihx
K(h)
=
1
2π
[1 + 2θ cos x]
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 91
là không âm với mọi x ∈ [−π, π]. Nhưng điều này xảy ra khi và chỉ khi

|θ|≤1/2.
Nếu độ đo phổ µ là độ đo rời rạc ta nói dãy dừng (X
n
) có phổ rời rạc.
Chẳng hạn giả sử U và V là hai ĐLNN không tương quan EU = EV =
0,EU
2
= EV
2
= σ
2
và λ là một số thực. Xét dãy (X
n
) xác định bởi
X
n
= U cos λn + V sinλn.
Khi đó (X
n
) là dãy dừng với hàm tự tương quan K(h)=σ
2
cos(λh).
Không giảm tổng quát có thể giả sử λ ∈ [−π, π]. Gọi µ là độ đo rời rạc như
sau
µ{−λ} = µ{λ} =
σ
2
2
.
Khi đó dễ thấy

σ
2
cos(λh)=

π
−π
e
ihx
dµ(x).
Vậy µ là độ đo phổ rời rạc của X
n
.
Tổng quát hơn giả sử U
1
,U
2
, , U
m
và V
1
,V
2
, , V
m
là các ĐLNN với
EU
k
= EV
k
=0,EU

2
k
= EV
2
k
= σ
2
k
, EU
i
U
k
=0, (i = k),EV
i
V
k
=0(i =
k),EU
i
V
j
=0. Xét dãy (X
n
) xác định bởi
X
n
=
m

k=1

(U
k
cos λ
k
n + V
k
sin λ
k
n)
trong đó λ
1
, λ
m
∈ [−π,π] .Như ví dụ 2.3 đã chỉ ra (X
n
) là dãy dừng với
hàm tự tương quan
K(h)=
m

k=1
σ
2
k
cos λ
k
h.
Khi đó dễ thấy độ đo phổ µ là độ đo rời rạc tập trung tại các điểm ±λ
k
với

khối lượng
µ{−λ
k
} = µ{λ
k
} =
σ
2
k
2
.
92 Chương 2. Quá trình dừng
Ví dụ 2.11. (Mật độ phổ của dãy ồn trắng.) Nếu W
n
là dãy ồn trắng với
tham số σ
2
thì từ công thức (2.8) và biểu thức hàm tự tương quan của nó (
xem ví dụ 2.1) ta suy ra mật độ phổ của nó là
f(x)=
σ
2
2π
.
Đó là một hàm hằng số.
Ví dụ 2.12. (Mật độ phổ của dãy MA(1).) Giả sử (X
n
) là dãy MA(1) xác
định như sau
X

n
= W
n
+ rW
n−1
trong đó r là hằng số thực. Từ công thức (2.8) và biểu thức hàm tự tương
quan của nó ( xem ví dụ 2.5) ta suy ra mật độ phổ của nó là
f(x)=
σ
2
2π
(1 + r
2
+ r(e
−ix
+ e
ix
))
=
σ
2
2π
(1 + 2r cos x + r
2
).
Ví dụ 2.13. (Mật độ phổ của dãy AR(1).) Giả sử (X
n
) là một dãy AR(1)
thoả mãn phương trình sai phân sau đây
X

n
= pX
n−1
+ W
n
trong đó p là một hằng số |p| < 1. Từ công thức (2.8) và biểu thức hàm tự
tương quan của nó (xem ví dụ 2.5) ta suy ra mật độ phổ của nó là
f(x)=
σ
2
1 − p
2

1+
∞

h=1
p
h
(e
−ihx
+ e
ihx
)

=
σ
2
1 − p
2


1+
pe
ix
1 − pe
ix
+
pe
−ix
1 − pe
−ix

=
σ
2
2π
(1 − 2p cos x + p
2
)
−1
.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 93
Định lý 2.14. Cho (X
n
) là một dãy dừng với trung bình không và hàm mật
độ phổ là f
X
(x). Cho dãy số thực (h
k
) thoả mãn


k∈Z
|h
k
| < ∞.
Khi đó chuỗi
Y
n
=

i∈Z
h
i
Y
n−i
hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ bptb và dãy (Y
n
) là một dãy dừng với trung
bình không và có mật độ phổ là
f
Y
(x)=|H(e
−ix
)|
2
f
X
(x)=H(e
−ix
)H(e

ix
)f
X
(x)
trong đó H(z)=

k∈Z
h
k
z
k
.
Chứng minh. Theo định lý 2.6 dãy (Y
n
) là một dãy dừng với trung bình
không và hàm tự tương quan
K
Y
(h)=

k∈Z
h
k
h
j
K
X
(h + k −j).
Vì X
n

có mật độ phổ f
X
(x) nên ta có
K
X
(h + k −j)=

π
−π
e
i(h+k−j)x
f
X
(x)dx.
Thay vào ta được
K
Y
(h)=

j,k∈Z
h
j
h
k

π
−π
e
i(h+k−j)x
f

X
(x)dx
=

π
−π


j∈Z
h
j
e
−ijx


k∈Z
h
k
e
ikx

e
ihx
f
X
(x)dx
=

π
−π

e
ihx






j∈Z
h
j
e
−ijx





2
f
X
(x)dx.
94 Chương 2. Quá trình dừng
Từ đẳng thức cuối suy ra Y
n
có mật độ phổ f
Y
(x) là
f
Y

(x)=






k∈Z
h
k
e
−ikx





2
f
X
(x).
Hệ quả 2.2. Nếu (X
n
) là một dãy ARMA(p,q) thoả mãn phương trình sai
phân
Φ(B)X
n
=Θ(B)W
n
thì nó có mật độ phổ cho bởi công thức

f(x)=
σ
2
2π
|Θ(e
−ix
)|
2
|Φ(e
−ix
)|
2
.
Thật vậy ta có
H(z)=
Θ(z)
Φ(z)
=
∞

i=−∞
h
i
z
i
và
X
n
= H(B)W
n

=
∞

i=−∞
h
i
W
n−i
.
Khi đó theo định lý 2.14 trên
f
X
(x)=|H(e
−ix
)|
2
f
W
(x)
=
σ
2
2π
|Θ(e
−ix
)|
2
|Φ(e
−ix
)|

2
.
Ví dụ 2.14. (Mật độ phổ của quá trình ARMA(1,1).) Xét quá trình ARMA
(1,1)
X
n
− αX
n−1
= W
n
+ βW
n−1
trong đó |α| < 1, |β| < 1 Khi đó mật độ phổ của X
n
là
f(x)=
σ
2
(1 + βe
ix
)(1 + βe
−ix
)
2π(1 − αe
ix
)(1 − αe
−ix
)
=
σ

2
(1 + 2β cos x + β
2
)
2π(1 − 2α cos x + α
2
)
.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 95
2.1.4 Biểu diễn phổ
Trong mục này chúng ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của dãy dừng
gọi là định lý biểu diễn phổ. Ta cần một công cụ mới: Tích phân đối với một
độ đo ngẫu nhiên gia số trực giao.
Cho đến nay ta mới chỉ xét các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị thực.
Bây giờ chúng ta xét cả các ĐLNN nhận giá trị phức. Việc này làm cho
nhiều công thức trong lý thuyết quá trình dừng trở nên đơn giản hơn. Giả sử
(Ω, F,P) là không gian xác suất cơ bản. Ký hiệu L
2
(Ω, F,P) là không gian
các ĐLNN X nhận giá trị phức sao cho E|X|
2
< ∞ . Khi đó L
2
(Ω, F,P) là
không gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi
<X,Y >= EX
Y.
Sự hội tụ trong L
2
(Ω, F,P) được gọi là sự hội tụ bình phương trung bình

