Tài liệu Toán kinh tế.pdf

Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
§1. TÍCH PHÂN HAI LỚP
Bài tập 1.1. Tính các tích phân hai lớp sau:
(a)
1

0
dx
1

0
(x +y )dy, (b)
1

0
dx
x

x
2
xy
2
dy, (c)
2

0
d ϕ
a

0
r

2
sin
2
ϕd r,
Bài tập 1.2. Đưa tích phân hai lớp


f (x,y )dxdy về tích phân lặp bằng hai cách
nếu miền  được giới hạn bởi các đường x = 1,y = x
2
,y = 2x.
Bài tập 1.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
(a)
2

0
dx
2x

x
f (x,y )dy, (b)
2

−6
dx
2−x

x
2
4

−1
f (x,y )dy, (c)
1

0
dx
x
2

x
3
f (x,y )dy,
(d)
1

−1
dx
1−x
2

−

1−x
2
f (x,y )dy, (e)
2

1
dx


2x−x
2

2−x
f (x,y )dy.
Bài tập 1.4. Tính các tích phân sau:
(a)


xy
2
dxd y , với miền  được giới hạn bởi parabole y
2
= 2px và đường thẳng
x =
p
2
,(p > 0).
(b)


dxdy

2a−x
,(a > 0), với miền  được giới hạn bởi cung ngắn nhất của đường tròn
với tâm tại điểm (a,a) bán kính a (tiếp xúc với các trục toạ độ) và các trục toạ độ.
(c)


|xy|dxd y, với miền  là đường tròn bán kính a và tâm tại gốc toạ độ.

Bài tập 1.5. Trong tích phân hai lớp


f (x,y )dxdy hãy chuyển sang toạ độ cực r,ϕ
và thiết lập các cận tích phân nếu
(a)  là đường tròn x
2
+y
2
≤ a
2
,(a > 0),
(b)  là đường tròn x
2
+y
2
≤ ax, (a > 0),
(c)  là vành a
2
≤ x
2
+y
2
≤ b
2
,
(d)  là tam giác 0≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1−x.
Bài tập 1.6. Thay đổi thứ tự lấy tích phân:
(a)
π

2

−
π
2
d ϕ
a cos ϕ

0
f (ϕ,r )d r, (b)
π
2

0
d ϕ
a

sin2ϕ

0
f (ϕ,r )d r, (a > 0).
1. TÍCH PHÂN HAI LỚP 1
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
Bài tập 1.7. Tính tích phân hai lớp


(x + y
3
)dxd y trong đó miền  là hình chữ
nhật giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2, y = 0, y = 2.

Bài tập 1.8. Tính tích phân


(2x − 3y )dxd y trong miền  được giới hạn bởi các
đường y = x
2
và y = 2−x
2
.
Bài tập 1.9. Tính các tích phân sau:
(a)

x
2
a
2
+
y
2
b
2
≤1

1−
x
2
a
2
−
y

2
b
2
dxd y, (b)

|x|+|y |≤1
(|x| +|y|)dxd y,
(c)

x
4
+y
4
≤1
(x
2
+y
2
)dxd y, (d)

0≤x≤π
0≤y≤π
|cos(x +y )|dxdy.
§2. CHUỖI SỐ
Bài tập 2.1. Tìm các chuỗi

a
n
,


b
n
thỏa mãn:
a. Chuỗi

a
n
hội tụ và chuỗi

b
n
phân kỳ sao cho a
n
 b
n
, n = 1,2,...
b. Chuỗi

a
n
hội tụ và chuỗi

b
n
phân kỳ sao cho |a
n
| |b
n
|, n = 1,2,...
Bài tập 2.2. Dùng định nghĩa chứng minh các chuỗi sau hội tụ:

a. 1−
1
2
+
1
4
−
1
8
+··· +
(−1)
n−1
2
n−1
+···
b.
1
1·2
+
1
2·3
+··· +
1
n · (n +1)
+···,
c.

1
2
+

1
3

+

1
2
2
+
1
3
2

+··· +

1
2
n
+
1
3
n

+···,
d.
1
2
+
3
2

2
+··· +
2n −1
2
n
+···
Bài tập 2.3. Cho 2 chuỗi số

a
n
,

b
n
. Tích (theo Cauchy) hai chuỗi trên là chuỗi

c
n
, trong đó c
n
xác định theo công thức:
c
n
=
n

k =0
a
k
b

n−k
a. Chứng minh (định lý Mertenxơ): nếu chuỗi

a
n
hội tụ đến A và

b
n
hội tụ đến
B, đồng thời ít nhất một trong 2 chuỗi nói trên hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích

c
n
hội tụ đến A.B.
b. Lấy ví dụ hai chuỗi hội tụ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là phân kỳ.
2. CHUỖI SỐ 2
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
c. Lấy ví dụ hai chuỗi phân kỳ nhưng tích (theo Cauchy) của chúng là hội tụ tuyệt
đối.
Bài tập 2.4. Xét tính hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
n.sin
1
n
b.
∞


n=1
n
n+1/n

n +
1
n

n
c.
∞

n=1
sin
2
π

n
2
+n
d.
∞

n=1

2n − 1
2n + 1

n+1

Bài tập 2.5. Dùng nguyên lý hội tụ Cauchy xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
a.
∞

n=1
cosx
n
2
n
b.
∞

n=1
1

(3n −1).3n
c.
∞

n=1
sinnx −sin(n +1)x
n
d.
∞

n=1
1
n
Bài tập 2.6. Dùng dấu hiệu so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi dương:
a.

∞

n=1
1

n(n + 1)
b.
∞

n=1
1

n(n
2
+1)
c.
∞

n=1
1
(lnn )
α
(α > 0)
Bài tập 2.7. Dùng các dấu hiệu Cauchy, D’alembert, Raabe xét sự hội tụ của các chuỗi
số dương sau:
a.
∞

n=1
n

2
n
b.
∞

n=1
(n +1)
2
n
n
2
.3
n
c.
∞

n=1
3 + (−1)
n
2
n+1
d.
∞

n=1

2n
2
+2n −1
5n

2
−2n +1

n
e.
∞

n=1
1
2
n

1 +
1
n + 1

n
2
f.
∞

n=1
2n(2n + 1)
5
n
g.
∞

n=1
(n!)

2
3
(n+1)
2
h.
∞

n=1
1
n!

n
e

n
Bài tập 2.8. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
1
n.lnn
b.
∞

n=1

n + 2−

n −2

n
α
c.
∞

n=1
e
−
3

n
d.
∞

n=1
n
2
.e
−
3

n
e.
∞

n=1
e
a lnn +b
c lnn +d
f.

∞

n=1

n
1
n
2
+1
−1

2. CHUỖI SỐ 3
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
Bài tập 2.9. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a.
∞

n=1
(−1)
n

2n + 100
3n
2
+n

b.
∞

n=1

(−1)
n
sin
2
n
n
c.
∞

n=1
(−1)
n

n + (−1)
n
Bài tập 2.10. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a. 1 + 1− 1 + 1− 1 +...,
b. 1 +
1
3
+
1
5
+
1
7
+...,
c.
∞


n=2
1
ln(n!)
,
d. 1 +
2
5
+
3
5
2
+
4
5
3
+....
§3. CHUỖI HÀM
Bài tập 3.1. Xác định tập hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của các chuỗi hàm sau:
a.
∞

n=1
x
n
1 +x
2n
b.
∞

n=1

2
n
sin
x
3
n
c.
∞

n=1
(−1)
n+1
e
−n sinx
d.
∞

n=1
2n +1
(n +1)
3
x
2n
e.
∞

n=1

n
(x −2)

n
Bài tập 3.2. Khảo sát sự hội tụ đều của các chuỗi hàm trên các tập tương ứng sau:
a.
∞

n=1
x
n
n
2
, −1  x  1; b.
∞

n=1
cosnx
3
n
, −∞  x  +∞
Bài tập 3.3. Khảo sát sự hội tụ đều của các dãy hàm trên các tập tương ứng sau:
a. f
n
(x) = n


x +
1
n
−

x


, x > 0;
b. f
n
(x) = sin
x
n
,−∞ < x < +∞.
Bài tập 3.4. Cho ví dụ dãy các hàm gián đoạn khắp nơi hội tụ đều đến hàm liên tục
khắp nơi để minh họa cho nguyên lý tổng quát sau: sự hội tụ đều đảm bảo những tính
chất “tốt” và không bảo toàn những tính chất “xấu”.
Bài tập 3.5. Cho các ví dụ
a. Dãy hàm liên tục hội tụ đến một hàm gián đoạn.
b. Dãy hàm khả tích Rieman hội tụ đến một hàm không khả tích Rieman
c. Dãy hàm mà giới hạn tích phân của nó không bằng tích phân của hàm giới hạn.
3. CHUỖI HÀM 4
Bài tập bổ sung Khoa Toán Kinh tế
d. Dãy hàm mà giới hạn đạo hàm của nó không bằng đạo hàm của hàm giới hạn.
Bài tập 3.6. Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau:
a.
∞

n=1
2
n−1
x
n−1
(
2n − 1
)

2

3
n−1
;
b.
∞

n=1
n!
n
n
(
x −2
)
n
;
c.
∞

n=1
2
n
.n!
(2n)!
x
2n
;
d.
∞


n=1
2
n−1
x
2n−1
(
4n −3
)
2
Bài tập 3.7. Bằng cách đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng tính tổng của các chuỗi
sau:
a.
∞

n=1
x
n
n
;
b.
∞

n=1
(
−1
)
n−1
x
n

n
;
c.
∞

n=1
(
−1
)
n−1
(
2n −1
)
x
2n−2
;
d.
∞

n=1
n(n + 1)x
n−1
;
e.
∞

n=1
n.x
n
;

f.
∞

n=1
x
4n−3
4n − 3
;
g.
∞

n=1
(
−1
)
n−1
(
2n −1
)
3
n−1
.
Bài tập 3.8. Khai triển hàm số sau thành chuỗi luỹ thừa và tìm bán kính hội tụ của
chuỗi đó:
a. f (x) =
x

1−2x
; b. f (x ) =
x

1 +2x −3x
2
.
3. CHUỖI HÀM 5