bài giảng công nghệ CAD/CAM - part 2 ppt

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Chương 2

CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC

Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và
phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học.

2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG.
Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn
một số điều kiện.

2.1.1 Biểu diễn đường cong.
Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dướ
i các dạng:

- Phương trình ẩn.
- Phương trình tường minh.
- Phương trình tham số.

Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ
trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình:

01),(
22
=−+= yxyxf : Phương trình ẩn (2.1)
Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là:

2/1
)1()( xxgy −== : Phương trình tường minh (2.2)
Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có:

θ
θ
cos)( == xx ;
θ
θ
sin)(
=
=
yy : Phương trình tham số (2.3)













Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
)1/(
+
== xytgt
α

Kết hợp với phương trình (2.1) ta có:

)1/()1()(
22
tttxx +−== ; )1/(2)(
2
tttyy +== (2.4)

Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình
tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường
cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá.
Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số:

)(txx =
;
)(tyy
=
;
)(tzz
=

hay dưới dạng vectơ:
)](),(),([)( tztytxtr
=

y
x
y
P(x,y)
o
θ

o
y
x

y
P(x,y)
o
α

Q
Hình 2.1 :
Tham số hoá đường tròn đơn vị
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ
dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong
3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn
mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp
này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong.

2.1.2 Đặc tính của
đường cong.
Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số
chuẩn tắc:
)](),(),([)( tztytxtrr
=
=


Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm:

a. Độ chảy của đường cong.
b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.

1. Độ chảy:
Độ lớn của vectơ đạo hàm
)(tr
&
được gọi là độ chảy của đường cong:

)()( trts
&&
=
(2.5)
Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời
gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này
được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình.

Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s)
trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chả
y của đường cong
không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá.

2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị:
Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho:

dttrs
∫
=

θ
0
)(
&

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau:

dsdrT /=
(2.6)
hay dưới dạng vi phân:
)(/)( trtrT
&&
=
(2.7)

3. Vectơ pháp tuyến chính:
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có
vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong:

dsdTdsdTdtdtdtdTN //)/(//)/( ≡= (2.8)








Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó
vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2).

Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T
và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ
B vuông góc với vectơ N và T được gọi là
vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ:
B = TxN

T
N
Đườn
g
t
r
òn
m
ậ
t ti
ếp
Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính
và đường tròn mật tiếp
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
4. Độ cong và bán kính cong:
Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong
r(t). Độ cong được định nghĩa như sau:

dsdTk /=
(2.9)
hay dưới dạng vi phân:

3
r

rr
k
&
&&&
×
= (2.10)
trong đó:
dtrdrdttdrr /;/)(
&&&&
≡≡ . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường
minh y = y(x), phương trình trên có dạng:

2/32
)1/( yyk
&&&
+=

trong đó:
dxdyy /≡
&
; dxydy /
&&&
≡

Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời
r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn
này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán
kính cong và được xác định bởi:

k/1

=
ρ
(2.11)

5. Độ xoắn của đường cong:
Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau:

NdsdB )./(−=
τ

trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản
mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet:

;/ Tdsdr =

kNdsdT
=
/


kTBdsdN
−
=
τ
/ ;
1
/
−
−= NdsdB
τ

(2.12)

2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG.

2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong:

1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn.
Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt
cầu thoả bất đẳng thức:
01
222
<−++ zyx
và phương trình:
01
222
=−++ zyx (2.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới
hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0.

2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số.
Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ
chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi
phương trình:

)],(),,(),,([),( vuzvuyvuxvur = (2.14)
trong đó: u và v là tham số của mặt cong.

Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13)
bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu:

)sin,sincos,cos(cos),( vuvuvvur = (2.15)
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
với:
π
20 ≤
≤
u và 2/2/
π
π
≤
≤
−
v
Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới
hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.

3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số.
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte
),( yvxu ≡≡ , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số:

)),(,,(),( vuzvuvur =
hay
),( yxzz
=
(2.16)
Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu
diễn dưới dạng tường minh:

2/122

)1( yxz −−= với 1)(
22
≤+ yx (2.17)
















2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong.
Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v)
(Hình 2.4):

T
tvtutq )](),([)( = (2.18)

Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong
r(u,v), sao cho:
r(t) = r(u(t), v(t))
= (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19)

Hình học mặt cong
được minh hoạ trên hình
2.3. Ta thường gọi phần
mặt cong trong miền tham
số giới hạn là mặt lưới. Các
mặt lưới liên kết theo điều
kiện kết nối liên tục tạo
thành mặt cong phức hợp.
u
(u=0,v=0)
v
điểm gốc
đường
biên
(u=1,v=1)
đường sinh phương v

