CƠ HỌC LÝ THUYẾT - PHẦN 1 TĨNH HỌC VẬT RẮN - CHƯƠNG 3 pdf

13
CHƯƠNG 3: HỆ LỰC KHÔNG GIAN
I. VECTƠ CHÍNH VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN.
1. Vectơ chính của hệ lực không gian.
a. Định nghĩa: Vectơ chính của hệ lực không gian, ký hiệu
′
uur
R
, là tổng hình học của
các vectơ biểu diễn các lực của hệ lực.
R
′
uur
=
12n
FFF
+++
rrr
L
=
n
k
k1
F
=
∑
r
(3.1)
b. Phương pháp xác định:
- Phương pháp vẽ: Lấy điểm O bất kỳ trong không gian, lần lượt vẽ các vectơ

1
1
OAF
=
uuuurr
,
2
12
AAF
=
uuuuurr
,⋅⋅⋅ ,
()
n
n1
AAF
−
=
uuuuuuurr
=
n
F
uur
.
Đường gãy khúc
()
12n
n-1
OAA AA
gọi là đa giác lực. Vectơ

n
OA
uuuur
=
R
′
uur
gọi là vectơ
khép kín của đa giác lực.
- Phương pháp giải tích (chiếu):
n
x1x2xnxkx
k1
n
y1y2ynyky
k1
n
z1z2znzkz
k1
RFFFF
RFFFF
RFFFF
=
=
=

′
=+++=




′
=+++=



′
=+++=


∑
∑
∑
L
L
L
(3.2)
222
xyz
y
xz
RRRR
R
RR
Cos;Cos;Cos
RRR

′′′′
=++



′
′′

α=β=γ=
′′′


(3.3)
(3.4)

Với α,β,γ là các góc hợp bởi
R
′
uur
và các trục Ox, Oy, Oz.
2. Mômen chính của hệ lực không gian.
a. Định nghĩa: Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, ký hiệu
uur
O
M
, là
một vectơ bằng tổng hình học các vectơ mômen các lực thuộc hệ lực đối với tâm O.
()()
nn
O
Okk
k
k1k1
MmFrF

==
==∧
∑∑
uuruurrr
r
(3.5)
b. Phương pháp xác định:
- Phương pháp vẽ: Lấy điểm O bất kỳ trong không gian, lần lượt vẽ các vectơ :

1
OA
uuuur
=
O1
m
uur
=
(
)
O1
mF
uurr
,
12
AA
uuuuur
=
O2
m
uur

=
(
)
O2
mF
uurr
, ⋅⋅⋅ ,
n1n
AA
−
uuuuuuur
=
On
m
uur
=
(
)
On
mF
uurr

Đa giác
()
12n
n-1
OAA AA
gọi là đa giác vectơ mômen
n
OA

uuuur
=
O
M
uur
gọi là vectơ khép
kín của đa giác.
- Phương pháp chiếu:

14
() ()
()
() ()
()
() ()
()
nnn
Ox
Oxkxk
kkzkky
k1k1k1
nnn
Oy
Oykyk
kkxkkz
k1k1k1
nnn
Oz
Ozkzk
kkykkx

k1k1k1
MmFmFyFzF
MmFmFzFxF
MmFmFxFyF
===
===
===

===−



===−



===−


∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
rr
rr
rr
(3.6)
Trong đó:
kkk
x,y,z
là toạ độ của điểm đặt lực

k
F
ur
.
kxkykz
F,F,F
là hình chiếu của
k
F
ur

trên các trục Ox, Oy, Oz.
(
)
(
)
(
)
222
O
OOO
M=MMM
MMM
C;C;C
MMM

++





αβγ


OxOyOz
OxOyOz
(3.7)
os=os=os= (3.8)

c. Định lý biến thiên mômen chính:
Định lý: Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O đến O’
bằng mômen của vectơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’.
(
)
OO
OO
MMmR
′
′
′
−=
uuruuruuruur
(3.9)
Chứng minh:
Ta có:
()()
nn
O
Okk
k

k1k1
MmFrF
′
′
==
′
==∧
∑∑
uuruurrr
r


()()
nn
O
Okk
k
k1k1
MmFrF
==
==∧
∑∑
uuruurrr
r

⇒
O
M
′
uur

-
O
M
uur
=
()
n
k
k
k1
rF
=
′
∧
∑
ur
r
-
()
n
k
k
k1
rF
=
∧
∑
ur
r
=

()
n
k
kk
k1
rrF
=

′
−∧

∑
r
rr

Ta có
kk
rrOO
′′
−=
uuuur
rr
nên:
O
M
′
uur
-
O
M

uur
=
()
n
k
k1
OOF
=
′
∧
∑
uuuurr
=
()
n
k
k1
OOF
=
′
∧
∑
uuuurr
=
O
OOR
′′
∧
uuuuruur
=

