Giáo trình hướng dẫn phân tích quy trình khảo sát đoạn nhiệt tại tiết diện ra của ống p10 pot

100

Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày , có hệ số dẫn nhiệt , 2 mặt biên
có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t
0
, t
n
cho trớc. Tính dòng nhiệt q qua
vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc t
i
, i = 1 ữ (n-1).

9.4.2.2. Lời giải

Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi
lớp là không đổi:

n
n
n1n
i
i
1ii
1
1
10
tttt
tt
q

=



=



=
+

Đây là hệ n phơng trình đại số
tuyến tính của ẩn số t
i
và q. bằng cách khử
các ẩn số t
i
, i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm đợc:




=



=
=

i
n
1i
i
i
n0
R
t
tt
q
, (W/m
2
).
Thay q vào lần lợt mỗi phơng trình ta tìm đợc nhiệt độ các mặt tiếp xúc:
t
i
= t
i-1
- x)tt(
1
i1i
i



, i = 1 ữ n.
Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng:
t
i
(x)

= t
i-1
- x)tt(
1
i1i
i



, i = 1 ữ n.

9.4.3. Vách một lớp, biên loại 3

9.4.3.1. Bài toán

Cho vách phẳng rộng vô
hạn, dày , hệ số dẫn nhiệt =
const, mặt x = 0 tiếp xúc với
chất lỏng 1 có nhiệt độ t
f1
với
hệ số toả nhiệt
1
, mặt x =
tiếp xúc với chất lỏng 2 có
nhiệt độ t
f2
với hệ số toả nhiệt

2
, tìm phân bố nhiệt độ t(x)
trong vách.
Mô hình bài toán có dạng:

101

[]
[]










=
=
=
(3)
(2)
(1)
dx
)(dt
t)(t
dx
)0(dt

)0(tt
0
dx
td
)t(
2f2
1f1
2
2


9.4.3.2. Tìm phân bố t(x)

Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C
1
x + C
2
. Các hằng số C
1
, C
2
đợc xác
định theo (2) và (3):




=+
=
12f212

121f1
C)tCC(
C)Ct(

Giải hệ này ta đợc:










+=


++



=
1
2
1f2
21
2f1f
1
CtC

tt
C

Do đó phân bố t(x) có dạng:











+


++



=
1
21
2f1f
1f
x
tt
t)x(t

Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm











1f
1
1
t,R
và










+
2f

2
2
t,R

đợc gọi là các điểm định hớng của ĐKB loại 3.

9.4.3.3. Tính doang nhiệt q

Theo định luật Fourier ta có:

21
2f1f
1
11
tt
C
dx
dt
q

+


+


===
, (W/m
2
),

Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo:




















+


++



==

+


+

==
1
21
2f1f
1f2w
2
11
2f1f
1f1w
tt
t)(tt
1
tt
t)0(tt


102
9.5. Dẫn nhiệt trong vách trụ

9.5.1. Trụ một lớp, biên loại 1

Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r
1
, ngoài r

2
, = const, hai
mặt biên có nhiệt độ t
1
, t
2
. Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt lợng
q
l
= ,
l
Q
(W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ. Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên
có dạng:







=
=
=+
(3)
(2)
(1)
22
11
2

2
t)r(t
t)r(t
0
dr
dt
r
1
dr
td
)t(


9.5.1.2. Tìm phân bố t(r)

Đổi biến
d
r
dt
u =
thì phơng trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng:
0
r
u
d
r
du
=+
hay
r

dr
u
du
=
.
Lấy tích phân lần 1 ta có:
Lnu = - ln r + ln C
1
=
r
ln
Cln
1
hay
r
dt
Cdt
r
C
u
d
r
dt
1
1
=== .
Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là:
t(r) = C
1
ln r + C

2
,
Các hằng số C1, C
2
đợc tính theo ĐKB (2) và (3):








=

=




+==
+==
1112
1
2
21
1
22122
21111
rlnCtC

r
r
ln
tt
C
CrlnCt)r(t
CrlnCt)r(t


Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng:
1
1
2
21
1
r
r
ln
r
r
ln
tt
t)r(t

=

Đờng cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r
1
, t
1

) và (r
2
, t
2
).

