Một số vấn đề về không gian Sobolev

- 1 -
Lời cảm tạ

Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã
hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học,
ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với
bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua
bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất
vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể
vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt
nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối
cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ
môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy
Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui,
niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có
không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm
tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương
đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ
môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động
viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn
cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành
nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn,
cùng gia đình và bạn bè.
Cần Thơ,
tháng 5 năm 2009
Người viết
Sinh viên.
Phạm Trần Nguyệt Thảo
PHẦN MỞ ĐẦU
 

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong
xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng
bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại
lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường
dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi
phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi
vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ
qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân
cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính. Vẫn chưa
đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của
bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc
tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta
xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng
minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian
nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của
bài toán thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của
các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một
không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev.
Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy
Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu
làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài
“Một số vấn đề về không gian Sobolev”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên
quan đến không gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là
xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. Qua đó,
- 2 -
giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1,

2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm…
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu,
nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong
quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo
thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so
sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa
ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ
ràng.
Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử
dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn
tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp
với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành
phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang.
4. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Nội dung của luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian
p
L
, §2. Biến đổi Fourier,
§3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một
số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến
việc chứng minh các định lí, tính chất đó.
Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có
liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1.
- 3 -
PHẦN NỘI DUNG
 
CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. Không gian
p
L
1.1 Không gian
p
L
Cho
( )
µ
,, S
Ω
là một không gian độ đo, trong đó
Ω
là một tập con mở của
không gian Euclide n chiều R
n
,
S
là
σ
-đại số trên tập đo được Lebesgue và
µ
là
độ đo Lebesgue. Cho
∞≤≤
p1
, ta định nghĩa không gian
p
L

như sau
Với
∞<≤
p1
, ta định nghĩa
=
p
L
{
ff :
là hàm đo được và
( ) ( )
∞<
∫
Ω
xdxf
p
µ
}
và
( ) ( )
( ) ( )
p
p
p
p
p
dfxdxff
/1/1







=






=
∫∫
Ω
µµ
Với
∞=
p
, ta định nghĩa
=
∞
L
{
ff :
là hàm đo được và
( )
kxf
≤
hầu khắp nơi

0,
>
k
}
và
∞
f
inf
=
{
( )
KxfK
≤>
:0
hầu khắp nơi}
Chú ý. Nói
( )
kxf
≤
hầu khắp nơi tương đương với nói rằng
( )
{ }( )
0:
=>
Kxfx
µ
.
Nếu
gf ,
là hai hàm đo được thỏa

( ) ( )
xgxf
=
hầu khắp nơi thì
f
và
g

được xem là giống nhau. Do đó,
0
=
p
f
khi và chỉ khi
( )
0
=
xf
hầu khắp nơi,
với
∞≤≤
p1
.
Cho
∞≤≤
p1
, chỉ số
q
thỏa
1

11
=+
qp
được gọi là số mũ liên hợp của p.
Ta thấy,
1
=
p
thì
∞=
q
. Ngược lại,
∞=
p
thì
1
=
q
.
1.2 Một số định lí và bất đẳng thức
1.2.1 Bổ đề
- 4 -
Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó,
q
b
p
a
ab
qp
+≤

.
1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu
qp
LgvàLf
∈∈
thì
1
Lfg
∈
và
q
p
gffg
≤
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
∈∃
BA,
R
+
sao cho
( ) ( )
qp
xgBxfA
=
.
1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu
p
Lgf
∈

,
thì
ppp
gfgf
+≤+
, với
∞≤≤
p1
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
∈∃
BA,
R
+
,
0
22
≠+
BA
sao cho
BgAf
=
.
1.2.4 Định lí.
p
L
là không gian Banach.
1.2.5 Định lí.
p
L

là không gian phản xạ, với
∞<<
p1
.
1.3 Tích chập
Cho
( )
Ω∈
1
, Lgf
, tích chập của
f
và g được định nghĩa là
( ) ( ) ( )
∫
Ω
−=∗
dyygyxfxgf
1.4 Giá của hàm
1.4.1 Định nghĩa. Cho
f
là một hàm liên tục trên R
n
. Giá của
f
, kí hiệu
là supp
f
, là bao đóng của tập
( ){ }

0:
≠
xfx
.
Kí hiệu
c
C
(R
n
) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact.
c
C
(R
n
) thường được viết là
D
(R
n
).
1.4.2 Ví dụ
• Cho
:f
R
→
R được xác định
( )






≤
>
=
−
0,0
0,
2
/1
x
xe
xf
x
Khi đó,
∞
∈
Cf
.
• Cho
:f
R
n
→
R được xác định
- 5 -
( )






≥
<
=
−−
ax
axe
xf
xaa
,0
,
))/((
2
22
, với
22
1
2
...
n
xxx
++=
Khi đó,
( )
∈
xf
D
(R
n
) và supp

( )
f
{ }
axxaB
≤=⊆
:),0(
.
• Cho
0
>
ε
và định nghĩa
( ) ( )
εφεφ
ε
/xx
n
−
=
, với
1
L
∈
φ
(R
n
),
1
1
=

φ
và
( )
0
≥
x
φ
khi đó
1
1
=
ε
φ
. Thật vậy,
( ) ( ) ( )
1/
===
∫∫∫
−
nnn
RR
n
R
dyydxxdxx
φεφεφ
ε
, với
ε
/xy
=

.
• Cho
0
>
ε
và định nghĩa
( ) ( )
εφεφ
ε
/xCx
n
−
=
, với
( )
∫
=
−
n
R
dxxC
φ
1
và
:
φ
R
n
→
R được cho bởi hàm

( )





≥
<
=
−−
1,0
1,
))1/(1(
2
x
xe
x
x
φ
Khi đó,
( )
x
ε
φ
D
∈
(R
n
) và supp
( )

),0(
εφ
ε
B
=
§2. Biến đổi Fourier
2.1 Kí hiệu
•
( )
∈=
n
xxxx ,...,,
21
(R
n
),
∑
=
=
n
j
jj
xx
1
.
ξξ
, với
∈
ξ
,x

(R
n
).
•
( )
( )
n
n
dxdxdxxdm ...
2
1
21
2/
π
=
đo được Lebesgue trên R
n
.
•
( ) ( )
yxfxf
y
−=
τ
, với y thay đổi trên R
n
,
( ) ( )
λ
λ

λ
/
1
xfxf
n
=
,
0
>
λ
,
;
1
1
ff
y
=
τ
11
ff
=
λ
.
• Cho
1
, Lgf
∈
(R
n
), tích chập

( ) ( ) ( )
∫
−=∗
n
R
dyygyxfxgf
,
111
gfgf
≤∗
.
• Đa chỉ số
( )
∈=
jn
a,,...,,
21
αααα
N,
∑
=
=
n
j
j
a
1
α
. Cho
∈

ξ
R
n
,
n
n
α
αα
α
ξξξξ
...
21
21
=
với
j
j
x
∂
∂
=∂
, và
n
n
D
α
αα
α
∂∂∂=
...

