BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 8 ppsx

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc
Bi 8 NG CONG V MT

A. NG CONG
I. KHI NIM
Ta cú th núi rng ng cong l qi tớch ca mt dim chuyn ng theo mt qui lut nht nh
no ú to thnh. Cú cỏc loi ng cong sau:
_ ng cong phng : Nu ng cong thuc mt mt phng
_ ng cong ghnh : Nu ng cong khụng thuc mt mt phng
_ ng cong i s bc n : Nu ng cong c biu din bng mt phng trỡnh i s
bc
n
_ ng cong i s bc m x n : Nu ng cong c biu din bng hai phng trỡnh i s
bc
m v bc n
Nhng ng cong phng bc hai thng gp l: ng trũn, Elip, Parabol, Hyperbol
Ta cú th núi rng Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l nhng ng cong bc hai khụng cú im
vụ tn, cú mt im vụ tn thuc trc i xng, cú hai im vụ tn thuc hai ng tim cn
II. HèNH CHIU CA MT NG CONG
Tớnh cht 1
Hỡnh chiu xuyờn tõm hay song song ca tip tuyn ca ng cong ti mt im núi chung l
tip tuyn ca hỡnh chiu ng cong ti hỡnh chiu im ú
Gi s Mt l tip tuyn ca ng cong (C) ti im M Mt' l tip tuyn ca ng cong (C')
ti im M l hỡnh chiu ca im M (Hỡnh 8.1)

P

C'
O
O
s

B
D
C
A
A

B
D
s
(C)
(C')
M
t
M
t









Hỡnh 8.1 Hỡnh 8.2

Tớnh cht 2
Hỡnh chiu ca ng cong i s bc n núi chung l ng cong i s bc n

Tớnh cht 3

Hỡnh chiu vuụng gúc ca ng cong ghnh i s bc n lờn mt phng i xng ca nú l
ng cong phng i s bc n / 2

ắ Chỳ ý
_ Hỡnh chiu song song ca Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l Elip, Parabol, Hyperbol
_ Hỡnh chiu song song ca cp ng kớnh liờn hip ca Elip l cp ng kớnh liờn hip ca
Elip hỡnh chiu ( Hỡnh 8.2). Nu hai ng kớnh liờn hip vuụng gúc vi nhau thỡ gi l cp
trc ca Elip
_ Elớp cú th c xỏc nh bng cp ng kớnh liờn hip ca nú
_
Riờng i vi ng trũn ta chỳ ý cỏc tớnh cht sau:
+
Nu mt phng ca ng trũn khụng song song vi phng chiu thỡ hỡnh chiu ca ng
trũn l Elip

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
53
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc
+
Tõm ca ng trũn chiu thnh tõm ca elip
+
Hai ng kinh vuụng gúc ca ng trũn chiu thnh hai ng kớnh liờn hip ca Elip

c bit
Trong hỡnh chiu vuụng gúc, trc di ca Elip l hỡnh chiu ca ng kớnh ng trũn song
song vi mt phng hỡnh chiu, nờn bng ng kớnh ca ng trũn ú


Vớ d
Hóy v cỏc hỡnh chiu ca ng trũn tõm O, bỏn kớnh R thuc mt phng chiu ng

(Hỡnh 8.3)

Gii
(
2
)
B
1
D
2
D
1
C
1
C
2
A
1
A
2
B
2
O
2
O
1
m


x

_ Hỡnh chiu ng ca ng trũn suy bin thnh on
thng C
2
D
2
= 2R v C
2
, D
2
(
2
)
_ Hỡnh chiu bng ca ng trũn l Elip cú :
+ Tõm O
1

+ Trc di A
1
B
1
= AB = 2R vi AB mp P
2

+ Trc ngn C
1
D
1
A
1

B
1
ti O
1



Hỡnh 8.3


B. MT HèNH HC
I. KHI NIM
1) a din
a din l mt kớn c to thnh bi mt s hu hn cỏc a giỏc phng khộp kớn
_ Cỏc a giỏc ny l cỏc mt ca a din
_ Cỏc cnh, cỏc nh ca a giỏc ny gi l cỏc cnh, cỏc nh ca a din
Mt chúp, mt lng tr l cỏc a din c bit

