BÀI 3 : MÔ HÌNH NHIỀU PHƯƠNG TRÌNH pdf

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Bài 3
mô hình nhiều phơng trình
1. Đặt vấn đề
Trong các mô hình một phơng trình ta luôn xác định các biến
giải thích và biến phụ thuộc một cách hết sức rõ ràng và luôn coi nh
các yếu tố không có trong mô hình tác động đến biến phụ thuộc là
không có tính hệ thống. Điều đó thể hiện trong các mô hình nhờ giả
thiết các sai số U
i
có trung bình bằng không. Trong nhiều hệ thống
kinh tế, có nhiều biến phụ thuộc cùng tồn tại và tác động qua lại với
nhau. Lúc đó phải xây dựng và ớc lợng các mô hình nhiều phơng
trình để mô tả các mối quan hệ đó.
2. Dạng cấu trúc và dạng rút gọn của các mô hình nhiều phơng trình.
2.1. Hệ phơng trình cấu trúc.
Ví dụ 1. Xét các phơng trình sau biểu diễn cầu và cung về gạo ( Mô
hình cân bằng riêng):
Hàm cầu: Q
dt
=
1
+
2
P
t
+
3
Y

t
+ u
t
(1)
Hàm cung: Q
st
=
1
+
2
P
t
+
3
R
t
+ v
t
(2)
Q
dt
= Q
st
(3)
Trong đó: Q
dt
và Q
st
là cầu và cung về gạo.
P

t
là giá gạo.
Y
t
là thu nhập.
R
t
là lợng ma.
u
t
và v
t
là các sai số ngẫu nhiên phản ánh các nhân tố
khác có ảnh hởng đến cầu và cung về gạo.
Các phơng trình (1) và (2) gọi là các phơng trình hành vi vì
chúng đợc xác định bằng hành vi của các tác nhân kinh tế.
Phơng trình (3) là điều kiện cân bằng, qua đó xác định mức giá
cân bằng và lợng gạo đợc giao dịch trên thị trờng. Nh vậy hệ
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
phơng trình đồng thời nói trên bao gồm hai phơng trình hành vi
và một điều kiện cân bằng.
Các phơng trình (1) (2) và (3) tạo nên hệ phơng trình cấu trúc
của mô hình nhiều phơng trình cung cầu.
Phơng trình cấu trúc là phơng trình thể hiện quan hệ của các
biến kinh tế thiết lập từ các quan điểm, định nghĩa và các giả thiết
cho trớc. Các hệ số hồi quy và gọi là các tham số cấu trúc.
Vì giá và lợng gạo giao dịch đợc xác định một cách đồng thời
qua mô hình và có tác động qua lại với nhau nên chúng đợc gọi là

các biến nội sinh (Endogenous Variables ), còn thu nhập và lợng
ma không đợc xác định qua mô hình mà đợc cho trớc từ bên
ngoài mô hình nên chúng đợc gọi là các biến ngoại sinh (
Exogenous variables).
Chú ý rằng trong các mô hình một phơng trình ngời ta thờng
dùng thuật ngữ biến phụ thuộc và biến giải thích còn đối mô hình
nhiều phơng trình thì các thuật ngữ đó không còn thích hợp nữa.
Chẳng hạn trong phơng trình (1) nói trên giá là biến giải thích
nhng không phải là biến ngoại sinh.
Với mô hình ba phơng trình đợc xác định nh trên ta có thể
đặt:
Q
dt
= Q
st
= Q
t

Và rút gọn mô hình xuống còn hai phơng trình. Nh vậy mô hình
chỉ còn hai phơng trình với hai biến nội sinh là P
t
và Q
t
và ba biến
ngoại sinh là hệ số chặn, Y
t
và R
t
. Số phơng trình của hệ ( cũng là số
biến nội sinh) ký hiệu là M và số biến ngoại sinh ký hiệu là K.

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Ví dụ 2. Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây:
C
t
=
1
+
2
DY
t
+
3
DY
t-1
+ u
t
(4)
I
t
=
1
+
2
Y

t
+
3
Y
t-1
+ v
t
(5)
DY
t
= Y
t
- T
t
(6)
Y
t
= C
t
+ I
t
+ G
t
(7)
Trong đó C
t
là tiêu dùng,
I
t
là đầu t,

Y
t
là GNP,
G
t
là tiêu dùng của chính phủ,
T
t
là tổng mức thuế,
DY
t
là thu nhập khả dụng.
Phơng trình (6) xác định DY
t
là GNP trừ thuế, nh vậy nó là một
đồng nhất thức.
Phơng trình (7) là điều kiện cân bằng.
Các phơng trình (4) và (5) là phơng trình hành vi. Nh vậy mô
hình gồm bốn phơng trình cấu trúc với bốn biến nội sinh là Y
t
, C
t
, I
t

và DY
t
( M = 4).
Biến DY
t-1

là thu nhập khả dụng ở kỳ trớc, ở thời điểm t nó đã
đợc cho trớc giống nh Y
t-1
nên có thể xem nh biến ngoại sinh.
Vậy mô hình có năm biến ngoại sinh là G
t
, T
t
, Y
t-1
, DY
t-1
và hệ số chặn (
K = 5).
Trong các hệ phơng trình cấu trúc còn có thể có cả các phơng
trình công nghệ, chẳng hạn có thể thêm vào mô hình kinh tế vĩ mô
nói trên hàm sản xuất trong đó tổng lợng cung Q phụ thuộc vào vốn
K và lao động L.

Nh vậy hệ phơng trình cấu trúc có thể bao gồm các phơng
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
trình hành vi, phơng trình công nghệ, các điều kiện cân bằng và các
đồng nhất thức.

Ví dụ 3: Mô hình cân bằng thị trờng hàng hóa
( Mô hình IS) vĩ mô:
Hàm tiêu dùng: C
t

=
0
+
1
Y
dt
0 <
1
< 1
Thuế: T
t
=
0
+
1
Y
t
0 <
1
< 1
Đầu t: I
t
=
0
+
1
r
t

Y

dt
= Y
t
- T
t

G
t
= G
0

Y
t
= C
t
+ I
t
+ G
t

Với: Y là thu nhập quốc dân
C là tiêu dùng của đân c
I là đầu t thuần túy
G
0
là mức tiêu dùng của chính phủ ( đã ấn định)
T là thuế
Y
d
là tiêu dùng khả dụng

R là lãi suất tiền gửi





Ví dụ 4: Mô hình cân bằng thị trờng tiền tệ
( Mô hình LM)
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Là một vế của mô hình kinh tế vĩ mô IS-LM:
Hàm cầu tiền mặt: M
t
d
=
0
+
1
Y
t
-
2
r
t

Hàm cung tiền mặt: M
t
s
= M

0

M
t
d
= M
t
s

Y
t
= a
0
+ a
1
M
0
+ a
2
r
t

Với các mô hình trên hãy xác định tính chất của
từng
phơng trình và xét xem biến nào là nội sinh,
biến nào là ngoại sinh.
?

2.2. Hệ phơng trình rút gọn.
Trở lại mô hình (1) - (3). Giải các phơng trình (1) và (2) theo P ta

thu đợc hệ thức sau trong đó P là mức giá cân bằng:
P
t
=
1
+
2
R
t
+
3
Y
t
+
1t
(8)
Q
t
=
4
+
5
R
t
+
6
Y
t
+
2t

(9)
Trong đó:

22
11
1



22
3
2



22
3
3




22
2112
4




22

32
5




22
32
6



(10)
trong đó
1t
và
2t
là các sai số ngẫu nhiên mới phụ thuộc vào u
t
và v
t
.
Các phơng trình (8) và (9) chỉ biểu diễn sự phụ thuộc của một biến
nội sinh vào các biến ngoại sinh của mô hình và vế phải của chúng
không còn biến nội sinh nữa.
Các phơng trình trên đợc gọi là các phơng trình rút gọn, còn
các hệ số đợc gọi là các hệ số rút gọn. Nh vậy phơng trình rút
gọn là phơng trình mà trong đó mỗi biến nội sinh chỉ có mặt trong
một phơng trình với t cách là biến phụ thuộc. Nó cho phép sử dụng
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
các kỹ thuật kinh tế lợng để ớc lợng trực tiếp các tham số. Các
tham số trong mô hình rút gọn thờng là hàm số của các tham số cấu
trúc. Các phơng trình rút gọn nói chung chứa sai số ngẫu nhiên của
tất cả các phơng trình của hệ phơng trình cấu trúc.
Bài tập: Tìm hệ phơng trình rút gọn của hệ
phơng trình cấu trúc (4)
- (7).

3. Hậu quả của việc bỏ qua tính đồng thời.
Giả sử ta sẽ sử lý mỗi phơng trình của hệ nhiều phơng trình một
cách riêng rẽ, tức là xem mỗi phơng trình là một mô hình một
phơng trình và ớc lợng các tham số của nó bằng phơng pháp
OLS. Lúc đó các ớc lợng thu đợc sẽ có những tính chất gì?
Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây ( Mô hình Keynes):
Hàm tiêu dùng: C
t
= + Y
t
+ u
t
0 1 (11)
Hàm thu nhập: Y
t
= C
t
+ I
t
(12)

Trong đó C
t
là tiêu dùng,
Y
t
là thu nhập,
I
t
là đầu t,
u
t
là sai số ngẫu nhiên.
Phơng trình (11) tơng tự nh hàm tiêu dùng.
Phơng trình (12) là điều kiện cân bằng.
Trong mô hình trên u
t
thoả mãn mọi giả thiết của OLS, I
t
là biến
ngoại sinh và cũng không tơng quan với u
t
. Các biến nội sinh là C
t

và Y
t
.
Thay Y
t
từ (12) vào (11) và giải theo C

t
ta có dạng rút gọn của C
t
:
C
t
=


1
+


1
I
t
+

1
t
u
(13)

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Tơng tự thay C
t
từ (13) vào (12) và giải theo Y
t

ta thu đợc dạng rút
gọn của Y
t
:
Y
t
=


1
+

1
1
I
t
+

1
t
u
(14)

Nếu ta bỏ qua tính đồng thời của hệ (11) (12) và ớc lợng (11) nh
một mô hình đơn lẻ thì có thể thấy ngay là sẽ thu đợc các ớc lợng
chệch. Thật vậy theo giả thiết của OLS thì
E(u
t
) = 0 và E(u
t

,Y
t
) = 0
Song từ (14) thấy ngay rằng Y
t
phụ thuộc vào u
t
do đó nếu áp dụng
OLS thì sẽ cho các ớc lợng chệch. Điều đó cũng đúng với các mô
hình nhiều phơng trình hơn.
Tính đồng thời ám chỉ rằng các biến nội sinh có mặt trong vế phải
của phơng trình sẽ tơng quan với sai số ngẫu nhiên của phơng
trình đó làm cho các ớc lợng OLS bị chệch.
Ngoài ra còn có thể chứng minh đợc rằng các ớc lợng thu đợc
cũng không vững, tức là sẽ không hội tụ về giá trị thực cần ớc lợng
khi n .



4. Vấn đề định dạng.

4.1. Khái niệm.
Trở lại mô hình cung cầu về gạo. Dạng rút gọn (8) và (9) biểu diễn
gía và cung, cầu nh các hàm của thu nhập và lợng ma. Vì các biến
ngoại sinh không tơng quan với sai số ngẫu nhiên nên có thể áp
dụng OLS để thu đợc các ớc lợng không chệch, vững và hiệu quả
nhất cho các tham số của hệ phơng trình rút gọn ( các ). Vậy từ đó
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.

có thể tìm đợc các ớc lợng vững cho các tham số của các phơng
trình cấu trúc ( và ) hay không? Sau khi đã tìm đợc ớc lợng cho
các tham số của phơng trình rút gọn và quay trở lại các tham số của
phơng trình cấu trúc thì có thể xảy ra một trong ba trờng hợp sau
đây:
Từ các tham số của phơng trình rút gọn không thể tìm đợc
các tham số của phơng trình cấu trúc.
Từ các tham số của phơng trình rút gọn tìm đợc các giá trị
duy nhất của các tham số của phơng trình cấu trúc.
Từ các tham số của phơng trình rút gọn tìm đợc vô số giá trị
của các tham số của phơng trình cấu trúc.
Vấn đề định dạng đợc hiểu là từ các tham số của phơng trình rút
gọn có thể tìm đợc các tham số của phơng trình cấu trúc hay
không?


Trờng hợp thứ nhất, phơng trình gọi là không định dạng đợc (
Underidentification)
Trờng hợp thứ hai, phơng trình gọi là định dạng đúng ( Exact
Identification)
Trờng hợp thứ ba, phơng trình gọi là định dạng cao hay vô định
( Overidentification)
Sau đây ta sẽ xét một số mô hình cung cầu để minh hoạ cho các
tình huống trên.
Mô hình 1. Xét mô hình cung cầu gạo sau:
Q
D t
=
1
+

2
P
t
+ u
1t

(Phơng trình cầu)

Q
S t
=
1
+
2
P
t
+ u
2t

(Phơng trình cung)

Q
dt
= Q
st
(điều kiện cân bằng)
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Nhóm theo Pt

Mô hình rút gọn có dạng:
P
t
=
1
+
t

Trong đó:

Thay p
t
vào hàm cung hoặc hàm cầu, ta đợc:
Q
t
=
2
+ w
t

Trong đó:
2
=
22
1221

; w
t
=
22
1t22t2

u u



ở mô hình cung - cầu ban đầu ta có bốn hệ số cấu trúc:
1
,
2
,
1
và

2
. ở dạng rút gọn ta chỉ có hai hệ số - hai hệ số chặn (giá trị trung
bình của p và Q). Từ ớc lợng của hai hệ số này, ta không thể tìm
đợc ớc lợng của bốn hệ số. Để tìm đợc ớc lợng của bốn hệ số ta
cần phải có bốn phơng trình.

Nh vậy,
Cả hàm cung lẫn hàm cầu đều không định dạng đợc
vì
từ các tham số

của các phơng trình rút gọn không thể tìm đợc các
tham số của các phơng trình cấu trúc.


Mô hình 2. Ta cải biên mô hình 1 thành mô hình sau, trong đó có thêm
một biến ngoại sinh R.
Dạng cấu trúc của mô hình là:
Q
dt
=
1
+
2
P
t
+ u
1t

Q
st
=
1
+
2
P
t
+
3
R

t
+ u
2t

Q
đt
= Q
st

22
11
1









2t 1t
2 2
u u
t

Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Trong đó R
t
là lợng ma.
Dạng rút gọn là:
P
t
=
1
+
2
R
t
+ v
t

Q
t
=
3
+
4
R
t
+ w
t

22
11
1


;
22
3
2


;
22
1212
3


;
22
32
4



Khi dùng phơng pháp bình phơng nhỏ nhất ớc lợng các tham số
trong các phơng trình rút gọn ta nhận đợc các giá trị
1
,
2
,

3
,
4
.
Thay vào hàm cầu, ta nhận đợc:
2
=
4
/
2
và
1
=
1

4
/
2
; tuy nhiên,
không thể xác định đợc các tham số của hàm cung một cách duy
nhất. Một thực tế là ta chỉ có bốn giá trị đã biết mà phải xác định năm
tham số cha biết, thì nói chung là bài toán không có nghiệm duy
nhất.



Với mô hình này, hàm cầu hoàn toàn xác định (định dạng đúng),
còn hàm cung thì không
. Lý do hàm cầu xác định chính là đã có thêm
biến R giải thích sự thay đổi của hàm cung và từ đó, giá cả chỉ còn

chức năng giải thích cho hàm cầu, nhng cho dù nh vậy, mô hình
vẫn không xác định.
Trong mô hình hai phơng trình, nếu một phơng trình bỏ sót một
biến thì nó định dạng đợc. Chẳng hạn ở mô hình 2, vì hàm cầu
không chứa biến lợng ma nên nó định dạng đợc.
Điều kiện tơng tự cũng phải đợc thoả mãn trong các mô hình
nhiều phơng trình.

Mô hình 3. Bây giờ ta thêm vào mô hình trên một biến thu nhập Y để
có mô hình sau:
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Q
dt
=
1
+
2
P
t
+
3
Y
t
+ u
1t

Q
st

=
1
+
2
P
t
+
3
R
t
+ u
2t

Q
dt
= Q
st

Y
t
, R
t
đợc coi là các biến ngoại sinh.
Các phơng trình rút gọn nhận đợc nh sau:
P
t
=
1
+
2

R
t
+
3
Y
t
+
1t

Q
t

=
4
+
5
R
t
+
6
Y
t
+
2t

Mô hình trên có các tham số rút gọn xác định nh các hàm của các
tham số ban đầu nh sau:

22
11

1



22
3
2



22
3
3




22
2112
4




22
32
5

22
32
6




Giải hệ này tìm các tham số ban đầu, ta có:
)()(
3
6
2
5
1
4
6
141










)(
4

6
141






2
5
2





3
6
2





2
5
363

5
3
6
23







Đây là nghiệm duy nhất của hệ trên,
cả hai phơng trình đều xác
định với các tham số duy nhất (định dạng đúng).

Mô hình 4: Xét mô hình sau:
Q
dt
=
1
+
2
P
t
+ u
1t

Q

st
=
1
+
2
P
t
+
3
R
t
+
4
W
t
+ u
2t

Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Q
dt
= Q
st

Ta có các phơng trình rút gọn:
P
t
=

1
+
2
R
t
+
3
W
t
+
1t

Q
t
=
4
+
5
R
t
+
6
W
t
+
2t

Trong đó :

22

11
1






22
3
2




22
4
3






22
2112
4

22
32
5




22
42
6






Rõ ràng
2
có hai giá trị:
2
5
2

và
3
6
2



, tơng tự nh vậy, các
tham số khác cũng không xác định duy nhất.
Pt : Vô định
Qt : Không định dạng đợc.


4.2. quy tắc định dạng
Để xác định khả năng định dạng của hệ phơng trình cấu trúc,
ngời ta sử dụng hai loại điều kiện là:
+ điều kiện bậc (Order condition)
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
+ điều kiện hạng (Rank condition)
Điều kiện bậc chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ,
tức là nếu điều kiện bậc không thoả mãn thì mô hình không định
dạng đợc. Tuy nhiên việc thoả mãn điều kiện cần cũng cha đảm bảo
là mô hình sẽ định dạng đợc. Điều kiện hạng vừa là điều kiện cần
vừa là điều kiện đủ.


Điều kiện bậc.
Điều kiện này áp đặt lên từng phơng trình.

Gọi: g là số biến nội sinh của mô hình; m là số biến có trong mô hình
(cả nội sinh và ngoại sinh) nhng vắng mặt tại phơng trình đang
xét. Khi đó:
(i) Nếu m = g-1 thì phơng trình định dạng đúng.
(ii) Nếu m > g-1 thì phơng trình vô định.
(iii) Nếu m < g-1 thì phơng trình không định dạng đợc.
Trở lại với các mô hình trên:
- Mô hình 1: mô hình có ba biến nội sinh (g=3) trong khi m = 1 tại cả
hai phơng trình và nh ta đã thấy cả hai phơng trình không
định dạng đợc.
- Mô hình 2: số biến nội sinh là ba nhng chỉ có phơng trình cầu có
m=2, còn phơng trình cung có m=1 và ta đã thấy phơng trình
cung không định dạng đợc.
- Mô hình 4 có g=3 và phơng trình cầu có m=3 phơng trình này vô
định.
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Ngoài ra, điều kiện cần còn có thể phát biểu bởi hai mệnh đề tơng
đơng nh sau:
Gọi: G- số biến nội sinh của mô hình.
g - số biến nội sinh ở một phơng trình đã cho.
K - số biến ngoại sinh trong mô hình.
k - số biến ngoại sinh ở một phơng trình đã cho.
Chú ý rằng: Một mô hình đủ sẽ có số phơng trình sơ cấp đúng bằng
số biến nội sinh.

Mệnh đề 1: Trong một hệ gồm G phơng trình, để một phơng trình
định dạng đợc thì nó không chứa ít nhất G-1 biến (nội sinh cũng nh
ngoại sinh). Nếu không chứa đúng G-1 biến, thì phơng trình đợc

định dạng đúng. Nếu không chứa hơn G-1 biến, thì phơng trình là
vô định.


Mệnh đề 2: Trong một hệ gồm G phơng trình, để một phơng
trình định dạng đợc thì số biến ngoại sinh không chứa trong
phơng trình này không ít hơn số biến nội sinh trong phơng
trình này trừ đi 1, tức là: K - k g - 1.
Nếu K - k = g -1, thì phơng trình đợc định dạng đúng.
Nếu K- k > g -1 biến, thì phơng trình là vô định.


Điều kiện hạng.
Trong một mô hình có G phơng trình, một phơng trình là định
dạng đợc khi và chỉ khi có ít nhất một định thức cấp (G
-1)*(G -1)
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
khác không,
đợc xây dựng từ hệ số của các biến (nội sinh và
ngoại sinh) không có mặt trong phơng trình nhng chứa trong
các phơng trình khác của hệ.

Trong thực tế, để áp dụng các điều kiện trên có thể tiến hành
qua
một ví dụ
nh sau:

Xét mô hình:
Y
1t
-
10
-
12
Y
2t
-
13
Y
3t
-
11
X
1t
= u
1t

Y
2t
-
20
-
23
Y
3t
-
21

X
1t
-
22
X
2t
= u
2t

Y
3t
-
30
-
31
Y
1t
-
31
X
1t
-
32
X
2t
= u
3t

Y
4t

-
40
-
41
Y
1t
-
42
Y
2t
-
43
X
3t
= u
4t


Hệ số của các biến

Phơng trình 1 Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
X
1

X
2
X
3
(1) -
10
1 -
12
-
13
0 -
11
0 0
(2) -
20
0 1 -
23
0 -
21
-
21
0
(3) -
30
-
31
0 1 0 -
31
-
31

0
(4) -
40
-
41
-
42
0 1 0 0 -
43

Trên cơ sở bảng hệ số này, ta lập bảng:

Số biến ngoại sinh Số biến nội sinh
không thuộc thuộc phơng trình
Phơng trình (K-k)=a
i
trừ 1: (g-1)= b
i

(1) a
1
b
1

(2) a
2
b
2

Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
(3) a
3
b
3

(4) a
4
b
4


So sánh các giá trị a
i
và b
i
theo quy tắc trên để có kết luận về điều kiện bậc cho mỗi
phơng trình. Với mô hình trên, ta có kết quả sau:

Số biến ngoại sinh Số biến nội sinh Đợc định
không thuộc thuộc phơng trình dạng?
Phơng trình (K-k) trừ 1 : (g-1)
(1) 2 2 đúng
(2) 1 1 đúng
(3) 1 1 đúng
(4) 2 2 đúng

Điều kiện hạng: Để phơng trình (1) đợc định dạng thì phải tìm đợc
ít nhất một định cấp 3*3 khác không đợc tạo bởi các biến không có

mặt trong (1). Ta lấy hệ số của Y
4
, X
2
và X
3
trong (2), (3) và (4):
0
22
0
0
32
0
1 0
43

Dễ dàng chỉ ra rằng, định thức trên bằng không. Nh vậy, phơng
trình (1) không định dạng đợc (vì không còn một định thức nào
khác), mặc dù theo điều kiện bậc thì nó định dạng đúng. Điều đó có
nghĩa là nếu nó định dạng đợc (theo điều kiện đủ) thì nó sẽ định
dạng đúng. Tơng tự, có thể thấy phơng trình (2), (3) không định
dạng đợc còn phơng trình (4) định dạng đợc.
Nh vậy, điều kiện hạng cho biết khi nào một phơng trình định
dạng đợc, còn điều kiện bậc cho biết khi nào đợc định dạng đúng,
khi nào thì vô định.
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.

Chú ý:

Chúng ta đa ra các khái niệm định dạng đợc và định dạng
đúng hay vô định để chỉ điều kiện một phơng trình định dạng đợc
và khi phơng trình này đã định dạng đợc thì có thể nó đợ
c định
đạng duy nhất hay không duy nhất. Quy tắc pahỉ định dạng hạng
trớc xem Phơng trình nào định dạng đợc phơng trình nào
không. Sau đó mới áp dụng định dạng điều kiện bậc.
Ví dụ: Xét tính định dạng của các phơng trình trong mô hình sau:
C
t
= a
1
+ a
2
Y
t
+ u
1t
I
t
= b
1
+ b
2
Y
t
+ b
3
R
t

+ u
2t

Y
t
= C
t
+ I
t
+ G
t
+ u
3t
Viết lại mô hình:
C
t
- a
1
- a
2
Y
t
= u
1t
I
t
- b
1
- b
2

Y
t
- b
3
r
t
= u
2t

Y
t
- C
t
+ I
t
+ G
t
= u
3t
Lập bảng các hệ số với các phơng trình cần định dạng:
Phơng trình 1 C I Y r G

(1) -a
1
1 0 -a
2
0 0
(2) - b
1
0 1 - b

2
-b
3
0
(3) 0 -1 -1 1 0 1

Xét điều kiện bậc:
Số biến ngoại sinh Số biến nội sinh Đợc định
không thuộc thuộc phơng trình dạng ?
Phơng trình (K-k) trừ 1: (g-1)
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
(1) 0 0 đúng
(2) 1 1 đúng
Hãy xét điều kiện hạng.

5. Tính đồng thời của các phơng trình cấu trúc - Kiểm định
Hausman về tính tự tơng quan giữa biến giải thích và sai số
ngẫu nhiên
Nếu mô hình với nhiều phơng trình nhng chúng độc lập với
nhau chỉ là một phép ghép cơ học, có thể ớc lợng riêng biệt
Tuy nhiên, trong thực tế thì trong mô hình có nhiều phơng trình,
có thể tồn tại hiện tợng tơng quan giữa một biến giải thích và sai
số ngẫu nhiên, do biến giải thích ở phơng trình này có thể lại là
biến phụ thuộc ở phơng trình khác, nh vậy xảy ra tình trạng tác
động hai chiều, lúc đó sẽ không thể ớc lợng từng phơng trình
đơc. Sau đây, ta sẽ xét một thủ tục kiểm định tính đồng thời của các
phơng trình trong mô hình.
Nh đã xét ở phần trên, đối với mô hình thu nhập tất định:

C
t
=
0
+
1
Y
t
+ u
t

Y
t
= C
t
+ I
t

Y
t
có thể tơng quan với u
t
và làm cho ớc lợng của
1
không còn có
tính không chệch và cũng không là ớc lợng vững.

Nh vậy, để có thể dùng kết quả ớc lợng, cần tiến hành kiểm định
giả thiết về sự tơng quan của những biến có tính chất nh biến Y
trong mô hình trên. Hausman đã đề xuất thủ tục kiểm định hiện

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
tợng này. Có thể trình bày thủ tục này trên một mô hình cụ thể sau
đây:
Xét mô hình:
Y
t
=
1
+
2
Z
t
+ u
1t

Y
t
=
1
+
2
Z
t
+
3
X
t
+ u

2t

Trong đó: Y và Z là các biến nội sinh, X là biến ngoại sinh và giả sử
các sai số u
1
, u
2
thoả mãn các giả thiết của mô hình cổ điển. Dễ dàng
thấy mô hình trên định dạng đúng.

Vấn đề là hãy kiểm định quan hệ tơng quan của Z và các sai số ngẫu
nhiên, kiểm định tính không tơng quan của Z với u
1
thực chất là
kiểm định tính không đồng thời của phơng trình 1 trong hệ hai
phơng trình nói trên.
Các giả thiết là: H
0
: Z và u
1
độc lập,
H
1
: Z và u
1
không độc lập.
Thủ tục kiểm định:
1- Ước lợng các phơng trình rút gọn bằng OLS.
2- Ước lợng hồi quy mở rộng và kiểm định mở rộng hồi quy.
Bớc 1: Tìm phơng trình rút gọn đối với Z.

tt21t
vXZ
Nhờ OLS, ta nhận đợc:
tt21t
v

X

Z



Bớc 2: Ước lợng hồi quy mở rộng.
ttt21t
wv

ZY

Kiểm định giả thiết = 0 nhờ kiểm định T với (n-k) bậc tự do, nếu giá
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định vợt quá giá trị tới hạn, ta bác
bỏ giả thiết Z và u
1
độc lập và chấp nhận giả thiết đối.
Trờng hợp có nhiều biến Z, ta thực hiện bớc 1 đối với mỗi biến, sau
đó tiến hành kiểm định thu hẹp hồi quy với hai mô hình sau: (chẳng
hạn, có Z
1

và Z
2
).

tt23t121t
uZZY


tt22t11t23t121t
wv

v

ZZY

Ví dụ: Một vài mô hình điển hình
Trong phần này, ta xét một vài mô hình cùng với khả năng định dạng và một
vài mô hình với các kiểm định Hausman.
VD : Tập dữ liệu CH10bt14.
Ví dụ 1: Sử dụng tệp số liệu ch10bt14 hãy ớc lợng mô hình sau:
LM: R
t
=
1
+
2
M
t
+
3

Y
t
+
4
M
t-1
+ u
1t

IS: Y
t
=
1
+
2
R
t
+
3
I
t
+ u
2t

Nội sinh : Rt, Yt
Ngoại sinh M, I, const
Rt =Pi1+Pi2*Mt+Pi3*It+Pi4*Mt-1+Vt (có đợc do thay Yt ở IS vào LM sau đó biến đổi
để quy về một bên là Rt(nội sinh) và bên kia là Mt, It, const (ngoại sinh))
Yt tìm đợc tơng tự bằng cách thay Rt ở LM vào IS.

Hồi quy tìm ra Rt mũ, Vt mũ = resid
Tính Rf : Vào Forcast,

Có resid
LM: R
t
=
1
+
2
M
t
+
3
Y
t
+
4
M
t-1
+ u
1t

Yt=
Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
(1-) Hiệu lực của hệ thống thuế với xuất khẩu gạo ở Thái Lan. Các biến nội sinh:
Q
t

: Tổng sản phẩm trong nớc của các cơ sở xay xát gạo,
P
dt
: Giá gạo bán buôn của các cơ sở xay xát,
C
t
: Tổng chi tiêu cho mặt hàng gạo,
X
Tht
: Mức gạo xuất khẩu từ Thái Lan,
P
wt
: Giá xuất khẩu,
P
et
: Giá sau khi khấu trừ bảo hiểm xuất khẩu.
Các biến ngoại sinh:
W
t
: Tỷ lệ % diện tích mất màu năm t,
P
ct-1
: Chỉ số trễ của giá các loại ngũ cốc quy đổi thành gạo,
t: Biến xu thế (1951=1),
Y
t
: Thu nhập quốc dân,
I
at
: Tổng lợng gạo xuất khẩu theo luật 480 U.S ngoài khối lợng xuất khẩu từ

Nhật Bản.
I
bt-1
: Chỉ số đầu t sản phẩm gạo của sáu nớc nhập khẩu gạo năm trớc,
g
t
: Tỷ lệ xuất khẩu gạo từ Thái Lan so với hiệp định của các chính phủ,
D
t
: Biến giả nhận giá trị 1 trong khoảng năm 1951 đến 1955 và nhận giá trị 0 ở
các năm khác,
S
t
: Sản lợng gạo tăng trong năm t,
T
t
: Chi phí (thuế) bảo hiểm xuất khẩu,
P
nt
: Chỉ số giá các mặt hàng thay thế gạo trong tiêu dùng.
Mô hình đợc phân tích nhờ số liệu 1951-1972
Mô hình:
Tổng cung: Q
t
= a
10
+ a
11
Q
t-1

+ a
12
P
dt-1
+ a
13
P
et-1
+ a
14
W
t
+ u
1t
Hàm tiêu dùng: C
t
= a
20
+ a
21
C
t-1
+ a
22
t + a
23
P
nt
+ a
24

Y
t
+ b
21
P
dt
+ u
2t

Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Giá xuất khẩu: P
wt
= a
30
+ a
31
I
at
+ a
32
I
bt-1
+ a
33
Y
t
+ a
34

D
t
+ b
31
X
Tht
+ u
3t
Giá chuyển đổi: P
dt
= a
40
+ a
41
D
t
+ b
41
P
et
+ u
4t

Thị trờng: X
Tht
= Q
t-1
- C
t
- S

t

Giá thuần tuý: P
et
= P
wt
-T
t
Để xem xét vấn đề định dạng các phơng trình, ta chú ý rằng phơng trình(1) là
phơng trình vế phải không có biến nội sinh nên nó hoàn toàn định dạng đúng.
Có thể ớc lợng (1) nhờ OLS trực tiếp. Vấn đề định dạng chỉ xét với các phơng
trình (2) - (6),


Theo điều kiện bậc, ta so sánh số biến không có mặt trong mỗi phơng
trình với g-1.
Phơng trình (2): vắng mặt 10 biến,
Phơng trình(3) : vắng mặt 10 biến,
Phơng trình(4) : vắng mặt 13 biến.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các phơng trình đều vô định vì số biến vắng mặt ở mỗi phơng trình đều lớn
hơn 4.

