GIÁO TRÌNH TOÁN RỜI RẠC - CHƯƠNG V MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ_5 ppsx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.16 KB, 8 trang )

67
CHƯƠNG V
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ

5.3.6. Phân nhánh: Sự phân hoạch tập hợp tất cả các hành trình ở một
giai đoạn nào đó thành hai tập con rời nhau được biểu diễn bằng sự
phân nhánh của một cây. Trên cây, mỗi đỉnh được biểu diễn thành một
vòng tròn và sẽ tượng trưng cho môt tập hành trình nào đó. Đỉnh X đầu
tiên là tập toàn bộ các hành trình. Đỉnh (i,j) biểu diễn tập các hành trình
có chứa cặp (i,j) kề nhau. Đỉnh ),( ji biểu diễn tập các hành trình không
chứa cặp (i,j) kề nhau. Tại đỉnh (i,j) lại có sự phân nhánh: đỉnh (k,l)
biểu diễn tập các hành trình có chứa cặp (i,j) và cặp (k,l), đỉnh ),( lk biểu
diễn tập các hành trình có chứa cặp (i,j) nhưng không chứa cặp (k,l)
Nếu quá trình diễn ra đủ lớn thì cuối cùng sẽ có những đỉnh chỉ
biểu diễn một hành trình duy nhất.
Vấn đề đặt ra là nên chọn cặp thành phố nào để tiến hành phân
nhánh xuất phát từ một đỉnh cho trước trên cây? Một cách tự nhiên ta
nên chọn cặp thành phố nào gần nhau nhất để phân nhánh trước, trên
ma trận rút gọn thì những cặp thành phố (i,j) như vậy đều có
ij
m' =0 và
những hành trình nào chứa cặp (i,j) đều có triển vọng là tốt.
Trên ma trận rút gọn thường có nhiều cặp thành phố thoả mãn
điều kiện đó (
ij
m' =0). Để quyết định ta phải tìm cách so sánh. Vì thành
68
phố i nhất thiết phải nối liền với một thành phố nào đó nên các hành
trình h không chứa (i,j) tức là h ),( ji phải ứng với những độ dài hành
trình ít ra có chứa phần tử nhỏ nhất trong dòng i không kể
ij

m' =0 và
phần tử nhỏ nhất trong cột j không kể
ij
m' =0 vì thành phố j nhất thiết
phải nối liền với một thành phố nào đó ở trước nó trên hành trình. Ký
hiệu tổng của hai phần tử nhỏ nhất đó là 
ij
thì ta có f(h)  
ij
,
h ),( ji .
Vì lý do trên, số 
ij
có thể dùng làm tiêu chuẩn so sánh giữa các
cặp thành phố (i,j) cùng có
ij
m' =0. Một cách tổng quát, ở mỗi giai đoạn
ta sẽ chọn cặp thành phố (i,j) có
ij
m' =0 trong ma trận rút gọn và có 
ij
lớn

nhất để tiến hành phân nhánh từ một đỉnh trên cây.
5.3.7. Tính cận: Với mỗi đỉnh của cây phân nhánh, ta phải tính cận
dưới của các giá trị hàm mục tiêu ứng với tập phương án mà đỉnh đó
biểu diễn. Cận dưới tính được sẽ ghi bên dưới đỉnh đang xét.
Theo công thức f(h)=f(h)+s và do f(h)  0 nên f(h)  s, hX.
Vì vậy tổng các hằng số rút gọn của ma trận ban đầu có thể lấy làm cận
dưới của đỉnh X đầu tiên trên cây. Mặt khác, ta lại có f(h)  

ij
,
h ),( ji , do đó f(h)=f(h)+s  
ij
+s, h ),( ji . Vì vậy tổng 
ij
+s có thể
lấy làm cận dưới cho đỉnh ),( ji . Sau khi chọn (i,j) để phân nhánh xuất
phát từ đỉnh X thì trên bảng có thể xoá dòng i và cột j vì trên đó ô chọn
(i,j) là duy nhất. Sau khi bỏ dòng i và cột j thì ma trận M’ lại có thể rút
gọn thành ma trận M’’ với s’ là tổng các hằng số rút gọn, f(h) là giá trị
69
của hàm mục tiêu xét trên M’’. Khi đó ta có f(h)=f(h)+s’, h(i,j), do
đó f(h)=f(h)+s=f(h)+s+s’, h(i,j). Do f(h)  0 nên f(h)  s+s’,
h(i,j), nghĩa là tổng s+s’ có thể lấy làm cận dưới cho đỉnh (i,j) trong
cây phân nhánh.
Nếu tiếp tục phân nhánh thì cận dưới của các đỉnh tiếp sau được
tính toán tương tự, vì đây là một quá trình lặp. Ta chỉ cần xem đỉnh
xuất phát của các nhánh giống như đỉnh X ban đầu Để tiết kiệm khối
lượng tính toán, người ta thường chọn đỉnh có cận dưới nhỏ nhất để
phân nhánh tiếp tục.
5.3.8. Thủ tục ngăn chặn hành trình con: Một đường đi hoặc chu
trình Hamilton không thể chứa chu trình con với số cạnh tạo thành nhỏ
hơn n. Vì vậy ta sẽ đặt m
ii
= (i=1, , n) để tránh các khuyên.
Với ij và nếu (i,j) là ô chọn thì phải đặt ngay m’
ji
= trong ma
trận rút gọn.

Nếu đã chọn (i,j) và (j,k) và n>3 thì phải đặt ngay
m’
ji
=m’
kj
=m’
ki
=.
Chú ý rằng việc đặt m’
ij
= tương đương với việc xoá ô (i,j) trong
bảng hoặc xem (i,j) là ô cấm, nghĩa là hai thành phố i và j không được
kề nhau trong hành trình định kiến thiết. Ở mỗi giai đoạn của quá trình
đều phải tiến hành thủ tục ngăn chặn này trước khi tiếp tục rút gọn ma
trận.
70
5.3.9. Tính chất tối ưu: Quá trình phân nhánh, tính cận, ngăn chặn
hành trình con, rút gọn ma trận phải thực hiện cho đến khi nào có đủ n
ô chọn để kiến thiết một hành trình Hamilton, nói cách khác là cho đến
khi trên cây phân nhánh đã xuất hiện một đỉnh chỉ biểu diễn một hành
trình duy nhất và đã xoá hết được mọi dòng mọi cột trong bảng. Cận
dưới của đỉnh cuối cùng này chính là độ dài của hành trình vừa kiến
thiết.
a) Nếu cận dưới của đỉnh này không lớn hơn các cận dưới của mọi đỉnh
treo trên cây phân nhánh thì hành trình đó là tối ưu.
b) Nếu trái lại thì phải xuất phát từ đỉnh treo nào có cận dưới nhỏ hơn
để phân nhánh tiếp tục và kiểm tra xem điều kiện a) có thoả mãn
không.
Thí dụ 5: Xét bài toán với 6 thành phố, các số liệu cho theo bảng sau:
M =



























595523
548274612
1818251621
05351320

25301147
2630164327

Tổng các hằng số rút gọn bước đầu là s=48. Trong ma trận rút gọn ta có:
m’
14
=m’
24
=m’
36
=m’
41
=m’
42
=m’
56
=m’
62
=m’
63
=m’
65
=0
và 
14
=10, 
24
=1, 

36
=5, 
41
=1, 
42
=0, 
56
=2, 
62
=0, 
63
=9, 
65
=2. Sau khi so sánh ta
thấy 
14
=10 là lớn nhất nên ta chọn ô (1,4) để phân nhánh. Cận dưới của đỉnh )4,1( là
s+
14
=58. Xoá dòng 1 cột 4 rồi đặt m’
41
=.

16

1
0

16

5
5
5
0

0

0

0

0

1

1 2 3 4 5 6
71
M’ =



























040013
04322412
22900
05351315
24290131
101402711
.























