Bài tập cơ học đại cương - Phần 2 Dao động và sóng cơ - Chương 1 docx

PHÁÖN II :

BAÌI TÁÛP DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ









Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

bài tập chơng 1 :
Dao động tử điều hòa ghép
hiện tợng lan truyền dao động

@ Bài tập I: Dao động cỡng bức không có lực cản của hệ một bậc tự do:
Xét một dao động tử một bậc tự do nh hình vẽ. Hai lò xo có cùng độ cứng là K. Quả cầu có

khối lợng là M. Gọi
()t

là dịch chuyển của cầu so với vị trí cân bằng. Giả sử bỏ qua mọi
lực cản tác dụng lên quả cầu.
1) Giả sử tại thời điểm ban đầu, hệ chịu một kích thích có dạng:
(0) 0

=
;
0
0
v
t
d
dt

=

=


. Hãy
thiết lập phơng trình dao động tự do và xác định tần số góc

của dao động tự do của quả
cầu. Suy ra biểu thức của dịch chuyển
()t

của quả cầu.

2) Bây giờ nhờ một cơ cấu tay quay con trợt, đầu A của quả cầu chịu một dịch chuyển dới
dạng:
0
() costt


= . Hãy xác định dịch chuyển của quả cầu trong chế độ cỡng bức hình sin
ổn định. Vẽ đồ thị của biên dộ dao động cỡng bức
()A

của quả cầu theo tần số góc của lực
kích thích (

gọi là tần số kích thích). ứng với giá trị nào của

, hiện tợng cộng hởng sẽ
xảy ra ?












Hớng dẫn: Phơng trình dao động tự do của hệ:

2
1
.

0
+
=

với
1
K
M

=
. Dịch chuyển
của quả cầu:
0
1
1
() cos( )
2
v
tt



=+
. Biên độ dao động:
0
22

1
1
()
F
A
M



=

với
00
FK

=
x
()t

A
M
K
()t

K
B
x
A
M
K

()t

K
B
Cộng hởng xảy ra khi
1


=
(tần số kích thích

bằng tần số riêng
1

của hệ)

@ Bài tập II: Dao động cỡng bức có lực cản nhớt của hệ một bậc tự do:
Xét một dao động tử một bậc tự do nh hình vẽ. Đầu A
của lò xo đợc kích thích bởi một cơ cấu tay quay con
trợt, tạo nên một dịch chuyển có dạng:
0
() costt


=

của đầu A.
x
A
M

K

()t

Lò xo có độ cứng K bằng hằng số. Qủa cầu B có khối
lợng là M. Gọi

là dịch chuyển của cầu so với vị trí cân
bằng. Giả sử quả cầu chịu tác dụng của một lực cản nhớt:

52
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
c
Fh

=

, trong đó h là hệ số cản nhớt của môi trờng (h = hằng số). Gọi
1
M
Q
h

=
với
2
1
.
K
M

=
(Q đợc gọi là hệ số phẩm chất)
1) Viết phơng trình chuyển động của dao động tử.
2) Chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ cỡng bức hình sin ổn định. Hãy xác định biên độ dao
động cỡng bức
()A

của dao động tử nói trên, bằng cách biểu diễn
()t

và
() . ()Ft K t

=

dới dạng phức. Khảo sát sự biến thiên của
()A

theo tần số góc

của lực kích thích trong
trờng hợp
1
2
Q > và
1
2
Q < . Từ đó suy ra điều kiện để có cộng hởng và giá trị của

khi xảy ra cộng hởng.
Hớng dẫn: Phơng trình dao động tự do của hệ:
2
1
1
()
.
Ft
QM


++=

với
() ()Ft K t

=
.
Biên độ dao động:
()
0
2
2
22
1
1
1
()
F

A
M
Q



=

+


.
()A

cực đại khi
1
2
1
1
2Q

=
với
điều kiện
1
2
Q > (điều kiện để có cộng hởng).