Với phơng trình thứ nhất điều kiện hạng đợc thoả mãn vì có thể chọn đợc
4 dòng và 4 cột không đồng nhất có dấu hiệu 0. Với các phơng trình khác, ta
cũng có kết luận tơng tự.
Nh vậy, mô hình có thể xem là vô định. để ớc lợng mô hình này, hãy xét các
phơng pháp ớc ợng mô hình vô định ở các phần tiếp theo (phơng pháp biến
công cụ, phơng pháp bình phơng nhỏ nhất hai bớc).

Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
(2-
) Mô hình thị trờng và vấn đề tơng quan giữa giá cả với nhiễu:

Hàm cầu: Q
t
=
1
+
2
P
t
+
3
I
t
+
4
R
t
+ u
1t

Hàm cung: Q
t
=
1

+
2
P
t
+ u
2t

Giả thiết rằng I và R là các biến ngoại sinh, P và Q là các biến nội sinh.
Từ hệ trên, ta tìm đợc dạng rút gọn sau đây:
P
t
=
1
+
2
I
t
+
3
R
t
+ v
t

Q
t
=
4
+
5

I
t
+
6
R
t
+ w
t

Bằng OLS, ta ớc lợng đợc phơng trình sau đây:
P*
t
= *
1
+ *
2
I
t
+ *
3
R
t

Từ đó tìm đợc các phần d tơng ứng: v*
t
= P
t
- P*
t

Ước lợng mô hình sau: Q
t
=
1
+
2
P
t
+
2
v*
t
+ w
t

Nếu nh hệ số của v*
t
khác không một cách có ý nghĩa thì tồn tại quan hệ tơng
quan giữa P
t
và u
2t
.


(3-) Mô hình Pindyck - Rubinfeld (một thí dụ bằng số).
Xét mô hình: EXP
i
=
1

+
2
AID
i
+
3
INC
i
+
4
POP
i
+ u
i
(a)
AID
i
=
1
+
2
EXP
i
+
3
PS
i
+ v
i
(b)

Với:
EXP = Tiêu dùng công cộng của nhà nớc liên bang và địa phơng,
AID = Trợ cấp của nhà nớc liên bang,
INC = Thu nhập của nhà nớc,
POP = Dân số,
PS = Dân số trong độ tuổi học cấp 1 và cấp 2,
INC, POP và PS là các biến ngoại sinh.
Bài 3: mô hình nhiều phơng trình

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.
Khi tìm phơng trình rút gọn cho EXP, ta nhận đợc phơng trình của EXP theo các
biến INC, POP và PS. Nh vậy, phải chăng mô hình cần có đồng thời hai phơng
trình đối với EXP và AID. Nếu không phải nh vậy thì AID độc lập với u hay mô hình
này có thể ớc lợng riêng rẽ các phơng trình.


Ước lợng phơng trình rút gọn thứ nhất ngời ta có các sai số W*
i
.
Uớc lợng phơng trình (a) mở rộng ( thêm biến W*), ngời ta có kết quả:
EXP*
i
= -89,41 + 4,5AID
i
+ 0,00013INC
i
- 0,518POP
i
- 1,39 W*
i

T -1,04 5,89 3,06 -4,63 -1,73
R
2
= 0,99 n = 18.
Với mức ý nghĩa 5% thì hệ số của W* khác không không có ý nghĩa; hai phơng
trình không đồng thời. Tuy nhiên, với mức ý nghĩa 10% thì hệ số này khác không
có ý nghĩa, các phơng trình lập thành một hệ (đồng thời).









Kinh tế lợng nâng cao

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội.

6. ớc lợng hệ phơng trình đồng thời.

6.1. Đặt vấn đề
Đối với một mô hình nhiều phơng trình có hai cách tiếp cận
thờng đợc sử dụng:
Phơng pháp thông tin hạn chế - thực hiện ớc lợng cho từng
phơng trình đơn lẻ của hệ chứ không thực hiện đồng thời. Trong quá
trình thực hiện chỉ tính đến những điều kiện ràng buộc của riêng
phơng trình đó mà thôi.
Phơng pháp thông tin đầy đủ - thực hiện ớc lợng đồng thời cùng
một lúc tất cả các phơng trình và tính đến tất cả các điều kiện ràng
buộc đặt ra cho tất cả các phơng trình. Phơng pháp này còn có tên
gọi là phơng pháp đầy đủ thông tin hợp lý tối đa (FIML).