ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN THPT 2002-2003 potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.57 MB, 28 trang )
bộ giáo dục và đào tạo
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 2003
môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Bài 1 (3 điểm).
1. Khảo sát hàm số
2
54
2
+
=
x
xx
y
2. Xác định m để đồ thị hàm số
2
54)4(
22
+
+
=
mx
mmxmx
y
có các tiệm cận trùng với
các tiệm cận tơng ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên.
Bài 2 (2 điểm).
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
12
133
)(
2
23
++
++
=
xx
xxx
xf
biết rằng F(1) =
3
1
.
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
2
12102
2
+
=
x
xx
y
và đờng thẳng y = 0.
Bài 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các
đờng chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và 15.
1. Viết phơng trình chính tắc của elíp (E).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M.
Bài 4 (2,5 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ
xác định bởi các hệ thức:
A = (2; 4; - 1) ,
+
=
kjiOB 4
, C = (2; 4; 3) ,
+
=
kjiOD 22
.
1. Chứng minh rằng AB AC, AC AD, AD AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2. Viết phơng trình tham số của đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng AB và
CD. Tính góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng (ABD).
3. Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết phơng trình tiếp diện
() của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD).
Bài 5 (1 điểm). Giải hệ phơng trình cho bởi hệ thức sau:
2:5:6::
11
1
=
+
+
CCC
y
x
y
x
y
x
hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh
Chữ kí của giám thị 1 và giám thị 2:
2
bộ giáo dục và đào tạo
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2002 2003
hớng dẫn chấm Đề chính thức
môn toán
* Bản hớng dẫn chấm thi này có 4 trang *
I. Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án nêu dới đây.
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần
) đó.
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn
Toán của Hội đồng.
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung.
II. Đáp án và cách cho điểm
Bài 1 (3 điểm).
1. (2, 5 điểm)
- Tập xác định R \ { 2}.
(0, 25 điểm)
- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
2
1
2
+=
x
xy
, y ' =
2
2
)2(
34
+
x
xx
,
=
=
=
3
1
0'
x
x
y
y< 0 với
( ) ( )
;31;x
: hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )( )
+ ;3,1;
.
y > 0 với
()
2;1
x
(2; 3)
: hàm số đồng biến trên các khoảng
(1; 2), (2; 3).
(0, 75 điểm)
b) Cực trị:
Hàm số có hai cực trị: cực tiểu y
CT
= y(1) = 2 , cực đại y
CĐ
= y(3) = - 2.
(0, 25 điểm)
c) Giới hạn:
.
2
54
2
2
lim
2
lim,
2
54
2
2
lim
2
lim =
+
+
=
+
+=
+
=
x
xx
x
y
x
x
xx
x
y
x
Đồ thị có
tiệm cận đứng x = - 2.
0)
2
1
(lim)]2([lim =
=+
x
x
xy
x
. Đồ thị có tiệm cận xiên y = - x + 2.
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm)
d) Bảng biến thiên:
(0, 25 điểm)
- Đồ thị:
x
+ 321
y - 0 + + 0 -
y
+ + - 2
CĐ
CT
2 - - -
3
(0, 50 điểm)
2. ( 0, 5 điểm)
2
16
2
2
+
++=
mx
mm
xy
, đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2 khi và chỉ khi
=
y
x 2
lim
=
+
2
16
2
2
lim
mx
mm
x
. Qua giới hạn có
2 + m 2
= 0 hay m = 0.
Với m = 0 ta có
2
1
2
2
54
2
+=
+
=
x
x
x
xx
y
; nên đồ thị hàm số có tiệm cận
xiên là y = - x +2.
Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0.
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm)
Bài 2 (2 điểm )
1. (1 điểm)
2
2
23
)1(
2
1
)1(
133
)(
+
+=
+
++
=
x
x
x
xxx
xf
;
1
2
2
2
2
)1(
13
2
3
3
C
x
x
x
dx
x
xxx
+
+
++=
+
++
Vì
3
1
)1( =F
nên
6
13
=C
.
Do đó
6
13
1
2
2
)(
2
+
++=
x
x
x
xF
.
(0, 75 điểm)
(0, 25 điểm)
2. ( 1 điểm)
Diện tích hình phẳng S cần tìm
+
+
++
+
===
6
1
6
1
2
6
1
2
)
2
16
214(
2
12102
0
2
12102
dx
x
xdx
x
xx
dx
x
xx
S
(0, 25 điểm)
Vẽ đúng dạng đồ thị :
+ Giao với Oy: tại điểm
(0; 2,5)
+ Đồ thị có tâm đối xứng tại
điểm ( 2 ; 0).
+ Đồ thị có hai tiệm cận
:
x = 2 và y = - x + 2.
Giải phơng trình:
2
12102
2
+
x
xx
= 0
ta tìm đợc các cận lấ
y
tích
p
hân
là: - 1 và 6.
4
.8ln1663)2ln1614(
6
1
2
=+=
xxx
(0, 75 điểm)
Bài 3 (1, 5 điểm)
1. (1 điểm).
Giả sử điểm M ở góc phần t thứ nhất và M = (x; y). Khi đó theo đầu bài ta có
các hệ thức: các bán kính qua tiêu
1
MF
= a + ex = 15,
2
MF
= a - ex = 9, khoảng
cách giữa các đờng chuẩn: 2 .
e
a
= 36. Vậy a = 12, e =
3
2
, x =
2
9
.
Vì c = a.e = 8 và có b
2
= a
2
- c
2
= 80 nên phơng trình chính tắc của elíp (E) là
1
80
2
144
2
=+
yx
(0, 75 điểm)
(0, 25 điểm)
2. (0, 5 điểm).
Tiếp tuyến với elíp (E) tại điểm M(
2
9
;
2
115
) là
3211 =+ yx
.
Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (-
2
9
;
2
115
), (
2
9
; -
2
115
), (-
2
9
; -
2
115
)
cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15. Do đó ta còn có 3 phơng trình tiếp tuyến
với elíp (E) tại các điểm (tơng ứng) đó là : -
3211 =+ yx
,
3211 = yx
,
3211 =+ yx
(0, 25 điểm)
(0, 25 điểm)
Bài 4 (2, 5 điểm)
1. (1 điểm)
Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1). Do đó:
ADABADAB
ADACADAC
ACABACAB
=++=
=++=
=++=
00.0)2.(00).1(.
00.4)2.(00.0.
04.00.00).1(.
Thể tích khối tứ diện ABCD tính theo công thức
V
ABCD
=
ADACAB
].,[
6
1
=
3
4
(
do
)0;4;0(],[
=
ACAB
)
(0, 75 điểm)
(0,2 5 điểm)
2. (0, 75 điểm)
Đờng thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD)
AB nên
đờng vuông góc chung
của AB và CD là đờng thẳng qua A và vuông góc với CD.
Vậy đờng thẳng
có vectơ chỉ phơng
)1;2;0(],[
2
1
=
=
CDABu
và phơng trình
tham số là:
+=
=
=
tz
ty
x
1
24
2
(0, 50 điểm)
Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến [=
n
AB
,
AD
] = (
0; 0; 2). Vậy góc nhọn
giữa
và mặt phẳng (ABD) xác định bởi biểu thức:
5
sin
=
un
un
.
.
5
5
52
2
1)2(.2
1.2)2.(00.0
2
2
2
==
+
++
=
(0, 25 điểm)
3. (0, 75 điểm)
Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
0222
222
=++++++ dczbyaxzyx
Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn phơng trình trên.
Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình sau:
=+++
=++++
=+++
=+++
)(02449
)(068429
)(028218
)(028421
SDdcba
SCdcba
SBdcba
SAdcba
Giải hệ này có a =
2
3
, b = -3, c = - 1, d = 7. Do đó phơng trình mặt cầu (S) là:
07263
222
=+++ zyxzyx
.
(0, 50 điểm)
Mặt cầu (S) có tâm K = (
2
3
; 3; 1) và bán kính R =
2
21
; phơng trình của mặt
phẳng (ABD) là: z + 1 = 0. Phơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD)
có dạng z + d = 0. Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R:
2
221
2
,
2
221
1
2
21
2
1
2
0
2
0
1.1
+
=
==
++
+
dd
d
.
Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là:
(
1
): z +
2
221
= 0
(
2
): z
2
221
+
= 0
(0, 25 điểm)
Bài 5 (1 điểm).