(
)
OO
mR
′
′
uuruur

Nhận xét:
Trường hợp hệ lực đồng quy tại O ta có:
O
M0
=
uur
⇒
(
)
O
O
M=mR
′
′
′
uuruuruur
(3.10)
Trường hợp hệ lực phẳng:
()
n
O
Ok

k1
MmF
=
=
∑
r
(3.11)
II.THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN.
1. Định lý dời lực song song.
Định lý: Lực
ur
F
đặt tại A tương đương với lực
′
uur
F
song song, cùng chiều, cùng cường
độ với lực
ur
F
nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực
ur
F
lấy đối với
điểm O.
Chứng minh:
O
O’
k
r

r

k
r
′
r

k
F
r

Z
Y
X

15
Đặt tại O hai lực
F
′
uur
và
F
′′
uur
với
(
)
F,F0
′′′
≡

uuruur
và
F
ur
=
F
′
uur

⇒
(
)
F
ur
≡
(
)
F,F,F
′′′
uruuruur
≡
F
′
uur
và
(
)
F,F
′′
uruur

⇒
(
)
F
ur
≡
F
′
uur
và
(
)
O
mF
uurur
.
Nhận xét:
Nhận thấy
M
uur
=
(
)
O
mFF
⊥
uurrr
.
⇒ Hệ lực gồm một lực

F
′
uur
và một vectơ mômen
M
uur
vuông góc với
F
′
uur
sẽ tương đương với một lực
F
ur

cách
F
′
uur
một đoạn
M
d
F
= . Điểm đặt của lực
F
ur
phụ thuộc vào chiều của
M
uur
.
2. Thu gọn hệ lực không gian về tâm.

Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại
một điểm tuỳ ý, chúng được gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được biểu
diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có vectơ
mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.
Chứng minh:
Lần lượt dời các lực
12n
F,F, ,F
rrr
về tâm tâm thu gọn (giả sử là O).
(
)
()
()
111O1
222O2
nnnOn
FF vaø mmF
FF vaø mmF


FF vaø mmF

′
≡=


′
≡=





′
≡=


uruuruuruurur
uruuruuruurur
uruuruuruurur

C ộ ng từng vế ta được:
(
)
(
)
(
)
12n12n12n
,, ,,, ,m,m, ,m
FFFFFF vaø
′′′
=
urururuuruuruuruuruuruur

Vì
(
)
12n
,, ,

FFF
′′′
uuruuruur
là hệ lực đồng quy tại O nên:
(
)
12n
,, ,
FFF
′′′
uuruuruur
≡
O
R
′
uur
=
n
k
k1
F
=
′
∑
ur
=
n
k
k1
F

=
∑
r
=
R
′
uur
.
Và
(
)
12n
m,m, ,m
uuruuruur
=
O
M
uur
=
()
n
Ok
k1
mF
=
∑
uurr

Vậy khi thu gọn hệ lực không gian về O ta được:
()

n
Ok
k1
n
O
Ok
k1
RFR
MmF
=
=

′′
==




=


∑
∑
uurruur
uuruurr
(3.12)
3. Các bất biến của hệ lực không gian.
Từ (3.12). Ta có:
O
RRConst

′
==
uruur
(3.13)
Đây là bất biến thứ nhất của hệ lực không gian. Mặt khác theo định lý biến thiên
mômen chính khi thay đổi tâm thu gọn ta có:
(
)
OO
OO
MMmR
′
′
′
−=
uuruuruuruur
, nhân hai vế với
O
R
ur
ta
được:
O
M
′
uur
.
O
R
ur

–
O
M
uur
.
O
R
ur
=
(
)
OO
mR
′
′
uuruur
.
O
R
uuur
. Mà
(
)
OO
mR
′
′
uuruur
⊥
O

R
ur
⇒
(
)
OO
mR
′
′
uuruur
.
O
R
ur
= 0
nên:
Thay vào ta có
O
M
′
uur
.
O
R
ur
–
O
M
uur
.

O
R
ur
= 0 hay
O
M
′
uur
.
O
R
ur
=
O
M
uur
.
O
R
ur
= const. (3.14)
O
A
(
)
O
mF
uurr

F

r

F
′
ur

F
′′
uur


16
Đây là bất biến thứ hai của hệ lực không gian: “Tích vô hướng của mômen thu gọn và
lực thu gọn của hệ lực không gian là một hằng số”. Hay “Hình chiếu của mômen thu gọn
lên lực thu gọn là một hằng số”
* Các trường hợp xảy ra:
1.
O
R
′
uur
= 0,
O
M
uur
= 0 ⇔ hệ lực không gian cân
bằng
2.
O
R

′
uur
= 0,
O
M
uur
≠ 0 ⇔ hệ lực không gian
tương đương với một ngẫu lực tại O.
3.
O
R
′
uur
≠ 0,
O
M
uur
= 0 ⇔ hệ lực không gian
tương đương với một hợp lực đặt tại O.
4.
O
R
′
uur
≠ 0,
O
M
uur
≠ 0
a)

O
R
′
uur
⊥
O
M
uur
⇔ Hệ lực không gian tương
đương với một hợp lực
R
ur
bằng vectơ chính
R
′
uur
và
cách O một đoạn
O
O
M
d
R
=
′
.
b)
O
R
′

uur
//
O
M
uur
:
ü
O
R
′
uur
↑↑
O
M
uur
⇔ Hệ lực không gian
tương đương với hệ xoắn thuận.
ü
O
R
′
uur
↑↓
O
M
uur
⇔ Hệ lực không gian
tương đương với hệ xoắn ngược.
c)
(

)
O
O
R,M
′
uuruur
=
2
π
α≠
⇒ Hệ lực không gian tương đương một hệ xoắn nhưng
trục xoắn không đi qua tâm thu gọn.
Chứng minh:
Phân tích
OOO
12
MMM
=+
uuruuruur

(
)
O
O
R,M
′
⇒
uuruur
≡
(

)
OO
O21
R,M vaø M
′
uuruuruur

Theo trường hợp đầu tiên ta
có:
(
)
O
O2
R,M
′
uuruur
≡
O1
R
′
uur
với
O1
R
′
uur
có điểm
đặt cách O một đoạn
O
2

M
d
R
=
′
uur
.
Vậy
(
)
O
O
R,M
′
uuruur
≡
(
)
O
1O1
M,R
′
uuruur
.
Rõ ràng đây là một hệ xoắn và
trục xoắn không đi qua tâm thu gọn O mà đi qua O
1
cách O một khoảng d.
III. CÁC KẾT QUẢ KHI THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN VỀ TÂM THU GỌN
(CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN)

1. Định lý Varinhông.
Nếu hệ lực không gian có hợp lực thì mômen của hợp lực đối với một tâm bất kỳ
bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với tâm ấy.
Trường hợp a
O
MM
=
uuruur

O
RR
=
urur

O
R
ur

Trường hợp b
O
MM
=
uuruur

O
O
RR
=
urur

O
MM
=
uuruur

O
RR
=
urur

O
Hệ xoắn
thuận
Hệ xoắn
ngược
O
RR
′
=
uurur

O
O
M
uur

O
1
M
uur

O
2
M
uur

O
d

O
1
M
uur

O1
RR
′
=
uurur

O
1

17
()()
n
OOk
k1
mRmF
=

=
∑
uururuurr
. (3.15)
Chứng minh: Giả sử hệ lực khơng gian có hợp lực
R
ur
. Gọi O
1

là điểm nằm trên đường tác dụng của
R
ur
. Theo định lý biến thiên
mơmen chính ta có:
(
)
OO1
OO1
MMmR
′
−=
uuruuruuruur
.
Dễ dàng thấy
O
M
uur
= 0 nên
O

M
uur
=
(
)
OO1
mR
′
uuruur
. Mặc khác
O1
R
′
uur
=
R
ur
⇒
O
M
uur
=
(
)
OO1
mR
′
uuruur
=
()

n
Ok
k1
mF
=
∑
uurr
. (ĐPCM)
2. Các dạng chuẩn của hệ lực khơng gian.
1.
R
′
uur
= 0,
O
M
uur
= 0: Hệ lực khơng gian cân bằng
2.
R
′
uur
= 0,
O
M
uur
≠ 0: Hệ lực khơng gian tương đương với một ngẫu lực (khơng phụ
thuộc vào tâm thu gọn).
3.
R

′
uur
≠ 0,
O
M
uur
= 0: Hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực.
4.
O
R
′
uuur
≠ 0,
O
M
uur
≠ 0
a)
O
R
′
uuur
⊥
O
M
uur
: Hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực
R
ur
bằng vectơ

chính
R
′
uur
và cách O một đoạn
O
O
M
d
R
=
′

b)
O
R
′
uuur
//
O
M
uur
: Hệ lực khơng gian tương đương với một hệ xoắn.
c) (
O
R
′
uuur
,
O

M
uur
) =
2
π
α≠
: Hệ lực khơng gian tương đương một hệ xoắn nhưng trục
xoắn khơng đi qua tâm thu gọn.
IV. CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶC BIỆT.
1. Hệ lực đồng quy.
Vì
()
n
O
Ok
k1
MmF
=
=
∑
uuruurr
=0 ⇒
R0
R0

′
=

′
≠



uur
uur
⇔
Hệ lực đồng quy cân bằng
Hệ lực đồng quy có hợp lực




2. Hệ ngẫu lực.
Vì
n
k
k1
RF0
=
′
==
∑
uurr
nên ⇒
O
O
M0
M0

=



≠

uur
uur
⇔
Hệ ngẫu lực cân bằng
Hệ ngẫu lực tương đương với một nga
ãu lực.




3. Hệ lực song song.
Vì
n
k
k
k1
FR//F
=
′
=
∑
uuruurr
⇒
()
n
O
Ok

k1
MmFR
=
′
=⊥
∑
uuruurruur
.
⇒
(
)
O
O
O
OO
M0,R0
M0,R0
M0,R0
M0,R0;MR

′
==


′
≠=


′
=≠



′′
≠≠⊥


uuruur
uuruur
uuruur
uuruuruuruur
⇔
Hệ cân bằng
Hệ có ngẫu lực
Hệ có hợp lực
Hệ có hợp lực không đi qua tâm thu
gọn







O
MM
=
uuruur

R
ur

O
1
O

O1
R
′
uur


18
* Nếu hệ lực song song cùng chiều thì:
n
k
k1
RF0
=
′
=≠
∑
uurr
⇔ Hệ có hợp lực
4. Hệ lực phẳng.
Lấy tâm thu gọn O trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực thì
(
)
Ok
mF
uurur

⊥
k
F
ur
⇒
O
M
uur
⊥
R
′
uur
.
⇒
(
)
O
O
O
OO
M0,R0
M0,R0
M0,R0
M0,R0,MR

′
==


′

≠=


′
=≠


′′
≠≠⊥


uuruur
uuruur
uuruur
uuruuruuruur
⇔
Hệ cân bằng
Hệ có ngẫu lực
Hệ có hợp lực
Hệ có hợp lực không đi qua tâm thu
gọn







5. Hệ lực phân bố.
Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ

lực song song phân bố theo quy luật:
()
x0
q
qxlim
x
∆→
∆
=
∆


(
)
qx
:Được gọi là cường độ của phân bố
lực trên dầm theo chiều dài.
Ta chỉ xét hàm
(
)
qqx
= đơn trị. Chia
nhỏ dầm thành n đoạn. Xét đoạn dầm
k
x
∆
. Hệ
lực phân bố trên
k
x

∆
được xem như khơng đổi
và tương đương với lực.
kk
F = q(x) .x
′
∆
ur
với
()
kk
k1
xxx
+
′
<<
.
Vectơ chính của hệ lực song song cùng chiều
k
F
ur
có giá trị:
R
′
=
()
n
kk
k1
qx.x

=
′
∆
∑
. Cho n→ ∞ ta có:
R
′
=
()
n
kk
n
k1
limqx.x
→∞
=
′
∆
∑
.
Hay
()
l
0
Rqx.dx
′
=
∫
= Diện tích của biểu đồ lực phân bố. (3.16)
Mơmen chính của hệ lực đối với điểm O (đầu mút của dầm) sẽ là:

()
n
O
kkk
n
k1
Mlimqx.x.x
→∞
=
′
=∆
∑
=
()
l
0
.x.dx
qx
∫
(3.17)
Vậy hệ lực tương đương với hợp lực
R
′
uur
cách O một đoạn:
()
()
l
O
0

l
0
.x.dx
M
d
R
.dx
qx
qx
==
′
∫
∫
(3.18)
* Các trường hợp đặc biệt của hệ lực
phân bố:
a. Cường độ lực phân bố đều: [q(x) = q
0
]


l
0
0
.dxq.l
0
Rq==
∫
;
(

)
k
Kk
Fqx.x
′
=∆
r

x
l

k
x

k
x
∆

o
q

l

19
l
2
0
0
l
0

0
l
.x.dx
q
l
2
d
q.l2
.dx
0
0
q
q
===
∫
∫

Vậy hợp lực đặt ra tại điểm giữa của dầm, có trị số bằng diện tích của hình chữ nhật phân
bố lực.
b. Cường độ lực phân bố tuyến tính:
()
0
x
qxq
l

