100
Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày , có hệ số dẫn nhiệt , 2 mặt biên
có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t
0
, t
n
cho trớc. Tính dòng nhiệt q qua
vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc t
i
, i = 1 ữ (n-1).
9.4.2.2. Lời giải
Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi
lớp là không đổi:
n
n
n1n
i
i
1ii
1
1
10
tttt
tt
q
=
=
=
+
Đây là hệ n phơng trình đại số
tuyến tính của ẩn số t
i
và q. bằng cách khử
các ẩn số t
i
, i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm đợc:
=
=
=
i
n
1i
i
i
n0
R
t
tt
q
, (W/m
2
).
Thay q vào lần lợt mỗi phơng trình ta tìm đợc nhiệt độ các mặt tiếp xúc:
t
i
= t
i-1
- x)tt(
1
i1i
i
, i = 1 ữ n.
Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng:
t
i
(x)
= t
i-1
- x)tt(
1
i1i
i
, i = 1 ữ n.
9.4.3. Vách một lớp, biên loại 3
9.4.3.1. Bài toán
Cho vách phẳng rộng vô
hạn, dày , hệ số dẫn nhiệt =
const, mặt x = 0 tiếp xúc với
chất lỏng 1 có nhiệt độ t
f1
với
hệ số toả nhiệt
1
, mặt x =
tiếp xúc với chất lỏng 2 có
nhiệt độ t
f2
với hệ số toả nhiệt
2
, tìm phân bố nhiệt độ t(x)
trong vách.
Mô hình bài toán có dạng:
101
[]
[]
=
=
=
(3)
(2)
(1)
dx
)(dt
t)(t
dx
)0(dt
)0(tt
0
dx
td
)t(
2f2
1f1
2
2
9.4.3.2. Tìm phân bố t(x)
Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C
1
x + C
2
. Các hằng số C
1
, C
2
đợc xác
định theo (2) và (3):
=+
=
12f212
121f1
C)tCC(
C)Ct(
Giải hệ này ta đợc:
+=
++
=
1
2
1f2
21
2f1f
1
CtC
tt
C
Do đó phân bố t(x) có dạng:
+
++
=
1
21
2f1f
1f
x
tt
t)x(t
Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm
1f
1
1
t,R
và
+
2f
2
2
t,R
đợc gọi là các điểm định hớng của ĐKB loại 3.
9.4.3.3. Tính doang nhiệt q
Theo định luật Fourier ta có:
21
2f1f
1
11
tt
C
dx
dt
q
+
+
===
, (W/m
2
),
Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo:
+
++
==
+
+
==
1
21
2f1f
1f2w
2
11
2f1f
1f1w
tt
t)(tt
1
tt
t)0(tt
102
9.5. Dẫn nhiệt trong vách trụ
9.5.1. Trụ một lớp, biên loại 1
Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r
1
, ngoài r
2
, = const, hai
mặt biên có nhiệt độ t
1
, t
2
. Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt lợng
q
l
= ,
l
Q
(W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ. Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên
có dạng:
=
=
=+
(3)
(2)
(1)
22
11
2
2
t)r(t
t)r(t
0
dr
dt
r
1
dr
td
)t(
9.5.1.2. Tìm phân bố t(r)
Đổi biến
d
r
dt
u =
thì phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng:
0
r
u
d
r
du
=+
hay
r
dr
u
du
=
.
Lấy tích phân lần 1 ta có:
Lnu = - ln r + ln C
1
=
r
ln
Cln
1
hay
r
dt
Cdt
r
C
u
d
r
dt
1
1
=== .
Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là:
t(r) = C
1
ln r + C
2
,
Các hằng số C1, C
2
đợc tính theo ĐKB (2) và (3):
=
=
+==
+==
1112
1
2
21
1
22122
21111
rlnCtC
r
r
ln
tt
C
CrlnCt)r(t
CrlnCt)r(t
Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng:
1
1
2
21
1
r
r
ln
r
r
ln
tt
t)r(t
=
Đờng cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r
1
, t
1
) và (r
2
, t
2
).