9.5.1.3. Tính nhiệt lợng

Dòng nhiệt qua 1m
2
mặt trụ bán kính r bất kỳ là:
1
2
211
r
r
lnr
)tt(
r
C
dr
dt
q


===
, w/m
2
,

103
luôn giảm khi r tăng. Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là:

l
1
2
21
1l
R
t
r
r
ln
2
1
)tt(
C2
l
rl2.q
l
Q
q

=


==

==
, (w/m),

Với
1
2
l
r
r
ln
2
1
R

=
, (mK/W) là nhiệt trở của 1m trụ. Vì q
l
= const với mọi
mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên q
l
đợc coi là 1 đại lợng đặc trng
cho dẫn nhiệt qua vách trụ.

9.5.2. Trụ n lớp biên loại 1

9.5.2.1. Bài toán

Cho vách trụ n lớp, bán kính trong
r
0
, r
1
, . . . r

i
, . . . r
n
, có hệ số dẫn nhiệt
i
,
có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t
0
, t
n
.
Tìm lợng nhiệt q
l
, qua 1m dài mặt trụ,
nhiệt độ t
i
, i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp
xúc và phân bố nhiệt độ t
i
(r) trong mỗi
lớp.

9.5.2.2. Lời giải

Vì q
l
= const với mọi lớp nên có hệ
phơng trình:

,n1i,
r
r
ln
2
1
)tt(
q
n
1i
1i
i
i
i1i
l
ữ=


=

=



Bằng cách khử (n-1) ẩn t
i
, i = 1 ữ (n-1) se thu đợc:

,

r
r
ln
2
1
)tt(
q
n
1i
1i
i
i
n0
l

=



=
, (W/m)
trong đó:
,
r
r
ln
2
1
R
n

1i
1i
i
i
l

=


=
, (mK/W) là tổng nhiệt trở của 1m vách trụ n lớp.
Tính t
i
, i = 1 ữ (n-1) lần lợt theo q
l
ta đợc:

),1n(1i,
r
r
ln
2
1
tt
1i
i
i
1ll
ữ=

=



Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng:

),1n(1i,
r
r
ln
r
r
ln
tt
t)r(t
1i
1i
i
1ii
ll
ữ=

=





104
là đờng cong logarit đI qua 2 điểm (r

i-1
, t
i-1
) và (r
i
, t
i
).

9.5.3. Vách trụ một lớp biên loại 3

9.5.3.1. Bài toán

Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ
đồng chất có r
1
, r
2
, cho trớc, mặt trong tiếp
xúc với chất lỏng nóng có t
f1
,
1
, mặt ngoài
tiếp xúc với chất lỏng lạnh có t
f2
,
2
. Trong toạ
độ trụ, mô hình bài toán có dạng:

[]
[]







=
=
=+
(3)
(2)
(1)
)r(tt)r(t
)r(t)r(tt
0
dr
dt
r
1
dr
td
)t(
2r2f22
1r11f1
2

9.5.3.2. Tìm phân bố t(r)


Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C
1
x + C
2
. Các hằng số C
1
, C
2
đợc xác
định theo các ĐKB (2) và (3):







=+
=


2
1
2f2212
1
1

2111f1
r
C
)tCrlnC(
r
C
)CrlnCt(

Giải ra ta đợc:
;
r
r
ln
rr
tt
C
1
2
2211
1f2f
1
+


+



=
và C

2
= t
f2
+ C
1
;
Vậy:











+
+


+



=
111
1
2

2211
2f1f
1f
rr
r
ln
r
r
ln
rr
tt
t)r(t
.
Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến tại r
1
qua điểm











1f
1
11

t,rR
và tiếp
tuyến tại r
1
qua điểm










+
2f
2
22
t,rR
.

9.5.3.3. Tính nhiệt lợng q
1


Lợng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: