Quan hệ và phép quan hệ

Quan h th tệ ứ ự
Th t toàn ph n và bán toà n ứ ự ầ
ph nầ
Bi u đ Hasseể ồ
Ph n t min và maxầ ử
Ph n t t i ti u và t i đ iầ ử ố ể ố ạ
CH NG IV: QUAN HƯƠ Ệ
1
Đ nh nghĩa: ị
M t quan h hai ngôi R trên t p m t t p A (khác r ng) ộ ệ ậ ộ ậ ỗ
đ c g i là m t quan h th t n u và ch n u có ba ượ ọ ộ ệ ứ ự ế ỉ ế
tính ch t: ph n x , ph n x ng và truy n ( b c c u ).ấ ả ạ ả ứ ề ắ ầ
Ta kí hi u quan h th t là: ≺ệ ệ ứ ự
C p (A, ) đ c g i là t p s p th t hay poset.≺ặ ượ ọ ậ ắ ứ ự
1. Quan H th tệ ứ ự
2
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd1: V i 2 s a và b trên t p N* ta nói a b có quan h lũy th a ớ ố ậ ệ ừ
(“^”) n u t n t i m t s nguyên d ng k sao cho a mũ k b ng b. ế ồ ạ ộ ố ươ ằ
Khi đó (N*, ^ ) là t p s p th t vì quan h “ ^ “ có tính:ậ ắ ứ ự ệ
•
Ph n x : ả ạ ∀a∈N* ta có , a^a vì a=a1
•
Ph n x ng: a^b nghĩa là ả ứ ∃ k sao cho ak =b.
b^a nghĩa là ∃ j sao cho bj =a (k, j nguyên)
Khi đó , ta có ak = b ⇔ akj =bj
akj = a ⇔ k=1 và j=1 ⇔ a = b
•
B c c u: a^b nghĩa là ắ ầ ∃ k sao cho ak = b
b^c nghĩa là ∃ j sao cho bj = c
Khi đ ó, akj = c t c là a^c ứ

1. Quan H th tệ ứ ự
3
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd2: V i 2 s a và b trên t p R*+ ta nói a và ớ ố ậ
b có quan h ệ R n u ph ng trình: ax = b có ế ươ
nghi m. Khi đó, (R*+ , ệ R ) khô ng là t p s p ậ ắ
th t vì quan h ứ ự ệ R không có tính ph n ả
x ng. Vì:ứ
Ph ng trì nh: 2x =3 có nghi m và ươ ệ
ph ng trình 3x =2 có nghi m, nh ng 2 ươ ệ ư ≠ 3.
1. Quan H th tệ ứ ự
4
Ch ng IV: Quan hươ ệ

Cho (S, ) là t p s p th t . Khi đó, v i 2 ph n t a và b ≺ ậ ắ ứ ự ớ ầ ử
thu c S. N u a b ho c b a thì a và b đ c g i là so ≺ ≺ộ ế ặ ượ ọ
sánh đ c. Ng c l i, ta nói a và b không so sánh đ c.ượ ượ ạ ượ

Cho (S, ) là 1 t p s p th t và v i m i hai ph n t a và b ≺ ậ ắ ứ ự ớ ỗ ầ ử
tùy ý thu c S ta đ u có a và b so sánh đ c thì ta nói đó là ộ ề ượ
t p s p th t toàn ph n.ậ ắ ứ ự ầ
Ta cũng nói r ng là th t toàn ph n hay th t ≺ằ ứ ự ầ ứ ự
tuy n tính.ế

Ng c l i, n u t n t i 2 ph n t a và b thu c S sao cho a ượ ạ ế ồ ạ ầ ử ộ
và b không so sánh đ c thì ta nói (S, ) là t p s p th t ≺ượ ậ ắ ứ ự
bán toàn ph n và là quan h bán toàn ph n.≺ầ ệ ầ
2. th t toàn ph n ứ ự ầ
và bán toàn ph nầ
5

Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Quan h (N*,^) là t p s p th t bán toàn ệ ậ ắ ứ ự
ph n vì:ầ

Nó là 1 t p s p th t .ậ ắ ứ ự

Không t n t i 2^3 hay 3^2.ồ ạ
2. th t toàn ph n ứ ự ầ
và bán toàn ph nầ
6
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Quan h “ ệ ≤ ” trên t p s nguyên d ng là th ậ ố ươ ứ
t toàn ph n. Cho (R , ự ầ ≤) là t p s p th t vì quan ậ ắ ứ ự
h “ệ ≤ “ có tính:

Ph n x : ả ạ ∀a∈R ta có, a ≤ a.