=



l
00
0
xl
q.dxq.
l2
R ==
∫
;
l
3
0
0
0
l2
0
0
0
x
q
l
q.x.dx
l
2
l3
dl
q
l
3
x

q.dx
l2
l
×
===
×
∫
∫

Vậy hệ lực phân bố tam giác có hợp lực bằng
0
l
q.
2
R =
(Diện tích của tam giác phân bố lực), và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một
đoạn bằng
2
dl
3
= (qua trọng tâm của tam giác).
V. ĐKCB VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CB CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN.
1. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để cho một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính và
mômen chính đối với tâm bất kỳ của hệ lực ấy đều triệt tiêu
()
()
n
k
k1

12n
n
O
Ok
k1
RF0
,, ,0
MmF0
FFF
=
=

′
==


≡⇔


==


∑
∑
uurr
ururur
uuruurr
(3.19)
2. Các phương trình cân bằng của hệ lực không gian.
Chiếu hệ (3.19) lên 3 trục toạ độ ta được:

() () ()
nnn
kxkykz
k1k1k1
nnn
xkykzk
k1k1k1
F0;F0;F0
mF0;mF0;mF0
===
===

===




===


∑∑∑
∑∑∑
rrr
rrr
(3.20)
VI. ĐKCB VÀ CÁC PT CÂN BẰNG CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶT BIỆT.
1. Hệ lực đồng quy. Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là vectơ
chính của hệ lực triệt tiêu.
n
k

k1
RF0
=
′
==
∑
uurr
(3.21) ⇔
nnn
kxkykz
k1k1k1
F0;F0;F0
===
===
∑∑∑
(3.22)
Đối với hệ lực phẳng đồng quy thì số phương trình còn lại 2
2. Hệ ngẫu lực. Điều kiện cần và đủ để hệ ngẫu lực
(
)
12n
m,m, ,m
uuruuruur
cân bằng là
ngẫu lực tổng cộng của nó triệt tiêu.
l
0
q

20
n
k
k1
Mm
=
=
∑
uuruur
⇔
() () ()
nnn
xkykzk
k1k1k1
mF0;mF0;mF0
===
===
∑∑∑
rrr
(3.23)
Đối với hệ ngẫu lực phẳng số phương trình cân bằng còn 1.
3. Hệ lực song song. Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song cân bằng là
tổng hình chiếu của chúng trên trục z song song với các lực thành phần và tổng mômen
của chúng đối với hai trục vuông góc với nhau x,y (và vuông góc với trục z) triệt tiêu.
() ()
nnn
xkyk
kz
k1k1k1
F0;mF0;mF0

===
===
∑∑∑
rr
. (3.24)
Đối với hệ lực song song phẳng, số phương trình cân bằng còn hai.
4. Hệ lực phẳng.
a. Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của các
lực trên hai trục toạ độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với điểm O bất kỳ trên
mặt phẳng tác dụng của hệ lực triệt tiêu.
()
nnn
kxkyOk
k1k1k1
F0;F0;mF0
===
===
∑∑∑
r
(3.25)
Chứng minh: Chọn hệ trục Oxyz có Oz vuông góc với mặt phẳng tác dụng lực. Các
phương trình
() ()
nnn
xkyk
kz
k1k1k1
F0;mF0;mF0
===
===

∑∑∑
rr
tự thỏa mãn. Như vậy điều kiện cân
bằng chỉ còn ba phương trình trên.
b. Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực
đối với hai điểm A,B và tổng hình chiếu của các lực trên trục không vuông góc với đoạn
AB
triệt tiêu.
() ()
nnn
AkBk
kx
k1k1k1
mF0;mF0;F0
===
===
∑∑∑
rr
. Với Ox không ⊥
AB
(3.26)
Chứng minh:
* Điều kiện cần: Dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực không gian, nếu các điều kiện trên
không thỏa mãn thì hệ lực tương đương với hệ ngẫu lực hoặc có hợp lực nên không thỏa
tiên đề 1, nghĩa là hệ lực không cân bằng.
* Điều kiện đủ:
n
kx
k1
R0

F0
R0ROx
=

′
=
=⇒

′′
≠⇒⊥


∑
uur
uuruur

Giả sử
R0
′
≠
uur
và
ROx
′
⊥
uur
. Vì Ox không ⊥
AB
nên
R

′
uur
không //
AB
.
Mặt khác
R
′
uur
≠ 0,
() ()
nn
AkBk
k1k1
mF0;mF0
==
==
∑∑
rr
nên theo định lý biến thiên mômen
chính ta có:
(
)
AB
AB
MMmR0
′
−==
uur
⇒

