Một số tính chất của trường hữu hạn

Trang
LỜI CẢM ƠN
Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Cần Thơ, với những kiến
thức tiếp thu được từ quý Thầy Cô của trường và đặc biệt là của quý Thầy Cô Bộ môn
Toán – Khoa Sư phạm đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện luận văn tốt nghiệp toàn
khóa. Em xin gởi lời cảm ơn đến các Thầy Cô Bộ môn Toán, đặc biệt em xin gởi lời
cảm ơn sâu sắc nhất đến Cô Phạm Thị Vui. Cô đã tận tình giúp đỡ và động viên để
em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Và em cũng gởi lời cảm ơn đến gia
đình, bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua.
Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều
nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được ý kiến đóng góp
quý báu từ quý Thầy Cô và các bạn.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp toàn khóa.
Cần thơ, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Võ Ngọc Ân
1
Trang
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.........................................................................................................1
MỤC LỤC...............................................................................................................2
A. PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................4
BẢNG KÝ HIỆU..................................................................................................6
B. PHẦN NỘI DUNG............................................................................................8
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................8
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM..................................................................8
1.1 Nhóm con......................................................................................................8
1.2 Nhóm hữu hạn sinh.......................................................................................8
1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử...................................................................9
2. MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG................................................9

2.1 Định nghĩa....................................................................................................9
2.2 Trường con....................................................................................................9
2.3 Đồng cấu vành............................................................................................10
2.4 Đặc số của vành..........................................................................................11
3. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC..........................................................12
3.1 Bậc của đa thức...........................................................................................12
3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy...............................................12
3.3 Trường phân rã của đa thức........................................................................14
4.MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT GALOIS.......................................15
4.1 Mở rộng trường...........................................................................................15
4.2 Phần tử đại số..............................................................................................15
CHƯƠNG II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN..............17
1. Định nghĩa.......................................................................................................17
2. Nhóm nhân của trường hữu hạn......................................................................17
3. Số phần tử của trường hữu hạn........................................................................20
2
Trang
CHƯƠNG III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN...............................24
1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn....................................24
2. Căn của đơn vị và vết......................................................................................26
3. Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn........................................................28
4. Phân tích đa thức trên trường hữu hạn.............................................................33
CHƯƠNG IV. BÀI TẬP.....................................................................................36
Phần kết luận........................................................................................................44
Tài liệu tham khảo..................................................................................................45
3
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“Lý thuyết vành và trường” là mảng kiến thức quan trọng dành cho sinh viên

chuyên ngành Sư phạm Toán. Đây là môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng
say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên
sinh viên không thể tìm hiểu hết các vấn đề có liên quan đến môn học.
Do vậy, được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn cùng với lòng say mê tìm hiểu
về Trường hữu hạn với những tính chất thú vị như: Mỗi trường hữu hạn đều có số
phần tử là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó, tổng của tất cả các phần tử trong
trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường
2
F
,... nên em đã quyết định chọn đề tài “Một
số tính chất của trường hữu hạn” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Thực hiện đề tài “Một số tính chất của trường hữu hạn”, em hướng đến mục
đích là rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn
khá mới đối với bản thân. Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học
trừu tượng một cách logic và có hệ thống. Luận văn nhằm làm rõ một số tính chất của
Trường hữu hạn. Tiếp đến em tìm hiểu một số tính chất của đa thức trên trường hữu
hạn. Thực hiện luận văn này, em có cơ hội củng cố lại những kiến thức về đại số và
làm quen với cách nghiên cứu khoa học một vấn đề của toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp được sử dụng trong quá trình hoàn thành luận văn là phân
tích, tổng hợp tài liệu để làm rõ nội dung lí thuyết. Sau đó trình bày lại các tính chất
theo một hệ thống.
4. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN
• Nhận đề tài.
• Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài.
• Lập đề cương chi tiết.
• Làm rõ các vấn đề mà đề tài hướng tới hoặc có liên quan đến đề tài.
4
Trang