Hệ thức
2:5:6
1
:
1
:
1
=
+
+
C
y
x
C
y
x
C
y
x
với x và
y
là các số n
g
u
y
ên dơn
g
mà
2
y+1
x cho hệ phơng trình sau:
=
+
+
=
+
2
1y
x
C
6
y
1x
C
5
1y
x
C
6
y
1x
C
Giải hệ:
=
=
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
3
8
26
1
)1(5
1
)1)((6
1
)!1()!1(2
!
)!1(!6
)!1(
)!1()!1(5
!
)!1(!6
)!1(
1
y
x
y
x
yyxyx
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
(0, 50 điểm)
(0, 50 điểm)
HếT
6
Bộ giáo dục và đào tạo
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 2004
môn thi: toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1 (4 điểm) Cho hàm số
23
3
1
xxy =
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát hàm số.
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
.
)A(3; 0
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các
đờng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.
Bài 2 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
xxy
3
sin
3
4
sin2 =
trên đoạn
[
.
]0
;
Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
(E):
1
1625
22
=+
yx
có hai tiêu điểm
,
F
.
1
F
2
1. Cho điểm M(3; m) thuộc (E), hãy viết phơng trình tiếp tuyến của (E) tại M
khi m > 0.
2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho A
+ B
F
= 8. Hãy
tính A
+ B
F
.
1
F
2
2
F
1
Bài 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2),
B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2).
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
2. Gọi A là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết
phơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
3. Viết phơng trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm A.
Bài 5 (1 điểm) Giải bất phơng trình (với hai ẩn là n, k N)
2
3
5
60
!)(
+
+
+
k
n
n
A
kn
P
hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
7
bộ giáo dục và đào tạo
hớng dẫn chấm
đề chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 2004
Môn thi: Toán
Bản hớng dẫn chấm có 4 trang
I. Các chú ý khi chấm thi
1) Hớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi tơng ứng với đáp án dới
đây.
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì ngời chấm cho điểm theo số
điểm qui định dành cho câu ( hay phần
) đó.
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm
thi môn Toán của Hội đồng.
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung.
II. Đáp án và cách cho điểm
Bài 1
(4 điểm)
1. (2, 5 điểm)
- Tập xác định R .
0, 25
- Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
23
3
1
xxy
=
, y ' = , ;
xx 2
2
=
=
=
2
0
0'
x
x
y
y< 0 với
: hàm số nghịch biến trên khoảng
(
2;0x
)
( )
2;0
,
y > 0 với (2; +): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ; 0),
(2; +).
(
0;
x
)
0, 75
b) Cực trị:
Hàm số có hai cực trị: cực đại y
CĐ
= y(0) = 0, cực tiểu y
CT
= y(2) =
3
4
.
0, 25
c) Giới hạn:
+=
+
=
y
x
y
x
lim,lim
, đồ thị không có tiệm cận.
0, 25
d) Bảng biến thiên:
0, 25
x
- 0 2 +
y + 0 - 0 +
y
0 +
CĐ CT
-
3
4
8
e) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
y= 2x 2, y = 0 x = 1. Ta có y(1) =
3
2
,
x
- 1 +
y - 0 +
Đồ thị lồi đ. uốn lõm
0, 25
- Đồ thị:
0, 50
2. (1,0 điểm)
Nêu đợc điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d với hệ số góc k đi qua
điểm (3; 0) có phơng trình y = k(x-3) tiếp xúc với (C) là hệ phơng
trình sau có nghiệm
=
=
kxx
xkxx
2
)3(
2
23
3
1
Tìm đợc hai nghiệm (x; k) là: (0 ; 0) , (3 ; 3) .
Viết đợc hai phơng trình tiếp tuyến: y = 0 , y = 3x 9 .
0, 25
0, 50
0, 25
3. (0,50 điểm)
+
==
3
0
456
3
0
223
)
3
2
9
1
()
3
1
( dxxxxdxxx
V
35
81
)
5963
(
0
3
567
=+=
xxx
(đvtt).
0, 25
0, 25
Bài 2
(1 điểm)
Tính đúng đạo hàm của hàm số y = 2sinx
:xsin
3
4
3
cosx.x4sincosx2y'
2
=
Tìm đợc các điểm tới hạn trên đoạn [0; ] : y = 0 x {
4
3
,
4
,
2
}.