R
′
uur
phải có đường tác dụng qua A,B.
⇒ Mâu thuẫn với
R
′
uur
không //
AB
⇒
R
′
uur
= 0.
Từ các điều kiện
R
′
uur
=0,
ABO
M=M=M=0
uuruuruur
(Điểm O bất kỳ thuộc mặt phẳng tác
dụng của lực) ⇒ Hệ lực phẳng cân bằng
c. Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng các mômen của các
lực đối với 3 điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu.
() () ()
nnn
AkBkCk

k1k1k1
mF0;mF0;mF0
===
===
∑∑∑
rrr
(3.27)
Chứng minh: Ta có:
() ()
nn
AB
AkBk
k=1k=1
M=mF=0;M=mF=0
∑∑
rr
theo (3.9) ta có:

21
(
)
AB
AB
MMmR

=
uur
=0
R0
R0R

ẹửụứng taực duùng qua A,B


=





uur
uuruur

T ng t :
(
)
BC
BC
MMmR

=
uur
= 0
R0
R0R
ẹửụứng taực duùng qua B,C


=

uur
uuruur

N u
R

uur
0 v
R

uur
i qua A, B, C iu vụ lý bi A, B, C khụng thng hng.
Nu
R

uur
= 0
(
)
OA
OA
MMmR0

==
uur

O

M
=
A
M
=
B
M
=
C
M
= 0, vi O bt k.
H lc phng cõn bng.
VII. PHNG PHP GII BI TON TNH. CC BI TON C BIT. BI TON
SIấU TNH.
1. Phng phỏp gii bi toỏn tnh.
a. Phng phỏp gii bi toỏn tnh:
- t cỏc lc hot ng vo vt kho sỏt.
- Gii phúng cỏc liờn kt v thay vo cỏc phn lc liờn kt tng ng, vi chiu tu
ý chn trc.
- Xỏc nh loi h lc tỏc dng lờn vt kho sỏt.
- Vit h phng trỡnh cõn bng tng ng vi loi h lc.
- Gii h phng trỡnh.
- i li chiu ca cỏc phn lc liờn kt nu chỳng cú giỏ tr õm Bin lun.
b. Bi toỏn h vt. iu kin cõn bng. Phng phỏp tỏch vt v húa rn:
1. Ngoi lc v ni lc:
- Ngoi lc, ký hiu l
e
F
r
l cỏc lc do cỏc vt khụng thuc h tỏc dng lờn cỏc

vt thuc h.
- Ni lc, ký hiu l
i
F
r
, l cỏc lc tỏc dng tng h gia cỏc vt thuc h m
trng hp riờng l nhng lc liờn kt ca cỏc liờn kt trong, tc l nhng liờn kt gia cỏc
vt thuc h.
Theo tiờn tỏc dng v phn tỏc dng ta c:
n
ii
k
k1
RF0
=

==

uurr
;
n
ii
k
k1
MM0
=
==

uuruur

2. Phng phỏp tỏch vt:
Kho sỏt h vt rn gm n vt rn nm cõn bng di tỏc dng ca h ngoi lc
e
k
F
r

(
k1n
=
). Vỡ h vt rn cõn bng nờn tng vt rn phi cõn bng. ỏp dng tiờn gii
phúng liờn kt ta lp c iu kin cõn bng cho cỏc h lc tỏc dng lờn tng vt.
Gi
1
S
: l h lc tỏc dng lờn vt 1

2
S
: l h lc tỏc dng lờn vt 2

k
S
: l h lc tỏc dng lờn vt k (
k1n
=
)

(
)

k
RS0

=
uur
;
()
O
k
MS0
=
uur
(
k1n
=
) (3.28)
Nh vy ta cú 6n phng trỡnh cõn bng. Gii h 6n phng trỡnh ny ta s tỡm c
cỏc phn lc liờn kt.
3. Phng phỏp hoỏ rn:
p dng tiờn hoỏ rn, coi h nh mt vt rn nm cõn bng di h lc (S). Suy ra
(S) l h ngoi lc. Khi ú tt c cỏc ni lc trong h lc trit tiờu nhau.

22
(
)
RS0
′
=
uur
;

()
O
MS0
=
uur
(3.29)
Để giải được bài toán cần phải tách thêm một số vật riêng thích hợp rồi viết phương
trình cho các vật này sao cho số ẩn bằng số phương trình.
* Nhận xét: Phương pháp hoá rắn chỉ là trường hợp riêng của phương pháp tách vật.
Thí dụ: Hai thanh đồng chất AC = 2m, DB=1m, có trọng lượng tương ứng P
1
và P
2
nối
với nhau bằng bản lề như hình vẽ. Tại C treo một vật nặng có trọng lượng P. Tìm các phản
lực liên kết tại A,D và lực liên kết tại B.
P = 50 N, P
1
=10 N, P
2
=5
N, a=1m.
Bài giải:
1) Phương pháp tách
vật:
Giả sử các lực hoạt động
P
ur
,
1

P
ur
,
2
P
ur
(ngoại lực) và các
lực liên kết có chiều như hình
vẽ. Xét thanh AC. Lực tác
dụng lên thanh AC gồm:
+ Ngoại lực:
P
ur
,
1
P
ur
,
A
X
ur
,
A
Y
ur

+ Nội lực:
B
X
′

uur
,
B
Y
′
uur

Vì thanh OA cân bằng
nên:

(
)
1AABB
P,P,X,Y,X,Y0
′′
≡
ururururuuruur

Đây là hệ lực phẳng cân
bằng nên ta có:
AB
AB1
BA
XXX0
YYYPP0
MPYa0
′

=−=


′
=−−−=


=×+×=

∑
∑
∑
a

(a)
Lực tác dụng lên thanh DB gồm:
+ Ngoại lực:
2DD
P,X,Y
ururur

+ Nội lực:
BB
X,Y
urur

Vì thanh DB cân bằng nên:

(
)
2DDBB
P,X,Y,X,Y0
≡

ururururur

Đây là hệ lực phẳng cân bằng nên ta có:
DB
D2B
B2DD
XXX0
YYPY0
MP0,5aYaXa0

=+=

=−+=


=×−×−×=

∑
∑
∑
(b)
Từ (a) và (b) ta có 6 phương trình với 8 ẩn là: X
A,
Y
A
, X
B,
Y
B
, X’

B,
Y’
B
, X
D,
Y
D.

Ta có X
B
= X’
B
, Y
B
= Y’
B
nên hệ phương trình còn lại 6 ẩn.
a
A
D
a
a
2
P
ur

1
P
ur

P
ur

C
B

D
D
X
ur

D
Y
ur

A
Y
ur

A
X
ur

A
2
P
ur

B
B

Y
ur

B
X
ur

B
X
′
uur

B
Y
′
uur

1
P
ur

C
P
ur


23
(
)
()

a
b





⇔
AB
AB1B
A
DB
D2BB
D2D
XX
YYPPY1050
YP50
XX
YPY5Y
Y0,5PX
′
=


′′
=++=++


=−=−


⇔

=−


=−=−

=−



A
A
BB
B
D
D
X112,5N
Y50N
X112,5NX
Y110N
X112,5N
Y115N
=


=−

′


==


=−


=−

=



2) Phương pháp hoá rắn:
Xem hệ như là một vật rắn chịu tác dụng của hệ lực sau
(
)
12AADD
P,P,P,X,Y,X,Y
ururururururur
.
Vì hệ cân bằng nên:
(
)
12AADD
P,P,P,X,Y,X,Y0
≡
ururururururur

Đây là hệ lực phẳng cân bằng nên ta có:
DA

AD12
A12D
XXX0
YYYPPP0
MP2aPaP0,5aXa0

=+=


=+−−−=


=×+×+×+×=


∑
∑
∑

⇒X
D
= -112,5 N; X
A
= 112,5 N.
Để tìm Y
D
ta xét thanh DB và viết phương
trình mômen với điểm B. Ta có

BDD2

MXaYaP.0,5a0
=×+×−=
∑
⇒
D2D
Y0,5.PX
=−
=2,5-(-112,5)=115 N.
Thay vào (2) ta có: Y
A
=50+10+5-115=-50
N.
Muốn biết X
B
,Y
B
ta tách thanh DB và viết các phương trình cân bằng đối với thanh này
ta sẽ tìm được X
B
,Y
B
.
2. Các bài toán đặc biệt.
a. Bài toán đòn.
Định nghĩa: Đòn là một vật rắn quay được quanh một trục cố định và chịu tác dụng
của hệ lực hoạt động nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục quay của đòn.
Điều kiện cân bằng: Giả sử tác dụng lên đòn hệ lực
(
)
12n

,, ,
FFF
ururur
và các phản lực
liên kết tại trục quay
OO
,
XY
urur
. Điều kiện để đòn cân bằng:
(
)
12nOO
,, ,,,0
FFFXY
≡
ururururur