00013
022412
2290
051315
2429131

M’’ =






















00013
022412
2290
051315
2328120
.
Tổng hằng số rút gọn là s’=1. Vậy cận dưới của đỉnh (1,4) là s+s’=49. Vì 49<58 nên tiếp
tục phân nhánh tại đỉnh (1,4). Trong ma trận còn lại, sau khi rút gọn ta có
m”
21
=m”
36
=m”
42
=m”
56
=m”
62
=m”

63
=m”
65
=0.
Ở giai đoạn này, sau khi tính toán ta thấy 
21
=14 là lớn nhất nên chọn tiếp ô (2,1). Cận
dưới của đỉnh )1,2( là 49+
21
=63. Xoá dòng 2 cột 1. Đặt m”
42
=. Rút gọn ma trận còn
lại, ta có:



















000
02241
229
0513

M’’’=


















000
02241
007
0513
.

Tổng hằng số rút gọn là 2. Cận dưới của đỉnh (2,1) là 49+2=51.
Tiếp tục như vậy cuối cùng ta được 6 ô chọn là:
(1,4), (2,1), (5,6), (3,5), (4,3), (6,2)
và kiến thiết hành trình h
0
=(1 4 3 5 6 2 1) với f(h
0
)=63 là cận dưới của đỉnh cuối cùng.
cận dưới của đỉnh cuối cùng là 63, trong khi đó đỉnh treo )4,1( có cận dưới là 58<63 nên
phải tiếp tục phân nhánh từ đó để kiểm tra. Sau sự phân nhánh này thì mọi đỉnh treo đều
có cận dưới không nhỏ hơn 63 nên có thể khẳng định rằng hành trình h
0
=(1 4 3 5 6 2 1)
là tối ưu.
Sự phân nhánh từ đỉnh )4,1( được làm như sau: trong ma trận rút gọn đợt 1, ta đặt
m’
14
= vì xem ô (1,4) là ô cấm, 
63
=9 là lớn nhất trong các 
ij
, do đó chọn ô (6,3) để
phân nhánh. Cận dưới của đỉnh )3,6( là 58+9=67. Đặt m’
36
=. Rút gọn ma trận với tổng
hằng số rút gọn là 15. Cận dưới của đỉnh (6,3) là 58+15=73.

2

3
4
5
6
1 2 3
5
6
2
3
4
5
6
1 2
3
5 6
2
3
4
5
6
2

2 3 3 5 5 6 6
3

3

4

4

5
6

6
5

X

)4,1(
X

48

58

67

63

65

49

51

72

BÀI TẬP CHƯƠNG V:

1. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ
thị sau:

2. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến các đỉnh khác trong đồ
thị sau:

3. Cho đồ thị có trọng số như hình dưới đây. Hãy tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến
đỉnh N.

)
4
,
1
(
)
3
,
6
(
)
3
,
6
(
)
1
,
2
(
)1,2(

)
6
,
5
(
)
6,5(
X

)
5
,
3
(
)
5,3(
X

)
2,6(
X

)
3,4(
X

)
2
,
6

(
63

c

b

e

d

k

h

a

g

4

4

3
2
2
1

2
7

5

4
3
7
11

12

5
b

f

c

d

e

g

h

i

k

a

1
10

6

3
4

1
4

1
3

6

8
10

4

2

2

5

3

5

2

8

5

A

B

C

D

E

J

F

K

G

L

H

M

I

7
3

8

3
2

9

3
5

2
2

2
6
2
2
2
4
3

4
1

73

4. Tìm đường đi ngắn nhất từ B đến các đỉnh khác của đồ thị có ma trận trọng số là (các
ô trống là ):
























414
422
1224
4214
24126
423
63

5. Tìm W* bằng cách áp dụng thuật toán Floyd vào đồ thị sau:

6. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi
đầu bằng 0.

7. Giải bài toán mạng vận tải sau bằng thuật toán Ford-Fulkerson với luồng vận tải khởi
đầu được cho kèm theo.