(bptb).
Giả sử ( S, A) là không gian đo được nào đó. Hàm giá trị thực (hay phức)
Z(A)=Z(ω, A) xác định với ω ∈ Ω ,A ∈Ađược gọi là độ đo ngẫu nhiên
cộng tính hữu hạn nếu
a) Với mỗi A ∈Ata có E|Z(A)|
2
< ∞ .
b) Với bất kỳ hai tập A
1
,A
2
∈Arời nhau A
1
∩ A
2
= ∅ thì
Z(A
1
∪ A
2
)=Z(A
1
)+Z(A
2
)(P − h.c.c) .
Độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn Z được gọi là đọ đo ngẫu nhiên nếu
với bất kỳ dãy các tập A
1
,A
2

, ∈Ađôi một không giao nhau thì
E





Z

∞

k=1
A
k

−
n

k=1
Z(A
k
)





2
→ 0(n →∞) ,
hay

Z

∞

k=1
A
k

=
∞

k=1
Z(A
k
) ,
96 Chương 2. Quá trình dừng
trong đó chuỗi ở trên hội tụ bptb. Đây là tính chất cộng tính đếm được.
Tương tự như đối với độ đo thông thường tính chất cộng tính đếm được
của độ đo ngẫu nhiên tương đưoưng với tính chất liên tục sau
E|Z(A
n
)|
2
→ 0 khi A
n
 ∅ ,A
n
∈A.
Độ đo ngẫu nhiên Z được gọi là trực giao ( hay là độ đo với giá trị trực giao)
nếu với hai tập bất kỳ A

1
,A
2
∈Akhông giao nhau thì
EZ( A
1
)Z(A
2
)=0 (hoặc EZ(A
1
)Z(A
2
)=0).
Điều này tương đương với: Với hai tập bất kỳ A
1
,A
2
∈Athì
EZ( A
1
)Z(A
2
)=E|Z(A
1
∩ A
2
)|
2
.
Đặt m( A)=E|Z(A)|

2
ta có m là độ đo hữu hạn. Nó đượ c gọi là độ đo cấu
trúc của Z. Tóm lại ta có định nghĩa sau đây về độ đo ngẫu nhiên trực giao
ứng với một độ đo cấu trúc đã cho
Định nghĩa 2.7. Giả sử (S, A,m) là không gian có độ đo. ánh xạ Z : A→
L
2
(Ω, F,P) thoả mãn tính chất sau
a) <Z(A
1
),Z(A
2
) >= m(A
1
∩ A
2
) , ∀A
1
,A
2
∈A.
b) Với {A
n
}
∞
n=1
là dãy các tập đôi một rời nhau thuộc A thì
Z

∞


n=1
A
n

=
∞

n=1
Z(A
n
) ,
trong đó chuỗi ở trên hội tụ bptb được gọi là độ đo ngẫu nhiên trực giao ứng
với độ đo cấu trúc m.
Người ta đã chứng minh được rằng với mỗi độ đo hữu hạn m cho trước
luôn tồn tại độ đo ngẫu nhiên trực giao ứng với độ đo cấu trúc m.
Tiếp theo ta sẽ xây dựng tích phân của một hàm (giá trị thực hoặc phức)
đối với một đọ đo ngẫu nhiên trực giao.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 97
Cho Z : A→L
2
(Ω, F,P) là một độ đo ngẫu nhiên với độ đo cấu trúc m.
Ta xây dựng tích phân

S
f(t)dZ (t) với f ∈ L
2
(S, A,m) như sau:
Ký hiệu I
A

là hàm chỉ tiêu của tập hợp A tức là



I
A
(t)=1 nếu t ∈ A
0 nếu t/∈ A.
Trước hết nếu f(t) là hàm đơn giản f(t)=

n
k=1
c
k
I
A
k
(t) ta định nghĩa
I(f)=
n

k=1
c
k
Z(A
k
).
Dễ kiểm tra định nghĩa này là đúng đắn và I là ánh xạ tuyến tính từ không
gian tuyến tính các hàm đơn giản U vào không gian L
2