21
21
.
- 6 -
• Cho
1
Lf
∈
(R
n
), biến đổi Fourier của
f
được định nghĩa là
( ) ( ) ( )
∫
−
=
n
R
xi
xdmexff
ξ
ξ
ˆ
.
Với mỗi
∈
ξ
R
n

,
xi
ex
ξ
−
→
là một hàm đặc trưng trong R
n
.
2.2 Tính chất cơ bản
•
1
Lf
∈
(R
n
),
1
ˆ
ff
≤
∞
.
•
1
Lf
∈
(R
n
),

0
ˆ
Cf
∈
( R
n
).
•
1
, Lgf
∈
(R
n
),
( ) ( ) ( ) ( )
ξξξ
gfgf
ˆ
ˆ
^
=∗
.
•
( )
( ) ( )
ξξτ
ξ
fef
yi
y

ˆ
^
−
=
,
( )
( )
( ) ( )
ξτξ
ξ
ξ
fxfe
xi
ˆ
^
0
0
=
và
( ) ( )
λξξ
λ
ff
ˆˆ
=
.
• Nếu
1
Lf
∈

(R
n
) và
1
Lf
j
∈∂
( R
n
) thì
( )
( ) ( )
ξξξ
fif
jj
ˆ
^
=∂
.
Nếu
1
Lf
∈
(R
n
) và
1
LfD ∈
α
(R

n
),
k
≤∀
α
, thì
( )
( ) ( ) ( )
.
ˆ
^
ξξξ
α
α
fifD
=
• Nếu
1
Lf
∈
(R
n
) và
( )
1
Lxfx
j
∈
(R
n

) thì
f
ˆ
khả vi đến
j
ξ
và
( ) ( )
( )
( )
ξξ
^
ˆ
xfixf
jj
−=∂
Nếu
1
Lf
∈
(R
n
),
1
Lfx
∈
α
(R
n
) và

fD
ˆ
α
tồn tại, thì
( ) ( ) ( )
( )
( )
ξξ
α
α
^
ˆ
xfixfD
−=
2.3 Ví dụ
• (Gauss)
( )
2/
2
x
ex
−
=
φ
;
( )
2/
2
ˆ
ξ

ξφ
−
=
e
;
2/1
2








=
∑
=
n
ij
j
xx
.
• (Poisson)
( )
( )
( )







+=
+
2/1
2
1/
n
n
xCx
φ
, với
n
C
làm cho
1
1
=
φ
thì
( )
ξ
ξφ
−
=
e
ˆ
.
• (Fejer)

( )
( )
∏
=
=
n
j
j
j
n
x
x
CxK
1
2
2
2/
2/sin
;
( )
( )
∏
−=
n
j
K
1
1
ˆ
ξξ

.
• (de la Vallie Pousin) (cho
1
=
n
)
( ) ( ) ( )
xKxKxV
λλλ
−=
2
2
. Khi đó,
( )







≤
≤≤−
≤
=
ξλ
λξλ
λ
ξ
λξ

ξ
λ
2,0
2,2
,1
ˆ
V
.
2.4 Định lí đảo của biến đổi Fourier
- 7 -
Nếu
1
Lf
∈
(R
n
) và
1
ˆ
Lf
∈
(R
n
) thì
( ) ( ) ( )
ξξ
ξ
dmefxf
xi
R

n
∫
=
ˆ
hầu khắp nơi.
2.5 Định lí Plancherel
Nếu
21
LLf
∩∈
(R
n
) thì
2
ˆ
Lf
∈
(R
n
),
2
2
ˆ
ff
=
và ánh xạ
:F
21
LL
∩

(R
n
)
→

2
L
(R
n
) được cho bởi
fFf
ˆ
=
được thác triển thành một đẳng cự
2
L
(R
n
)
→

2
L
(R
n
).
2.6 Không gian Schwartz S
Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến
đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc
trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier. Không gian

Schwartz S được mô tả
=
S
{
∞
∈
C
φ
(R
n
):
( )
( )
βαφ
βα
,,sup
n
R
∀∞<
∈
xDx
x
}
Ở đây
βα
,
là đa chỉ số.
Một vài chú ý
• Chú ý
SD

⊂
nên
S
trù mật trong
p
L
(R
n
),
∞≤≤
p1
. Một hàm
( )
2
x
ex
δ
φ
−
=
,
0
>
δ
thuộc S nhưng không thuộc D.
• Cho một đa thức P và
S
∈
φ
,

( ) ( )
SxxP
∈
φ
và
( )
SDP
∈
φ
.
•
S
∈
φ
khi và chỉ khi với mọi số nguyên
0
≥
k
và với mọi đa chỉ số
β
ta
có
( )
( )
xDx
k
φ
β
2
1

+
giới nội.
•
φφ
ˆ
→
là song ánh từ
S
vào
S
. Khi đó, ta có các kết quả
i.
( ) ( ) ( )
( )
( )
ξφξφ
α
α
^
ˆ
xixD
−=
.
ii.
( )
( ) ( ) ( )
ξφξξφ
ββ
ˆ
^ iD

=
.
2.7 Hàm suy rộng điều hòa
- 8 -
2.7.1 Định nghĩa. Không gian tôpô đối ngẫu
'S
của không gian
Schwartz
S
được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa.
2.7.2 Ví dụ
• Cho
p
Lf
∈
(R
n
),
∞≤≤
p1
, định nghĩa
CST
f
→
:
được xác định bởi
( ) ( ) ( )
∫
==
n

R
f
dxxxffT
φφφ
,
Khi đó,
( )
'pp
f
fT
φφ
≤
do đó
f
T
là liên tục.
• Nếu
M
∈
µ
(R
n
) (Không gian của các độ đo giới nội thông thường, đối
ngẫu của
0
C
(R
n
)), xét
( ) ( ) ( )

∫
=
n
R
xdxT
µφφ
µ
Khi đó
'ST
∈
µ
.
• Cho f là một hàm đo được trên R
n
sao cho với mọi số nguyên không âm
k ta có
( )
p
k
Lfx
∈+
−
2
1
(R
n
), với
∞≤≤
p1
. Khi đó,

( ) ( ) ( )
∫
=
n
R
f
dxxxfT
φφ
xác định một hàm trong
'S
, do
( )
≤
φ
f
T
( )
( )
( )
( )
∫
−−
++
n
R
kk
dxxxxfx
φ
22
11

nên hàm đã cho là hàm điều hòa.
• Nếu
µ
là một độ đo thông thường trên R
n
sao cho
( )
Mx
k
∈+
−
µ
2
1
(R
n
),
theo cách xác định ở trên
'ST
∈
µ
. Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều hòa.
2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ
nếu tồn tại một hằng số
0
>
C
và số nguyên l, m sao cho
( ) ( )
SCL

ml
∈∀≤
∑
≤≤
φφρφ
βα
βα
,
,
,
.
2.7.4 Toán tử trong
S
′
. Cho T
∈
S’.
• Phép tịnh tiến. Nếu h
∈
R
n
, định nghĩa
( )( ) ( )
STT
hh
∈∀=
−
φφτφτ
,
thì

'ST
h
∈
τ
.
- 9 -
• Phép nhân với một phần tử của S. Cho
S
∈
φ
, định nghĩa
( )( ) ( )
φψψφ
TT
=
. Khi đó,
'ST
∈
φ
. Nếu P là một đa thức trên R
n
, PT được định
nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hòa.
• Phép phản xạ.
( )
( )
φφ
~
~
TT

=
. Khi đó,
ST
∈
~
.
• Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số
α
, định nghĩa
( ) ( )
( )
SDTTD
∈∀−=
φφφ
α
α
α
,1
(Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó,
'STD
∈
α
.
• Tích chập. Cho
S
∈
ψ
định nghĩa
( ) ( )
∧

∗=∗
φψφψ
TT
. Khi đó,
'ST
∈∗
ψ
.
• Lúc đó, ta xét hàm
( ) ( )
ψτ
x
TxF
=
. Khi đó
∞
∈
CF
(R
n
) và
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
.
φψφψτφψτφ
∗===
∫∫∫
TdxxTdxxTdxxxF
nnn

R
x
R
x
R
Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với
mọi hàm điều hòa T, thì
∞
∈∗
CT
φ
.
• Biến đổi Fourier. Định nghĩa
( )
( )
,
ˆ
ˆ
φφ
TT
=

S
∈∀
φ
. Khi đó,
'
ˆ
ST
∈

.
Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có
i.
( )
( )
∧
−=
TxiTD
α
α
α
ˆ
ii.
( )
( )
TiTD
ˆ
α
α
α
ξ
=
∧
2.7.5 Ví dụ. Cho
δ
=
T
thỏa
( ) ( ) ( )
0

φφδφ
==
T
. Khi đó
•
( ) ( )
x
x
φφδτ
=
•
( )
)0('
φφδ
−=∂
j
•
( ) ( )
0
ˆˆ
,1
ˆ
φφδδ
==
•
( )
x
δφ
∗
=

( )
x
φ
•
δφφ
jj
∂∗=∂
,
S
∈
φ
, vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập.
§3. Hàm suy rộng
3.1 Không gian các hàm chuẩn
( )
Ω
D
3.1.1 Định nghĩa. Một hàm tiêu chuẩn
( ) ( )
n
xxxx ,...,,
21
φφ
=
trên
⊆Ω
R
n
là một hàm khả vi vô hạn trên
Ω

và triệt tiêu ở bên ngoài miền giới hạn, miền
- 10 -
giới hạn có thể phụ thuộc vào hàm tiêu chuẩn. Không gian tất cả các hàm tiêu
chuẩn trên
Ω
được kí hiệu là
( )
Ω
D
.
3.1.2 Ví dụ.
• Cho
:
φ
R
→
R được xác định bởi
( )
( )





≥
<
=
−
1,0
1,

1/1
2
x
xe
x
x
φ
Dễ dàng kiểm tra
φ
là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp
1
±=
x
. Vì
φ
là hàm chẵn, ta chỉ cần kiểm tra tính khả vi tại
1
=
x
.
Ta có,
0lim
1
1
1
2
=
−
→
−

x
x
e
Suy ra
φ
liên tục tại
1
=
x
Hơn nữa,
( )
0lim
1
1
1
1
1
2
2
=
−
−
→
−
x
x
x
e
m
Do đó, tất cả đạo hàm của

φ
bằng 0 tại
1
=
x
• Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu
φ
trên R
n
được cho bởi
( )
( )





≥
<
=
−
1,0
1,
1/1
2
x
xe
x
x
φ

Trong đó,
x
là khoảng cách từ tâm đến x.
3.1.4 Một số tính chất
• Nếu
( )
Ω∈
D
21
,
φφ
thì
( )
Ω∈+
Dcc
2211
φφ
với mọi số thực
21
cvàc
.
• Nếu
φ
thuộc
( )
Ω
D
và
a
khả vi vô hạn trên

Ω
thì
φ
.a
cũng thuộc
( )
Ω
D
.
• Nếu
φ
thuộc
( )
Ω
D
thì mọi đạo hàm riêng của
φ
cũng thuộc
( )
Ω
D
.
- 11 -
• Cho hàm
φ
như trong ví dụ hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu, khi đó







−
ε
φ
0
xx
cũng là một hàm tiêu chuẩn trên R
n
triệt tiêu ngoài hình cầu tâm x
0
bán
kính
ε
.
• Cho
( )
Dxxx
m
∈
,...,,
21
φ
(R
m
) và
( )
Dxx
nm
∈

+
,...,
1
ψ
(R
n-m
). Nếu
( )( )
=
n
xxx ,...,,.
21
ψφ
( )
m
xxx ,...,,
21
φ
.
( )
nm
xx ,...,
1
+
ψ
thì
D
∈
ψφ
.

(R
n
).
3.2 Định nghĩa về dãy rỗng
Chúng ta nói một dãy
{ } ( )
Ω⊂
D
m
φ
là một dãy rỗng trong
( )
Ω
D
nếu
0
→
m
φ
, trong
( )
Ω
D
tồn tại một tập con compact cố định
Ω⊂
K
sao cho supp
( )
K
m

⊆
φ

với tất cả m,
m
φ
và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K.
3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng
Một hàm tuyến tính
T
trên
( )
Ω
D
được gọi là một hàm suy rộng trên
Ω

nếu
0
→
m
T
φ
với mọi dãy rỗng
{ }
m
φ
trong
Ω
. Không gian các hàm suy rộng được

kí hiệu là
( )
Ω
'D
.
3.4 Định lí. Cho
f
là một hàm khả tích địa phương trên một tập
con mở
⊂Ω
R
n
. Định nghĩa
( ) ( ) ( )
∫
Ω
=
dxxxfT
f
φφ
Khi đó,
f
T
thuộc
( )
Ω
'D
.
Nhận xét. Cho
( )

Ω∈
p
Lf
,
1
≥
p
. Khi đó,
f
T
∈
( )
Ω
'D
.
Ví dụ
• Hàm suy rộng Dirac.
Cho
∈
x
R
n
, định nghĩa
( ) ( )
Dx
x
∈=
φφφδ
,
(R

n
)
Dễ dàng chứng minh rằng
'D
x
∈
δ
(R
n
).
Trường hợp
0
δδ
=
được gọi là hàm suy rộng Dirac.
• Cho
T
được định nghĩa bởi
- 12 -
( ) ( )
0
n
n
T
φφ
=
,
D
∈
φ

(R), n=1,2,...
Khi đó,
'DT
n
∈
(R).
Trường hợp
1
=
n
,
1
T
được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực.
Nhận xét.
δ
không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào.
Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương
f
sao cho
f
T
=
δ
, khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
∫∫ ∫

≤==
00
εε
εεε
φφφδ
BR B
dxxfdxxxfdxxxf
n
với
( )
Ω∈
D
ε
φ
sao cho supp
( ) ( )
0
εε
φ
B
⊂
,
10
≤≤
ε
φ
,
1
≡
ε

φ
trên
( )
0
2/
ε
B
. Do đó,
( )
0
→
ε
φδ
khi
0
→
ε
.
Mặt khác,
( )
1
=
ε
φδ
, với mọi
ε
φ
. Vì vậy,
( )
0

→
ε
φδ
khi
0
→
ε
là mâu thuẫn.
3.5 Tính chất của hàm suy rộng
Nhắc lại. Cho
( )
n
αααα
,...,,
21
=
, trong đó
i
α
,
ni ,...,2,1
=
, là các số
nguyên dương, khi đó
α
được gọi là một đa chỉ số.
Kí hiệu một số phép toán liên quan đến đa chỉ số
α
•
∑

=
=
n
i
i
1
αα
•
∏
=
=
n
i
i
1
!!
αα
•
∈=
∏
=
xxx
n
i
i
i
,
1
α
α

R
n
Cho hai đa chỉ số
( ) ( )
nn
ββββαααα
,...,,,,...,,
2121
==
. Khi đó,
βα
≤
khi
và chỉ khi
ii
βα
≤
, với mọi
n , 2, 1,i
…=
.
α
là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân
α
D
là
n
n
xx
D

α
α
α
α
∂∂
∂
=
...
1
1
.
Tính chất 1. Cho
( )
Ω∈
'DT
, với
Ω
là tập mở con của R
n
, và đa chỉ số
α
. Khi đó,
( ) ( )
( )
( )
Ω∈−=
DDTTD
φφφ
α
α

α
,1
.
Tính chất 2. Cho
( )
Ω∈
'DT
,
⊆Ω
R
n
là tập mở và
( )
Ω∈
∞
C
ψ
. Khi đó,
( )( ) ( ) ( )
Ω∈=
DTT
φψφφψ
,
.
- 13 -
Tính chất 3. Cho
( )
Ω∈
'DT
,

⊂Ω
R là một tập con mở,
( )
Ω∈
D
ψ
, và một
đa chỉ số
α
, ta có công thức Leibniz
( )
( )
TDDTD
βαβ
αβ
α
ψ
βαβ
α
ψ
−
≤
∑
−
=
!!
!
.
Ví dụ. Cho
:H

R
→
R là hàm Heaviside được cho bởi
( )



<
≥
=
0,0
0,1
x
x
xH
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
φδφφφφ
==−=−=
∫
∞
0'''
0
dxxTT
HH
Khi đó,
δ
=
H
T'

.
Nhận xét. Từ ví dụ trên, rõ ràng
'
'
ff
TT
≠
.
3.6 Tích chập của hàm suy rộng
Cho hàm
u
bất kì trên R
n
và
∈
x
R
n
, kí hiệu
( )( )
)( xyuyu
x
−=
τ
và
( ) ( )
yuyu
−=
∨
.

Suy ra
( )






=
∨
−
∨
uu
xx
ττ
và
yxyx +
=
τττ
.
Với
'DT
∈
(R
n
),
D
∈
φ
(R

n
), và
∈
x
R
n
, định nghĩa
( )( ) ( )
φτφτ
xx
TT
−
=
Dễ thấy
'DT
x
∈
τ
(R
n
).
3.6.1 Định nghĩa. Cho
'DT
∈
(R
n
), và
D
∈
φ

(R
n
),
:
φ
∗
T
R
n
→
R
n
được cho
bởi
( )( )






=∗
∨
φτφ
x
TxT
, với mọi
∈
x
R

n
.
3.6.2 Định nghĩa. Cho
', DST
∈
(R
n
) Ta định nghĩa hàm suy rộng
ST
∗

trên
D
(R
n
) là
- 14 -
( )( ) ( )
0













∗∗=∗
∨
φφ
STST
,
D
∈
φ
(R
n
).
Định nghĩa 3.6.2 tương đương với điều kiện
( ) ( )
φφ
∗∗=∗∗
STST
, với mọi
D
∈
φ
(R
n
).
§4. Không gian Sobolev
4.1 Không gian Sobolev
Cho
Ω
là một tập mở con của R
n

có biên là
Ω∂
. Ta bắt đầu với định
nghĩa.
4.1.1 Định nghĩa. Cho số nguyên m>0 và
∞≤≤
p1
. Không gian
Sobolev được định nghĩa
{ }
mLuDLuW
pppm
≤Ω∈Ω∈=Ω
α
α
),()()(
,
pm
W
,
là tập hợp tất cả các hàm thuộc
)(
Ω
p
L
có đạo hàm suy rộng đến m
cũng thuộc
)(
Ω
p

L
.
Ta có
)(
Ω
D
, không gian của tất cả các hàm khả vi vô hạn với giá compact
trong
Ω
, thì trù mật trong
)(
Ω
p
L
, với
∞<≤
p1
. Nếu
)(
Ω∈
D
φ
thì
)(
Ω∈
DD
φ
α
, với mọi đa chỉ số
α

. Như vậy,
)()()(
,
Ω⊂Ω⊂Ω
ppm
LWD
, với
∞≤≤
p1
.