đường sinh
phương u
mặt lưới
·
·
·
Hình 2.3 : Hình học mặt cong
q(t)
v
u
r
u
r(u,v)
r(t)
r
v
r
&
u
v
Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong
và mặt phẳng tiếp tuyến
Trường hợp đặc
biệt của (2.19) là đường
cong đẳng tham số:

ttvuu
ttuvv
==
==

)(,
)(,
*
*

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Vectơ tiếp tuyến.
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau:

urr
u
∂∂= / ; vrr
v
∂
∂= / ; vurr
uv
∂∂∂= /
2
(2.20)
Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có:

vrur
dt
dv
v
r
dt
du
u
r

dt
dr
r
vu
&&&
+=
∂
∂
+
∂
∂
==
(2.21)
trong đó:
r
&
là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); r
u
và r
v
là vectơ tiếp tuyến của
đường cong đẳng tham số u = u
*
, v = v
*
. Ba vectơ tiếp tuyến
r
&
, r
u

, r
v
xác định mặt
phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4).

Vectơ pháp tuyến.
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp
tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi:

vuvu
rrrrn ××= /)( (2.22)
Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.

Ma trận cơ sở thứ nhất.
Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận:

qvrurr
vu
&&&&
Λ=+= (2.23)
trong đó:
vu
rr ,=Λ ;
T
vudtdvdtdudttdqq ][)/,/(/)(
&&&
=== . Giá trị vectơ tiếp tuyến
được tính như sau:

qGqqqrrr

TTTT
&&&&&&&
=ΛΛ== )()(
2
(2.24)
trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=ΛΛ=
vvvu
vuuu
T
rrrr
rrrr
G


: Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25)
Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau:

2/1
)/()(/ qGqqrrT
T
&&&&&
Λ== (2.26)
Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích

mặt cắt theo công thức đơn giản sau:

dudvGdudvrrS
vu
2/1
∫
∫∫∫
=×= (2.27)

2.2.3 Độ cong.

Ma trận cơ sở thứ hai.
Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai
của r(t) theo t có giá trị như sau:

vuvvvuuvuu
rvrurvvrurvruur
&&&&&&&&&&&&
+
+
+
+
+
=
)()( (2.28)

Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với
chú ý rằng r
u
.n = r

v
.n = 0, ta có:


qDqnrvnrvunrunr
T
vvuvuu
&&&&&&&&
=++= .)(.2.)(.
22
(2.29a)
trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
v
u
q
&
&
&
; và
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
=
nrnr
nrnr
D
vvuv
uvuu


: ma trận cơ sở thứ hai.


C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Độ cong pháp tuyến.

Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau:


)(
)(
kNssTsTsTs
dt
Tsd
dt
rd
r
&&&&
&
&&&

&&
&&
+=+===


Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0:

nkNsnr .)(.
2
&&&
= (2.29b)

Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến k
n
. Từ các công
thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng
rs
&&
= , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công
thức sau:


qGq
qDq
s
qDq
s
nr
nkNk
T

TT
n
&&
&&
&
&&
&
&&
===≡
22
)()(
.
.
(2.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng
π
đi qua
vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của
đường cong với mặt phẳng
π
là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo
phương vectơ
q
&
.

Độ cong chính.

Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của
q
&
:


qGq
qDq
qk
T
T
n
&&
&&
&
=)(
Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức:

022 =−=
∂
∂
qGkqD
q
k
n
n
&&
&
(2.31)

Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác
định từ (2.30) như sau:


a
acbb
k
n
2/12
1
)( −+
=
;
a
acbb
k
n
2/12
2
)( −−
=
(2.32)

trong đó:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

==
2
1
gh
hg
Ga
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
2
1
de
ed
Dc
; eh
dgdg
b −
+
=
2
1221


Với: g
1

, g
2
, h, d
1
, d
2
, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D.

Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu
diễn độ trơn láng của mặt cong.
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ.

Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa
trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay.

2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D.

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ
(x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (t
x
,t
y
) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s
(s
x
,s
y
) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác

định như sau:
x’ = x + t
x
;

y’ = y + t
y
(2.33)
x’ = s
x
.x ; y’ = s
y
.y (2.34)
x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35)











Phép biến đổi đồng nhất.

Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống
nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận.
Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không

gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong h
ệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ
độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ:

x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36)

trong đó: h
≠ 0: hệ số vô hướng.

Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân
với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với
hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35)
dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhấ
t (chuẩn tắc) P
h
, P’
h
và ma trận biến đổi
đồng nhất M:
P’
h
= P
h
M (2.37)
trong đó: P
h
= (x y 1) ; P’
h

= (x’ y’ 1)

x
t
y
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
t
x
o
a)
x
P(x,y)
y
P’(x’,y’)
o
b)
x
r

P(x,y)
y
P’(x’,y’)
α

o
c)
r

θ

Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D
C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ
(S) và phép quay (R) có giá trị như sau:

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
010
001
yx
tt
T
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
00
00
y
x
s
s
S
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
100
0cossin
0sincos
θθ

θθ
R


2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D.

Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ
(x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển
t (t
x
, t
y
, t
x
); hệ số tỷ lệ s (s
x
, s
y
, s
z
) được xác định như sau:

x’ = x + t
x
; y’ = y + t
y
; z’ = z + t
z
(2.38)
x’ = s

x
.x ; y’ = s
y
.y ; z’ = s
z
.z (2.39)
Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch
chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ
đồng nhất P
h
, P’
h
, ma trận biến đổi T(S):

P’
h
= P
h
T (2.40a)
P’
h
= P
h
S (2.40b)
trong đó: P
h
= (x y z 1) ; P’
h
= (x’ y’ z’ 1)

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0100
0010
0001
zyx
ttt
T
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1000
000
000
000
z
y
x
s
s
s
S


Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép
quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ
độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1).

Bảng 2.1
Phép quay cơ bản
X’ Y’ Z’
quanh trục x
x’ = x
y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ
quanh trục y

x’ = zsinθ + xcosθ
y’ = y
z’ = zcosθ + xsinθ
quanh trục z
ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ
z’ = z

Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có
giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ):
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
00
0001
),(
CS
SC

xR
θ
;
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1000
00
0010
00
),(
CS
SC
yR
θ
;
S00
00
(, )

00 0
0001
C
SC
Rz
C
θ
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(2.41)

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Một cách tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi toạ độ 3D (chỉ gồm phép
dịch chuyển t và phép quay cơ bản R) bởi ma trận biến đổi đồng nhất H như sau:

(x’ y’ z’ 1) = (x y z 1)H (2.42)

trong đó:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0

0
0
1
0
0
0
333231
232221
131211
t
R
ttt
rrr
rrr
rrr
H
zyx


hay biểu diễn dưới dạng khác:
(x’ y’ z’) = (x y z)R + t (2.43)

Ta thấy rằng ma trận xoay R (2.41) là ma trận trực giao, tức là nếu định nghĩa
các vectơ hàng của R:
n = (r
11
r
12
r
13

); o = (r
21
r
22
r
23
); a = (r
31
r
32
r
33
) (2.44)

thành phần của các vectơ này chính là cosin chỉ hướng của vectơ đơn vị i, j, k và thoả
điều kiện:
n x o = a; o x a = n; a x n = o và
1=== aon
(2.45)

2.3.3 Phép ánh xạ.

Ta đã xét các phép biến đổi toạ độ trong cùng một hệ toạ độ mà hoàn toàn
không có sự thay đổi hệ toạ độ tham chiếu về vị trí cũng như phương chiều.

Trong phần này ta sẽ xét tới phép ánh xạ đối tượng hình học giữa 2 hệ toạ độ
khác nhau.

Phép ánh xạ đối tượng hình học từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ th
ứ hai được

định nghĩa như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học từ hệ toạ độ thứ nhất sang hệ toạ
độ thứ hai. Do đó, không có sự thay đổi về vị trí và phương chiều của đối tượng hình
học so với cả 2 hệ toạ độ.

Phép ánh xạ này tương đương với phép biến đổi hệ toạ độ thứ nhất sang hệ to
ạ
độ thứ hai và được sử dụng rất phổ biến trong thiết kế.

Thông thường, người ta sử dụng định nghĩa hệ toạ độ làm việc (còn được gọi
là hệ toạ độ địa phương hay hệ toạ độ đối tượng) gắn liền với đối tượng thiết kế để đơn
giản hoá việc thiết lập và nhập dữ
liệu hình học.

Phần mềm thiết kế sẽ ánh xạ (chuyển đổi) toạ độ được đo trong hệ toạ độ làm
việc sang hệ toạ độ hệ thống trước khi lưu trữ trong hệ cơ sở dữ liệu hệ thống.

Phép ánh xạ đóng vai trò quan trọng đối với cấu trục lắp ghép, khi mỗi đối
tượng ( chi tiết hay bộ ph
ận) được định nghĩa theo hệ toạ độ hệ thống riêng và chúng
cần được kết nối và quản lý trong hệ toạ độ hệ thống chủ.