(Ω, F,P) .Tacó
I(f)
2
=<I(f),I(f) >=
n

i=1
n

j=1
c
i
c
j
<Z( A
i
),Z(A
j
) >
=
n

i=1
|c
i
|
2
m(A
i
)=


S
|f(t)|
2
dm.
Vậy I : U→L
2
(Ω, F,P) là phếp đẳng cự giữa U và môtk bộ phận của
L
2
(Ω, F,P).VìU trù mật trong L
2
(S, A,m) nên I đượ c mở rộng thành một
đẳng cự từ toàn bộ không gian L
2
(S, A,m) lên một bộ phận của L
2
(Ω, F,P).
Ta ký hiệu
I(f)=

S
f(t)dZ (t)
và gọi dó là tích phân ngẫu nhiên của f đối với độ đo ngẫu nhiên trực giao
Z.
Tính chất tuyến tính, đẳng cự của I được phát biểu lại thành các tính
chất sau đây của tích phân ngẫu nhiên.
Định lý 2.15. Tích phân ngẫu nhiên có các tính chất sau
1. Tuyến tính: Với các hằng số α, β ta có


S
[αf
1
(t)+βf
2
(t)]dZ (t)=α

S
f
1
(t)dZ (t)+β

S
f
2
(t)dZ (t).
98 Chương 2. Quá trình dừng
2. Bảo toàn tích vô hướng


S
f(t)dZ (t),

S
g(t)dZ (t)

=

S
f(t)g(t)dm

3. Đẳng cự
E




S
f(t)dZ (t)



2
=

S
|f(t)|
2
dm.
4. Liên tục bptb
f
n
(t) → f(t)
trong L
2
(S, A,m) khi và chỉ khi

S
f
n
(t)dZ (t) →


S
f(t)dZ (t)
bình phương trung bình.
Cho Z là độ đo ngẫu nhiên giá trị trực giao trên (S, A) với độ đo cấu trúc
m.Vớig ∈ L
2
(S, A,m) ta có thể định nghĩa một độ đo ngẫu nhiên U trên
(S, A) như sau
U(A)=

A
g(t)dZ (t)=

S
I
A
(t)g(t)dZ (t).
Từ định lý trên ta dễ dàng suy ra U cũng là một độ đo ngẫu nhiên giá trị
trực giao. Khi đó ta viết
dU(t)=g(t)dZ (t).
Gọi l là độ đo cấu trúc của U .Tacó
l(A)=E




S
I
A

(t)g(t)dZ (t)



2
=

A
|g(t)|
2
dm.
Vậy dl(t )=|g(t)|
2
dm(t).
Định lý 2.16. Nếu dU(t)=g(t)dZ (t) thì với mỗi f(t) ∈ L
2
(S, A,l) ta có
fg ∈ L
2
(S, A,m) và

A
f(t)dU(t)=

A
f(t)g(t)dZ (t).
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 99
Thật vậy hệ thức trên đúng với hàm đơn giản. Với f ∈ L
2
(S, A,l) bất

kỳ chọn dãy hàm đơn giản (f
n
) sao cho f
n
→ f trong L
2
(S, A,l). Khi đó
f
n
g → fg trong L
2
(S, A,m).Vì

S
f
n
(t)dU(t)=

f
n
(t)g(t)dZ (t).
Cho n →∞ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3. Nếu dU(t)=g(t)dZ (t) và g(t) > 0 thì dZ (t)=
1
g(t)
dU(t).
Thật vậy ký hiệu h(t)=
1
g(t)
.Vì


S
|h(t)|
2
dl(t)=

S
|h(t)|
2
|g(t)|
2
dm(t)=m(S)
nên h(t)=∈ L
2
(S, A,l) .Vậy

A
h(t)dU(t)=

A
h(t)g(t)dZ (t)=

A
dZ (t)=Z(A).
Tiếp theo dựa trên khái niệm tích phân ngẫu nhiên đối với một độ đo ngẫu
nhiên ta có thể định nghĩa tích phân ngẫu nhiên dạng

R
f(t)dX(t).
ởđóX(t) là một quá trình gia số trực giao như sau:

Cho X(t) là một quá trình ngẫu nhiên gia số trực giao L
2
liên tục bên
trái tức là
a) Nếu t
1
<t
2
<t
3
<t
4
thì

X(t
2
) −X(t
1
),X(t
4
) −X(t
3
)

=0
b) X(t) → X(t
0
) theo nghĩa bptb khi t → t
0
từ bên trái t

0
.
100 Chương 2. Quá trình dừng
Ta chứng tỏ rằng có một hàm thức không giảm, liên tục bên trái F (t) sao
cho với s<tthì
F (t) −F(s)=E|X(t) − X(s)|
2
.
Thật vậy, chọn cố định một điểm t
0
nào đó và định nghĩa
F (t)=



E|X(t) − X(t
0
)|
2
nếu t ≥ t
0
−E|X(t) − X(t
0
)|
2
nếu t ≤ t
0
.
Khi đó với t
0

≤ s<tta có
F (t) −F(s)=E|X(t) − X(t
0
)|
2
− E|X(s) − X(t
0
)|
2
.
Mặt khác
E|X(t) − X(t
0
)|
2
= E|X(t) − X(s)+X(s) − X(t
0
)|
2
= E|X(t) − X(s)|
2
+ E|X(s) −X(t
0
)|
2
(do X( t) có gia số trực giao).
Suy ra F (t) − F (s)=E|X(t) − X(s)|
2
. Các trường hợp khác kiểm tra
tương tự.

Tính liên tục bên trái của F(t) suy ra từ tính chất L
2
- liên tục bên trái
của X(t) và hệ thức F(t) −F (s)=E|X(t) −X(s)|
2
.
Gọi m là độ đo hữu hạn sinh bởi hàm thực không giảm, liên tục bên trái
F (t). Gọi Z
X
là độ đo ngẫu nhiên trực giao trên R nhận m là độ đo cấu trúc.
Ta định nghĩa

R
f(t)dX(t)=

R
f(t)dZ
X
(t).
Ngược lại nếu cho trước độ đo ngẫu nhiên trực giao Z trên R thì ta có thể
xây dựng một quá trình ngẫu nhiên X(t) gia số trực giao L
2
- liên tục bên
trái bằng cách đặt
X(t)=Z{(−∞,t)}.
Dễ kiểm tra rằng Z = X
X
.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 101
Định lý 2.17. Nếu hàm f(t) liên tục trên [a, b] thì


b
a
f(t)dX(t)
là giới hạn bptb của tổng Riman
n

i=0
f(s
i
)

X(t
i+1
) − X(t
i
)

,
khi |∆|→0 trong đó ∆ là phân hoạch tuỳ ý a = t
0
<t
1
<t
2
< <t
n+1
= b
, s
i

là điểm tuỳ ý thuộc [t
i
,t
i+1
] |∆| = max |t
i+1
− t
i
|.
Chứng minh. Gọi m là độ đo cấu trúc của Z
X
.Vìf(t) liên tục trên [a, b]
nên nó liên tục đều trên [a, b] ( theo định lý Canto). Do đó ∀>0 , ∃δ>0
sao cho nếu |t −s| <δ thì |f(t) − f(s)| <.
Đặt
g
∆
(t)=
n

i=0
f(s
i
)I
(t
i
,t
i+1
]
trong đó |∆| <δ , ta suy ra


b
a
|f(t) − g
∆
(t)|
2
dm ≤ 
2
m{[a, b]} .
Mặt khác
E



n

i=0
f(s
i
)[X(t
i+1
) − X(t
i
)] −

b
a
f(t)dX(t)




2
=
= E




b
a
[g
∆
(t) −f(t)]dX(t)



2
=

b
a
|f(t) − g
∆
(t)|
2
dm
≤ 
2
m{[a, b]}

Thành thử
n

i=0
f(s
i
)[X(t
i+1
) − X(t
i
)] →

b
a
f(t)dX(t) .
bình phương trung bình khi |∆|→0.
102 Chương 2. Quá trình dừng
Bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý về biểu diễn phổ của dãy
dừng
Định lý 2.18. Cho (X
n
) là dãy dừng (giá trị thực hoặc phức). Khi đó tồn
tại độ đo ngẫu nhiên trực giao Z ( có thể có giá trị phức) trên [−π, π] sao
cho
X(n)=

π
−π
e
inλ

dZ (λ) , ∀n ∈ Z.
Chứng minh. Ký hiệu M là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n

k=1
c
k
X
k
, trong đó c
k
∈ C,k∈ Z . Gọi H(X) là bao kín của M trong
L
2
(Ω, F,P), µ là độ đo phổ của X
n
.
Xét ánh xạ S : M → L
2
([−π,π],µ) xác định như sau
S

n

k=1
c
k
X
k


=
n

k=1
c
k
e
ikλ
.
Ta có



n

k=1
c
k
X
k



2
=

n

k=1
c

k
X
k
,
n

j=1
c
j
X
j

=
=
n

k=1
n

j=1
c
k
c
j
<X
k
,X
j
>
=

n

k=1
n

j=1
c
k
c
j
K(k −j)
=
n

k=1
n

j=1
c
k
c
j

π
−π
e
i(k−j)λ
dµ(λ)
=


π
−π

n

k=1
n

j=1
c
k
c
j
e
i(k−j)λ

dµ(λ)
=

π
−π



n

k=1
c
k
e

ikλ



2
dµ(λ)=



n

k=1
c
k
e
ikλ



2
.
Suy ra S là một ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ M vào L
2
([−π,π],µ) . Do đó
S được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ H(X) vào S(M)
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 103
.Vì tập các hàm liên tục là trù mật trong L
2
([−π,π],µ) và mỗi hàm liên tục
được xấp xỉ đều bằng các đa thức lượng giác

n

k=1
c
k
e
ikλ
, nên
S( M)=L
2
([−π,π],µ).
Như vậy S là một song ánh giữa H(X) và L
2
([−π,π],µ). Giả sử S
−1
:
L
2
([−π,π],µ) → H(X). Đặt Z(A)=S
−1
(I
A
) . Ta chứng tỏ Z là một
đọ đo ngẫu nhiên giá trị trực giao. Thật vậy
1. <Z(A),Z(B) >=<S
−1
(I
A
),S
−1

(I
B
) >= m(A ∩B) .
2. Giả sử A =

∞
k=1
A
k
, trong đó A
k
∩A
j
= ∅, khi đó I
A
=
∞

k=1
I
A
k
trong
L
2
([−π,π],µ) do đó S
−1
(I
A
)=


∞
k=1
S
−1
(I
A
k
) hay
Z(A)=
∞

k=1
Z(A
k
)
trong L
2
(Ω, F,P) .
Tiếp theo ta chứng minh rằng với mọi f ∈ L
2
([−π,π],µ) thì
S
−1
(f)=

π
−π
f(λ)dZ (λ) .
Thật vậy với f là hàm đơn giản thì công thức trên là đúng do định nghĩa

S
−1
(I
A
)=Z(A)=

π
−π
I
A
dZ (λ) .
Với f bất kỳ trong L
2
([−π,π],µ) thì tồn tại dãy hàm đơn giản (f
n
) hội tụ
trong L
2
([−π,π],µ) tới f. Khi đó
S
−1
(f
n
)=

π
−π
f
n
(λ)dZ (λ) .

Cho n →∞ ta thu được
S
−1
(f)=

π
−π
f(λ)dZ (λ).
104 Chương 2. Quá trình dừng
Mặt khác do định nghĩa ánh xạ S ta có S
−1
(e
ikλ
)=X
k
. Vậy ta có
X
n
=

π
−π
e
inλ
dZ (λ).
Nếu X
n
nhận giá trị thực thì ta có thể phân tích
Z(A)=U(A) − iV (A)
trong đó U, V là các độ đo ngẫu nhiên trực giao nhận giá trị thực không

tương quan nghĩa là
<U(A),V( B) >=0
với mọi tập A, B đo được. Khi đó ta có
X
n
=

π
−π
cos λndU(λ)+

π
−π
sin λndV (λ).
Như vậy ta có:
Định lý 2.19. Nếu (X
n
) là dãy dừng nhận giá trị thực thì nó có biểu diễn
X
n
=

π
−π
cos λndU(λ)+

π
−π
sin λndV (λ)
trong đó U(t),V(t) là hai quá trình có gia số trực giao không tương quan với

nhau.
Theo định lý 2.17 khi đó X
n
là giới hạn bptb của tổng dạng
n

k=1
cos λ
k
nU
k
+ sin λ
k
nV
k
với EU
i
U
k
=0,EV
i
V
k
=0(i = k ),EU
i
V
j
=0∀i, j.
Như là một áp dụng của định lý biểu diễn phổ ta có định lý sau đây cho
ta điều kiện cần và đủ để một dãy dừng có biểu diễn trong bình trượt một

phía.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 105
Định lý 2.20. Cho dãy dừng (X
n
) có mật độ phổ f(λ) > 0. Khi đó X
n
có
biểu diễn trung bình trượt một phía
X
n
=
∞

k=0
h
k
W
n−k
với
∞

k=0
|h
k
|
2
< ∞ .
khi và chỉ khi mật độ này có dạng f(λ)=|g(λ)|
2
trong đó

g(λ)=
1
√
2π
∞

k=0
h
k
e
−ikλ
, với
∞

k=0
|h
k
|
2
< ∞ .
Chứng minh. Đặt
f
1
(λ)=
1
√
2π
∞

k=0

h
k
e
ikλ
= g(λ)
trong đó h
k
=0với k<0 . Xét
f
2
(λ)=e
−imλ
f
1
(λ)=
1
√
2π
∞

k=∞
h
k
e
i(k−m)λ
=
1
√
2π
∞


l=−∞
h
l+m
e
ilλ
,
Hàm tự tương quan K(m) của X
n
là
K(m)=<X
n+m
,X
n
>=
=

∞

k=−∞
h(n + m − k)W
k
,
∞

k=−∞
h(n − k)W
k

=

=
∞

k=−∞
h
n+m−k
h
n−k
=
∞

k=−∞
h
k+m
h
k
.
Mặt khác theo đẳng thức Parseval ta có

π
−π
f
1
(λ)f
2
(λ)dλ =
∞

k=−∞
h

k+m
h
k
.
Vậy
K(m)=

π
−π
f
1
(λ)f
2
(λ)dλ =

π
−π
|f
1
(λ)|
2
e
imλ
dλ .
106 Chương 2. Quá trình dừng
Hệ thức này chứng tỏ
f(λ)=|f
1
(λ)|
2

= |g(λ)|
2
.
Đảo lại, giả sử mật độ phổ f(λ) có dạng đã cho. Ta định nghĩa độ đo ngẫu
nhiên trực giao U như sau sau
dU(λ)=
1
√
2πg(λ)
dZ (λ) ,
Như đã biết (hệ quả 2.3) khi đó
dZ (λ)=
√
2πg(λ)dU(λ).
Đặt
W
n
=

π
−π
e
inλ
dU(λ)=

π
−π
e
inλ
1

√
2πg(λ)
dZ (λ).
Ta có W
n
là một dãy ồn trắng. Thật vậy
<W
n
,W
m
> =

π
−π
e
inλ
e
−imλ
f(λ)
2π|g(λ)|
2
dλ =
1
2π

π
−π
e
i(n−m)λ
dλ =

= δ
nm
trong đó
δ
mn
=



0 nếu n = m
1 nếu n = m.
Ta áp dụng định lý 2.16 để có
X
n
=

π
−π
e
inλ
dZ (λ)=

π
−π
e
inλ
√
2πg(λ)dU(λ)
=


π
−π
e
inλ
∞

k=0
h
k
e
−ikλ
dU(λ)=
∞

k=0
h
k

π
−π
e
i(n−k)λ
dU(λ)
=
∞

k=0
h
k
W

n−k
.
2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc 107
Câu hỏi đặt ra tiếp theo là: Khi nào hàm mật độ phổ của X
n
có dạng
f(λ)=|g(λ)|
2
> 0 , ∀λ , trong đó
g(λ)=
1
√
2π
∞

