Một số PP giải bài toán Bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Học sinh:Nguyễn Ngọc Toàn
Lớp :Chuyên Toán khóa 2008-2011
Lời nói đầu.
BĐT là một vấn đề khá quan trọng của toán học.Càng ngày vấn
đề này càng được khai thác sâu hơn.Chính vì đó phương pháp giải
cũng rất đa dang phong phú và ngày càng phức tạp.Cũng như tất cả
mọi bài toán, để giải quyết tốt thì trước hết chúng ta cần nắm vững lí
thuyết và phương pháp giải bắt đầu từ cơ bản mà nâng cao dần
lên.Hiểu và làm được điều đó, tất yếu chúng ta sẽ thu được kết quả tốt
trong mảng này cũng như mọi vấn đề khác.
Đó là lí do tôi quyết định làm chuyên đề về vấn đề BĐT này.
Chuyên đề này chắc chắn còn nhiều thiếu sót, mong các bạn thông
cảm và có ý kiến chỉnh sửa để nó được hoàn thiên hơn.
Xin cám ơn!!!

A.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP:
I.Phương pháp BĐT thông dụng
1.Phương pháp.
a.BĐT cauchy:
Với n số thực không âm: x.
1
, x
2
, …,x
n
(
1, ; 2n n n∈ ≥
)

Ta luôn có:
1 2 n 1 2
x x x .
n
n
n x x x+ + + ≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1 2
x x x
n
= = =
b.Bất đẳng thức schwartz.
Với 2n số thực tùy ý :
( )
1 2 3
1 2 3
; ; ; ;
2
; ; ; ;
n
n
a a a a
n
b b b b

≥


Ta luôn có :
( )

( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1 1 2 2
; ; ;
n n
a kb a kb a kb= = =
c.Bất đẳng thức Bernoulli mở rộng:
1+a >0 thì
( ) ( )
n
1 a 1 ; 1na n R n+ ≥ + ∀ ∈ ≥
Dấu đăng thức xảy ra khi :
1;
0; ; 1
n a R
a n R n
= ∀ ∈


= ∀ ∈ ≥

2.Bài tập cơ bản:
Cho a,b là 2 sô thực thỏa mãn:
2 2

1a b+ =
chứng minh
8 8
1
8
a b+ ≥
Nguyễn Ngọc Toàn-Chuyên Toán 08-11
1
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức schwartz ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 4 4 2 2
2
4 4 4 4 8 8 2 2
8 8
1 . 1 1
1 1
. 1 1
2 4
1
8
a b a b
a b a b a b
a b
= + ≤ + +
⇒ ≤ + ⇒ ≤ + ≤ + +

⇒ ≤ +
⇒
ĐPCM
II.Phương pháp phản chứng chứng minh bất đẳng thức:
1.Phương pháp:
Một mệnh đề chỉ có chân trị hoặc là đúng hoặc là sai mà không thể
đồng thời vừa đúng hoặc vừa sai. Muốn chứng minh mệnh đề đúng, ta
chứng minh nó không sai. Nói cách khác, nếu giả sử mệnh đề mà sai thì
sẽ dấn tới một điều vô lí. Chứng minh bằng phản chứng gồm ba bước:
-Bước 1: Giả định: Giả sử mệnh đề cần chứng minh là sai.
-Bước 2: Truy nguyên: từ giả sử mệnh đề là sai ta suy diễn tới một điều
vô lí với một mệnh đề toán học đã được chứng minh hoặc 2 kết quả trái
ngược nhau.
Bước 3: Kết luận: Điều vô lí chứng tỏ rằng mệnh đề cần chứng minh phải
đúng.
2.Bài tập cơ bản:
Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn đồng thời:
( )
( )
( )
0 1
0 2
1 1 1
0 3
abc
ab bc ca
ab bc ca


<



+ + >



+ + >


Chứng minh cả 3 số a,b,c đều âm.
Giải:
Từ (1) suy ra 1 trong ba số a,b,c phải có một số âm.
Giả sử
a 0 0bc
< ⇒ > ⇒
b và c cùng dương hoặc cùng âm.
Nếu b và c cùng dương thì từ (3) suy ra:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
0 0
2 0
a b c
a b c
abc
a b c a b c b c
ab ac b bc c ab bc ca b bc c
+ +
> ⇒ + + <
⇒ < − + ⇒ + < − +

⇒ + < − − − ⇒ + + < − − − <
Vô lí vì trái với giả thiết ab+bc+ca > 0
Điều đó vô lí chứng tỏ b,c cùng âm.
Vậy a,b,c âm.
III.Phương pháp quy nạp toán học chứng minh bất đẳng thức.
1.Phương pháp:
Nguyễn Ngọc Toàn-Chuyên Toán 08-11
2
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Cơ sở của phương pháp quy nạp để chứng minh một BĐT đúng
với mọi sô tự nhiên thuộc tập con D của tập số tự nhiên N, mà n
0
là phần
tử nhỏ nhất của tập con đó ta thực hiện 3 bước quy nạp như sau:
Bước 1: Chứng minh BĐT đúng với n=n
0
.
Bước 2: Giả sử BĐT đúng với số tự nhiên
0
k n≥
từ đó ta chứng minh bất
đẳng thức cũng đúng với n=k+1.
Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi sô tự nhiên n của tập D.
2.Bài tập cơ bản:
Với giá trị nào của số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:
2 2 1
n
n≥ +
Giải: n=0 suy ra
0