• Trình bày các vấn đề làm được và thông qua giáo viên hướng dẫn.
• Chỉnh sửa và hoàn chỉnh luận văn.
6. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm 4 chương như sau:
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành, trường,
đa thức và lí thuyết Galois làm nền tảng cho các chương sau.
Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN
Chương này trình bày rõ một số tính chất của trường hữu hạn.
Chương III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN
Chương này trình bày rõ một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạn như:
Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, đa thức bất khả quy trên trường
hữu hạn, phân tích đa thức trên trường hữu hạn.
Chương IV. BÀI TẬP
Gồm một số bài tập làm nhiệm vụ cũng cố, làm rõ những vấn đề được đề cập
đến trong nội dung chính
5
Trang
Bảng kí hiệu
Æ
tập rỗng
Z tập các số nguyên
gcd( , )m n
ước chung lớn nhất của m và n
|m n
m chia hết n
[ ]n
số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng n (
n Î
R)

(mod )a b mº
a đồng dư với b modulo m
( )n
ϕ
số các số nguyên dương không vượt quá n và
nguyên tố cùng nhau với n (hàm Euler)
q
F
trường có q phần tử
*
q
F
nhóm nhân các phần tử khác không của
q
F
( )K a
mở rộng đơn của trường K sinh bởi phần tử a
K F£
K là nhóm con của nhóm F
1 phần tử đơn vị của vành (nhóm)
ord( )a
cấp của phần tử a
1
a
-
(hay
1 a
) nghịch đảo của phần tử a
a
nhóm xyclic sinh bởi phần tử a

[ ]F x
vành các đa thức theo biến x trên trường F
deg( ( ))f x
bậc của đa thức
( )f x
gcd( ( ), ( ))f x g x
ước chung lớn nhất của
( )f x
và
( )g x
( ) ( )f x g x

( )f x
chia hết
( )g x

6
Trang
( )f x
′
đa thức đạo hàm của
( )f x
L K>
hay
K L⊆
L là mở rộng trường của trường K
[ : ]L K
bậc của mở rộng L trên trường K
charF
đặc số của vành (trường) F

7
Trang
B. PHẦN NỘI DUNG
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM
1.1 Nhóm con
1.1.1 Định nghĩa Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm
con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm.
Khi H là nhóm con của G ta kí hiệu
H G≤

1.1.2 Tính chất
i) Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
•
H G≤
•
1
, :
xy H
x y H
x H
−
∈

∀ ∈

∈

•

1
, :x y H xy H
−
∀ ∈ ∈
ii) Cho G là nhóm,
H G≤
và
F H≤
thì
F G≤
1.2 Nhóm hữu hạn sinh
1.2.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm và
X G⊂
i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa X được gọi là nhóm con sinh bởi X kí hiệu là
X
.
ii) Nếu
H G
≤
và
H X=
thì ta nói rằng H sinh bởi X hay X là hệ sinh của H. Đặt
biệt nếu
H G
=
thì ta nói rằng G là một nhóm sinh bởi tập X.
iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh. Đặt
biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic.
iv) Nếu
{ }

1 2
, ,...,
n
X x x x=
thì
X
được viết lại là
1 2
, ,...,
n
x x x
.
1.2.2 Tính chất
i) Cho G là một nhóm và
X G⊂
. Khi đó:
8
Trang
• Nếu
X
= ∅
thì
{ }
X e=
• Nếu
X ≠ ∅
thì
1 2
, ,... , ,
n i

X x x x n N x X= ∈ ∈
ii) Nếu G là nhóm xyclic sinh bởi a thì
{ }
n
G a n Z= ∈
1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử
1.3.1 Định nghĩa Cho G là nhóm
i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là
G
.
ii) Cấp của phần tử
Ga
∈
là cấp của
a
và kí hiệu là
a
.
1.3.2 Tính chất
i) Cho G là nhóm,
a G∈
. Khi đó:
• a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi
,m n∃ ∈
N
,m n
≠
sao cho
m n
a a=

.
• Nếu a có cấp hữu hạn là d thì
{ }
2 1
, , ,...,
d
a e a a a
−
=
.
• Nếu a có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
d
a e=
. Nếu tồn tại n sao cho
n
a e=
khi và chỉ khi
d n
ii) Cho
G
là nhóm,
a G
∈
và
a n=
. Khi đó
( )
,
m
n

a
m n
=
iii) Cho
G
là nhóm xyclic cấp n và
G a=
. Khi đó
k
G a=
khi và chỉ khi
( )
gcd , 1k n =
iv) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic.
v) Cho
G
là nhóm xyclic. Khi đó, nếu
H G≤
thì
H
là nhóm con xyclic của nhóm
G
2.MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG
2.1 Định nghĩa Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và
mọi phần tử khác không đều khả nghịch.
2.2 Trường con
2.2.1 Định nghĩa
9
Trang
i) Giả sử X là trường, tập con A khác rỗng của X được gọi là trường con của X nếu

