Digital Demodulation pdf

2007-09-06
Chương 3
1
Chương 3: Digital Demodulation
I.
Ảnh hưởng của AWGN đối với tín hiệu thu
II.
Xác suất lỗi của tín hiệu điều chế
2007-09-06
Chương 3
2
I. Giải điều chế đối với tín hiệu bị ảnh
hưởng AWGN

Giả sử đầu phát sử dụng M tín hiệu {s
m
(t), m = 1,2…M} để truyền đi. Mỗi tín hiệu trong số M tín hiệu có thể có
được truyền đi trong khoảng thời gian một symbol. Do vậy giả định việc truyền tín hiệu trong khoảng thời gian 0
≤ t ≤ T

Giả sử kênh truyền bị ảnh hưởng bởi AWGN. Do đó tín hiệu thu được trong khoảng 0 ≤ t ≤ T có thể biểu diễn
r(t) = s
m
(t) + n(t) với 0 ≤ t ≤ T
2007-09-06
Chương 3
3

Mô hình tín hiệu thu

Tín hiệu thu với AWGN

)(th
c
( )
m
s t
)(tn
)(tr
)(tn
)(tr
)(ts
i
Ideal channels
)()( tth
c
δ
=
AWGN
AWGN
)()()()( tnthtstr
ci
+∗=
)()()( tntstr
i
+=
2007-09-06
Chương 3
4

n(t) là quá trình AWGN có mật độ phổ công suất Φ
nn

(f) = N
0
/2 W/Hz

Mục tiêu thiết kế bộ giải điều chế tối ưu theo hai tiêu chuẩn:
1. Maximize SNR
2. Mimimize Probability of the making an error

Trong chương này xét đến chỉ tiêu xác suất lỗi thấp nhất. Có thể chia bộ giải
điều chế thành hai phần chính

Signal Demodulator

Detector
2007-09-06
Chương 3
5
1. Signal Demodulator

Có chức năng chuyển đổi tín hiệu thu r(t) thành vector N chiều r = [r
1
r
2
…r
N
] với N là số chiều của tín hiệu
được truyền đi.

Có thể sử dụng correlator và matched-filter
2007-09-06

Chương 3
6
a. Correlator
0
( ) ( )
T
i i
z r t f t dt=
∫
∫
T
0
1
( )f t
∫
T
0
( )
N
f t
1
N
z
z
 
 
 
 
 
M

z=
)(tr
)(
1
Tz
( )
N
z T
z
Correlators output:
Observation
vector
1 2 1 2
( ( ), ( ), , ( )) ( , , , )
N N
z T z T z T z z z= =z
1, ,i N=
2007-09-06
Chương 3
7
( ) ( ) ( )
0 0
( ) ( )
T T
i i m i mi i
z r t f t dt s t n t f t dt s n= = + = +
 
 
∫ ∫
( ) ( )

( ) ( )
0
0
1,2,
1,2,
T
mi m i
T
i i
s s t f t dt i N
n n t f t dt i N
= =
= =
∫
∫
1,2,
i mi i
r s n i N⇒ = + =
2007-09-06
Chương 3
8

Các thành phần nhiễu n
i
là các biến ngẫu nhiên không tương quan có phân bố Gaussian với giá trị trung bình là
0 và phương sai N
0
/2. Như vậy z
i
cũng là biên ngẫu nhiên có trị trung bình là s

mi
và phương sai N
0
/2
( ) ( )
2
0
2
i mi i mi
r
E r E s n s
N
σ
= + =
=
2007-09-06
Chương 3
9
( ) ( )
1
/ / 1,2,
N
m i mi
i
p p r s m M
=
= =
∏
r s
( )

( )
2
0
0
1
/ 1,2,
i mi
r s
N
i mi
p r s e i N
N
π
−
−
= =
( )
( )
( )
2
0
1
2
0
1
/ 1,2,
N
i mi
i
r s

N
m
N
p e m M
N
π
=
−
−
∑
⇒ = =r s
2007-09-06
Chương 3
10
b. Matched-Filter

Xuất phát từ việc nghiên cứu quá trình khôi phục xung khi truyền qua kênh truyền bị ảnh
hưởng AWGN.

Giả định mô hình thu là bộ lọc tuyến tính LTI (Linear Time-Invariant) có đáp úng xung là h(t).
Ngõ vào bộ lọc là tín hiệu x(t) bao gồm xung truyền đi là g(t) với nhiễu w(t) có giá trị trung
bình là zero và σ2 = N
0
/2

Kết quả là tín hiệu y(t) bao gồm thành phần tín hiệu g
0
(t) và nhiễu n(t) tương ứng với x(t) ở
ngõ vào

)()()(
0),()()(
tntgty
Tttwtgtx
o
+=
≤≤+=
LTI filter of impulse
response
h(t)
∑
White noise
w(t)
Signal
g(t)
y(t)x(t) y(T)
Sample at
time t = T
Linear receiver
2007-09-06
Chương 3
11

Mục đích của bộ thu tuyến tính là giảm nhỏ nhất ảnh hưởng của nhiễu ở ngõ ra và
cải thiện khả năng tách tín hiệu. Hay nói cách khác là yêu cầu SNR ở ngõ ra cực đại

SNR được xác định:


Với |g
0
(T)|2 là công suất tức thời của tín hiệu g(t) ở thời điểm t = T và σ
n
2 là
phương sai của thành phần nhiễu được lọc
[ ]
)(
|)(||)(|
2
2
2
2
tnE
TgTg
SNR
o
n
o
==
σ
2007-09-06
Chương 3
12

Lấy mẫu tại thời điểm t = T để được công suất tín hiệu lớn nhất. Ta có

G(f) và H(f) là biến đổi Fourier của g(t) và h(t)
( ) ( ) ( )
o

G f G f H f=
2
( ) ( ) ( )
j ft
o
g t G f H f e df
π
⇒ =
∫
2 2 2
| ( ) | | ( ) ( ) |
j ft
o
g t G f H f e df
π
⇒ =
∫
2007-09-06
Chương 3
13

Thành phần nhiễu
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2

2
2
2
var 0
0 1
n
n
n
j f
n n
n n
E n t E n t
E n t
E n t n t R
R S f e df
R S f df
π τ
σ
σ
τ
 
= −
 
 
 
 
=
 
 
= =

 
 
 
=
= ×
∫
∫
2007-09-06
Chương 3
14

In this case, S
x
(f) is PSD of white gaussian noise,

Since S
n
(f) is our output:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
( ) | |
2
( ) 0 | | | |
2 2
| ( ) ( ) |

| |
2
o
n
o o
n n
j fT
o
N
S f H f
N N
E n t R H f df H f df so
H f G f e df
SNR
N
H f df
π
σ
=
 
= = = =
 
=
∫ ∫
∫
∫

Recall:
H(f)
filter

S
X
(f) S
X
(f)|H(f)|
2

= S
Y
(f)
2
)(
o
X
N
fS =
2007-09-06
Chương 3
15

Sử dung bất phương trình Schwartz
( )
( )
∞<Φ
∞<Φ
∫
∫
dxx
dxx
2

2
2
1
||
||
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
ΦΦ≤ΦΦ dxxdxxdxxx
2
2
2
1
2
21
||||||
Dấu bằng xãy ra khi Φ
1
(x) =k Φ
2
*(x).
2007-09-06
Chương 3
16

Nếu đặt Φ
1

(x)=H(f) và Φ
2
(x)=G(f)ej2πfT
2 2 2 2 2
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |
fT j fT
H f G f e df H f df G f e df
π π
≤ ×
∫ ∫ ∫
2 2 2 2
2 2
| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |
| ( ) | | ( ) |
2 2
fT
o o
H f G f e df H f df G f df
N N
H f df H f df
π
≤
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 2
0
| ( ) | 2 | ( ) |
2
2
o

o
G f df G f df
E
SNR
N
N N
≤ = =
∫ ∫
2007-09-06
Chương 3
17

Xét điều kiện để bất phương trình xãy ra dấu bằng
H(f) =
k
G*(f)ej2πfT

Biến đổi Fourier ngược ta được

Áp dụng G*(f) = G(-f) nếu g(t) là tín hiệu thực
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
tTkgth
dfefGk
dfefGk
dfeefGkth

tTfj
tTfj
ftjfTj
−=
=
−=
−=
∫
∫
∫
−
−−
−
π
π
ππ
2
2
22
)(
2007-09-06
Chương 3
18

Như vậy:
1
N
z
z
 

 
 