⇒
() ()
n
xkxO
k1
n
ykyO
k1
n
OOk
k1
FFX0

FFY0
mFmF0
=
=
=

=+=



=+=



==


∑∑
∑∑
∑∑
rr

Hai phương trình đầu luôn thỏa mãn nhờ trục O tạo ra
các phản lực
OO
,
XY
urur
. Vậy đòn cân bằng là do điều kiện thứ 3 quyết định.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để đòn cân bằng là tổng mômen của các lực hoạt động

đối với trục quay của nó phải triệt tiêu.
()
n
Ok
k1
mF0
=
=
∑
ur
(3.30)
O
1
F
r

2
F
r

3
F
r

4
F
r

D
A

B
C
1
P
ur

D
Y
ur

D
X
ur

2
P
ur

P
ur


24
b. Bài toán vật lật:
Định nghĩa: Vật lật là vật có liên kết tại hai điểm hoặc là hai liên kết tựa, hoặc là một
liên kết tựa và một liên kết bản lề.
Điều kiện cân bằng (không lật): Giả sử vật lật chịu tác dụng của hệ lực
(
)
12n

,, ,
FFF
ururur
và hai phản lực liên kết
A
N
ur
,
B
N
ur
. Vật được xem là bị lật nếu nó mất liên kết
tại B (lật quanh A) hoặc mất liên kết ở A (lật quanh B). Khi đó
vật được xem là một đòn.
Ta cần tìm điều kiện để vật không lật,giả sử quanh A. Chia
các lực hoạt động thành 2 nhóm:
- Nhóm gồm các lực gây lật: là các lực có mômen
với A theo chiều vật bị lật, có tổng mômen là M
A
Laät
.
- Nhóm gồm các lực chống lật: là các lực có mômen
đối với A ngược chiều vật bị lật, có tổng mômen là M
A
Choáng
.
Định lý: Điều kiện cần và đủ để vật không bị lật là mômen lật không lớn hơn mômen
chống lật.
M
Laät

≤ M
Choáng
(3.31)
Thật vậy, muốn vật không bị lật quanh A, tức là nó còn cân bằng và liên kết tại B vẫn
còn hoạt động thì:
(
)
A
mF
∑
ur
=
(
)
B
A
mNMM
Laät
Choáng
+−
ur
= 0 ⇒
Laät
M
=
Choáng
M
-
(
)

B
A
mN
ur

mà
(
)
AB
mN
uuur
≥ 0⇒
Laät
M
≤
Choáng
M
(đpcm)
Thí dụ: Cho cần trục như hình vẽ. Khoảng cách giữa 2 bánh xe là 1 m. Trọng lượng
bản thân cần trục là P
1
=60 KN. Trọng lượng đối trọng là P
2
=10 KN đặt cách tâm quay 2m.
Trọng lượng thùng bê tông là Q=10 KN.
Tìm tầm với của cần trục (là khoảng cách từ tâm quay đến lực Q)
Bài giải:
Giả sử tầm với của cần trục là a (m)
Kiểm tra khả năng lật quanh A.
Laät

M
=P
2
x(2-0,5);
Choáng
M
= P
1
x0,5 + Qx(a+0,5)
Laät
M
≤
Choáng
M
⇔ 1,5P
2
≤0,5P
1
+Q.(a+0,5)
⇔ a≥ 5,0
10
60
5
,
0
10
5
,
1
−

×
−
×
= -2 m (< 0).
Vậy cần trục không thể lật quanh A
Kiểm tra khả năng lật quanh B.

Laät
M
=Qx(a-0,5)

Choáng
M
= P
1
x0,5 + P
2
x(2+0,5)
Laät
M
≤
Choáng
M
⇔ Qx(a-0,5)≤ P
1
x0,5 +
P
2
(2+0,5) ⇔ a≤ 5,0
10

10
5
,
2
60
5
,
0
+
×
+
×
= 6 m.
Vậy tầm với của cần trục là a≤ 6m.
3. Bài toán siêu tĩnh.
Khi lập hệ phương trình cân bằng cho một vật hoặc hệ vật, nếu:
- Số phương trình bằng số ẩn ta có bài toán tĩnh định.
- Số phương trình nhỏ hơn số ẩn ta có bài toán siêu tĩnh.
Một trong những nguyên nhân gây nên bài toán siêu tĩnh là biến dạng mà vật ta xét ở
đây là vật rắn tuyệt đối, tức bỏ qua biến dạng nên không thể giải được bài toán.
1
F
r

2
F
r

2
F

r

B
N
ur

A
N
ur

A
B
2
P
ur

Q
ur

B
N
ur

A
N
ur

A
B

25
Bài toán siêu tĩnh sẽ được giải quyết trong các giáo trình cơ học của vật biến dạng.