A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một
trường.
ii) Trường con
P
của
F
được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện
sau:
•
P
không chứa trường con nào của
F
khác
P
• Mọi trường con của
F
đều chứa
P
Khi
F P=
thì
F
được gọi là trường nguyên tố.
2.2.2 Tính chất
i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
• A là trường con của X
•
, , , ,x y A x y A xy A x A∀ ∈ + ∈ ∈ − ∈
và

1
x A
−
∈
nếu
0x
≠
•
, ,x y A x y A∀ ∈ − ∈
và
1
xy A
−
∈
nếu
0y ≠
ii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử. Khi đó các
khẳng định sau là tương đương:
• X là trường
• X không có ideal nào ngoài X và
{ }
0
• Mọi đồng cấu vành khác đồng cấu không từ vành X đến vành bất kỳ đều là
đơn cấu.
iii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ
khi
X
M
là một trường.
2.3 Đồng cấu vành

2.3.1 Đinh nghĩa
i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ
:f X Y→
được gọi là đồng cấu vành nếu
thỏa hai điều kiện sau:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
f xy f x f y
+ = +
=
với mọi
,x y X∈
10
Trang
Nếu
X Y=
thì đồng cấu
:f X Y→
được gọi là tự đồng cấu của X
ii) Cho đồng cấu vành
:f X Y→
. Khi đó:
f
là đơn cấu nếu ánh xạ
f
là đơn ánh
f
là toàn cấu nếu ánh xạ

f
là toàn ánh
f
là song ánh nếu ánh xạ
f
là song ánh
2.3.2 Tính chất
i) Tích của hai đồng cấu là đồng cấu
ii) Giả sử
:f X Y→
là một đồng cấu vành. Khi đó:
•
f
là một toàn cấu khi và chỉ khi
Imf Y
=
•
f
là một đơn cấu khi và chỉ khi
{ }
er 0K f =

2.4 Đặc số của vành
2.4.1 Định Nghĩa. Giả sử X là vành. Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho
0,na a X= ∀ ∈
thì ta nói vành X có đặc số n. Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói
vành X có đặc số 0. Đăc số của vành X được ký hiệu
arCh X
. Nếu X là một trường
thì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X.

2.4.2 Tính chất
i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số
0n >
. Khi đó:
• n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
.1 0n =
• Nếu X không có ước của không ( nói riêng X là miền nguyên, X là
trường) thì n là số nguyên tố.
ii) Nếu
arCh X p=
là một số nguyên tố thì:
( )
p
p p
a b a b+ = +

( )
p
p p
a b a b− = −
iii) Cho
F
là một trường và
P
là một trường con nguyên tố của nó. Nếu:
•
F
có đặc số 0 thì P đẳng cấu với Q
• F có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với
p

Z
11
Trang
3. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC
3.1 Bậc của đa thức
3.1.1 Định Nghĩa Giả sử
( )
[ ]
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a x a x a x a K x
−
−
= + + + + ∈
với
0
n
a ≠
.
Khi đó ta nói đa thức
( )
f x
có bậc n, ký hiệu
( )
degf x n=
. Phần tử
n

a
được gọi là hệ
tử cao nhất, phần tử
0
a
được gọi là phần tử tự do, các
( )
0,
i
a i n
=
được gọi là hệ tử,
các
( )
0,
i
i
a x i n
=
được gọi là hạng tử của đa thức.
3.1.2 Tính chất
Cho
( )
f x
và
( )
g x
là hai đa thức khác không, khi đó:
i) Nếu
( ) ( )

deg degf x g x≠
thì
( ) ( )
( ) ( )
( )
{ }
0
deg max deg ( ),deg ( )
f x g x
f x g x f x g x
 + ≠