 
 
M
z=
)(tr
)(
1
Tz
*
1
( )f T t−
*
( )
N
f T t−
( )
N
z T
z
Bank of M matched filters
Matched filter output:
Observation
vector
( ) ( )
i i
z r t f T t
∗
= ∗ −

1, ,i N=
1 2 1 2
( ( ), ( ), , ( )) ( , , , )
N N
z T z T z T z z z= =z
2007-09-06
Chương 3
19

Cụ thể
( ) ( )
i i
h t f T t= −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
i
i i
y t r h t d
y t r f T t d
τ τ τ
τ τ τ
∞
−∞
∞
−∞
= −
= − +
∫
∫

( ) ( ) ( )
i i i
y T r f d r
τ τ τ
∞
−∞
= =
∫
2007-09-06
Chương 3
20
Example of matched filter receivers using
basic functions
T t
)(
1
ts
T t
)(
2
ts
T t
)(
1
t
ψ
T
1
0
[ ]

1
z
z=
)(tr
z
1 matched filter
T t
)(
1
t
ψ
T
1
0
1
z
T
A
T
A−
0
0
2007-09-06
Chương 3
21
2. Detector

Dựa vào việc quan sát vector r chứa các thông tin liên quan đến tín hiệu thu. Bộ detector quyết định tín hiệu
nào được truyền đi trong số M tín hiệu trên cơ sở vector r với xác suất quyết định đúng là cao nhất gọi là
posterior probabilities


Viết tắt là P(s
m
/r)

Tiêu chuẩn đưa ra quyết định là chọn tín hiệu có xác suất P(s
m
/r) lớn nhất
( ( )was transmitted/ ) 1,2,
m
P s t m M=r
2007-09-06
Chương 3
22

Tiêu chuẩn này được xem như tiêu chuẩn MAP (Maximum posterior Probability) có xác suất ra quyết định đúng
là lơn nhất nghĩa là xác suất lỗi nhỏ nhất

Công thức Bayes
( )
( ) ( )
( )
/
/
m m
m
P P
P
P
=

r s s
s r
r
2007-09-06
Chương 3
23

Như vậy để tính cần tính
và P(s
m
) với m = 1,2,…M

Khi M tín hiệu có xác suất như nhau
Khi đó thay vì xác định ,xác định

Hàm được gọi là hàm likelihood và tiêu chuẩn quyết định dựa vào việc xác
định
Được gọi là tiêu chuẩn ML (Maximum Likelihood)
( )
/
m
P s r
( ) ( ) ( )
1
/
M
m m
m
P P P
=

=
∑
r r s s
( )
/
m
P r s
( )
1
m
P
M
=s
( )
ax
/
m
m
P s r
( )
ax
/
m
m
P r s
( )
/
m
P r s
( )

ax
/
m
m
P r s
2007-09-06
Chương 3
24

Trên kênh truyền AWGN thì P(r/s
m
) được xác định

Lấy ln phương trình trên

Thay vì xác định ta xác định khoảng cách Euclidean nhỏ nhất
( )
( )
( )
2
0
1
2
0
1
/ 1,2,
N
i mi
i
r s

N
m
N
p e m M
N
π
=
−
−
∑
= =r s
( )
ax
ln /
m
m
P r s
( ) ( ) ( )
2
0
1
0
1 1
ln / ln
2
N
m k mk
k
P N N r s
N

π
=
= − − −
∑
r s
2007-09-06
Chương 3
25

Ví dụ: Xác định mức ngưỡng mà bộ detector sẽ so sánh để quyết định trong ví dụ
trên biết rằng tín hiệu s
1
(t) có xác suất hiện là p

Giải:

Tính và sau đó so sánh để quyết định s
1
(t) là
tín hiệu được truyền đi hay s
2
(t).
( )
1
/P r s
( )
2
/P r s
( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
1
2
1 1 2 2
2 2
/ /
/
S t
S t
P P S P P S
P P S
>
<
r s r s
r s