2 2.0 1 1> + =
(sai)
n=1 suy ra
1
2 2.1 1 3> + =
(sai)
n=2 suy ra 4>5 (sai)
n=3 suy ra 8>7 (đúng)
n=4 suy ra 16>9 (đúng)
Giả sử B Đ T đúng với n=k>2 tức là 2
k
>2k+1
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1 tức là 2
k+1
> 2.(k+1)+1
Thật vậy ta có
2 2
k
≥
với mọi
1k ≥
theo giả thiết quy nạp 2
k
+ 2
k
> 2k+1+2
( )
1
2 2 1 1
k

k
+
⇒ > + +
Vậy bất đẳng thức đúng với n=k+1
Kết luận 2
n
> 2n+1 với mọi n > 2
IV.Phương pháp lượng giác chứng minh bất đẳng thức:
1.Phương pháp.
Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng
minh bất đẳng thức mà các chữ bị ràng buộc được với nhau bởi các điều
kiện nhất định chẳng hạn:
-Nếu có hệ thức x
2
+ y
2
=1 thì có thể đặt :
x=cosa và y=sina
-Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt x=tana và y=cota.
2.Bài tập cơ bản:
Cho 4 số thực x, y, u, v thõa mãn x
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
= 1
Chứng minh rằng

( ) ( )
2 2u x y v x y− ≤ − + + ≤
Giải :
Đặt
cos cos
à
sin sin
x a u b
v
y a v b
= =
 
 
= =
 
Khi đó
Nguyễn Ngọc Toàn-Chuyên Toán 08-11
3
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
cos cos sin sin cos sin
os sin 2 os
4
u x y v x y b a a b a a
c a b b a c b a
π
− + + = − + +
 
= − + − = − −

 ÷
 
Do đó :
( ) ( )
2u x y v x y− + + ≤

vì
( ) ( )
os 1 2 2
4
c b a u x y v x y
π
 
− − ≤ ⇒ − ≤ − + + ≤
 ÷
 
⇒
ĐPCM
V.Phương pháp đổi biến chứng minh bất đẳng thức :
1.Phương pháp đổi biến :
Cơ sở của phương pháp đổi biến là thực hiện việc tách một phân
thức trong bất đẳng thức của giả thiết thành tổng của nhiều phân thức ; để
áp dụng được các phương pháp khác( làm mất tổng ở mẫu) để tiếp tục
chứng minh bất đẳng thức. Ở đây cũng không loại trừ khả năng : Khi nhìn
thấy một phần tử chung trong bất đẳng thức ở giả thiết, ta thực hiện phép
đổi biến để đại số hóa bất đẳng thức đang cần chứng minh ; và cũng tiếp
tục chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp khác.
2.Bài tập cơ bản :
Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác :
Chứng minh :

( )
3 1
a b c
b c a a c b a b c
+ + ≥
+ − + − + −
Giải :
Đặt
2
2
2
b c a x c x y
c b a y a y z
a b c z b z x
+ − = = +
 
 
+ − = ⇒ = +
 
 
+ − = = +
 
Ta có x, y,z dương ; khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành :
1
2 2 2 2
y x z x x y x y z x z y
z y z y x x z y z
 
   
+ + +

 
+ + = + + + + +
 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
 
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có
6
1
6 . . . . . 3
2 2 2 2
x y z x z y x y y z x z
z y x y x z y z x
+ + +
+ + ≥ =
⇒
ĐPCM
B.MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1:(ĐH KT cần thơ 1979)Giả sử x,y,z là 3 số thực bất kì hãy chứng
minh:
2 2 2
0x y z xy yz zx+ + − − − ≥
Bài 2:(ĐH 1979) Chứng minh rằng:
1.Với
0x
∀ ≥
ta có:
1 2x x+ ≥

Nguyễn Ngọc Toàn-Chuyên Toán 08-11
4
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
2. Với
( )
0, 1,
i
x i n∀ ≥ =
ta có:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 1 1 2
n
n n
x x x x x x+ + + ≥
Bài 3: (ĐH 1980) Cho 3 số thực a, b, c với a, b khác 0 và a+b+c=0
1.Chứng minh rằng:
3 3 3
3a b c abc+ + =
2.Nếu thêm điều kiện c=-2n với n nguyên dương chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2
3
a b c
n
a b c
+ +
=
+ −
Bài 4:(ĐH ngoại thương TPHCM 1991)

Cho các số dương
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
x x x y y y
chứng minh răng:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2

n n
n
n n n n
x y x y x y x x x y y y+ + + ≥ +
Bài 5:( ĐH sư phạm Vinh 1997) Chứng minh rằng với a,b,c,d,e là các số
thực nằm trong khoảng (0,1) thì:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1a b c d e a b c d e− − − − − > − − − − −
Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn của bài trên.
Bài 6: (ĐH Huế 1997) Cho 2 số không âm b,c.
Chứng minh rằng tồn tại 1 số
[ ]
0,1k ∈
sao cho với mọi số a mà
a b c
≤ +
ta
đều có
ka b c
≤ +
và

( )
1 k a c− ≤
Bài 7:(ĐH an ninh Hà Nội Khối A 1989) Chứng minh rằng với mọi sô
nguyên dương
2n
≥
ta đều có:
1
2 1 3
n
n
 
< + <
 ÷
 
Bài 8:(IMO 2000) Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. CM:
1 1 1
1 1 1 1a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 9: ( IMO 1995)
Cho a,b,c là các số thực dương sao cho abc=1.
Chứng minh:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2a b c b a c c a b

+ + ≥
+ + +
Bài 10:(TH&TT 10/1998)Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện :
1a b c+ + =
.Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
= + + +
+ +
Nguyễn Ngọc Toàn-Chuyên Toán 08-11
5