Ph n x ng: a ả ứ ≤ b và b ≤ a ⇒ a = b.

B c c u: a ắ ầ ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Ta có quan h “ ệ ≤ ” là m t quan h th t toàn ộ ệ ứ ự
ph n vì ầ ∀ a ≤ b thì ta có b ≤ a (b=a).
2. th t toàn ph n ứ ự ầ
và bán toàn ph nầ
7
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Đ nh nghĩa:ị
Cho (A, ≤) và (B, ≤’) là hai t p s p th t toàn ph n. Ta đ nh ậ ắ ứ ự ầ ị
nghĩa th t trên A x B nh sau:≺ứ ự ư
(a1,b1) (a2,b2) n u a1 < a2 hay (a1 = a2 và b1 ≺ ế ≤’ b2 ).

Ta th y đây là th t toàn ph n trên A x B vì nó có tính:ấ ứ ự ầ
1. Ph n x : ả ạ ∀(a,b) ∈ A x B thì ta có (a,b) vì a = a và b ≺ ≤’ b.
2. Ph n x ng: N u (a1,b1) (a2,b2)(1) và (a2,b2) (a1,b1)(2) thì ≺ ≺ả ứ ế
ta có: n u a1 ế ≠ a2 thì (1) ⇒ a1 < a2 và (2) ⇒ a2 < a1 (Vô lý)
V y a1 = a2.ậ
T ng t , ta có b1 = b2 ươ ự
V y, ta có: (a1,b1) = (a2,b2) ậ
Th t t đi nứ ự ự ể
8
Ch ng IV: Quan hươ ệ
3. B c c u: N u (a1,b1) (a2,b2)(1) và (a2,b2) ≺ ≺ắ ầ ế
(a3,b3)(2) thì ta có
a1 ≤ a2 và a2 ≤ a3 ⇒ a1 ≤ a3
N u a1 < a3 thì ta đã có (a1,b1) (a3,b3) ≺ế
N u a1 = a3 thì ch ng minh t ng t ta s có b1 ế ứ ươ ự ẽ ≤’ b3
Vây ta luôn có (a1,b1) (a3,b3) .≺
Quan h th t toàn ph n này đ c g i là th t ≺ệ ứ ự ầ ượ ọ ứ ự
t đi n.ự ể
Th t t đi n (tt)ứ ự ự ể
9
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Phần tử trội:

Ph n t b trong t p s p th t S đ c g i là ph n t ầ ử ậ ắ ứ ự ượ ọ ầ ử
tr i c a ph n t a trong t p S n u a b.≺ộ ủ ầ ử ậ ế

Chúng ta cũng nói r ng a là đ c tr i b i b .Ph n t b ằ ượ ộ ở ầ ử
đ c g i là tr i tr c ti p c a a n u b là tr i c a a, và ượ ọ ộ ự ế ủ ế ộ ủ
không t n t i tr i c c a a sao cho: a c b, a ≺ ≺ồ ạ ộ ủ ≠ b ≠ c.
Vd: V i t p s p th t (N, <) thì ta có:ớ ậ ắ ứ ự


5 là ph n t tr i c a 2 vì 2 < 5.ầ ử ộ ủ

3 là ph n t tr i tr c ti p c a 2 vì không t n t i s c ầ ử ộ ự ế ủ ồ ạ ố
∈ N sao cho 2 < c < 3 (2 ≠ c ≠ 3).

4 là ph n t tr i nh ng không tr i tr c ti p c a 2 vì ầ ử ộ ư ộ ự ế ủ
t n t i ph n t c = 3 mà 2 < c < 4.ồ ạ ầ ử
3. Bi u đ hasseể ồ
10
Ch ng IV: Quan hươ ệ

Đ nh nghĩa: ị Bi u đ Hasse c a t p s p th t ể ồ ủ ậ ắ ứ ự
(S, ) là m t đ th có h ng mà:≺ ộ ồ ị ướ

M i ph n t c a S đ c bi u di n b ng m t ỗ ầ ử ủ ượ ể ễ ằ ộ
đi m trên m t ph ng.ể ặ ẳ

N u b là tr i tr c ti p c a a thì v m t cung ế ộ ự ế ủ ẽ ộ
đi t a đ n b.ừ ế

Vd: Cho (S, ) là m t t p s p th t v i S = {a, ≺ ộ ậ ắ ứ ự ớ
b, c, d, e} a b, a c, b c, b d.≺ ≺ ≺ ≺
b
d
e
a
c
3. Bi u đ hasseể ồ
11

Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Cho t p s p th t ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, ậ ắ ứ ự
“|”). Hãy v bi u đ Hasse c a nó.ẽ ể ồ ủ
1
2
5
7
8
15
3
0
3. Bi u đ hasseể ồ
12
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Đ nh nghĩa: ị Trong m t t p s p th t (S, ), m t ph n t a ≺ộ ậ ắ ứ ự ộ ầ ử ∈ S đ c g i là:ượ ọ

C c ti u n u: ự ể ế ∀x ∈ S ta đ u có a x.≺ề

C c đ i n u: ự ạ ế ∀x ∈ S ta đ u có x a.≺ề
Kí hi u:ệ

Ph n t c c ti u: a = min(S, ).≺ầ ử ự ể

Ph n t c c đ i: b = max(S, ).≺ầ ử ự ạ
Nh n xét:ậ

Trong m t t p s p th t có th không có ph n t c c đ i và c c ti u.ộ ậ ắ ứ ự ể ầ ử ự ạ ự ể

N u t n t i ph n t c c đ i và c c ti u thì chúng là duy nh t.ế ồ ạ ầ ử ự ạ ự ể ấ


N u t p s p th t (S, ) có |S| h u h n và là quan h th t toàn ≺ ≺ế ậ ắ ứ ự ữ ạ ệ ứ ự
ph n thì (S, ) luôn có ph n t c c đ i và ph n t c c ti u.≺ầ ầ ử ự ạ ầ ử ự ể
4. Ph n t c c ti u ầ ử ự ể
và ph n t c c đ iầ ử ự ạ
13
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd:

Cho t p s p th t (S, “ậ ắ ứ ự ≤”) v i S = [5, 10] (S ớ ⊂ R).
Khi đó ta có:
•
Min(S, “≤”) = 5.
•
Max(S, “≤”) = 10.

T p s p th t (S, “|”) v i S = {3, 4, 5, 6, 7} ậ ắ ứ ự ớ
không có ph n t c c đ i và ph n t c c ti u.ầ ử ự ạ ầ ử ự ể

T p s p th t (S, “^”) v i S = {2, 4, 16, 256, 4096} ậ ắ ứ ự ớ
có:
•
Min (S, “^”) = 2.
•
Không có ph n t c c đ i.ầ ử ự ạ
Ph n t c c ti u ầ ử ự ể
và ph n t c c đ iầ ử ự ạ
14
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Đ nh nghĩa: ị M t ph n t a trong t p s p th t (S, ) đ c ≺ộ ầ ử ậ ắ ứ ự ượ
g i là:ọ


T i ti u n u không t n t i b t kì ph n t a’ ố ể ế ồ ạ ấ ầ ử ∈ S (a’ ≠ a) mà a’ ≺
a.

T i đ i n u không t n t i b t kì ph n t a’ ố ạ ế ồ ạ ấ ầ ử ∈ S (a’ ≠ a) mà a a’.≺
Nh n xét:ậ
Trong m t t p s p th t thì luôn luôn t n t i ph n t t i ộ ậ ắ ứ ự ồ ạ ầ ử ố
ti u và t i đ i, nh ng chúng có th không là duy nh t.ể ố ạ ư ể ấ
Trong bi u đ Hasse:ể ồ

Không có cung nào xu t phát t ph n t t i đ i.ấ ừ ầ ử ố ạ

Không có cung nào k t thúc t i ph n t t i ti u.ế ạ ầ ử ố ể
5. Ph n t t i ti u ầ ử ố ể
và ph n t t i đ iầ ử ố ạ
15
Ch ng IV: Quan hươ ệ
Vd: Cho t p s p th t ({1, 2, 5, 7, 8, 15, 30}, “|”}.ậ ắ ứ ự
Hãy tìm các ph n t t i đ i và t i ti u c a nó.ầ ử ố ạ ố ể ủ

Ph n t t i đ i (màu đ ) : 7, 8, 30.ầ ử ố ạ ỏ

Ph n t t i ti u (màu xanh) : 1, 5, 7.ầ ử ố ể
1
2
5
7
8
1
5

3
0
16
Ch ng IV: Quan hươ ệ
5. Ph n t t i ti u ầ ử ố ể
và ph n t t i đ iầ ử ố ạ

S thêm vào sau. ẽ
17
Các d ng bài t pạ ậ
18
C m nả ơ