)(
,
Ω
pm
W
là một không gian véctơ.
Trên
)(
,
Ω
pm
W
ta trang bị một chuẩn
Ω
,,
.
pm
, như sau
Với

∞<≤
p1
, ta định nghĩa
p
m
p
L
pm
p
uD
/1
0
)(
,,
.










=
∑
≤≤
Ω
Ω

α
α
.
Với
∞=
p
, ta định nghĩa
)(
0
,,
max
Ω
≤≤
Ω∞
∞
=
L
m
m
uDu
α
α
.
Trường hợp đặc biệt
2
=
p
, ta kí hiệu
)()(
2,

Ω=Ω
mm
HW
, cho
)(
Ω∈
m
Hu
, khi đó
ΩΩ
=
,2,, mm
uu
Với
0
=
m
, ta có
)()(
,0
Ω=Ω
pp
LW
, chuẩn trên
p
L
của hàm
)(
Ω∈
p

Lu

được kí hiệu là
)(
Ω
p
L
u
.
- 15 -
Không gian
)(
Ω
m
H
có một phép toán nhân trong tự nhiên được định nghĩa
∑
∫
≤
Ω
Ω
=
m
m
vuDDvu
α
αα
,
),(
, với

)(,
Ω∈
m
Hvu
Phép toán nhân trong này sinh ra
Ω
,
.
m
.
Trong trường hợp
=Ω
R
n
,
(
m
H
R
n
)

có một sự mô tả khác qua biến đổi
Fourier.
Cho
(
1
Lu
∈
R

n
),
∫
−
=
n
R
x
dxxfeu )()(
ˆ
2
ξπ
ξ
là sự biến đổi Fourier của u.
Chú ý.
(
1
L
R
n
)
(
2
L
∩
R
n
) thì trù mật trong
(
2

L
R
n
), những hàm trong
(
2
L
R
n
) có sự biến đổi Fourier thích hợp, định lí Plancherel khẳng định rằng
)R()R(
n2n2
ˆ
LL
uu
=
.
Cho
m
Hu
∈
(R
n
), theo định nghĩa ta có
(
2
LuD
∈
α
R

n
), với mọi
m
≤
α
, như vậy
)
ˆ
( uD
α
được xác định tốt. Hơn nữa, Ta có
uiuD
ˆ
)2()^(
α
α
α
ξπ
=
.
Do đó,
(
ˆ
2
Lu
∈
α
ξ
R
n

), với mọi
m
≤
α
.
Ngược lại, nếu
(
2
Lu
∈
R
n
) sao cho
(
ˆ
2
Lu
∈
α
ξ
R
n
), với mọi
m
≤
α
,
thì
(
2

LuD
∈
α
R
n
), với mọi
m
≤
α
. Vì thế
(
m
Hu
∈
R
n
).
4.1.2 Bổ đề. Tồn tại hằng số
00
21
>>
MvàM
chỉ phụ thuộc m và n sao
cho với mọi
∈
ξ
R
n
,
m

m
m
MM )1()1(
2
2
2
2
1
ξξξ
α
α
+≤≤+
∑
≤
Từ bổ đề, chúng ta có định nghĩa của
(
m
H
R
n
).
4.1.3 Định nghĩa
(
m
H
R
n
)
( )







∈+∈=
)()(
ˆ
1)(
2
2/
2
2 n
m
n
RLuRLu
ξξ
Kết hợp với chuẩn
2
2
2
)(
)(
ˆ
)1(
ξξ
uu
m
R
RH

n
nm
∫
+=
.
Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa
(
s
H
R
n
), với mọi
0
≥
s
.
4.1.4 Định nghĩa. Cho
0
≥
s
, định nghĩa
(
s
H
R
n
)
( )







∈+∈=
)()(
ˆ
1)(
2
2/
2
2 n
s
n
RLuRLu
ξξ
.
- 16 -
Kết hợp với chuẩn
2
2
2
)(
)(
ˆ
)1(
ξξ
uu
s
R

RH
n
ns
∫
+=
.
4.1.5 Định lí. Với mọi p,
∞≤≤
p1
,
)(
,
Ω
pm
W
là một không gian Banach.
* Xét không gian tích:
( )
( )
( ) ( )
)1((,...
1
+Ω××Ω=Ω
+
nLLL
pp
n
p
lần)
Với chuẩn

p
n
i
p
L
i
p
uu
/1
1
1
)(






=
∑
+
=
Ω
, với
( )
( )
1
11
),...,(
+

+
Ω∈=
n
p
n
Luuu
Khi đó, ánh xạ
( )
( )
1
1
,
,...,,)(
+
Ω∈








∂
∂
∂
∂
→Ω∈
n
p

n
pm
L
x
u
x
u
uWu
là một phép
đẳng cự. Ta có một số tính chất
•
)(
,
Ω
pm
W
là không gian phản xạ, với
∞<≤
p1
.
•
)(
,
Ω
pm
W
là không gian tách được, với
∞<≤
p1
.

•
)(
Ω
m
H
là không gian Hilbert tách được, với
∞<≤
p1
.
4.1.6 Định nghĩa. Cho
∞<≤
p1
, đặt
)(
,
0
Ω
pm
W
bằng bao đóng của
)(
Ω
D
trong
)(
,
Ω
pm
W
.

)(
,
0
Ω
pm
W
là một không gian con đóng của
)(
,
Ω
pm
W
.
Phần tử của
)(
,
0
Ω
pm
W
gần giống trong không gian định chuẩn
)(
,
Ω
pm
W
bằng những hàm thuộc
( )
Ω
∞

C
có giá compact trên
Ω
.
)(
,
0
Ω
pm
W
là không gian con thực sự của
)(
,
Ω
pm
W
, trừ trường hợp
=Ω
R
n
.
4.1.7 Định lí. Cho
∞<≤
p1
, khi đó
(
,1 p
W
R
n

) =
(
,1
0
p
W
R
n
).
4.1.8 Định lí. Cho
∞<≤
p1
, với mọi số nguyên
0
≥
m
thì
(
, pm
W
R
n
) =
(
,
0
pm
W
R
n

).
Trường hợp đặc biệt
m
H
(R
n
)=
m
H
0
(R
n
).
Ta có thể nói rằng
( )
Ω
p
L
là một tập gồm các lớp hàm. Như vậy, khi nói “u
là một hàm liên tục trong
( )
Ω
p
L
” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại
diện là hàm u liên tục.
Kết quả sau đặc trưng cho
( )
Ω
p

W
,1
khi
⊂=Ω
I
R là một khoảng mở.
- 17 -
4.1.9 Định lí. Cho
⊂
I
R là một khoảng mở, nếu
( )
IWu
p,1
∈
thì u là hàm
liên tục tuyệt đối.
4.1.10 Chú ý. Cho
⊂
I
R là một khoảng mở giới nội, ví dụ
)1,0(
=
I
. Khi
đó, nếu
( )
IWu
p,1
∈

thì ta có thể viết
( ) ( ) ( )
dttuuxu
x
∫
+=
0
'0
Như vậy,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
q
IL
q
p
x
p
x
xuxuxdttuxudttuxuu
p
/1/1
/1
00
''')0(
+≤







+≤+≤
∫∫
Lấy tích phân trên
( )
1,0
, ta được
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
IpILIL
q
IL
ucuucdxxudxxuu
ppp
,,1
11
1
0
/1
1
0
'')0(
≤+≤+≤
∫∫
trong đó
1
c
không phụ thuộc u. Cũng như vậy ta có
[ ]

IpIpIpIp
ucuucuuxu
,,1
3
,,0,,1
2
,,0
'')0()(
≤+≤+≤
Trong đó,
2
c
và
3
c
độc lập với u.
4.1.11 Chú ý. Không gian lớn hơn chứa không gian của những hàm trơn
hơn.
Lấy B(0,1)
( )
{ }
1:
,,1
,1
≤∈=
Ip
p
uIWu
là hình cầu đơn vị trong
( )

IW
p,1
.
Khi đó, ánh xạ
( )
)(:
,1
ICIWi
p
→
liên tục. Do đó, B(0,1)=i(B(0,1)) là một tập giới
nội đều trong
)(IC
.
Mặt khác, cho
Iyx
∈
,
, ta có
( ) ( )
( )
q
Ip
q
IL
yxuyxuyuxu
p
/1
,,1
/1

'
−≤−≤−
suy ra B(0,1) liên tục đều trong
( )
IC
, từ định lí Ascoli-Arzela suy ra B(0,1) là tập
compact tương đối trong
( )
IC
. Hay nói cách khác,
( )
)(:
,1
ICIWi
p
→
là một toán
tử compact.
Trên không gian
)(
,
Ω
pm
W
, ta định nghĩa nửa chuẩn
( )
p
ma
p
L

pm
p
uDu
/1
,,








=
∑
≤
Ω
Ω
α
được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn
p
L
.
4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare). Cho
Ω
là một tập mở giới nội
trong R
n
. Khi đó, tồn tại một số nguyên dương
( )

pCC ,
Ω=
sao cho
- 18 -
( )
ΩΩ
≤
,,1 pL
uCu
p
,
)(
,1
0
Ω∈
p
Wu
.
Ω
→
,,1 p
uCu
định nghĩa một chuẩn trên
)(
,1
0
Ω
p
W
tương đương với chuẩn

Ω
,,1
.
p
. Từ
0
,,1
=
Ω
p
u
theo bất đẳng thức Poincare suy ra
0
=
u
. Do đó, nó là
một chuẩn.
Ta có,
( )
( )
p
p
p
p
p
p
p
L
p
L

p
p
uCuCuuuDu
p
p
ΩΩΩΩ
=
Ω
Ω
+=+≤+=
∑
,,1,,1,,1
1
,,1
)1(
α
α
và
( )
p
p
p
L
p
p
uuDu
p
Ω
=
Ω

Ω
∑
≤=
,,1
1
,,1
α
α
.
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có
p
p
p
p
p
p
p
uCuu
ΩΩΩ
+≤≤
,,1
/1
,,1,,1
)1(
.
4.1.13 Ví dụ. Bất đẳng thức Poincare không đúng với miền không giới nội.
Ví dụ, nếu lấy
=Ω
R
n

và
D
∈
φ
(R
n
), xác định bởi
( )





≥
≤
=
2x,0
1,1 x
x
φ
,
10
≤≤
φ
Đặt
( ) ( )
kxx
k
/
φφ

=
, thì
0
/1
1
)(
,,1
→








=
∑
=
p
p
RL
k
Rp
k
np
n
D
α
α

φφ
, khi
∞→
k
.
Trong khi
∞→≥
)),0((
)(
kB
np
RL
k
µφ
, khi
∞→k
.
4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev
Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số.
4.2.1 Định nghĩa. Cho
∞<≤
p1
, q là số mũ liên hợp của p. Không gian
đối ngẫu của không gian
)(
,
0
Ω
pm
W

, với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là
)(
,
Ω
−
qm
W
.
Như vậy,
( )
Ω
−
m
H
là không gian đối ngẫu của
( )
Ω
m
H
0
.
- 19 -
4.2.2 Định lí. Cho
( )
Ω∈
−
q
WF
,1
, khi đó, tồn tại

( )
Ω∈
q
n
Lfff ,...,,
10
sao cho
( ) ( ) ( )
Ω∈
∂
∂
+=
∑
∫∫
=
ΩΩ
p
i
n
i
i
Wv
x
v
fvfvF
,1
0
1
0
,

(2.1)
Và
( )
Ω
≤≤
Ω−
=
q
L
i
ni
q
fF
0
,,1
max
.
Khi
Ω
là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng
0
0
=
f
.
Giả sử định lí trên là đúng. Vì
( )
Ω
D
trù mật trong

( )
Ω
p
W
,1
0
, hàm tuyến
tính thì xác định duy nhất nên nó cố định trong
( )
Ω
D
.
Cho
( )
Ω∈
D
φ
, (2.1) được viết lại như sau
( )
φφ
φ
φφ
∑
∫∫
∑
∫∫
=
ΩΩ
=
ΩΩ

∂
∂
−=
∂
∂
+=
n
i
i
i
i
n
i
i
x
f
f
x
ffF
1
0
1
0
Như vậy,
F
có thể được xác định với hàm suy rộng
∑
∫
=
Ω

∂
∂
−
n
i
i
i
x
f
f
1
0
. Một
hàm trên
( )
Ω
p
W
,1
thì được xác định với một hàm suy rộng, là đạo hàm suy rộng
của một phần tử trong
( )
Ω
q
L
. Do đó, không gian đối ngẫu của
( )
Ω
p
W

,1
0
được kí
hiệu là
( )
Ω
−
q
W
,1
.
Định lí trên cũng đúng với không gian đối ngẫu của
( )
Ω
p
W
,1
(trừ trường
hợp ta không giả sử
0
0
=
f
ngay cả khi
Ω
giới nội), nhưng sự xác định với hàm
suy rộng thì không thể. Thật vậy, không gian đối ngẫu của
( )
Ω
p

W
,1
cũng bao gồm
sự mở rộng của hàm suy rộng trên
( )
Ω
p
W
,1
, nhưng sự mở rộng này không duy
nhất.
Cho
pnm /
>
, khi đó
( )
( )
Ω⊂Ω
CW
pm,
Do đó, giá trị của điểm được định nghĩa tốt.
Nếu
Ω∈
0
x
,
( )
Ω∈ D
φ
, thì

( ) ( )
0
0
x
x
φφδ
=

và
( ) ( )
( )
ΩΩ
≤≤=
∞
,,
0
0
pmL
x
Cx
φφφφδ
.
- 20 -
Cho không gian định chuẩn
( )
Ω
pm
W
,
,

0
x
δ
liên tục trên
( )
Ω
D
và tính liên
tục được thác triển đến
( )
Ω
pm
W
,
0
. Suy ra
( )
Ω∈
−
qm
x
W
,
0
δ
, với
pnm /
>
.
Với mọi miền xác định

Ω
, hàm suy rộng Dirac thuộc không gian Sobolev
của một số âm đủ lớn nào đó.
Bây giờ, ta định nghĩa không gian Sobolev cho một số thực s bất kì.
Định nghĩa. Cho
∞<≤
p1
, thì
( ) ( )
( ) ( )
( )










Ω×Ω∈
−
−
Ω∈=Ω
+
p
pns
p
ps

L
yx
yuxu
LuW
/
,
:
.
Cho
σ
+=
ms
,
10,0
<<≥
σ
m
,
( ) ( ) ( )
{ }
mWuDWuW
ppmps
=∀Ω∈Ω∈=Ω
α
σα
,:
,,,
.
( )
Ω

ps
W
,
0
là bao đóng của
( )
Ω
D
trong
( )
Ω
ps
W
,
và
( )
Ω
−
qs
W
,
0
là đối ngẫu
của
( )
Ω
ps
W
,
0

.
Khi
=Ω
R
n
và
0
≥
s
,
s
H
(R
n
)={
2
Lu
∈
(R
n
) :
( )
( )
2
2/
2
ˆ
1 Lu
s
∈+

ξξ
(R
n
)}
và
( )
( )
2/1
22
)(
ˆ
1






+=
∫
n
n
s
R
s
RH
duu
ξξξ
Không gian đối ngẫu của
s

H
(R
n
) là
s
H
−
(R
n
), khi s>0.
4.2.3 Định lí. Cho
0
>
s
, khi đó
s
H
−
(R
n
)
{
'Su
∈=
(R
n
):
( )
( )
2

2/
2
ˆ
1 Lu
s
∈+
−
ξξ
(R
n
)}
4.2.4 Chú ý. Nếu
δ
là hàm suy rộng Dirac thì
1
ˆ
≡
δ
Do đó,
( )
( )
( ) ( )
dxx
n
R
∫
=
/
==
φφφδφδ

0
ˆˆˆ

Và
s
H
−
∈
δ
(R
n
)
( )
2
2/
2
1 L
s
∈+⇔
−
ξ
(R
n
).
Điều này đúng cho
2/ns
>
, vì tích phân
( )
∫

∞
−
+
0
2
1
1
dr
r
r
s
n
chỉ hữu hạn khi
2/ns >
.
- 21 -
Trường hợp đặc biệt,
s
H
−
∈
δ
(R),
2/1
>
s
.
CHƯƠNG 2
BÀI TẬP
Bài 1

a. Chứng minh rằng nếu
gf ,
là hàm liên tục có giá là tập compact thì
supp
( )
⊆∗
gf
supp
( )
f
+ supp
( )
g
.
Giải
a. Gọi A, B lần lượt là giá của f và g. Giả sử
{ }
BzAyzyBAx
∈∈+=+∉
,:
Xét
( ) ( ) ( )
∫
−=∗
.dyygyxfxgf
Dễ thấy tích phân khác không chỉ khi
By
∈
và
Ayx

∈−
. Nhưng nếu
BAx
+∉
thì cả y và x-y lần lượt không thuộc vào B và A. Vì vậy,
( )
0
=∗⇒+∉
xgfBAx
Vì cả A và B đều là compact nên A+B là compact. Vì vậy,
supp
( )
⊆∗
gf
supp
( )
f
+ supp
( )
g
.
Bài 2. Cho
( )
∞≤≤∈
pLf
p
1
. Chứng minh rằng
{ }
1,:sup

≤∈=
∫
q
q
p
gLgfgdf
µ
.
Giải
- 22 -
Trường hợp 1.
∞<<
p1
. Theo bất đẳng thức Holder ta có
qp
gffgd
≤
∫
µ
Do đó, vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng vế trái. Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả
sử
0
>
p
f
. (
0
=
p
f

đẳng thức hiển nhiên đúng). Đặt
fffg
pp
p
sgn
11
−−
=
. Khi đó,
q
Lg
∈
và
1
=
q
g
. Hơn nữa,
∫∫
==
−
p
p
p
p
fdfffgd
µµ
1
Trường hợp 2.
1

=
p
. Khi đó,
∞
≤
∫
gffgd
1
µ
. Như vậy một chiều
của bất đẳng thức xảy ra. Giả sử
0
1
≠
f
. Đặt
fg sgn
=
. Khi đó,
1
=
∞
g
và
1
ffgd
=
∫
µ
.

Trường hợp 3.
∞=
p
. Một chiều của bất đẳng thức hiển nhiên đúng như
trước. Giả sử
0
≠
∞
f
. Cho
∞
<<
f
α
0
. Chọn một tập đo được A sao cho
( )
∞<<
A
µ
0
và
( )
α
>
xf
,
Ax
∈∀
. Định nghĩa

( )
( )
A
f
A
g
χ
µ
.sgn
1
=
trong đó,
A
χ
là
kí hiệu hàm đặc trưng của A. Khi đó,
1
Lg
∈
và
1
1
=
g
. Khi đó,
( )
αµ
µ
µ
>=

∫∫
A
df
A
fgd
1
Do đó, phần trên là đúng cho mỗi
α
(
∞
<<
f
α
0
).
Bài 3. Cho hàm
( )
baLf
loc
;
1
∈
, ta nói hàm
( )
baLg
loc
;
1
∈
là đạo hàm suy

rộng của f nếu
∫∫
−=
b
a
b
a
dxgdxf
ϕϕ
'
với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
Kí hiệu
dx
df
gfg
==
;'
. Hãy chứng minh các tính chất sau của đạo hàm suy
rộng
a. Đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi
b.
( )
'''

2121
ffff
+=+
c.
( )
'' cfcf
=
.
Giải
a. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, giả sử có
21
, gg
thỏa
- 23 -
∫∫
−=
b
a
b
a
dxgdxf
ϕϕ

1
'
và
∫∫
−=
b
a
b
a
dxgdxf
ϕϕ
2
'
Suy ra
( )
0
21
=−
∫
b
a
dxgg
ϕ
,
ϕ
∀
.
Do đó,
21
gg

=
hầu khắp nơi. Hay đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp
nơi.
b. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, ta có
( ) ( )
∫∫∫∫∫∫
+−=−−=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxffdxfdxfdxfdxfdxff
ϕϕϕϕϕϕ
'''''''

21212121
Mà
( ) ( )
∫∫
+−=+
b
a
b
a
dxffdxff
ϕϕ
''
2121
Suy ra
( ) ( )
∫∫
+−=+−
b
a
b
a
dxffdxff
ϕϕ
'''
2121
Vậy
( )
'''
2121
ffff

+=+
.
c. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, ta có
( ) ( )
∫∫∫∫
−=−==
b
a
b
a
b
a
b
a
dxcfdxfcdxfcdxcf
ϕϕϕϕ
''''
Mà
( ) ( )
∫∫
−=
b

a
b
a
dxcfdxcf
ϕϕ
''
Suy ra
( ) ( )
∫∫
−=−
b
a
b
a
dxcfdxcf
ϕϕ
''
Vậy
( )
'' cfcf
=
.
Bài 4. Giả sử
( )
x
θ
là hàm Heaviside
( )




<
≥
=
0,0
0,1
x
x
x
θ
và các hàm suy rộng
x
1
và
( )
x
δ
được định nghĩa: với mọi hàm thử
( )
Dx
∈
ϕ
(R)
( )
( )
∫
>
→
+
=

ε
ε
ϕ
ϕ
x
dx
x
x
x
x
0
lim,
1
và
( ) ( ) ( )
0,
ϕϕδ
=
xx
Hãy chứng minh các đẳng thức sau
- 24 -
a.
( ) ( )
xx
dx
d
δθ
=
b.
x

x
dx
d 1
ln
=
c.
xx
dx
d
sgn
=
, trong đó
( ) ( )
xxx
−−=
θθ
sgn
d.
( )
xx
dx
d
θ
=
+
, trong đó
( )
xxx
θ
=

+
.
Giải
Giả sử
( )
Dx
∈
ϕ
(R) thỏa supp
[ ]
aa,
−⊂⊂
ϕ
a. Ta có
( ) ( )
xx
ϕθ
,'
( ) ( )
xx ',
ϕθ
−=
( ) ( )
∫
−
−=
a
a
dxxx '
ϕθ

( )
∫
−=
a
dxx
0
'
ϕ
( )
a
x
0
ϕ
−=
( ) ( )
[ ]
0
ϕϕ
−−=
a
( )
0
ϕ
=
( ) ( )
xx
ϕδ
,
=
Vậy

( ) ( )
xx
δθ
=
'
.
b. Ta có

( )
xx
ϕ
,ln'
( )
xx ',ln
ϕ
−=
( )
∫
−
−=
a
a
dxxx 'ln
ϕ

( ) ( ) ( ) ( )







+−−=
∫∫
−
−
→
a
a
dxxxdxxx
ε
ε
ε
ϕϕ
'ln'lnlim
0

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )






−+−−−=
∫∫
−

−
−
−
→
a
a
a
a
dx
x
x
xxdx
x
x
xx
ε
ε
ε
ε
ε
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
lnlnlim
0

( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )







−−−−−=
∫∫
−
−
→
a
a
dx
x
x
dx
x
x
ε
ε
ε
ϕϕ
εϕεϕε
lnlim
0

( )
( )
x

x
dx
x
x
x
ϕ
ϕ
ε
ε
,
1
lim
0
==
∫
>
→
+
Vậy
x
x
1
ln'
=
.
c. Ta có

( )
xx
ϕ

,'
( )
xx ',
ϕ
−=
( )
∫
−
−=
a
a
dxxx '
ϕ
( ) ( )






−=
∫∫
−
−
→
a
a
dxxxdxxx
ε
ε

ε
ϕϕ
''lim
0

( ) ( ) ( ) ( )






+−−=
∫∫
−
−
−
−
→
a
a
a
a
dxxxxdxxxx
ε
ε
ε
ε
ε
ϕϕϕϕ

0
lim

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )






+−−−−−−=
∫∫
−
−
→
a
a
dxxdxxaaa
ε
ε
ε
ϕϕϕϕεϕεϕε
0
lim
- 25 -