GIÁO TRINH TOÁN RỜI RẠC - CHƯƠNG III ĐỒ THỊ_3 ppt

CHƯƠNG III
ĐỒ THỊ



Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) rất hay được dùng cho các
mạng liên kết. Trong một mạng như thế, số các bộ xử lý là một số chính
phương, n=m
2
. Các bộ xử lý được gán nhãn P(i,j), 0  i, j  m1. Các
kết nối hai chiều sẽ nối bộ xử lý P(i,j) với bốn bộ xử lý bên cạnh, tức là
với P(i,j1) và P(i1,j) chừng nào các bộ xử lý còn ở trong lưới.









P
2

P
4

P
5

P

6

P(0,0)
P(0,1)
P(0,2)
P(0,3)
P(1,0)
P(1,1)
P(1,2)
P(1,3)
P(2,0)
P(2,1)
P(2,2)
P(2,3)
P(3,0)
P(3,1)
P(3,2)
P(3,3)
Mạng kết nối quan trọng nhất là mạng kiểu siêu khối. Với các
mạng loại này số các bộ xử lý là luỹ thừa của 2, n=2
m
. Các bộ xử lý
được gán nhãn là P
0
, P
1
, , P
n-1
. Mỗi bộ xử lý có liên kết hai chiều với m
bộ xử lý khác. Bộ xử lý P

i
nối với bộ xử lý có chỉ số biểu diễn bằng dãy
nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i tại đúng một bit. Mạng kiểu
siêu khối cân bằng số các kết nối trực tiếp của mỗi bộ xử lý và số các kết
nối gián tiếp sao cho các bộ xử lý có thể truyền thông được. Nhiều máy
tính đã chế tạo theo mạng kiểu siêu khối và nhiều thuật toán đã được
thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối. Đồ thị lập phương Q
m
biểu diễn
mạng kiểu siêu khối có 2
m
bộ xử lý.



3.4. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU
ĐỒ THỊ:
3.4.1. Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) (vô hướng hoặc có hướng), với
V={v
1
,v
2
, , v
n
}. Ma trận liền kề của G ứng với thứ tự các đỉnh v
1
,v
2
, ,
v

n
là ma trận
A=
),()(
,1
ZnMa
njiij


,
trong đó a
ij
là số cạnh hoặc cung nối từ v
i
tới v
j
.
P
1

P
2

P
3

P
4

P

5

P
6

P
0

P
7

Như vậy, ma trận liền kề của một đồ thị vô hướng là ma trận đối
xứng, nghĩa là
jiij
aa

, trong khi ma trận liền kề của một đồ thị có
hướng không có tính đối xứng.
Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v
1
, v
2
, v
3
, v
4
là:

















0212
2110
1103
2030


Ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
là:

















01011
10200
01001
01210
11011


3.4.2. Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v
1
, v
2
, , v
n

là các
đỉnh và e
1
, e
2
, , e
m
là các cạnh của G. Ma trận liên thuộc của G theo
thứ tự trên của V và E là ma trận
M=
),()(
1
1
ZmnMm
mj
niij




,
v
1

v
2

v
3

v
4

v
1

v
2

v
5

v
4

v
3

v
1

ij
m
bằng 1 nếu cạnh e
j
nối với đỉnh v
i
và bằng 0 nếu cạnh e
j
không nối

với đỉnh v
i
.
Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự các đỉnh v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
và
các cạnh e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
là:


















011010
000101
110000
101100
000011

3.4.3. Định nghĩa: Các đơn đồ thị G
1
=(V
1
,E
1
) và G
2
=(V
2

,E
2
) được gọi là
đẳng cấu nếu tồn tại một song ánh f từ V
1
lên V
2
sao cho các đỉnh u và v
là liền kề trong G
1
khi và chỉ khi f(u) và f(v) là liền kề trong G
2
với mọi
u và v trong V
1
. Ánh xạ f như thế gọi là một phép đẳng cấu.
Thông thường, để chứng tỏ hai đơn đồ thị là không đẳng cấu,
người ta chỉ ra chúng không có chung một tính chất mà các đơn đồ thị
đẳng cấu cần phải có. Tính chất như thế gọi là một bất biến đối với phép
đẳng cấu của các đơn đồ thị.
Thí dụ 13: 1) Hai đơn đồ thị G
1
và G
2
sau là đẳng cấu qua phép đẳng
cấu f: a

x, b

u, c


z, d

v, e

y:



v
2

v
3

v
4

v
5

e
1

e
2

e
3

e
4

e
5

e
6

a

b

c

e

d

u

v

z

G
1
G
2

2) Hai đồ thị G
1
và G
2
sau đều có 5 đỉnh và 6 cạnh nhưng không đẳng
cấu vì trong G
1
có một đỉnh bậc 4 mà trong G
2
không có đỉnh bậc 4 nào.





3) Hai đồ thị G
1
và G
2
sau đều có 7 đỉnh, 10 cạnh, cùng có một đỉnh bậc
4, bốn đỉnh bậc 3 và hai đỉnh bậc 2. Tuy nhiên G
1
và G
2
là không đẳng

cấu vì hai đỉnh bậc 2 của G
1
(a và d) là không kề nhau, trong khi hai
đỉnh bậc 2 của G
2
(y và z) là kề nhau.



x

y











d

c

g

e

h

u

v

x

y

w

t

z



G
1
G
2

4) Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay không?

G
1
G
2

Hai đồ thị G
1
và G
2
là đẳng cấu vì hai ma trận liền kề của G
1
theo
thứ tự các đỉnh u
1
, u
2
, u
3
, u
4
, u
5
, u
6
và của G
2
theo thứ tự các đỉnh v
6
, v
3

,
v
4
, v
5
, v
1
, v
2
là như nhau và bằng:





















010010
101000
010101
001010
100101
001010


3.5. CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ.
a

b

u
1

v
3

v
1

u
2

u
4

u
6

u
5

u
3

v
6

v
2

v
4

v
5

3.5.1. Định nghĩa: Cho hai đồ thị G
1
=(V
1
,E
1
) và G
2
=(V
2
,E

2
). Ta nói G
2

là đồ thị con của G
1
nếu V
2
 V
1
và E
2
 E
1
. Trong trường hợp V
1
=V
2

thì G
2
gọi là con bao trùm của G
1
.
Thí dụ 14:




G G

1
G
2

G
3





G
4
G
5

G
1
, G
2
, G
3
và G
4
là các đồ thị con của G, trong đó G
2
và G
4
là đồ
thị con bao trùm của G, còn G

5
không phải là đồ thị con của G.
3.5.2. Định nghĩa: Hợp của hai đơn đồ thị G
1
=(V
1
,E
1
) và G
2
=(V
2
,E
2
) là
một đơn đồ thị có tập các đỉnh là V
1
 V
2
và tập các cạnh là E
1
 E
2
, ký
hiệu là G
1
 G
2
.
a

e

d

c

b

a

c

b

a

d

c

e

b

a

d

c

b

a

d

b

c

e

a

d

c

b

x