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH
Ví dụ, có thể đặt bài toán ánh xạ điểm từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ thứ hai
như sau: Cho trước toạ độ của điểm P xác định theo hệ toạ độ (X, Y, Z), hãy xác định
toạ độ của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’), sao cho thoả điều kiện:
P’ = f(P, thông số ánh xạ) hay P’ = P.H
trong đó:
P : Vectơ vị trí của điểm P theo hệ
toạ độ (X, Y, Z)
P’: Vectơ vị trí của điểm P theo hệ toạ độ (X’, Y’, Z’)

H : Ma trận ánh xạ (2.42) mô tả vị trí tương đối của hệ toạ độ (X, Y, Z)
so với hệ toạ độ (X’, Y’, Z’).

2.3.4 Khung toạ độ.

Trên đây ta đã đề cập tới phép ánh xạ như sự thay đổi mô tả đối tượng hình học
từ một hệ toạ độ sang hệ toạ độ
thứ hai. Bây giờ ta sẽ đề cập đến phép ánh xạ như sự
thay đổi hệ toạ độ.
Có thể mô tả phép biến đổi toạ độ (2.42) dưới hình thức hệ toạ độ chuyển động
(Hình 2.6). Cho i
h
, j
h
và k
h
là các vectơ chỉ hướng đồng nhất của hệ toạ độ tham chiếu:
i
h
= (1 0 0 1) ; j
h
= (0 1 0 1) ; k
h
= (0 0 1 1) (2.46)

Áp dụng phép biến đổi (2.4) với các vectơ đồng nhất:
i’
h
= i
h

H = (1 0 0 1) H = (n 1) (2.47a)
j’
h
= j
h
H = (0 1 0 1) H = (o 1) (2.47b)
k’
h
= k
h
H = (0 0 1 1) H = (a 1) (2.47c)

Kết quả trên nói lên rằng các vectơ trực giao n, o, a của ma trận biến đổi đồng
nhất H trở thành vectơ trục của hệ toạ độ chuyển động (Hình 2.6) biến đổi theo (2.42).
Gốc hệ toạ độ chuyển động được xác định tương tự:
P’
h
= (0 0 0 1) H = (t
x
t
y
t
z
1) = (t 1) (2.48)

Vì lý do này, ma trận biến đổi đồng nhất H được gọi là khung toạ độ.
Như vậy, phép biến đổi (2.42) chính là phép ánh xạ từ hệ toạ độ làm việc (hệ
toạ độ địa phương hay hệ toạ độ chuyển động) sang hệ toạ độ hệ thống ( hệ toạ độ cố
định).

r’ = rH
i
z
y
n
a
o
H
t
j
k
Hình 2.6 - Phép biến đổi toạ độ dưới hình thức
hệ toạ độ chuyển động

r’

P
r
Viết lại biểu thức (2.42)
ta có:
P’
h
= P
h
H
hay:
P
h
= P’
h
H
-1

C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH

trong đó:
P
h
= (r 1) = (x y z 1)
P’
h
= (r’ 1) = (x’ y’ z’ 1)
r(x, y, z): vectơ toạ độ tương đối của điểm P so với hệ toạ độ làm việc.
r’(x’, y’, z’); vectơ toạ độ tuyệt đối của điểm P so với hệ toạ độ tham chiếu (hệ
toạ độ hệ thống).

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
zyx
zyx
zyx
zx
ttt
aaa
ooo
nnn
H
y

;
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−
=
−
1
0
0
0
1
tatotn
aon
aon
aon
H
zyz
yyy

xxx

n = (n
x
n
y
n
z
) ; o = (o
x
o
y
o
z
) ; a = (a
x
a
y
a
z
) ; t = (t
x
t
y
t
z
)

Tóm lại:
Biểu diễn đường cong và mặt cong dưới dạng phương trình tham số thực chất

là biểu diễn dưới dạng phương trình vectơ. Hình thức biểu diễn này đảm bảo phương
thức biểu diễn hợp lý, chặt chẽ; phương thức truy nhập thống nhất đối với cả 2 dạng
đường cong 2D và 3D, nhằm đạt được phương trình biểu diễn đơn giản, thích hợ
p cho
lập trình.

Từ các kết quả trên ta có thể rút ra kết luận:

Các đặc tính cơ bản của mặt cong tham số đều được biểu diễn bởi đạo hàm
riêng r
u
, r
v
của mặt cong. Tức là có thể quản lý hình học mặt cong - được coi là đối
tượng hình học phức tạp- bằng phương thức đơn giản là quản lý hai lưới đường
cong đẳng tham số của mặt cong.