@ Bài 1 (Trang 28): Dao động của hai phao:
Hai phao hình trụ giống nhau (tiết diện s

và khối lợng m) có thể dao động trong
nớc của một bình chứa có tiết diện S.
Gọi là khối lợng riêng của nớc. Vị
trí của các phao đợc xác định bằng các
dịch chuyển x
1
và x
2
của chúng theo
phơng thẳng đứng so với vị trí cân bằng.
1) Tìm hệ phơng trình vi phân mô tả
chuyển động của hai phao (thừa nhận
rằng mặt thoáng của nớc nằm ngang và
có thể áp dụng định lý Archimède).
2) Giải hệ phơng trình trên, giả sử rằng
tại thời điểm ban đầu, hai phao đều nằm
ở vị trí cân bằng, với vận tốc ban đầu là
2v
0
đối với phao thứ nhất và v
0
đối với phao thứ hai.
Tiết diện S
Tiết diện S
Tiết diện s
Hình bài 1
Bài giải : Câu 1 :
ắ Khi phao dịch chuyển theo phơng thẳng đứng mực nớc trong bình bị thay đổi.
Gọi x là dịch chuyển của mặt thoáng chất lỏng so với vị trí lúc các phao cân bằng; x
1

và x
2
là
dịch chuyển của hai phao so với vị trí cân bằng.
Khi hai phao nổi lên so với vị trí cân bằng (x
1
> 0, x
2
> 0), mực nớc trong bình sẽ hạ xuống :
x < 0.
Do thể tích nớc trong bình không đổi, nên :
12
( ) (-2)
x
xs xS s
+
=

12
()
2
x
xs
x
Ss
+
=


ắ áp dụng định lý về động lợng cho các phao :

10,1
20,2
()
()
chim
chim
mx mg V x x s g
mx mg V x x s g




= +



= +






mg
Với : V
0, chim
: thể tích phần chìm trong nớc của mỗi phao lúc phao cân bằng :
Vg

0,chim

=


53
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Suy ra : với :
11
22
() (1
() (
mx x x s g
mx x x s g


=


=



)
2)
12
()
2
x
xs

x
Ss
+
=


Từ (1) suy ra :
()
12
11 1 11
()
2
22
xxs sg
mx x s g x S sx sx sx
Ss Ss


+

= + = + +




2


[]
112

()
2
sg
mx x S s sx
Ss

= +


() ()
2
112
()
22
sgS s s g
x
xx
mS s mS s


=



Đặt :
()
2
1
()
2

sgS s
mS s



=

;
()
2
2
12
2
sg
mS s


=

(Chú ý rằng :
12


>
)
Suy ra :
22
11122
x
x

=

x

Tơng tự, từ (2) suy ra :
() ()
2
21
()
22
sg sgSs
2
x
xx
mS s mS s


=



Hay :
22
22112
x
x

=

x

ắ Tóm lại, hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hai phao :

22
1112
22
2211
2
2
x
xx
x
xx



=


=




(3)
Câu 2 :
ắ Cộng vế theo vế của hệ phơng trình (3) :
22 22
1 2 11 12 22 21

x
xxxxx


+=


22
12 112 212
()()
x
xxxx

+= + +

x
)


22
12 1 212
()(
x
xxx

+= + +

2
12 112
()

x
xxx+= +

2
2
với
22
11



=+

Tơng tự, trừ vế theo vế của hệ phơng trình (3) :

22
12 1 212
()()
x
xxx

=

2
12 212
()
x
xxx=

2

2
với
22
21



=

Suy ra :
2
12 112
2
12 212
()
()
x
xxx
x
xx

+= +


=




x

12 1
12 2
sin
sin
x
xA t
x
xB

t
+
=



=



11
21
sin sin
22
sin sin
22
AB
2
2
x

tt
AB
x
tt

=
+




=




Ta có :
11 1 2 2
cos cos
22
AB
x
tt= +

. Tại t = 0,
10
2vx
=

01 2
2v
22
A
B
= +
(4)
Ta có :
21 1 2 2
cos cos
22
AB
x
tt=

. Tại t = 0,
2
vx
0
=


01 2
v
22
A
B
=
(5)
Từ (4) và (5), suy ra :

0
1
3v
=A

;
0
2
v
=B


Tóm lại :
0
11
12
0
21
12
v3 1
sin sin
2
v
31
sin sin
2
2
2
x
tt

x
tt


=+







=










@ Bài 2 (Trang 28): Triệt tiêu dao động:
Xét dao động tử nh trên hình vẽ (hình a). Dịch chuyển của đầu A của lò xo có dạng hình sin:

(giả sử ).
0
() sinyt y t=
2

11
Km
1) Xác định dịch chuyển x
1
(t) của dao động tử so với vị trí cân bằng trong chế độ cỡng bức
hình sin ổn định.

54
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
2) Một dao động tử thứ 2 đợc đặt nối tiếp dao động tử trên, nh sơ đồ trên hình vẽ (hình b).
Đầu A của lò xo thực hiện dịch chuyển hình sin nh đã nói trên đây. Với các điều kiện nào
của K
2
và m
2
, dịch chuyển x
1
trong chế độ cỡng bức ổn định sẽ bằng 0 ?
x
()yt
A
1
m
1
K
1
()
x
t
(a) (b)

Hình bài 2
x
()yt
A
1
m
1
K
1
()
x
t
2
K
2
m
2
()
x
t








Bài giải : Câu 1 :
Phơng trình chuyển động của khối lợng m

1
có dạng :
11 1 1
()mx x yK=


2
111 1
2
x
xy


+=

với
1
1
1
K
m

=

22
111 10
sin
x
xy

t
+
=

(1)
Nghiệm riêng x
1
(t) của phơng trình (1) biểu diễn dao động cỡng bức của khối lợng m
1
có
dạng :
1
() ( )sin
x
tA= t

1
cos
x
At=


22
11
sin
x
At x
=
=

Thay tất cả vào (1) :
22 2
111 10
sin
x
xy

t+ =

22 2
1110
() sin
x
yt


=


2
1
10
22
1
sin
x
yt

=


Biên độ dao động cỡng bức :
2
10
2
1
()
y
A


=
2


. Cộng hởng xảy ra khi :
1

= , khi đó |A|

Câu 2 :
Phơng trình chuyển động của hệ hai dao động tử liên kết m
1
, m
2
:
11 1 1 2 2 1
22 2 2 1

()(
()
mx K x y K x x
mx K x x
= +


=



)
2

Khi x
1
= 0, phơng trình trên trở thành :
12
22 22
0 Ky Kx
mx Kx
=+


=


(2)
Nghiệm riêng x
2

của phơng trình (2) biểu diễn chế độ cỡng bức ổn định của khối lợng m
2

có dạng :
11
20
22
22
sin
sin
KK
x
yy
KK
xA t

= =



=

t
với :
2
2
2
K
m
=

2
2
K
m
=

Nh vậy, với điều kiện
2
2
K
m
=
thì dịch chuyển x
1
(t) trong chế độ cỡng bức ổn định thỏa
mãn x
1
(t) = 0. Hệ lò xo nh trên đợc ứng dụng vào việc thiết kế hệ thống cách rung trong kỹ
thuật.

55
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
@ Bài 8 (Trang 30): Phơng trình truyền sóng Klein-Gordon:
của sóng dọc theo
Ký hiệu:
Hình bài 8 :
Oz:
Khảo sát sự lan truyền
một chuỗi các con lắc đơn giống nhau, khối
lợng M, chiều dài L, liên kết với nhau bằng
các lò xo có độ cứng K, nh trên hình vẽ.

0
K

0
g
M

=
và:
L
=

1) Viết phơng trình lan truyền liên hệ các
dịch chuyển bé
.
nn
L

,
1n


và
1n

+
của
các đầu tự do của các con lắc. Viết hệ thức
tán xạ của các sóng chạy đơn sắc đặc trng
cho sự lan truyền này.
2) Biểu diễn hệ thức tán xạ và chỉ rõ dải tần
trên trong phép gần đúng cho các môi trờng liên tục.
ài giải : Câu 1 :
cho phép của các tần số góc của các dao động tự do của chuỗi các con lắc liên kết.
3) Chỉ rõ dạng của các kết qủa nói

B
n truyền :
lợng cho con lắc thứ n đối với trục Oz vuông góc với mặt
ắ Phơng trình la
áp dụng định lý momen động
phẳng chuyển động của hệ :
()
e
Oz
dL
Oz i

i
M
F=

dt
G
với
Oz n
L
J

=

; J = ML
2

()
(
)
2
11
cos sin cos
nnn n nnnn
ML K L MgL K L


+
= +

i góc lệch
n
coi nh rất bé
n

Vớ
cos 1;sin ;
nnnn
L





(
22
ML MgL KL

= +

)
n

+
+
(1)
Đặt :
11
2
nnnn

0
K
M

= và
0
g
L
=

Phơng trình lan truyền sóng dọc(1) trong chuỗi con lắc trở thành :
()
22
001 1
2
nnnnn

+
= + +

(2)
Trong đó :
là tần số riêng của
Nghiệm hình sin của phơng trình truyền sóng :
ình bày trong phần lý thuyết.
m
0
dao động tự do của con lắc đơn.

ắ

ở đây ta sử dụng phơng pháp khác với phơng pháp tr
Để tìm nghiệm tổng quát của phơng trình lan truyền (2), trớc hết ta tìm các nghiệ
()
n
t


của phơng trình (2), sau đó nghiệm tổng quát ()
n
t

đợc tìm dới dạng một tổ hợp tuyến tính
của các nghiệm ()
n
t

.
Sử dụng ký hiệu phức :
()
it
nn
tAe


=
với
.
i
nn
A

Ae

=


()
it
tAie
nn


=


()
2
2it
e

nn n
Ai


==


y vào phơng trình lan truyền (2) : Tha
(
222
00

2
it it it
nn
)
1 1
it it
nnn
A
eAeAe


=+ AeAe

+
+
(3)

()
22222
01 0 0 01
20
nn
AA

+
+ + =

n
A

56
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
n
O
()
+
M
11
()
nnn
FK


++
=

n

M
g
G
n

11

()
nnn
FK



=

















Chúng ta tìm
n
A dới dạng
n
n
A

r=
, suy ra :
1
1
n
n
A
r


=
và
1
1
n
n
A
r
+
+
=

Hệ thức (3) trở thành :
2 2 1
2
n n
rrr

+
=

()
1 2 2 2
0000
0
n

+ +

2 2
0000

+=
(4)
của phơng trình bậc hai (4) :
0
Hay :
(
22 2 2
20rr

+
)
Biệt số
()
2
222 22
24
00 0

=
(
)
(
)
22222222
00 0 00 0
2222


+

22 22
00 0
4

=
Nếu > 0 (hay )
=

()()
2


01
(,


trong đó
22

10
4

0

=+
), nghiệm của (4) là nghiệm thực.
nh (4) là r
1
và r
Do tích số của hai nghiệm của phơng trì
2
nghiệm đúng hệ thức r
1
.r
2
= 1
Một trong hai nghiệm thực sẽ lớn hơn 1. Khi đó, các nghiệm
n
A , tổ hợp tuyến tính của r
1
n
và
r
2
n

sẽ phân kỳ. Điều này về phơng diện vật lý là không thể chấp nhận đợc đối với một chuỗi
vô hạn các dao động tử lý tởng.
Do đó, phải có < 0 hay

01

< < Các tần số góc của các dao động tự do sẽ
nằm trong miền

01

< < tức là
22
4
000


<< +
. Đây chính là dải tần cho phép của
của các dao do của chuỗi con lắccác tần số góc động tự liên kết.
Ta có :
22 22
000
4

< < +

22 2
00
04


<<
. Do đó, có thể đặt :

22 22
00
4sin
2



=


, với
(0, )


. Phơng trình (4) trở thành:
22 2 2 2 2
00 00
4sin 2 0
2
rr



++=





22

21 2sin 1 0
2
rr



+=





(5)
Hai nghiệm của phơng
1
.r
2
= 1.

2
2cos 1 0rr+=
trình (5) là r
1
và r
2
, là hai số phức liên hợp và tích của chúng: r
Ta có :
222
cos 1 sin ( )i

= =
, do đó :
cos sinri
=


i
re

=

1,2
1,2
2
Đặt
k
a

=
, trong đó na xác định vị trí cân bằng của vật dao động thứ (n), suy ra:
1,2
ika
re

=

()
inka i t
n
tee

=

Do đó, cá só hình sin lan t yền dọc theo chuỗi các con lắc liên kết có dạng (dới dạng tổ

c ng ru
hợp tuyến tính của các nghiệm
()
inka i t
n
tee



=
):

57
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
()
inka i t inka i t
n
tAee Aee




+
=+

00
()(
()
itnka itnka
n
tAe Ae


)
+

+ ++
+
=+

Dao động của các con lắc đơn đợc viết dới dạng thực nh sau:

00
() cos( ) cos( )
n
tA tnka A tnka


++
=++++



ắ Hệ thức tán xạ :

Từ phơng trình truyền sóng, ta suy đợc hệ thức:
22 22
00
4sin
2



=


với
(0, )


và
k
a

=


22
0
4sin
2
ka


=

2
0
+
(5)
Hệ thức (5) đợc gọi là hệ thức tán xạ.
ắ Hệ thức tán xạ (cách chứng minh giống nh trong phần lý thuyết):
Nghiệm của phơng trình (2) dới dạng phức nh sau :
[
]
() exp ( )
nn
tA itkx

=
với
0
exp( )AA i

= , với A là số thực dơng, còn
0
là một số thực nào đó, là một số thực dơng.
Tính
()
n
t


và

()
n
t


:
[
]
() exp ( )
nn
tiA itkx

=

;
[
]
2
() exp ( )
nn
tAitkx

=


Thay vào (2), đồng thời lu ý rằng
.
n
x
na

=
, suy đợc :
()
22
001
2
nnnn

+
= + +

1
n

[
]
222
00
exp( ) exp( ) exp( ) 2.exp( ) exp( )i kna ikna i kna ka i kna i kna ka

= + + +


[
]
222
00
exp( ) 2 exp( )ika ika

=+ +

[
]
222
00
cos() sin()2cos() sin()ka i ka ka i ka

=+ + +


[
]
22 2
00
2cos()1ka

=

22 22
00
4.sin
2
ka


=

222
00
4.sin
2
ka


=+


2


Hệ thức này cho mối liên hệ giữa k và và đợc gọi là hệ thức tán xạ.
Do
2
0s

in
2
ka




00
41
222 2
0

22
00
4

0

<< +

Các tần số góc của các dao động tự do sẽ nằm trong miền :
22
00
4

0

<< +

Câu 2 :
Đồ thị của
(k)

nh hình vẽ, chỉ cần đợc vẽ trong vùng :
k
aa

<<
, bởi vì các giá trị k và
2
a
k

+
ứng với cùng một
nghiệm vật lý
(,)
x
t

.
Tại k = 0

0

=
Tại
k
a

=
hay
k
a

=

222
00
4

=+=
2
1
1

=

Đạo hàm theo k :
2
0
cos
2
4sin
2
ka
ka
d
ka
dk




=

+

. Khi k = 0 và
2
k
a

=

0
d
dk

=
đồ thị nhận đờng thẳng nằm ngang làm tiếp tuyến.

58
Các tần số góc của các dao động tự do sẽ nằm trong miền :
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

22
00
4

< < +
0

Câu 3 :

ắ Trong phép gần đúng cho môi truờng liên tục (a <<

), chúng ta có thể dùng tập hợp gián
đoạn các giá trị của ()
n
t

để biểu diễn hàm
(,)
x
t

, nghĩa là : () ( ,)
n
txnat


= ;
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat


+
=+
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat;

=
Sử dụng khai triển Taylor cho hàm
(,)
x
t

, ta có :
2
2
00
00
2
() ()
( , ) ( ) ( ) ( )
1! 2!
xx xx
xt x x x
xx



=+ + +

0

Do
1
(1),

() ( ,)
n
xn at
txt

+
=+
=
, và lấy x
0
= na và x = (n+1)a thì
0
(1)xx n anaa

=+ =
, suy ra :
22
100
2
(1),
() ( ,) ( ) ( ) ( )
1! 2!
n
xn at
aa
txt x x x
xx


+

=+

==++

0
+

Hay :
22
1
2
(1),
(,
( ) .
2!
n
xn at
xnat
a
ta
xx


+
=+
=


==+++

)

Tơng tự, ta có :
22
1
2
(1),
(,
( ) .
2!
n
xn at
xnat
a
ta
xx



=
=


==+



)

Phơng trình truyền sóng
(
)
22
001
2
nnnnn


= + +

1
+
trở thành:
222 2
22
00
22
(,)
(,)
(,) (,)
2
2! 2!
xnat
xnat
xnat xnat
aa
aa
txx x

=
=
==




= + + + + + +





2
2
x






22
222
00
22
a
tx

= +


22
22
0
22
0c
tx



+

=
với
0
ca

=

Phơng trình này đợc gọi là phơng trình truyền sóng Gordon.
ắ Trong mô hình gần đúng của môi trờng liên tục : a <<
2ka k

<< =
(với sóng
đơn sắc)

2ka

<<

2
ka

<
<
và là khá nhỏ
2
2
sin

22
ka ka




Hệ thức tán xạ
2
22
0
4
2

ka


2
0
=
+


trở thành :
222
0
ck

2
=
+

với
0
ca

=

22
2
0
2
k
c

=


@ Bài 4 (Trang 28): Cái thang cho vẹt :

Một cái thang cho vẹt treo trên trần nhà gồm những thanh nh
nhau, có momen quán tính J đối với trục quay thẳng đứng (Ox)
của chúng. Các thanh đợc buộc từng đôi một với nhau bằng
những sợi dây xoắn có độ dài a, độ cứng (xoắn) C.
Gọi
n
là góc quay của thanh thứ n so với vị trí cân bằng của
nó.
1) Hãy viết phơng trình lan truyền của một sóng dọc theo cái
thang cho vẹt.
2) Trong phép gần đúng của môi trờng liên tục, phơng trình
nói trên trở thành phơng trình nào?

59
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
3) Những đại lợng tơng tự nh những hằng số
0
(tần số góc của dao động của thanh) và c
(vận tốc lan truyền) là những đại lợng nào ?

Bài giải : Câu 1 :

áp dụng định lý momen động lợng đối với trục (Ox) cho

thanh thứ n :
()
e
Ox
Ox i
i
dL
M
F
dt
=

G

n

O
1n


a
1n

+
x
1n
M

1n
M

+
Với :
Ox n
L
J

=

và
11
()
e
Ox i n n
i
M
FMM

+
=+

G
;
1n
M

: momen
xoắn từ con lắc thứ n -1 tác dụng lên con lắc thứ n :
;
()
1n1nn

MC


=
1n
M
+
: momen xoắn từ con lắc thứ n -1
tác dụng lên con lắc thứ n :
(
)
11nn
MC
n


++
=


()(
11nnn n
JC C
)
n


+
=

()
11
2
nnnn
JC

+
=+


Đây chính là phơng trình lan truyền dao động xoắn trong
chuỗi các thanh liên kết từng đôi một.
Câu 2 :

Trong phép gần đúng cho môi trờng liên tục (a <<

), chúng
ta có thể dùng tập hợp gián đoạn các giá trị của ()
n
t

để biểu
diễn hàm
(,)
x
t

, nghĩa là : () ( ,)

n
txnat



= ;
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat


+
=+ ;
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat



=
Sử dụng khai triển Taylor cho hàm
(,)
x
t

, ta có :
2
2

00
00
2
() ()
( , ) ( ) ( ) ( )
1! 2!
xx xx
xt x x x
xx



=+ + +

0

Do
1
(1),
() ( ,)
n
xn at
txt

+
=+
=
, và lấy x
0
= na và x = (n+1)a thì

0
(1)xx n anaa

=+ =
, suy ra :
22
100
2
(1),
() ( ,) ( ) ( ) ( )
1! 2!
n
xn at
aa
txt x x x
xx


+
=+

==++

0
+

Hay :
22
1
2

(1),
(,
( ) .
2!
n
xn at
xnat
a
ta
xx


+
=+
=


==+++



)

Tơng tự, ta có :
22
1
2
(1),
(,
( ) .

2!
n
xn at
)
x
na t
a
ta
xx



=
=


==+




Phơng trình truyền sóng
trở thành:
()
1
2
nnnn
JC

=+

1+

22
22
Ca
tJx
2



=

hay
22
222
1
.
xct




0
=
(1)
Với :
2
Ca

c
J
=
. Phơng trình (1) chính là phơng trình truyền sóng Đalămbe.
Câu 3 :
ứng với tần số góc
0
K
M

=
đối với chuỗi dao động tử liên kết, ở đây ta có giá trị
0
C
J

=

ứng với vận tốc truyền sóng biến dạng c trong chuỗi dao động tử ghép , ta có vận tốc lan
truyền sóng xoắn :
2
0
Ca
ca
J

==


60

Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
@ Bài 5 (Trang 28): Ma sát trong chuyển động tự do của hai dao động tử liên kết:
Chúng ta quan tâm đến ảnh hởng của ma sát nhớt yếu lên chuyển động tự do của hai dao
động tử liên kết, có khối lợng M nh trên hình vẽ. Lò xo giữa có độ cứng K, và hai lò xo kia
có độ cứng 4K. Ký hiệu: f
1
= - .v
i
là các lực do ma sát nhớt tác dụng lên vật thứ i ( bằng
hằng số, dơng và v
i
là vận tốc của vật thứ i).
Đặt:
2
K
M

=
và
0
M
Q


=
với Q > 1.
1) Thiết lập các phơng trình dao động tự do của hai vật.
2) Lúc đầu, hệ đợc kích thích ở trạng thái
10

=
;
1
0
d
dt

=
;
2
0

=
;
2
0
d
dt

=
. Hãy viết biểu
thức của các dịch chuyển
1
(t) và
2
(t) của hai vật.
3) Sử dụng phần mềm MAPLE, hãy vẽ các đồ thị của
1
(t) và

2
(t) cho trờng hợp:
0
1mm

= ;
1
0
1.rad s


=
; Q = 10.

x
4
K
K
4
K


Bài giải :

Câu 1 : Phơng trình dao động tự do của hai vật :

Phơng trình vi phân của dao động tự do của hai vật :
11121
22221
4()

4()
MKK
MKK




=


=




1
2


112
221
5
5
MKK
MKK




= +

= +



(1)
Câu 2 : Biểu thức của các dịch chuyển
1
(t) và
2
(t) của hai vật.:
Đặt :
12
12
v
u




=+


=


1
2
v

2
v
2
u
u


+

=





=



Thay vào (1) :
vvv
5
222
uuu
MKK

++

= +

v
2
u+
Mu M Ku K Ku K u


v5 5v+-v v


+=


(
)( )
v4v+6v
M
uM u Ku K

+=+




40
v+ v+6 v 0
Mu u Ku
MK

++ =


=




4
0
6
v+ v+ v 0
K
uu u
MM
K
MM



++ =




=

(Q > 1), suy ra :
2
0
0
2
0
0
40(
v+ v+6 v 0 (3)
uu u
Q
Q





++ =




=




2)

Với :
2
0
K
M

=
;
0
M
Q


=
(Ghi chú : Q gọi là hệ số phẩm chất; khi Q càng nhỏ, thì hệ số ma sát nhớt

càng lớn).
ắ Phơng trình (2) đợc giải nh sau :
Phơng trình đặc trng :
22
0
0
40rr
Q


++=.
Biệt số :
2
22

0
00
2
1
16 4 4 0
4
QQ



= do Q > 1. = <


Suy ra :
0
1,2 1
2
rj
Q


= với :
10
2
1
4
4
Q

=

61
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Suy ra :
()
0
2
11
() cos sin
t
Q
ut e A t B t




=+
Điều kiện ban đầu :
+ Tại t = 0 thì
102
;0


== u =
1
+
2
=
0

.
Thế mà :
(0)ut A==

0
A

=
+ Tại t = 0 thì
12
0
dd
dt dt


==

12
0
du d d
dt dt dt


=
+=

Thế mà :
()()
00
22

0
11 111
cos sin sin cos
2
tt
QQ
du
eA tB te AtB
dt Q


1
t



= + + +



0
1
0
2
t
du
A
B
dt Q

=
= +

0
1
0
2
AB
Q


+=
0
1
2
A
B
Q


=

00
1
2
B
Q

=

Tóm lại :
0
2
01
010
1
sin
() cos
2
t
Q
t
ut e t
Q






=+



ắ Phơng trình (3) đợc giải nh sau :
Phơng trình đặc trng :
22

0
0
60rr
Q


++=
2
22
0
00
2
1
24 4 6 0
4QQ




==


< do Q
> 1.
Suy ra :
0
1,2 2
2
rj
Q

= với :
20
2
1
6
4
Q


=




()
0
2
22
v( ) cos sin
t
Q
te C tD t




=+
Điều kiện ban đầu :

+ Tại t = 0 thì
102
;0


== v =
1
-
2
=
0

Tơng tự nh trên :
0
C

=

+ Tại t = 0 thì
12
0
dd
dt dt


==

12
0
du d d

dt dt dt


=
=

Thế mà :
()()
00
22
0
22 222
v
cos sin sin cos
2
tt
QQ
d
eC tD te C tD t
dt Q


2



= + + +

0
2
0
v
2
t
d
CD
dt Q


=
= +

0
2
0
2
CD
Q


+=
0
2
2
C
D
Q

=

00
2
2
D
Q



=


Suy ra :
0
2
02
020
2
sin
v( ) cos
2
t
Q
t
te t
Q

=+



Tóm lại :
0
2
00
12
112
12
sin sin
() cos cos
22
t
Q
tt
ttt
Q
e

=++ +






0
2
00
12
212
12
sin sin
() cos cos
22
t
Q
tt
ttt
Q
e

=+





Câu 3 :

Đồ thị biểu diển
1
(t) và
2
(t) ứng với
0
= 1mm,
0
= 1rad/s, Q = 10 cho trên hình vẽ.
Biên độ suy giảm dới dạng hàm mũ. Cơ năng của các hệ dao động tử giảm xuống và cơ năng
biến thành nhiệt năng.


62
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

@ Bài 6 (Trang 29):

Ma sát trong chuyển động cỡng bức hình sin của hai dao động tử liên kết: Làm thêm :
Nghiên cứu chuyển động của hai dao động tử liên kết (hình vẽ) trong chế độ cỡng bức hình
sin.
Chế độ quá độ xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định và chúng ta chỉ nghiên cứu chế độ
dao động cỡng bức ổn định.
(Ghi chú : Trong chế độ quá độ, có sự chồng chất của dao động tự do và dao động cỡng bức;
sau khoảng thời gian nói trên, dao động tự do mất đi, chỉ còn lại thành phần biểu diễn dao
động cỡng bức)
Hệ đợc kích thích bằng cách áp đặt một dịch chuyển:
0
() costt


=
vào đầu lò xo thứ nhất.
Gọi:
2
0
K
M

=
và
0
M
Q

=
(Q đợc gọi là hệ số phẩm chất);
i
.v
i
f

=
là lực ma sát nhớt
tác dụng lên vật thứ i, trong đó:
là vận tốc của vật thứ i.
i
v

x
4
K
K
4
K



1) Thiết lập phơng trình chuyển động của hệ.
2) Biểu diễn dới dạng phức các biên độ
10

,
20

của dịch chuyển của hai vật .
3) Vẽ các đồ thị biễu diễn sự biến thiên của các mođun
10
0


và
20
0


của các biên độ dao động
của hai vật theo
0
X


=
, trong trờng hợp Q = 1; Q= 2; Q = 10. Hãy bình luận các đồ thị thu
đợc đối với các giá trị khác nhau của Q.
(Ghi chú : Sử dụng phần mềm MAPLE để giải câu 2) và câu 3)).

Bài giải : Câu 1 :

Phơng trình chuyển động của hệ :
11 12
22212
4( ) ( )
4()

MK K
MKK
1



= +


=



(1)
1121
2 212
54
5
KK K
MMMM
KK
MMM






= +

= +






Trong đó :
2
0
K
M

=
và
0
M
Q


=


63
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Suy ra :
22

0
10102 1
22
0
20201 2
54
5
Q
Q

2
0





= +




= +





22
0

110102
22
0
220201
54
50
Q
Q

2
0





++ =




++ =






(2)
Câu 2 :

Nghiệm riêng của phơng trình (2) biểu diễn dao động cỡng bức có dạng :

110
220
() cos( )
() cos( )
tt
tt
1
1




=+


=+


Biểu diển dới dạng phức :
0
()
it
te


=
;
110

()
it
te



=
với
1
10 10
i
e



=
;
220
()
it
te



=
với
2
20 20
i
e

=

Trong đó :
10

và
20

là biên độ phức của dịch chuyển của hai vật.
Ta có :
110
it
ie



=

;
22
110 10
()
it it
ie e

==


Tơng tự :
220
it
ie



=

;
22
220 20
()
it it
ie e




==


Thay vào (2), suy ra hệ phơng trình vi phân mô tả các dịch chuyển
12
(); ()tt

của hai vật :
222
0
010 020 00
22 2
0
10 0 20
54
50
i
Q
i
Q

2










+ + =

+++ =




(3)
Sử dụng phần mềm Maple để giải hệ phơng trình (3), suy ra:

2
0
2
0
10 0
23
22 3
00 00
20 0
23
0
22 3
00
5
4
1
24 10 10 2
1
4

1
24 10 10 2
i
Q
i
i
QQQ
i
i
QQQ



4
4
4
4
0

+




=


+++






=


+++





Câu 3 :

Sử dụng Maple để vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên của các mođun
10 20
00

;




của các biên độ
dao động theo
0
X


=
ứng với Q =1, Q =2 và Q =10 (Hình vẽ). Chúng ta nhận thấy rằng :
Khi Q lớn (Q =10) hay ma sát nhớt rất nhỏ tồn tại 2 biên độ cộng hởng khá lớn ứng
với X = 2 và X = 2,45. Khi Q thì 2 biên độ cộng hởng nói trên ứng với
1
= 2
0
và
20
6


=
.
Xung quanh vùng cộng hởng, sự mất mát năng lợng do ma sát nhớt sẽ lớn, do đó các vùng
cộng hởng là vùng hấp thụ năng lợng.
Khi Q nhỏ hơn hay ma sát nhớt tơng đối lớn cũng nhận thấy 2 biên độ cộng hởng
nhng tơng đối nhỏ và sự phân biệt hai biên độ này không rõ nét.
Khi Q khá bé không có cộng hởng xảy ra.

64
Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông




















65