k=0
h
k
e
−ikλ
, với
∞

k=0
|h
k
|
2
< ∞ ?
Nhà toán học Nga lỗi lạc A.N. Kolmogorov (1903-1987) đã chứng minh được

rằng điều này xảy ra khi và chỉ khi

π
−π
ln f(λ)dλ > −∞ .
Vậy ta có
Định lý 2.21. Dãy dừng (X
n
) với hàm mật độ dương f(λ) > 0 có biểu diễn
trung bình trượt một phía
X
n
=
∞

k=0
h
k
W
n−k
với
∞

k=0
|h
k
|
2
< ∞ .
nếu và chỉ nếu


π
−π
ln f(λ)dλ > −∞ .
2.1.5 Bài toán dự báo
Xét quá trình dừng (X
n
). Nội dung của bài toán dự báo là: Giả sử chúng
ta quan sát được giá trị của quá trình tại các thời điểm 1, 2, , n là
X
1
,X
2
, , X
n
. Trên cơ sở đó ta muốn dự báo một cách " tốt nhất" giá
trị của quá trình X
n+h
tại thời điểm n + h trong tương lai.
Định nghĩa 2.8. Dự báo tuyến tính của X
n+h
căn cứ trên X
1
,X
2
, ,X
n
là
tổ hợp tuyến tính
S( a

0
,a
1
,a
2
, , a
n
)=a
0
+ a
1
X
n
+ ···+ a
n
X
1
.
Dự báo tuyến tính S(a
0
,a
1
,a
2
, , a
n
) được gọi là tốt nhất nếu sai số bình
phương trung bình
E|X
n+h

− S( a
0
,a
1
,a
2
, , a
n
)|
2
là nhỏ nhất.
108 Chương 2. Quá trình dừng
Ký hiệu L(X, n) là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính a
0
+a
1
X
n
+···+
a
n
X
1
. Khi đó L(X, n) là một không gian con tuyến tính của L
2
(Ω, F,P). Gọi
H(X, n) là bao kín của L(X, n) trong L
2
(Ω, F,P). Gọi P
n

: L
2
(Ω, F,P) →
H(X, n) là phép chiếu vuông góc xuống H(X, n). Khi đó theo lý thuyết
không gian Hilbert dự báo tuyến tính tốt nhất chính là P
n
(X
n+h
) , hình
chiếu vuông góc của X
n+h
lên H(X, n). Giả sử EX
n
= m. Đặt Y
n
= X
n
−m.
Khi đó EY
n
=0và
H(X, n)=H(Y,n).
Ta có P
n
(X
n+h
)=P (Y
n+h
+ m)=m + P
n

(Y
n+h
). Tuy nhiên dễ thấy rằng
P
n
(Y
n+h
)=P
0
n
(Y
n+h
) ởđóP
0
n
là phép chiếu xuống không gian H
0
(Y,n) là
bao kín của các tổ hợp tuyến tính dạng a
1
Y
n
+ ···+ a
n
Y
1
. Thành thử
P
n
(X

n+h
)=m +
n

i=1
a
i
(X
n+1−i
− m)
trong đó các hệ số a
1
, , a
n
thoả mãn: với mọi j =1, 2, , n
E(Y
n+h
−
n

i=1
a
i
Y
n+1−i
Y
n+1−j
=0
hay
K(j + h − 1) =

n

i=1
a
i
K(i − j) j =1, 2, , n. (2.10)
Nếu dặt a
n
=(a
1
, , a
n
)

,

K
n
(h)=(K(h),K(h +1), , K(n + h − 1)

và
Γ
n
=[K( i − j)]
n
i,j=1
ta có hệ thức (2.10) trên viết thành
Γ
n
a

n
=

K
n
(h). (2.11)
Tóm lại các hệ số a
1
, , a
n
tìm được từ hệ phương trình tuyến tính (2.11)
còn
a
0
= m −m
n

i=1
a
i
= m(1 −
n

i=1
a
i
).