2) Mt cong
Ta cú th núi rng mt cong l qi tớch ca mt ng chuyn ng theo mt qui lut nht nh
no ú to thnh.
ng chuyn ng gi l ng sinh, trong quỏ trỡnh chuyn ng to thnh mt ng sinh cú
th bin dng hoc khụng bin dng; ng sinh cú th l ng thng hoc ng cong. Nu
ng sinh l ng thng thỡ mt c to thnh gi l mt k (mt nún, mt tr
, )
Cú cỏc loi mt cong sau:
_ Mt trũn xoay: Nu mt c to thnh bi mt ng sinh quay xung quanh mt trc
_ Mt cong i s bc n : Nu mt c biu din bng mt phng trỡnh i s bc n
_ Cỏc mt cong bc hai thng gp l: Mt nún, mt tr, mt cu, mt Elipxụit, mt Paraboloic,
mt Hyperbolic

II. BIU DIN MT - IM THUC MT
_ Biu din mt mt l biu din mt s thnh phn ca mt xỏc nh mt ú. Tuy nhiờn,
d hỡnh dung ngi ta thng biu din mt cong bng cỏc ng bao hỡnh chiu
_ Biu din mt im thuc mt l biu din im ú thuc mt ng ca mt sao cho trờn
hỡnh chiu ng ny l ng thng hoc ng trũn
Sau õy s biu din mt s mt thụng dng

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
54
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc
1) a din
Biu din a din bng cỏch biu din tt c cỏc cnh ca a din
ắ (Hỡnh 8.4) biu din t din ABCD. Cỏch v thy khut ca cp cnh hỡnh chiu bng A
1
B
1
,
C
1
D
1
v cp cnh hỡnh chiu ng A
2
C
2
,

B
2

D
2
nh ó bit.

ắ Thy khut
_ ng i qua mt im khut trờn hỡnh chiu no thi ng ú khut trờn hỡnh chiu ú
_ Mt phng cha mt ng thng khut trờn hỡnh chiu no thi mt phng ú khut trờn hỡnh
chiu ú
ắ Cho hỡnh chiu ng M
2
; hóy v hỡnh chiu bng M
1
, bit M thuc t din ABCD(Hỡnh 8.4)
Vi v trớ M
2
ó cho thỡ cú hai im M v M, m M
2
M
2
vi:
+ M mp (BCD) M CI . T M
2
C
2
I
2
M
1
C
1

I
1
. Vỡ C
1
I
1
thy nờn M
1
thy
+ M mp (ACD) M CJ . T M
2
C
2
J
2
M
1
C
1
J
1
. Vỡ C
1
J
1
khut nờn M
1
khut

A

1
B
1
C
1
D
1
A
2
D
2
B
2
C
2
J
1
I
1
J
2
I
2
M
2
M
1
M
1
x

a
2
I
1
I
2
J
2
M
2
M
2
J
1
M
1
M
1
S
1
(C
1
(C
2
x
b
2
m
1
S

d
(C)
H
(
2
(
1
n
1
S
2













Hỡnh 8.4 Hỡnh 8.5 Hỡnh 8.6

2) Mt nún bc hai
Mt nún bc hai l mt c to thnh bi mt ng thng d chuyn ng luụn luụn i qua
mt im
S c nh gi l nh nún v ta vo mt ng cong bc hai (C) gi l ng chun

ca nún (Hỡnh 8.5).

ắ Mt nún bc hai gm cú hai phn i xng nhau qua nh nún. (Hỡnh 8.6) biu din mt phn
ca mt nún bc hai c gii hn t nh S n ng chun bc hai (C) thuc mt phng
chiu ng cú hỡnh chiu bng l ng trũn.
_
a
2
, b
2
l hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún (a
1
, b
1
khụng v õy)
_
m
1
, n
1
l hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún (m
2
, n
2
khụng v õy)

ắ Thy khut
+
Nhng im thuc mt nún thỡ thuc ng sinh ca nún: Nu chõn ng sinh ny thuc
cung thy ca ng chun (C) trờn hỡnh chiu no thỡ im ú c thy trờn hỡnh chiu ú

+ Nhng im thuc na trc ca nún k t hai ng sinh m hỡnh chiu ng l hai ng
sinh biờn thỡ c thy hỡnh chiu ng
+ Nhng im thuc na trờn ca nún k t hai ng sinh m hỡnh chiu bng l hai ng
sinh biờn thỡ c thy hỡnh chiu bng
ắ Cho hỡnh chiu ng M
2
; hóy v hỡnh chiu bng M
1
, bit M thuc mt nún nh S(hỡnh 8.6)
Vi v trớ M
2
ó cho thỡ cú hai im M v M, m M
2
M
2
:
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
55
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc
+
Gn M SI nún. T M
2
C
2
I
2
M
1
S
1

I
1
. Vỡ S
1
I
1
thy nờn M
1
thy
+ Gn M SJ nún. T M
2
S
2
J
2
M
1
S
1
J
1
. Vỡ S
1
J
1
khut nờn M
1
khut

ắ Chỳ ý

1) v hỡnh chiu bng M
1,
M
1
ca im M, ta cú th gn M vo ng Elip () thuc mt
nún; Elip () ny cú tõm nm trờn trc ca nún v thuc mt phng chiu ng song song
mp (C). Vỡ vy (
1
) l ng trũn v t M
2
(
1
) M
1
, M
1
(
1
) (Hỡnh 8.6)
2) Mt nún trũn xoay l mt c to thnh bi mt ng thng quay xung quanh mt trc ti
mt im c nh thuc trc quay ú. Mt phng vuụng gúc vi trc trũn xoay ny s cho
giao tuyn l ng trũn.

3) Mt tr bc hai
Mt tr bc hai l trng hp c bit ca mt nún bc hai khi nh nún S xa vụ tn

ắ (Hỡnh 8.7) biu din mt tr bc hai cú ng chun (C) l elip thuc mt phng chiu ng
cú hỡnh chiu bng l ng trũn.
_
a

2
, b
2
l hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca tr, hỡnh chiu bng khụng v õy
_
m
1
, n
1
l hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca tr, hỡnh chiu ng khụng v õy

ắ Thy khut
Xột thy khut ca tr tng t nh xột thy khut ca nún.
ắ Cho hỡnh chiu ng M
2
; hóy v hỡnh chiu bng M
1
, bit M thuc mt tr (Hỡnh 8.7)
Vi v trớ M
2
ó cho thỡ cú hai im M v M, m M
2
M
2
:
+ Gn Md tr. T M
2
d
2
M

1
d
1
.
Vỡ d
1
thy nờn M
1
thy
+ Gn Mktr.T M
2
k
2
M
1
k
1
.
Vỡ k
1
thy nờn M
1
thy (Hỡnh 8.7)

k
1
d
1
d
2
k
2
m
1
n
1
b
2
a
2
(C
2
)
M
1
M
1
J

1
I
1
(C
1
)
M
2
M
2
I
2
J
2
x
O
1
O
2
x
(
2
)
(

1
)
M
2
M

2
M
1
M
1
(
a
2
)
(
a
1
)
(b
1
)
(b
2
)
Hỡnh 8.7 Hỡnh 8.8
4) Mt cu
- Mt cu l mt bc hai trũn xoay c to thnh bi mt ng trũn quay xung quanh mt
ng kớnh ca nú
- Mt cu l qu tớch ca nhng im trong khụng gian cỏch u mt im c nh gi l tõm
ắ (Hỡnh 8.8) biu din mt cu bc hai tõm O, bỏn kớnh R
Cỏc hỡnh chiu ca mt cu l cỏc ng trũn bng nhau cú bỏn kớnh R ca cu
_
a
2
l ng trũn bao hỡnh chiu ng ca cu ; (a) mp // P

2

_
b
1
l ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu ; (b) mp // P
1

GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
56
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc

ắ Thy khut
+ Nhng im thuc na trờn ca mt cu k t ng trũn (b) c thy hỡnh chiu bng
+ Nhng im thuc na trc ca mt cu k t ng trũn (a) c thy hỡnh chiu ng
ắ Cho hỡnh chiu ng M
2
; hóy v hỡnh chiu bng M
1
, bit M thuc mt cu (O,R) (hỡnh 8.8)
Vi v trớ M
2
ó cho thỡ cú hai im M v M, m M
2
M
2
:
Gn M M () cu. T M
2
, M

2
(
2
) M
1
; M
1
(
1
). Vỡ M
2
nm na trờn ca cu
nờn M
1
; M
1
thy hỡnh chiu bng

5) Mt xuyn
Mt xuyn l mt bc bn trũn xoay c to thnhbi mt ng trũn (C) quuay xung quanh
mt trc
t thuc mt phng ca ng trũn nhng khụng i qua tõm O (Hỡnh 8.9)

Phõn loi mt xuyn
_
Mt xuyn h: Nu trc t khụng ct ng
trũn sinh
(C)
_
Mt xuyn kớn: Nu trc t ct ng trũn

sinh
(C)
Hỗnh 8.9
o
t
+
(C)
M
2
(C
1
)
M
2
M
2
M
2
d
1
d
1
(C
2
)
(
a
2
)
(

a
1
)(b
1
)
M
1
M
1
M
1
M
1
t
2
t
1
(

2
)
(

2
)
(
1

1
)

(d
2
) (d
2
)
(b
2
)
- Ta thng biu din mt xuyn v trớ
c bit cú trc
t vuụng gúc vi mt
phng hỡnh chiu.
-
(Hỡnh 8.10) biu din thc ca mt
xuyn cú trc t P
2

-
(a
2
), (b
2
) l hỡnh chiu ng ca cỏc
ng trũn v tuyn to ra do cỏc im
thuc ng trũn sinh (C) xa v gn trc
t nht
-
(a), (b) thuc mt mt phng vuụng gúc
trc t v ng thi cng l mt phng i
xng ca xuyn

-
(C
1
) l hỡnh chiu bng ca ng trũn
sinh (C) thuc mt phng i xng cha
trc t .
-
d
1
, d
1
l hỡnh chiu bng ca hai ng
trũn trung bỡnh ca xuyn

(ng trũn trung bỡnh ca xuyn l
ng trũn to ra do hai im nm trờn
ng trũn sinh (C) cú khong cỏch n
trc t bng khong cỏch ca tõm O
ng trũn (C) n trc t-to thnh.

Hỡnh 8.10
ắ Thy khut
_
Nhng im thuc na trờn ca xuyn k t ng trũn sinh (C) v ng trũn trung bỡnh
(d) s thy hỡnh chiu bng .
_
Nhng im thuc na trc ca xuyn k t hai ng trũn (a), (b) s thy hỡnh chiu
ng
ắ Chỳ ý
_

Mt phng vuụng gúc vi trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trũn v tuyn
_
Mt phng cha trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trũn bng ng trũn sinh
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
57
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc

ắ Cho hỡnh chiu bng M
1
; hóy v hỡnh chiu ng ca im M, bit M thuc mt xuyn
(Hỡnh 8.10)
Vi v trớ M1 ó cho thỡ cú bn im M, M, M, M m M
1
M
1
M
1
M
1
:
Gn M, M () v M, M () xuyn. T [M
1
M
1
M
1
M
1
] [(
1

) (
1
)]
M
2
, M
2
(
2
) v M
2
, M
2
(
2
). Vỡ M
1
nm na trc ca xuyn M
2
, M
2
, M
2
,
M
2
thy hỡnh chiu ng .

III. MT VI V D GIi SN

Vớ d 1

Cho on thng AB. Hóy biu din qu tớch nhng im trong khụng gian nhỡn on AB di
gúc vuụng.
Gii
_
Qu tớch nhng im trong khụng gian nhỡn on AB di gúc vuụng l mt cu ng kớnh
AB, cú tõm O l trung im ca on AB
_ Bng phng phỏp tam giỏc ta xỏc nh di tht ca on thng AB l on A
1
B
0

V mt cu tõm O l trung im ca on AB, bỏn kớnh bng A
1
B
0
/ 2; (Hỡnh 8.11)

h
x
S
1
n


O
0
B
0
B
1
A
1
B
2
A
2
O
1
O
2
O
2

A
2

B
2

A
2
B
2
S
2
K
2
O
2
O
1
N
1
K
1
K
2

m


x
A
1
B
1

M
1
(

1
) m




Hỡnh 8.11 Hỡnh 8.12

Vớ d 2
Cho mp chiu bng v im O thuc mp . Hóy biu din mt nún trũn xoay nh S, ỏy l
ng trũn tõm O, bỏn kớnh R thuc mp , chiu cao SO = h cho trc h

Gii
_
Hỡnh chiu bng ca ỏy nún suy bin thnh on thng M
1
N
1
= 2R thuc ng thng (
1
)
_ Gp mp quanh vt ng, ta v c ng trũn tht tõm O
2
bỏn kớnh R ca ỏy nún
_ Vỡ chiu cao ca nún bng h , nờn ta v O
1

S
1
= h v vuụng gúc ng thng (
1
) S
2
vi
O
2
S
2
// x
_ V hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún l: S
1
N
1
, S
1
M
1

_ Hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún s i qua S
2
v tip xỳc vi Elip hỡnh chiu
ng ca ỏy nún. Vỡ Elip ny khụng v chớnh xỏc bng tay nờn ta cú cỏch gii nh sau:
+ Vic v hai ng sinh bao ny tng ng vi v hai ng thng i qua im K mp
vi K
2
S
2

v tip xỳc vi ỏy nún
GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK
58