Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 2 pps

Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Bài tập chơng 2 :
dây rung - phơng trình đalămbe

@ áp dụng 1: Dây Melde (Trang 48)

Trong thí nghiệm về dây Melde, thanh rung thực hiện các dao động hình sin có biên độ a:
(0,t) = acost. Sợi dây có chiều dài L, đầu kia cố định.
Lức căng của sợi dây bằng T
0
(
0
T
c
à
=
) .
âm thoa
A B
L
1) Xác định dịch chuyển (x,t) tại một điểm M bất kỳ
trên dây, tại một thời điểm t bất kỳ.
2) Giải thích và bình luận hiện tợng cộng hởng. Xác
định giá trị của các tần số cộng hởng.
Bài giải : Câu 1 :

Nghiệm sóng dừng hình sin có dạng :
0
(,) cos( )cos( )
FG

xt kx t


=+ +

với
k
c

=
và
0
T
c
à
=
.
Điều kiện biên :
(0, ) cos
(,) 0
ta
Lt
t



=


=

Suy ra :

0
0
(0, ) cos cos( ) cos (1)
(,) cos( )cos( ) 0 (2)
FG
FG
tta
Lt kL t


=+=


=+ +=

t
Từ (1) :
0
cos
F
a


=
0
cos

F
a


=
(3) và :
0
G

=

Từ (2) :
0
cos( )cos 0
F
kL t


+=
co

s( ) 0
F
kL

+
=
(4)
(Ghi chú : giá trị
cos t

có thể bằng 0 khi
2
tk



=+
nhng vì xét với mọi t nên phải
có
cos 0t


)
Từ (4) :
2
F
kL


+=

2
F
kL


=

Từ (3) :

0
cos
cos
2
F
aa
kL



==





0
sin
a
kL

=

(,) cos( )cos
sin 2
a
x
tkxkL
kL
t

=+

Tóm lại :
(,) sin[( )]cos
sin
a
x
tkLx
kL
t


=
(5)
(Ghi chú : Nếu mẫu số sinkL = 0, ta có trờng hợp cộng hởng)
Câu 2 :

Ta thấy rằng, khi
n
n
kk
L

==
hay
n
kL n

=
với n nguyên thì sin (x,t) trên
lý thuyết bằng vô cùng dây bị cộng hởng.
0
n
kL=
Thực tế, do sự tắt chấn không thể tránh khỏi, đồng thời độ cứng của dây (mà ta bỏ qua khi
thiết lập phơng trình truyền sóng Đalămbe), không còn có thể bỏ qua khi có cộng hởng
biên độ của các dịch chuyển của dây là giới nội.

(Khi cộng hởng, a rất bé so với biên độ tại các bụng dao động đầu dây gắn với thanh
rung có thể coi nh là một nút dao động).

66
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ta có, tần số dao động riêng của dây :
nn
kc

=
với
n
n
k
L

=

n

nc
L


=

Các tần số cộng hởng:
22
n
n
nc
L



==

Từ (5) suy ra chu kỳ theo không gian
n
của (x,t) (bớc sóng
n
) :
2
n
n
k


=

Khi dây bị cộng hởng thì
n
n
kk
L

==

2
n
L
n

=


2
n
n
L

=

Với n = 1
1
2
c
L

=
;
1
2
L

=

Với n = 2
2
2
2
c
L

=
;
2
2
2
L

=

Với n = 3
3
3
2
c
L

=
;
3
3
2
L

=







@ áp dụng 2: Nghiên cứu các dạng dao động riêng của một sợi dây (Trang 52)

Khi thí nghiệm với dây Melde, ngời ta nhận thấy các kết quả sau đây :
1) Với cùng một chiều dài L của sợi dây và với cùng một khối lợng M mắc vào nó, ngời ta
thu đợc các kết quả sau:
Tần số cộng hởng là 19 Hz khi có hai bó sóng.
Tần số cộng hởng là 28 Hz khi có ba bó sóng.
a) Các giá trị bằng số nói trên tơng thích nhau hay không ?

b) Các tần số cộng hởng kế tiếp sẽ bằng bao nhiêu ?
2) Chiều dài sợi dây là L = 117cm. Vận tốc truyền sóng dao động trên dây này bằng bao
nhiêu ?.
3) Khối lợng M mắc vào dây bằng M = 25g.
a) Sức căng của sợi dây bằng bao nhiêu ?
b) Rút ra cỡ độ lớn của khối lợng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây.
Bài giải : Câu 1 :

a) Trên dây Melde, khi thí nghiệm nhận thấy
:
- với tần số cộng hởng 19Hz thì có hai bó sóng
Tần số riêng của dây
:
2
19Hz

=
, chiều dài dây
2
2
2
L

=

- với tần số cộng hởng 28Hz thì có ba bó sóng
Tần số riêng của dây
:
3
28Hz

= , chiều dài dây
3
3
2
L

=

Với các kết quả trên, ta có
:
2
19
9,5
22

=
;
3
28
9,3
33

=
tức là :
3
2
23

67
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Các giá trị bằng số nói trên là tơng thích với nhau bởi vì theo lý thuyết đã học, ta có :

0n
n


= hay :
0
n
n


=
tức là :
3
2
0

22



===

Nh vậy :

3
2
0
9,4
23
Hz



==

b) Các tần số cộng hởng kế tiếp :
40
4 4.9,4 37,6Hz


== =
;
0
9,4.
n
nn


==

Câu 2 :

ắ Chiều dài dây
: L = 117cm.

Mà
:
2
n
c
n
L

=
Vận tốc truyền sóng dây :
2
2.117.9,4 2200 /
n
L
cc
n
ms

==

22 /cm= s

(Ghi chú : Có thể tính theo cách khác nh sau :
Ta có
:
2
n
L
n

=


2
n
nL

=


0
1.2.1,17m

=



0
2,34m

=

Mặt khác : c
00 nn


==

c
00

2,34.9,4
nn


===
s


22 /cm
=

Câu 3 :

a) Sức căng trên dây
: T
0
= Mg
Với
: M = 25g T
0
= 25.10
-3
.10N T
0
= 0,25N
b) Vận tốc truyền sóng c bằng :
0
T
c
à

=
Khối lợng một đơn vị chiều dài của
dây
:
0
22
0,25
(22)
T
c
à
==
41
5,2.10 0,52 /Kgm g m
à

=
(với độ chính xác của phép đo tần
số).

@ Bài 2, trang 57, ảnh huởng của độ cứng của một sợi dây đến tần số dao động của nó :

Một sợi dây, khối lợng trên một đơn vị chiều dài là à,
chiều dài L, đợc cố định ở hai đầu, chịu một lực căng dây
T
0
, dao động ở dạng dao động riêng thứ n theo quy luật:
y
x

dx
x
(,) cos sin
n
x
xt A t n
L


=
với n là số nguyên.
Với các tần số cao, phải kể đến ảnh hởng của độ cứng của
dây. Trong biểu thức cân bằng lực tác dụng lên một phân tố
dây có chiều dài dx, cần đa thêm một lực bổ sung
dR
G
có
xu hớng chống lại sự uốn cong của dây. Hình chiếu của lực
này lên trục (Oy) đợc viết thành :
3
3
.
y
dR dx
x



=

O
Trong đó là một hằng số phụ thuộc vào vật liệu sợi dây.
1) Hãy tính tỉ số giữa mođun của
và mođun của thành
phần trên trục (Oy) của hợp lực căng dây tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx.
y
dR
2) áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học cho phân tố dây có chiều dài dx.
Từ đó suy ra tần số dao động
n

của sợi dây theo
0
T
c
, L, và n.
à
=
3) Tính độ hiệu chỉnh tơng đối của tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất hiện do kể
đến ảnh hởng của độ cứng của dây (giả sử <<1). áp dụng bằng số cho n = 1; n = 2 và
n = 10.
Cho biết: L = 0,5m; T = 387 N;

= 10
-2
N.m
2
.

68
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Bài giải : Câu 1 :

Khi dây không có độ cứng, thành phần trên trục Oy của hợp lực căng dây tác dụng lên phân
tố dây dx (xem lại phần lý thuyết) :
[]
2
00
2
(,)(,)
y
FT xdxt xt T dxT dx
xx



=+= =

0

Suy ra :
34
34
2
0
0
2

y
y
dx dx
dR
xx
RT
Tdx
dx
x
x








== =





4
4
2
0
2
x

T
x






=


(1)
(Lu ý rằng :
2
2
;
x
xx




==

)
Câu 2 :

ắ áp dụng hệ thức cơ bản của động lực học (định luật II Newton) cho phân tố dây dx và
chiếu lên trục Oy, ta có :
2

2
y
dx F dR
t

à

=

y

22
0
22
T
tx
3
3
x


à


=



22
0

22
T
tx
4
4
x


à

=

(2)
ắ Sợi dây dao động ở dạng dao động riêng bậc n theo dạng (theo đề bài) :
()
(,) cos .sin
n
x
xt A t n
L




=



với n nguyên
()

2
2
2
sin cos
nn
x
A
nt
tL





=





()
2
2
2
cos sin
n
nx
Atn
x
LL

=







()
4
4
4
cos sin
n
nx
Atn
x
LL





=

Thay vào (1) :
4
2
0
n
L
T
n
L







=




2
0
n

TL




=


(3)
Thay vào (2) :
24
2
0
n
nn
T
L
L


à

=



22
2
0
1

n
nn
T
L
L



à


=+







22
2
0
0
1
n
T
nn
TL L

à


=+





(4)
Từ (3) và (4) suy ra :
[]
2
2
0
1
n
Tn
L


à

=+


. Với
0
T

c
à
=

[]
2
22
1
n
n
c
L




=
+



Câu 3 :
Khi không kể đến độ cứng của dây :
2
22
0
n
n
c
L

=



Độ hiệu chỉnh tơng đối của tần số gắn với dạng dao động riêng n, xuất hiện do kể đến
ảnh hởng của độ cứng của dây:
0
00
1111
22
nnn
nn






=
=++= (giả thiết << 1)

2
00
22
n
n
n

TL






==



Với n = 1 :
4
0
5,1.10
n
n




= ; Với n = 2 :
3
0
2,0.10
n
n

= ; Với n = 10 :
2
0
5,1.10
n
n




=

69
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Ghi chú : Độ chênh lệch tơng đối
0
n
n



càng lớn, khi tần số góc của dao động riêng càng
lớn (n tăng). Điều này là dĩ nhiên, bởi vì ứng với một dạng dao động riêng có tần số cao, biên
độ
sin
x
n
L

thay đổi rất nhanh, hình dạng của sợi dây bị thay đổi mạnh hơn và ảnh hởng
của độ cứng của dây lớn lên rõ rệt.


70