+ =



ii) Nếu
( ) ( )
( ) ( )
deg deg
0
f x g x
f x g x
 =


+ ≠



thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
{ }
deg degf ,degf x g x x g x+ ≤
iii) Nếu
( ) ( )
0f x g x ≠
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
deg . deg degf x g x f x g x≤ +
iv) Cho K là trường và
( ) ( )
[ ]
( )
, , 0f x g x K x g x∈ ≠
. Khi đó, tồn tại duy nhất cặp
đa thức
( )
q x
và
( )
[ ]
r x K x∈
sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
.f x g x q x r x= +

với
( ) ( )
deg degr x g x<
. Các đa thức
( )
q x
và
( )
r x
được gọi tương ứng là thương và dư
trong phép chia
( )
f x
cho
( )
g x
3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy
3.2.1 Định nghĩa
i) Cho
( )
[ ]
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a x a x a x a K x
−
−
= + + + + ∈

với
0
n
a ≠
và
c K
∈
. Phần tử
( )
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a c a c a c a
−
−
= + + + +
được gọi là giá trị của
( )
f x
tại c. Nếu
( )
0f c =

thì c được gọi là nghiệm của
( )
f x
. Tìm nghiệm của
( )

f x
trong
K
là giải phương
trình đại số
1
1 1 0
... 0
n n
n n
a x a x a x a
−
−
+ + + + =
trong
K
.
12
Trang
ii) Giả sử
K
là một trường và c là một phần tử của
K
,
( )
f x
là một đa thức của
vành
[ ]
K x

và m là số tự nhiên
( )
1m ≥
. c là một nghiệm bội cấp m của
( )
f x
nếu và
chỉ nếu
( )
f x
chia hết cho đa thức
( )
m
x c−
và
( )
f x
không chia hết cho đa thức
( )
1m
x c
+
−
.
Nếu
1m
=
người ta gọi c là nghiệm đơn,
2m
=

thì c được gọi là nghiệm kép.
iii) Cho K là trường, đa thức
( )f x
trong vành
[ ]K x
gọi là bất khả quy trên K nếu
( )f x
có bậc là một số nguyên dương và từ điều kiện
( ) ( ) ( )f x g x h x=
, với
( ), ( ) [ ]g x h x K x∈
luôn suy ra
( )g x
hoặc
( )h x
là đa thức hằng.
3.2.2 Tính chất
i) Giả sử
K
là một trường và
c K
∈
,
( )
[ ]
f x K x∈
. Khi đó phần dư của phép chia
( )
f x
cho đa thức

x c−
là
( )
f c
.
ii) Nếu
K
là một trường và
c K∈
,
( )
[ ]
f x K x∈
. Khi đó, c là nghiệm của đa thức
( )
f x
khi và chỉ khi
( )
f x
chia hết cho
x c−
.
iii) Các đa thức liên kết với đa thức
( )
[ ]
f x K x∈
là các đa thức có dạng
( )
af x
với

0 a K
≠ ∈
.
iv) Các đa thức bậc nhất
, 0ax b a+ ≠
là các đa thức bất khả quy trên trường K và có
nghiệm là
1
x ba K
−
= − ∈
v) Các đa thức
( )
f x
bậc lớn hơn 1 bất khả quy trên trường K đều không có nghiệm
trong K
vi) Giả sử
F
là trường. Khi đó, nếu
( )
[ ]
p x F x∈
là đa thức bất khả quy trong
[ ]
F x

thì
[ ]
( )
( )

q
F x
p x
là một trường.
Thật vậy:
13
Trang
Lấy
( )
a x ∈
[ ]
( )
( )
q
F x
p x
và
( )
0a x ≠
suy ra
( ) ( )
p x a x
nên
( ) ( )
( )
gcd , 1p x a x =
. Khi đó tồn tại các đa thức
( ) ( )
[ ]
,c x d x F x∈

sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
1c x p x d x a x+ =
.
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
1c x p x d x a x+ =
, mà
( )
0p x =
nên
( ) ( )
1d x a x =
. Vậy
( )
a x
có
nghịch đảo là
( )
d x
trong
[ ]
( )
( )
q
F x
p x
.
Vậy
[ ]

( )
( )
q
F x
p x
là trường.
vii) Cho
( )
1
1 1 0
...
n n
n n
f x a x a x a x a
−
−
= + + + +
là đa thức bất khả quy trên trường K.
Khi đó tồn tại duy nhất ( sai khác một đẳng cấu) trường E sao cho:
• K là trường con của E
•
( )
f x
có nghiệm
θ
trong E
• Mọi phần tử
E
α
∈

viết được duy nhất dưới dạng
1
1 1 0
...
n
n
b b b
θ θ
−
−
+ + +
3.3 Trường phân rã của đa thức
3.3.1 Định Nghĩa
i) Cho K là trường và
( )
f x
là đa thức bậc
1n ≥
trên K. Khi đó, trường E chứa
trường K như trường con, được gọi là trường phân rã của đa thức
( )
f x
trên K nếu
( )
f x
có đúng n nghiệm ( kể cả nghiệm bội) trong E và E là trường tối tiểu ( theo
quan hệ bao hàm ) chứa K và các nghiệm của
( )
f x
.