9.5.1.3. Tính nhiệt lợng
Dòng nhiệt qua 1m
2
mặt trụ bán kính r bất kỳ là:
1
2
211
r
r
lnr
)tt(
r
C
dr
dt
q
===
, w/m
2
,
103
luôn giảm khi r tăng. Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là:
l
1
2
21
1l
R
t
r
r
ln
2
1
)tt(
C2
l
rl2.q
l
Q
q
=
==
==
, (w/m),
Với
1
2
l
r
r
ln
2
1
R
=
, (mK/W) là nhiệt trở của 1m trụ. Vì q
l
= const với mọi
mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên q
l
đợc coi là 1 đại lợng đặc trng
cho dẫn nhiệt qua vách trụ.
9.5.2. Trụ n lớp biên loại 1
9.5.2.1. Bài toán
Cho vách trụ n lớp, bán kính trong
r
0
, r
1
, . . . r
i
, . . . r
n
, có hệ số dẫn nhiệt
i
,
có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t
0
, t
n
.
Tìm lợng nhiệt q
l
, qua 1m dài mặt trụ,
nhiệt độ t
i
, i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp
xúc và phân bố nhiệt độ t
i
(r) trong mỗi
lớp.
9.5.2.2. Lời giải
Vì q
l
= const với mọi lớp nên có hệ
phơng trình:
,n1i,
r
r
ln
2
1
)tt(
q
n
1i
1i
i
i
i1i
l
ữ=
=
=
Bằng cách khử (n-1) ẩn t
i
, i = 1 ữ (n-1) se thu đợc:
,
r
r
ln
2
1
)tt(
q
n
1i
1i
i
i
n0
l
=
=
, (W/m)
trong đó:
,
r
r
ln
2
1
R
n
1i
1i
i
i
l
=
=
, (mK/W) là tổng nhiệt trở của 1m vách trụ n lớp.
Tính t
i
, i = 1 ữ (n-1) lần lợt theo q
l
ta đợc:
),1n(1i,
r
r
ln
2
1
tt
1i
i
i
1ll
ữ=
=
Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng:
),1n(1i,
r
r
ln
r
r
ln
tt
t)r(t
1i
1i
i
1ii
ll
ữ=
=
104
là đờng cong logarit đI qua 2 điểm (r
i-1
, t
i-1
) và (r
i
, t
i
).
9.5.3. Vách trụ một lớp biên loại 3
9.5.3.1. Bài toán
Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ
đồng chất có r
1
, r
2
, cho trớc, mặt trong tiếp
xúc với chất lỏng nóng có t
f1
,
1
, mặt ngoài
tiếp xúc với chất lỏng lạnh có t
f2
,
2
. Trong toạ
độ trụ, mô hình bài toán có dạng:
[]
[]
=
=
=+
(3)
(2)
(1)
)r(tt)r(t
)r(t)r(tt
0
dr
dt
r
1
dr
td
)t(
2r2f22
1r11f1
2
9.5.3.2. Tìm phân bố t(r)
Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C
1
x + C
2
. Các hằng số C
1
, C
2
đợc xác
định theo các ĐKB (2) và (3):
=+
=
2
1
2f2212
1
1
2111f1
r
C
)tCrlnC(
r
C
)CrlnCt(
Giải ra ta đợc:
;
r
r
ln
rr
tt
C
1
2
2211
1f2f
1
+
+
=
và C
2
= t
f2
+ C
1
;
Vậy:
+
+
+
=
111
1
2
2211
2f1f
1f
rr
r
ln
r
r
ln
rr
tt
t)r(t
.
Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến tại r
1
qua điểm
1f
1
11
t,rR
và tiếp
tuyến tại r
1
qua điểm
+
2f
2
22
t,rR
.
9.5.3.3. Tính nhiệt lợng q
1
Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: