nguyên lý biến phân ekeland và một số ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƢỜNG
ĐẠI HỌC
SƢ
PHẠM
NGUYỄN XUÂN
HÒA
NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN
EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG
L
L

UẬ
UẬ
N
N
VĂ
VĂ
N
N
TH
TH
Ạ
Ạ
C
C
S
S
Ĩ
Ĩ
TO
TO
Á
Á
N
N
HỌC
HỌC
Thái Nguyên - năm
2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
ĐẠI HỌC THÁI
NGUYÊN
TRƢỜNG
ĐẠI HỌC
SƢ
PHẠM
NGUYỄN XUÂN
HOÀ
NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN
EKELAND
VÀ MỘT SỐ ỨNG
DỤNG
Chuyên ngành: Giải
tích
Mã số:

60.46.01
L
L
UẬ
UẬ
N
N
V
V
Ă
Ă
N
N
T
T
HẠ
HẠ
C
C
S
S
Ĩ
Ĩ
T
T
OÁ
OÁ
N
N
H

H
Ọ
Ọ
C
C
Ngƣời
h
ƣ
ớng
dẫn khoa học:
PGS.TS.
TRƢƠNG
XUÂN ĐỨC
HÀ
Thái Nguyên - năm
2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

r c

- t

nu .

e du . v

n
Mục lục
Lời nói đầu
Trang
Ch
ƣ
ơng
1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều .
9
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Ch
ƣ
ơng
2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
LỜI NÓI
ĐẦU
Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều
ứng
dụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm
f
nửa liên tục
dưới
trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không
compact
thì hàm
f
có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric
đủ
X
, hàm
f
bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể
là
khi hàm
f
bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm

ε

- xấp xỉ cực tiểu
x
ε

, tức là
inf

X
f
≤
f
(
x
ε

)
≤

inf

X
f + ε .
Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm
f
nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm
ε
- xấp xỉ cực tiểu
x

ε

, ta luôn tìm được điểm
x
là cực tiểu chặt của hàm nhiễu
của hàm ban đầu, đồng thời
f
(
x)
≤
f
(
x
ε

)

. Không những thế, còn đánh giá
được khoảng cách giữa x và
x
ε

.
Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh
trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều
lĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí
thuyết điểm bất động, kinh tế, . . .
Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trường
hợp hàm
f

là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ.
Mục đích của Luận văn là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên
lí biến phân Ekeland (cổ điển và véc tơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí
này, được giới thiệu trong các bài báo [2,5].
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 gồm nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển [2], dạng hình học của
nguyên lí (định lí Bishop -Phelps, định lí giọt nước, định lí cánh hoa), một số
ứng dụng của nguyên lí (định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động
Caristi-Kirk,đạo hàm Gateaux).
Đây là các kết quả được giới thiệu trong bài báo của I.Ekeland [2]
năm1974 và các bài báo của các tác giả khác [1,4]. Trong chương này chúng
tôi cũng trình bày một cách chứng minh ngắn gọn nguyên lí biến phân
Ekeland trong không gian hữu hạn chiều (sử dụng điều kiện bức), cách chứng
minh này được giới thiệu trong bài giảng về lí thuyết tối ưu của Giáo sư Hoàng
Tuỵ - Viện Toán học.
Chương 2 gồm nguyên lí biến phân Ekeland mở rộng cho ánh xạ nhận giá trị
véc tơ, định lí Caristi - Kirk véc tơ, định lí Takahashi véc tơ, một số ví dụ
minh hoạ và sự tương đương của ba định lí này. Đây là kết quả mới nhận
được, được đăng trong bài báo của Y.Araya [5] năm 2008.
Nhân dịp này, Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
PGS.TS.
Tr
ƣ
ơng
Xuân Đức Hà - cán bộ Viện Toán học - Viện Khoa học và
Công nghệ quốc gia. Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự
chỉ bảo, hướng dẫn, sự giúp đỡ tận tình của cô.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng phản biện, các
thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học - ĐHSP Thái Nguyên, đã giúp
đỡ em hoàn thiện luận văn này.

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Phú Bình
đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận
văn.
Xin cảm ơn gia đình và các bạn Phạm Hùng Linh, Vũ Quang Huy,
Nguyễn Hữu Toàn, Hoàng Hữu Quý, Phạm Hồng Nam, đã luôn quan tâm,
động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 09 năm
2009
Học
viên
Nguyễn Xuân
Hoà
Chƣơng
1 NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND CỔ ĐIỂN
Trong chương này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển,
dạng hình học của nguyên lí và một số ứng dụng của nguyên lí này.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Trong mục này, chúng ta xét lớp hàm nửa liên tục dưới và một số tính chất
của hàm này.
Cho X là không gian tôpô và hàm
Kí hiệu:
f : X
→



∪

{

+∞
}
domf
=

{
x

∈
X f
(

x

)
<

+∞
}

.
L
a
f
=
{
x
∈ X f (x) ≤
a
}

là tập mức của f .
epif
=

{
(

x,

a

)

∈
X
×

f
(

x

)

≤

a
}
là tập trên đồ thị của

f
.
Định nghĩa 1.1
Cho
X
là không gian tôpô. Hàm
f : X
→

∪

{
+∞
}
được gọi là hàm nửa liên
tục dưới tại
x
0
khi và chỉ khi
lim

inf
x
→
x
0
f
(

x

)
≥ f
(
x
0
) .
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên
X
nếu f nửa liên tục dưới tại mọi
điểm của
X
.
Nhận xét 1.1
Hàm f là nửa liên tục dưới tại
x
0
khi và chỉ khi ∀ε >
0
tồn tại lân cận U của
x
0
sao cho
∀x
∈U
ta đều có
f
(

x

)
≥
f
(

x
0
)

−

ε

.
Ví dụ 1.1
Hàm số
f :  → 
cho

bởi:

3x
2
−
2
f
(

x

)

=


nếu x ≠2

0
nếu
x =
2
Ta thấy:
domf = 
.
L
1
f
=
{
x

∈


f (x)
≤

1
}

=
[
−1,1
]

là tập mức của hàm
f
.
epif
=

{
(

x,

a

)

∈

×

f
(

x

)

≤

a
}

là phần mặt phẳng nằm trên parabol có
phương trình
f
(
x) = 3x
2
−
2
hợp với đoạn thẳng AB trong đó
A

(

2,

0
)

,
B

(

2,10

)
là tập trên đồ thị của
f
.
Dễ thấy rằng
f
là hàm liên tục trên


\

{
2
}

, gián
đoạn

tại
x = 2
. Nhưng
f
là
hàm nửa liên tục dưới tại
liên tục dưới trên


.
x =
2

vì
lim
inf
x

→2
f
(

x

)
=
10
≥ f (2)
. Do đó
f
là hàm nửa
Mệnh đề 1.1.
Cho
X
là không gian mêtric và hàm
sau là tương đương:
f : X
→

∪

{
+∞

}

, khi đó các khẳng
định
(a)
f
là hàm nửa liên tục dưới trên
X
.
(b)
epif
=

{
(

x,

a

)

∈
X
×

f
(

x

)

≤

a
}
là tập đóng trong
X
×



.
(c)
L
a
f
=

{
x

∈
X f (x)
≤

a
}

là tập đóng trong
X
(

∀
a
∈

).
Chứng minh
(a)

⇒
(b).Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên
X
. Ta lấy dãy
{(
x
n
,
a
n
)}
⊂

epif
Sao cho
lim(
x
n

,
a
n
)
=

(
x
0
,
a
0
)
. Ta cần chỉ
ra
n→∞
(
x
0
,
a
0
)
∈
epif . Thật vậy,
lim x
n
=
x
0

,
lim a
n
=

a
0
và hàm
f
là nửa liên tục dưới tại
x
0
nên
n→∞ n→∞
0
lim
inf
f
(

x
n
)
≥
f
(
x ) , mà dãy
{(
x
,

a )}
⊂

epif
nên
f
(
x )
≤

a
(

∀
n
∈



), nên
n
→∞
0 n n n
n
lim
inf
n→∞
f
(

x
n
)

≤ lim a
n
. Do đó
n
→∞
f
(
x
0
)
≤
lim
inf
n→∞
f
(

x
n
)
≤ lim
a
n
n→∞
= a
0

.
Điều này chứng tỏ
(
x
0
,
a
0
)
∈
epif
.
(b)

⇒

(c). Giả sử epi
f
là tập đóng trong X
×


. Ta sẽ chứng minh mọi tập
mức của
f
đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử
L
a
f
=

{
x

∈
X f (x)
≤

a
}
là tập
mức bất kỳ của
f
. Lấy dãy{ x
n
}

⊂
L
a
f sao cho lim x
n
=
x
0
n
→∞
do dãy { x
n
}

⊂
L
a
f
Nên f
(
x
n
) ≤
a
hay ( x
n
,
a
)
∈
epif
(

∀n
∈

). Hơn nữa,
lim x
n
= x
0
nên
n→∞
lim(

x
n,

a)
=

(
x
0
,
a)
. Mà
epif
là tập đóng trong X ×  nên ( x
0
,
a
)
∈
∈
epif
, do
đó
n
→∞
x
0
∈ L
a

f ta có điều phải chứng minh.
(c)

⇒
(a). Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong
X
. Ta cần chứng
minh
f
là hàm nửa liên tục dưới trên
f
. Giả sử phản chứng
f
không là nửa
liên tục dưới tại
x
0
∈ X . Khi đó có dãy{ x
n
}

⊂

X
sao cho
lim x
n
= x
0
,

n→∞
lim inf f
(

x
n
)

<
f
(
x )
. Chọn
n
→∞
ε >
0
đủ nhỏ sao cho có k
∈


để
f
(
x
n
)
≤
f
(

x
0
)
−

ε

(

∀n > k
). Xét tập
mức
L
=

{
x

∈
X f (x)
≤
f (x
0)
−

ε
}
ta thấy
x
n

∈
L
,

∀n > k
. Mặt khác do
L
đóng và
lim x
n
=
x
0
n
→∞
nên x
0
∈
L
, do đó
f
(
x
0
) ≤ f
(
x
0
)
−

ε
(vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên
X
.

Định nghĩa 1.2
Cho tập
S
trong không gian mêtric
(
X
,

d
)
. Hàm chỉ của tập
S
là hàm:

+∞
S
l
(

x

)

=


0

∀x ∈
S
x
∉
S
Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.
Nếu
S
là tập đóng thì
Chứng minh
l
S
là hàm nửa liên tục dưới.
Khi
x
0
∈
S
, từ định nghĩa hàm
l
S
ta có
∀ε >
0
tồn tại lân cận

U
của
x
0
mà
l
S
(
x)
≥
l
S
(
x
0
)
−

ε

,

∀
x
∈
U
.
Khi
x
0

∉
S
, vì
S
là tập đóng nên
d

(
x
0
,
S
)
>
0
.
Chọn
r
=

d

(
x
0
,

S
)
,

∀
x

∈

B(
x
,
r)
thì
x

∉
S
. Do
đó
l
(
x)
≥

l
(
x )
−

ε

,

∀
x
∈

B(
x
,

r
) . Ta có
điều
2
0
S S 0
0
phải chứng minh. 
1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển
Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển và
xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều.
1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland
Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm
f : X
→



∪

{

+∞
}
đạt cực
tiểu trên
X
, tức là
∃x
∈ X
sao cho
f (x) ≥ f
(x),
∀x ∈ X
. Trước hết, ta nhìn lại kết
quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm
f
nửa liên tục dưới trên
tập compact.
Mệnh đề 1.3.
Cho hàm
f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên tục dưới trên tập

X
compact. Khi
đó f đạt cực tiểu trên
X
.
Chứng minh
Đặt
a = inf
{

f
(
x)
x
∈
X

}
.
Khi đó có một dãy { x
n
}

⊂

X
sao cho
lim f
(
x

n
)
=
a
. Do
n
→∞
X
compact, để không mất tính tổng quát ta có thể coi { x
n
} là dãy hội tụ đến
2
x
∈ X
. Ta sẽ chứng minh
f (x)
=
a
. Thật vậy, do
f
là nửa liên tục dưới tại
x
nên
lim

inf
n→∞
f
(

x
n
)

≥ f (x)
. Kết hợp với
lim f
(
x
n
) =
a
n
→∞
ta suy ra
f (x) ≤ a
( điều đó
chứng tỏ a ≠ −∞ ). Mặt khác theo định nghĩa của
a
ta có
và
x
là điểm cực tiểu của hàm
f
trên
X
.


f (x) ≥ a . Vậy

f (x) =
a
Khi X không compact thì hàm f có thể không đạt cực tiểu.
Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.2
Xét hàm số:
f : X =  ×

 \

{(2,1)} → 
x =
(x
1

, x
2
)  f (x) = (x
1
−
2)
4
+ (x
−1)
2
Ta dễ dàng thấy rằng
f
liên tục trên
X
và

f (x) ≥
0

,
∀
x
∈
X
. Với bất kì
ε

>
0
,
ta có
ε
x
ε

=
(2,1
+
)
2
thoả mãn
f
(
x )
=

ε

<

ε
ε
4
tức là ta có
inf

X
f = 0 . Tuy vậy
không tồn tại
x
∈
X
để f (x) = 0 . Thật vậy, giả sử có
x
0
∈

X
sao cho
f
(
x
0
)
=

0
thì đưa tới
x
0
=
(2,1)
∉
X
. Vậy hàm
f
không đạt cực tiểu trên
X
.
Khi giả thiết compact của tập
X
không còn thì hàm f có thể không đạt cực
trị. Khi đó, ta xét khái niệm điểm ε − xấp xỉ cực tiểu như sau:
Với
ε

>
0
cho trước, một điểm
x
ε

∈
X
gọi là
ε

−

xấp xỉ cực tiểu của f
(x)
trên
X
nếu
inf

X
f
≤
f
(
x
ε

)
≤

inf

X
f + ε .
Điểm
ε

−

xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên,
khi
X
là không gian mêtric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng
ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên
X
. Sau đây
ta xét nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí
này.
≥


λ




λ


ε ε
Định lí 1.1. (nguyên lí biến phân Ekeland ) [2]
Cho
(
X
,

d
)
là không gian mêtric đủ và hàm

f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử
ε

>
0
và
x
ε

∈

X
thoả mãn:
f
(
x
ε

)

<

inf

X
f + ε .
Khi đó với
λ
>
0
bất kì, tồn tại
x

∈
X
sao cho:
(i)
(ii)
(iii)
d

(
x, x
ε

) ≤ λ .
f
(
x)
+



ε



d

(
x, x )
≤
f
(
x
)
.


f
(
x)
+



ε



d

(
x, x)
>
f (x)
,


∀x ∈ X
\
{x}
.
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. [2]
Cho số
α > 0
, ta định nghĩa quan hệ thứ
tự”

≥

”trên
X
×

như sau:
(
x
1

,
a
1
) ≥
(
x
2
,
a
2
) ⇔ (a
1
− a
2
)
+

α

d

(
x
1
, x
2
)
≤
0.
Cho

S
là tập đóng trong
X
×

thoả mãn tồn tại
m

∈

sao cho nếu
(x, a)
∈
S
thì
a
≥
m.
Khi đó với mỗi phần
tử
(
x
0
,
a
0
)

∈

S
luôn có phần tử
(

x,

a)

∈

S
Sao cho
(
x, a)
≥

(
x
0
,
a
0
)
và
(

x,

a)
là phần tử cực đại trong S theo nghĩa

Chứng minh
(x,
a)
(

x,
a)
,
∀(x, a)
∈
S và (x, a) ≠
(

x,
a) .
Dễ dàng chứng minh quan hệ
”

≥
” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Ta xây dựng dãy
(
x
n
,
a
n
)
trong S bằng quy nạp như sau:
Bắt đầu từ

Ta ký hiệu:
(
x
0
,
a
0
)
∈
S
cho trước, giả sử
(
x
n
,
a
n
)
đã biết.
S
n
=

{
(

x,

a)

∈
S
(

x,
a) ≥
(
x
n
,
a
n
)
}

.
m
n
=
inf
{
a

∈

 (

x,

a)

∈
S
n
}
.
Ta có
S

n
là các tập đóng và khác rỗng. Khi đó lấy
(

x
n

+
1
,

a
n

+
1
)
∈
S
n
sao cho:

a
−

a
≥

a
n
−

m
n
(1.1)
n n
+
1
2
Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên
S
n

+
1
⊂

S
n
do đó
m
n

≤

m
n

+
1
. Và
như vậy ta có {
S

n
} là dãy các tập đóng giảm dần trong
S
,
{
m
n
} là dãy giảm
dần trong  và bị chặn dưới và (1.1) có thể viết lại thành:
a
n
−
m
n
≥

a
−
m

≥
a
−
m
≥
2
n
+
1
n
n+1
n
+
1
0.
Tiếp tục quá trình này ta thu được:
a
−

m
≤

a
n
−
m
n
≤ ≤

a

1
−
m
.
n+1
n+1

2
2
n
Mặt khác
(
x, a) ≥
(

x
n

+
1
,
a
n
+
1
)
nên ta lại có:
a
n
+

1
−
a a
1
−

m
d

(

x
n
+
1

, x)
≤
α
≤
.
2
n

α
Như vậy đường kính của
S

n
tiến về 0. Suy ra dãy {

S

n
} là dãy các tập đóng
thắt dần có đường kính giảm dần về 0 trong
X
×

(là không gian metric đầy
đủ). Do đó tồn tại
(

x,

a)

∈

S
thoả mãn:
{
(

x,

a)
}

=


S
n
n∈
(1.2)
Bây giờ ta sẽ chứng minh
(

x,

a)
là phần tử cần tìm.
Thật vậy, từ định nghĩa của
(

x,

a)
ta có
(
x, a)
≥

(
x
n
,
a
n
)

,

∀n
∈

do
đó
(
x, a)
≥

(
x
0
,
a
0
)
. Giả sử có (x, a) >
(

x,

a)
với (x, a)
∈

S
và (x, a) ≠
(

x,
a) . Khi đó
(
x, a) ∈
S
n
(

∀
n
∈


), vì vậy (x,
a)

∈


S
n
n∈
điều này mâu thuẫn với (1.2).
Và như vậy
(

x,

a)

là phần tử cực đại trong S thoả mãn yêu cầu của bổ đề.

Chứng minh định lí 1.1
Đặt S =
epif
=
{
(

x,

a)
∈ X
×


f
(
x)
≤

a
}

.
Dễ thấy
(
x
ε

, f
(
x
ε

))
∈
S
. Do f là nửa liên tục dưới trên
X
nên S là tập đóng
trong
X
×

.
≥
Ta áp dụng bổ đề 1.1 với
α

=

ε
λ
và phần tử
(
x
ε

, f

(
x
ε
)) , ta luôn tìm được
(

x,

a)
sao cho
(

x,
a) ≥
(
x
ε

, f
(
x
ε
))
và
(

x,

a)
là phần tử lớn nhất trong

S
.
Từ định nghĩa của
epif
ta luôn có
(
x , f
(
x
))

∈
S
,
∀
x
∈
X
. Mặt khác
f (x) ≤
a
nên
−
f
(
x)
+
a
+

ε

d

(
x, x)
≥

0

, mà
(

x,
a)
λ
là phần tử lớn nhất trong
S
nên ta có
f (x)
=
a
, vậy
(x, f
(x))
là phần tử lớn nhất trong
S
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh x là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có:
ε

(x, f (x))
≥

(
x
ε

, f
(
x
ε
))
tức là
f
(
x)
+
d

(
x, x
ε

)
≤
λ
f
(
x
ε

)

.
Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
ε

ε
Mặt khác, từ
f (x)
−
f
(
x
ε

)
+

λ

d

(
x, x
ε

)
≤

0
ta có
d
(x, x )
≤
f (x )
−
f (x)
. Hơn nữa
λ

ε
ε
ε
f
(
x
ε

)
≤

inf

X
f
+

ε
nên

f
(
x
ε

)
−
f
(
x)
≤

ε
do đo đó
d

(
x, x
ε

)
≤

ε
λ
hay
d

(
x, x

ε

)
≤

λ

.
Vậy khẳng định (i) được chứng minh.
Do
(x, f
(x))
là phần tử lớn nhất trong
S
, mà
(
x , f
(
x
))

∈

S
∀x ∈
X
nên
(x, f
(x))
(x, f (x))

,
∀x ≠ x do đó
f
(
x)
+

ε

d

(
x, x)
>
f
(
x)
,
λ
∀x ≠ x .
Vậy (iii) được chứng minh. 
Nhận xét 1.2
Điểm x tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
f
(
x)
+

ε

d

(
x, x)
. Nếu
λ
λ
nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của
x
so với điểm
x
ε

ban đầu, nhưng khi
đó hàm nhiễu
f
(
x)
+

ε

d

(
x,
x)
λ
có sai khác tương đối so với
f (x) . Ngược lại,

nếu λ lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm x , nhưng hàm
f
(
x)
+

ε

d

(
x, x)
có
λ
thể không sai khác nhiều so với hàm
f
(x)
ban đầu.
Hằng số
λ
trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn
λ

=
Định lí 1.2. [1]
ε ta có kết quả sau:
Cho
(
X
,

d
)
là không gian mêtric đủ và hàm
f : X
→

∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử
ε
> 0
và
x
ε

∈

X
thoả mãn:
Khi đó tồn tại
x

∈
X
sao cho:

f
(
x
ε

) <
inf

X
f + ε
(i)
d

(
x, x
ε

)
≤
ε
.
(ii)
(iii)
f
(
x)
+
f (x)
+
ε

d

(
x, x
ε

) ≤ f
(
x
ε

)
.
ε

d
(x, x)
>
f (x)
,
∀
x
∈
X
\
{x}
.
Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu x
ε

không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm x với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân:
Định lí 1.3. [1]
Cho
(
X
,

d
)
là không gian mêtric đủ và hàm
f : X
→



∪

{
+∞
}
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi
ε

>

0
tồn tại

x
sao cho:
f (x)
+
ε

d
(x, x) > f (x)
,
∀
x
∈
X
\
{x}
.
1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều
Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến
phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục).
Định lí 1.4. [19]
Cho
f : 
N
→


∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn
dưới,
λ > 0 và

p
≥
1. Giả sử ε > 0 và
x
∈



N
thoả mãn:
ε
ε
f (x )
≤
inf
N

f
+
ε .
p
g

(

a

)

N

N
N
Khi đó tồn tại
x

∈

N
sao cho:
(i)
x
ε

−

x
≤ λ.
(ii)
f (x)
+

ε
λ

p
x −
x
ε
p
≤

f (x
ε

)
.
(iii)
f
(
x)
+

ε
λ
p
x −
x
ε
≥
f
(
x)
+

ε
λ
p
x −
x
ε
p

,
∀x
∈

N
.
Chứng minh
Xét hàm
g

(
x)
=
f
(
x)
+
ε
λ
p
x −
x
ε
p
. Khi đó
g(x)
là hàm nửa liên tục dưới, bị
chặn dưới. ta thấy
g(x)
thoả mãn điều kiện bức tức là

lim
x
→+∞
g(x) = +∞ .
Lấy
a

∈



N
bất kì, xét tập
L g
=

{
x

∈



N
g
(x)
≤

g

(a)
}
do g là hàm nửa liên tục
dưới nên
L
g
(

a
)
g là tập đóng
trong

N
.
Ta chứng minh
L
g
(

a
)
g là bị
chặn

N
. Thật vậy,
giả

sử

L
g
(

a
)
g không bị chặn


N
, khi đó tồn tại dãy {x }
⊂

L g
sao cho
x
→

+∞

. Do
g
thoả mãn điều
n
g

(

a
)

n
kiện bức trên


N
nên
lim
g

(
x )
=

+∞

. Mặt
khác
x
∈

L g
nên
g

(
x )
≤

g

(a)
n
→∞
n
n
g

(

a
)
n
(∀n ∈
N
)
, suy ra lim
g

(
x
n
) ≤
g

(a)
n
→∞
(mâu thuẫn). Vậy L
g
(

a
)
g là đóng và bị chặn
trong
 , g là hàm nửa liên dưới trên tập compact
L
g
(

a
)
g nên tồn tại điểm cực
tiểu x của g trên
L
g
(

a
)
g .
Bây giờ ta sẽ chứng minh x chính là điểm cực tiểu của g trên
 . Thật vậy
với
x

∉
L
g
(

a
)
g thì
g(x) > g(a) ≥ g(x) . Điều này chứng tỏ x là điểm cực tiểu của
g trên

. Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí.

1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (Flower-
Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí
biến phân Ekeland.
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 1.3. [1]
Cho
X
là không gian Banach. Với bất kì
x
∗

∈
X
∗

\
{0}
và bất kì
ε

>

0
chúng ta
gọi:
K

(
x
∗

,

ε
)
=

{
x

∈
X
ε
|| x
∗

|||| x ||
≤
x
∗

(x)
}
là nón Bishop-Phelps liên kết với
x
∗

và
ε

.
Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
x
∗

∈
X
∗

là bị
chặn trên
S
. Khi đó với mọi

ε

>
0
,
S
có điểm
K
(
x
∗

,

ε

)
-support y tức là :
{y}
=
S
∩



K

(

x

∗

,

ε
)
+
y




.
Chứng minh
Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm
điểm thoả mãn :
x
∗

( x)
f ( x)
=

− +
l
|| x
∗

||
S

( x)
. Giả sử z là
ta tìm được điểm y sao cho:
f
(
z) <
inf

X
f + ε
(i)
f
(
y) + ε y −
z
≤
f
(
z) .
(ii)
f
(
x) + ε x −
y
> f
(
y) ,
∀x ≠ y .
Ta chứng minh
y

∈
S
∩



K
(x
∗

,

ε
)
+

y




. Thật vậy, từ (i) suy ra
y

∈
S
. Mặt
khác
0

∈
K
(
x
∗

,

ε
)
nên
y
∈




K

(

x
∗

,

ε

)
+

y




.
Tiếp theo ta chứng minh
S
∩




K
(x
∗

,

ε

)
+

y




=
{y}
bằng phản chứng. Giả sử ta
có
y
′
≠
y
mà
y
′

∈

S
∩




K

(

x
∗

,

ε

)
+

y




. Suy ra
y
′

−

y

∈

K
(
x
∗

,

ε

)
Ta có:

Hay
ε || x
∗

|||| y
′

− y ||≤ x
∗

(
y
′

− y) = x
∗

(
y
′
) − x
∗

(

y).
∗
∗
−

x ( y
′
)
+

ε
y
′

−
y
≤

−

x ( y)
|| x
∗

|| || x
∗

||
điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh. 
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental)
Định nghĩa 1.4. [1]
Cho X là không gian Banach và
Ta gọi:
a,

b
∈ X .
P
γ

(a,
b)
=

{
x

∈
X
γ
a − x
+
x
−

b
≤
b
−
a
}
là cánh hoa liên kết với
γ

∈

(0,
+∞
)
và
a,

b
∈ X
.
Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi.
Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
a

∈
S
và