Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 3 pps

Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

BàI tập Chơng III : Sóng âm trong chất lỏng

@ áp dụng 3: Cân bằng năng lợng cục bộ đối với một sóng phẳng (Trang 107)

Hãy viết biểu thức của mật độ động năng, mật độ thế năng và mật độ năng lợng sóng, cũng
nh vectơ mật độ dòng năng lợng (vectơ mật độ năng thông

G
), đối với một sóng phẳng lan
truyền theo phơng song song với trục Ox. Kiểm nghiệm biểu thức cân bằng năng lợng cục bộ
trong trờng hợp đặc biệt này.
Bài giải :

Đối với một sóng phẳng lan truyền theo phơng song song với trục Ox, vận tốc v và áp suất d
p có dạng :
0
v( , )
(,)
x
SS
Sx
SS
xx
xt f t g t e
cc
xx
p
xt c f t g t e
cc

=++










=+






GG
G

Mật độ khối của động năng :
22
00
11
v(

22
K
ef
)

==+g

22
0
1
(2 )
2
K
effgg

=++

Mật độ khối của thế năng :
() ()
22
222
00
11 1
() (2
22 2
P S SS SS
ep cfg cffg

== = +
2

)
g

Mà :
2
0
1
S
S
c


=

22
0
1
(2
2
P
effg

=+
)
g

Mật độ khối của năng lợng sóng âm :
22
0
()

SKP
eee f g

=+= +

Vectơ mật độ năng thông :
0
v()(
Sx
pcfgfg

= = +
G
)e
G
G

22
0
()
Sx
cf ge

=
G
G

Biểu thức cân bằng năng lợng cục bộ :
0
S

e
div
t


+=

G
. Trờng hợp sóng âm lan truyền
theo phơng Ox (một chiều), ta có:
0
S
e
x
t


+
=


Dễ dàng kiểm tra lại biểu thức cân bằng năng lợng cục bộ :
Ta có :
00
11
(2 2 ) 2 2 ( )
SS
SS
fg
cf gc fg f

xxx cc



===



0
g

+
(1)
Và :
0
2(' ')2( )
S
e
0
f
fgg fg
t


=+=

+
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
0

S
e
x
t



+=



@ áp dụng 4 : Phản xạ và truyền qua các sóng âm trên bề mặt tiếp giáp giữa hai ống
dẫn: (Trang 112)
Khảo sát sự phản xạ và sự truyền qua của các sóng âm phẳng trên bề mặt tiếp giáp của hai ống
dẫn có tiết diện S
1
và S
2
(hình a và hình b).
1) Chứng minh rằng có sự liên tục của áp suất tại x = x
0
:

10 20
(,) (,)
p
xt pxt=
2) Chứng minh rằng có sự liên tục của lu lợng khối (lu lợng thể tích) trên bề mặt tiếp giáp:

v1 0 1 1 0 v2 0 2 2 0
( ,) v( ,) ( ,) v( ,)D xt S xt D xt S xt===
Cho biết trở kháng âm của một ống dẫn có tiết diện S đợc xác định bởi tỷ số :
0 S
c
Z
S

=


71
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

3) Viết biểu thức của các hệ số phản xạ và hệ số truyền qua về biên độ đối với lu lợng khối
và áp suất d theo các trở kháng âm của các ống dẫn.
4) Từ đó rút ra hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua T về năng lợng.
5) Đơn giản các biểu thức thu đợc khi các ống dẫn chứa cùng một chất lu và có diện tích
khác nhau. Xác định T và R khi S
2
. Bình luận kết quả nhận đợc.

@ Bài giải :

Câu 1 :

Xét một píttông (một lớp chất lu) có khối lợng M, bề dày không đáng kể, nằm trên bề mặt
tiếp giáp của hai ống dẫn. Dới tác dụng của áp suất d p
1
(x
0
,t) và p
2
(x
0
,t), phơng trình chuyển
động của píttông có dạng :
10 20
() [ ( ,) - ( ,)]
M
at Sp x t p x t= trong đó a(t) là gia tốc của píttông.
Khi M 0, do gia tốc a(t) là hữu hạn, nên :
10 20
(,) = (,)

p
xt pxt

Nh vậy, có sự liên tục của áp suất tại x = x
0
(trên bề mặt tiếp giáp giữa hai ống).
Câu 2 :

Hình 5:
(
)
11
1( , )c

Sóng tới
Sóng phản xạ
Sóng truyền qua
()
22
2( , )c

x
0
x
x
Chiều dài L của rối loạn nhỏ của chất lu khi có
sóng âm truyền qua là bé hơn nhiều so với bớc
sóng của sóng âm : L << , do đó có thể bỏ qua
sự biến thiên của thể tích của một lớp chất lu
đang chuyển động do những rối loạn nhỏ nói trên

gây ra.
Khi đó, ta thấy lu lợng khối trên bề mặt tiếp
giáp của hai ống dẫn là liên tục:
v1 0 1 1 0 v2 0 2 2 0
( ,) v( ,) ( ,) v( ,)D xt S xt D xt S xt===

Câu 3 :

Điều kiện biên :
10 20
v1 0 v2 0
(,) = (,)
(,) (,)
p
xt pxt
Dxt Dxt


=


[
]
[]
1110 10 2220
110 10 220
(,) (,) = (,)(1)
(,) (,) = (,) (2)
cfxt gxt cfxt
Sfxt gxt Sfxt

+



Hệ số phản xạ về biên độ đối với lu lợng khối :
,
11
12
,1
v
()
v
V phanxa phanxa
V
Vtoi toi
D
Sg
rD
DS
== =
1
f

Từ (1) và (2), suy ra :
22 222 2 211 122

1
111 111
222
Sf cf f S c S c
f
Sc Sc



+
=+ =




21 22
1
11
2
f
ZZS
f
Z
S

+
=


(3)

72
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Và :
2112122
1
11 1
-
2
f
cS S c
g
cS



=



21 22
1
11
2
f
ZZS
g
Z
S

=



Suy ra :
12
12
12
()
V
Z
Z
rD
Z
Z

=
+

Tơng tự, hệ số phản xạ về biên độ đối với áp suất d :
11 1 1 1 2
12 12
11 1 1 1 2
() ( )
phanxa
V
toi
p
cg g Z Z

rp rD
pcffZZ



= = = = =
+

(Lu ý dấu (-) trong biểu thức của áp suất d phản xạ).
Hệ số truyền qua về lu lợng khối :
,
22
12
,1 1
v
()
v
V truyenqua truyenqua
V
Vtoi toi
D
SS
D
DS S

== =
2
1
f
f

Từ (3) suy ra :
21
112
2
1
2
f
ZS
f
ZZS
=
+

1
12
12
2
()
V
Z
D
Z
Z

=
+

Tơng tự, hệ số truyền qua về biên độ đối với áp suất d :

222 22 1 1 1 1 1
12 12
111 11 1 2 2 2 1 2 2
22
() ( )
V
cf c Z S Z Z Z
pD
cf cZ ZS ZZ Z Z




== = =
++

o Hệ số phản xạ và hệ số truyền qua về năng lợng :
1
1
phanxa x
toi x
Se
R
Se

=

G
G
G

G
và
2
1
phanxa x
toi x
Se
T
Se

=

G
G
G
G

Với :

2
111
.v
toi toi toi
pc

= = f

2
11 1
.v

phanxa phanxa phanxa
p
cg

= =


2
22 2
.v
truyenqua truyenqua truyenqua
p
cf

= =

Suy ra :
2
11 1
2
11 1
cg
R
cf


=
2
12
12

ZZ
R
ZZ


=

+



()()
2
222
22 2 1 22 2 1 1 2 1
22
2
11 1 1 11 1 2 1
12 12
44cS g cS S Z Z Z
T
cS f cS S Z
ZZ ZZ



== =

++

()

12
2
12
4ZZ
ZZ
=
+
T

Ta thấy : R + T = 1
Câu 5 :
Khi ống dẫn chứa cùng một chất lu thì :
1
=
2

Ta có :
2111
1222
/
/
2
1
Z
cS S
Z
cS S

==


21
12 12
21
() (
V
SS
rD rp
SS

==
+
)


12
12 12
12 1
2
() (
V
SS
Dp
SS S

==
+

)


2
21
21
SS
R
SS


=

+


()
21
2
21
4SS
T
SS
=
+

Khi S
2
thì R 1, T 0. Năng lợng sóng âm bị phản xạ hoàn toàn và gần nh
không truyền đợc qua bề mặt tiếp giáp giữa hai ống.

73
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Khi S
2
>> S
1
thì
()
21
2
21
4
1
SS
T
SS
=<
+
<
(vì 1
R

) Khi đó, năng lợng sóng âm truyền qua bề
mặt tiếp giáp rất bé. Vì vậy, khi nói trớc đám đông, ta phải dùng tay làm loa hoặc dùng loa thì
năng lợng sóng âm truyền từ miệng truyền ra bên ngoài mới lớn đợc.

@ Bài tập 1: Gió mang âm thanh (Trang 129)

Nghiên cứu một dòng không khí có vận tốc không đổi u

0
(theo phơng chiều trục Ox với u
0
> 0
tại mọi điểm. Trong dòng chảy đó, có một sóng âm phẳng chạy truyền theo phơng của trục
Ox.
1) Hãy dùng các ký hiệu đã học, hãy viết phơng trình lan truyền áp suất d p(x,t) trong phạm
vi phép gần đúng âm học.
2) Một sóng phẳng chạy đơn sắc, lan truyền trong dòng chảy. Dới dạng phức, p đợc viết nh
sau:
(
0
itkx
ppe


=
)
. Hãy tìm hệ thức tán xạ cho mối liên hệ giữa k và , và giải thích kết quả
nhận đợc. Câu gió mang âm thanh nói lên điều gì?

Bài giải : Câu 1 :
Vận tốc của một phần tử chất lu khi gió chuyển động với vận tốc u
0
:
với
0
v( , )ux+ t
0
v( , )

x
tu<<

Từ phơng trình bảo toàn khối lợng :
()
0
(v)div u
t
0



+
+=

G
G
, suy ra :

()()
00
vvdiv u u grad
t
0



++++

JJJJJG

GG GG
=


Lu ý rằng : =
0
+ à với
0
= hằng số;
0
u
G
bằng hằng số, ta có :

()
0
vvdiv u grad
t
0
à
à

+++ =

JJJJJG
GGG

Do
0

à
=+ nên :

() ()
00
vv vdiv div u grad grad
t
0
à
à àà

++++

=
J
JJJJG JJJJJG
GGG G

Mặt khác, do
0
à

<< và
0
v u<<
nên :

0
v<< vdiv div
à

GG
và
0
v0grad u grad
àà
<< =
JJJJJG JJJJJG
GG
Do đó :
00
v0div u grad
t
à
à

++

JJJJJG
GG
=

Trờng hợp truyền sóng một chiều, ta có :
00
v
0
u
txx
à
à

+
+=



(1)
Phơng trình Euler :
()
v
v
vv
grad gradP f
t



+=



G
JJJJJG JJJJJG
+
G
GG
trở thành :

()
0
00
(v)
(v) (v)
u
ugradu grad
t

+

++ +=



GG
JJJJJG JJJJJG
GG GG
P

(Ghi chú :
Phơng trình Euler
()
v
v
vv
grad gradP f
t

+=



G
JJJJJG JJJJJG
+
G
GG
với
v
G
ở đây bằng
0
vu +
GG
Bỏ qua lực thể tích
v
f
G
).
Lu ý rằng : P = P
0
+ p và P
0
= hằng số;
0
u
G

là hằng số, suy ra :

74
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

()
0
v
(v) v
u grad gradp
t



++ =



G
JJJJJG JJJJJG
GG G


0
v
( )v+ (v )v
u grad grad grad p
t

+=

G
JJJJJG JJJJJG JJJJJG
GGGG


Trong phép gần đúng âm học, ta có :
v
(v )v<<
grad
t


G
J
JJJJG
G
G
; đồng thời lu ý rằng
0
vv
tt




GG

000
v
()v
u grad gradp
t


+=

G
JJJJJG JJJJJG
GG

Trờng hợp lan truyền theo một chiều Ox, ta có :

000
vvp
u
tx


+=

x



(2)

(Ghi chú :

vv
vv
(.grad)v
xx
xyz
yy
xyz
zz
xyz
uuu
v
v
x
y
z
x
yz
uuuu
x
yz
A
AA
uuu
x
yz


++

=++





++



JJJJG
GG

)v
, do đó nếu lan truyền theo một chiều thì
trở thành
0
(ugrad
JJJJJG
GG
0
v
u
x


)

Với giả thiết NĐH:
0
2
1
S
p
c
à
==p
trong đó :
0
2
1
S
c


=
, biểu thức (1) trở thành:




0
0
22
1v
0
u
pp

ct xcx


++=


(3)

222
0
0
22 2
1v
0
u
pp
ct xtcxt


++

=

(4)
Từ biểu thức (2) suy ra :

22
000
2
vv

2
2
p
u
x
tx


+=

x


(5)
Từ biểu thức (3) suy ra :

222
0
0
222
1v
0
u
pp
cxt x cx


++

2

=

(6)
Từ (6) rút ra :
22
0
0
22 2
v1
u
2
2
p
p
x
cxtcx


=




Từ (4) rút ra :
22
0
0
22 2
v1
u

2
p
p
x
tctcx


=

t


Thay tất cả vào (5), suy ra :

75
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

22 22
00
0
22 2 2 22 2
11uu
2
p
ppp
u
ct cxt cxtcx x


+ =

p


()
22 2
22
00
22
2
p
pp
cu u
x
tx

=+

t


Đây chính là phơng trình lan truyền áp suất d p(x,t) trong dòng chảy.
Câu 2 :

Với sóng phẳng chạy đơn sắc p(x,t) có dạng :
()
0
itkx

ppe


=


2
22
2
()
p
p
ik k p
x

= =

;
2
22
2
()
p
p
ip
t



= =

;
2
()()
p
p
iikk
tx
p



= =


Phơng trình lan truyền áp suất d p trở thành :


222 2
0
() 2cuk uk
0


=+

2222
00
(2 )uk uk ck

2
0

+=



22
0
()(uk kc

=)
2
2
0
2
()uk
k
c


=


0
uk kc

=
0
()ku c

=


Đây chính là hệ thức tán xạ cần tìm.
Nếu đặt
0
'cuc=
'kc

=
, ta lại tìm thấy một hệ thức quan hệ có dạng :
'
k
c

=
.
Nh vậy, vận tốc truyền âm khi có gió chính bằng
0
'cuc
=
. Nếu sóng truyền theo chiều dòng
chảy thì
sóng âm lan truyền trong dòng không khí sẽ nhanh hơn lan truyền
trong không khí yên tĩnh, do đó có thể nói rằng gió mang âm thanh.
0
'cucc=+>

Tài liệu tham khảo :
[1] Sóng, Năm thứ hai, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette Supérieure, Nxb. Giáo dục Hà Nội 2002
[2] Ondes, Deuxième année, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette Supérieure, 2000
[3] Lơng Duyên Bình, Ngô Công Trí, Nguyễn Hữu Hồ, Vật lý đại cơng, Tập II : Dao động
và sóng cơ, Nxb. Giáo dục Hà Nội 1998




76