ii) Cho đa thức
2
0 1 2
( ) [ ]
n
n
f x a a x a x a x K x= + + + + ∈L
, ta gọi đa thức sau đây là đạo
hàm của
( )
f x
:
1
1 2
( ) 2 .
n
n
f x a a x na x
−
′
= + + +L
14
Trang
3.3.2 Tính chất Cho trường K và một đa thức
( )
[ ]
0 f x K x≠ ∈
bậc n. Khi đó,
( )
f x

có nghiệm bội khi và chỉ khi trong trường phân rã của
( )
f x
các đa thức
( )
f x

và
( )
'
f x
có một nghiệm chung.
Thật vậy:
Nếu
α
là nghiệm của
( )
f x
với số bội k thì
( ) ( ) ( )
k
f x x q x
α
= −
với
( )
0q
α
≠
.

Khi đó,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
' ' '
.
k k k
f x x q x k x q x x x q x kq x
α α α α
− −
 
= − + − = − − +
 
Nếu
1k >
thì
α
là một nghiệm của
( )
'
f x
với bội số ít nhất là
1k −
.
Nếu
1k =
thì
( ) ( ) ( ) ( )
' '
f x x q x q x
α

= − +
suy ra
( ) ( )
'
0f q
α α
= ≠
.
Vậy
( ) ( )
'
0f q
α α
= ≠
và
( )
'
f x
có nghiệm chung khi và chỉ khi
α
là một nghiệm
của
( )
f x
với bội số ít nhất bằng 2.
4. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT GALOIS
4.1 Mở rộng trường
4.1.1 Định nghĩa
i) Cho
K

là trường con của trường
L
thì ta nói
L
là một mở rộng của
K
và ký hiệu
K L<
hay
L K>
ii) Cho
K L<
, khi đó
L
có cấu trúc
K
- không gian
L
. Ta biết rằng mọi không
gian đều có cơ sở ( ta hiểu mỗi cơ sở của
K
- không gian
L
là một cơ sở mở rộng
L

trên
K
). Khi đó số chiều của
K

- không gian vectơ
L
được gọi là bậc mở rộng của
L
trên
K
. Ký hiệu
[ ]
:L K
. Nếu
[ ]
:L K < ∞
thì ta nói rằng
L
là một mở rộng hữu
hạn của
K
và ký hiệu
L K> −
hữu hạn. Ngược lại ta nói rằng
L
là mở rộng vô hạn
của
K
.
4.2 Phần tử đại số
4.2.1 Định nghĩa
15
Trang
i) Cho

L K>
và
u L
∈
. Nếu tồn tại đa thức
( )
[ ]
0 f x K x≠ ∈
sao cho
( )
0f u =
thì
u
được gọi là phần tử đại số trên
K
. Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như
vậy thì
u
được gọi là phần tử siêu việt trên
K
ii) Đa thức bất khả quy
( ) [ ]p x K x∈
với hệ tử của bậc cao nhất bằng 1, nhận
α
làm
nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của
α
trên K. Ta ký hiệu
( ) min( , )
α

=p x K
iii) Cho
L K>
và
u L
∈
. Khi đó, bậc mở rộng
( )
:K u K 
 
được gọi là bậc của phần
tử
u
trên
K
iv) Cho
K L<
. Trường L được gọi là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử của L
đều là phần tử đại số trên K. Khi đó ta ký hiệu là
L K> −
đại số.
4.2.2 Tính chất
i) Cho
K L<
và
a L
∈
. Khi đó
a
là phần tử đại số trên K nếu và chỉ nếu một trong

các điều kiện sau đây xảy ra:
•
( ) ( ) ( )
{ }
/ , erK a r a r K x d r n= ∈ <
trong đó
( )
deg ,n Min K a=
•
{ }
2 1
1, , ,...,
n
a a a
−
là cơ sở của
( )
K a
trên K
•
( )
:K a K n  =
 
ii) Nếu
L K>
- hữu hạn thì
L K>
- đại số
iii) Cho
<K L

, giả sử
( )
1 2
=
n
L K a ,a ,...,a
trong đó
i
a
là các phần tử đại số trên
K
.
Khi đó
L
là mở rộng hữu hạn của
K
.
16
Trang
Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG
HỮU HẠN
1.Định Nghĩa
Định nghĩa Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử.
Định lí 2.1.1 Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là một số nguyên tố.
Chứng minh. Ta có đặc số của trường hoặc là 0 hoặc là một số nguyên tố. Giả sử
F

là trường hữu hạn có đặc số 0 thì
F
chứa trường con nguyên tố đẳng cấu với Q.

Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của
F
là vô hạn.(mâu thuẫn).
Vây đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố
W
2.Nhóm nhân của trường hữu hạn
Định lí 2.2.1 Cho
q
F
là trường hữu hạn thì với mọi
q
a F
∈
ta đều có
q
a a
=
.
Chứng minh. Với
0a
=
thì ta có
q
a a=
. Với
0a
≠
thì số phần tử của nhóm nhân
*
q

F
là
1q −
. Suy ra
*
1
q
F q= −
. Khi đó với mọi
*
q
a F∈
ta đều có
1
1
q
a
−
=
hay
q
a a=
.
Vậy
q
a a=
với mọi
q
a F
∈

.
W
Định lí 2.2.2 Cho trường hữu hạn
q
F
. Và
K
là trường con của
q
F
thì đa thức
q
x x−

trong
[ ]
K x
có sự phân tích trong
[ ]
q
F x
là
( )
q
a F
x x x a
∈
− = −
∏
và

q
F
là trường phân rã
của đa thức
q
x x−
trên
K
.
Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1 ta có
q
a a=
với mọi
q
a F
∈
hay
a
là nghiệm của
đa thức
q
x x−
. Ta viết q phần tử của
q
F
là
1, 2,
...
q
a a a

. Khi đó mỗi đa thức
17
Trang
[ ]
, 1,2,...
i q
x a F x i q− ∈ =
đều là ước của đa thức
q
x x−
, hơn nữa các đa thức
[ ]
, 1,2,...
i q
x a F x i q− ∈ =
nguyên tố cùng nhau nên tích
1 2
( )( )...( )
q
x a x a x a− − −

cũng là ước của
q
x x−
. Do đa thức
1 2
( )( )...( )
q
x a x a x a− − −
có bậc là q nên ta có

1 2
( )( )...( )
q
q
x x x a x a x a− = − − −
.
Vậy
q
F
là trường phân rã của đa thức
q
x x−
trên
K
.
W
Định lí 2.2.3 Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm xyclic
Chứng minh. Giả sử F là một trường hữu hạn gồm q phần tử. Đặt
*
1h F q= = −
.
Nếu
1h
=
hoặc h là số nguyên tố thì rõ ràng
*
F
là nhóm xyclic. Do đó, ta có thể giả
sử h là số nguyên dương lớn hơn 1 và không là số nguyên tố.
Giả sử

1
1
m
m
h p p
αα
= K
, với
2m ≥
,
i
p
nguyên tố khác nhau đôi một,
i
α
∈
N,
mi ,1
∈∀
.
Khi đó,
h
p
h
i
<
và đa thức
1
i
h

p
x −
có không quá
i
h
p
nghiệm trong
*
F
, suy ra tồn tại
*
i
a F∈
sao cho
1
≠
i
p
h
i
a
. Đặt
i
i
h
p
i i
b a
α
=

. Ta sẽ chứng minh
i
ii
pb
α
=
. Ta có,
1
i
i
p
h
i i
b a
α
= =
và
1
i
b ≠
vì nếu
1
i
b =
thì
1
1
1
i
i

i i
i i i
p
h
h
p p p
i i i
b a a
α
α α
−
−
 
 ÷
= = =
 ÷
 
(mâu thuẫn).
Do đó,
i
i i
b p
α
và
1
i
b ≠
, suy ra
,1
i

i i i i
b p
β
β α
= ≤ ≤
. Mặt khác,
1
1
i
i i
h
p p
i i
b a
α
−
= ≠
. Vì vậy,
i
ii
pb
α
=
. Đặt
1 2 n
b b b b= K
. Khi đó, do
i
p
, với

1,i m∈
là các số nguyên tố khác nhau
đôi một và
F
giao hoán nên
1
*
1 2 1
m
m m
b b b b p p h F
αα
= = = =K K
. Vậy
*
F b=
.
W
Hệ quả 2.2.4 Mỗi nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường là một nhóm
xyclic.
Chứng minh. Giả sử F là một trường và G là một nhóm con hữu hạn cấp n của
nhóm nhân
*
F
.
18