0, 25
0, 25
)
2
;1(U
3
3
4
3
2
y
-1
O
1 2 3 x
Vẽ đúng dạng đồ thị :
+ Giao với Oy: (0; 0)
+ Giao với Ox: (0; 0) , (3; 0)
+ Tâm đối xứng của đồ thị:
U
(1; )
3
2
9
Tính các giá trị y(0), y(
), y(
)
4
3
(,)
4
(,)
2
yy
3
22
,0 == yy
][0;][0;
maxmin
.
0, 50
Bài 3
(1,5 điểm)
1. (0,75 điểm).
Tìm tọa độ điểm M(3; m) thuộc (E), m>0: M = (3;
5
16
).
Viết đợc phơng trình tiếp tuyến của (E) tại M:
1
16.5
.16
25
.3
=+
y
x
Hay
1
525
3
=+
yx
.
0, 50
0, 25
2. (0, 75 điểm).
Tìm đợc A
+ A
F
= B + B = 10 .
1
F
2 1
F
2
F
Tính đợc A
+ B = 20 (A + B ) = 12.
2
F
1
F
1
F
2
F
0, 50
0, 25
Bài 4
(2,5 điểm)
1. (1 điểm)
Nêu đợc ba vectơ
đồng phẳng = 0,
ADACAB
,,
ADACAB ].,[
Tính đợc:
;
,)0;4;0(=
AB
)0;0;3(,)0;4;3( =
=
ADAC
; = 3.0 + 0.0 + 0.(-12) = 0.
)12;0;0(
],[
=
ACAB
ADACAB ].,[
( Ghi chú: Nếu thí sinh lập luận bốn điểm đã cho cùn
g nằm trên mặt phẳng
z = 2 thì chấm đạt điểm tối đa)
0,2 5
0, 75
2. (1,0 điểm)
Nêu đợc A = (1; -1; 0), phơng trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng:
0222
222
=++++++ dczbyaxzyx (*)
Nêu đợc bốn điểm A, B , C , D nằm trên mặt cầu (S) nên có toạ độ thoả mãn
phơng trình (*) và các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ phơng trình :
=+++
=++++
=++++
=++
(S)D0d4c2b8a21
(S)C0d4c6b8a29
(S)B0d4c6b2a14
(S)A'0d2b2a2
Giải hệ tìm đợc: a =
2
5
, b = -1, c = - 1, d = 1; phơng trình mặt cầu
(S) :
.
01225
222
=+++ zyxzyx
0, 50
0, 50
10
3. (0,50 điểm)
Tìm đợc tâm I = (
2
5
; 1; 1) của mặt cầu (S) và vectơ pháp tuyến
1)2;;
2
3
(IA' =
của tiếp diện ().
Viết đợc phơng trình tiếp diện () của mặt cầu (S) tại điểm Alà:
3x + 4y + 2z +1= 0.
0, 25
0, 25
Bài 5
(1 điểm)
Viết đợc:
+++
+
+
+
60)1)(4)(5(
60
!)(
2
3
5
knnn
nk
A
kn
P
k
n
n
Xét với
n
> 4 : khẳng định bất phơng trình vô nghiệm.
Xét với
n
{0, 1, 2 , 3} tìm đợc các nghiệm (n; k) của bất phơng trình
là:
(0; 0) , (1; 0) , (1; 1) , (2; 2) , (3; 3).
0, 50
0, 25
0, 25
HếT
11
B GIO DC V O TO
CHNH THC
K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG
NM HC 2004 - 2005
MễN THI: TON
Thi gian lm bi
:
150 phỳt, khụng k thi gian giao .
Bi 1 (3,5 điểm).
Cho hàm số
1x
1x2
y
+
+
=
có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
3. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3).
Bi 2 (1,5 điểm).
1. Tính tích phân
+=
2
0
2
xdxcos)xsinx(I
.
2. Xác định tham số m để hàm số y = x
3
- 3mx
2
+ (m
2
- 1)x + 2 đạt cực đại tại điểm x = 2.
Bi 3 (2 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y
2
= 8x.
1. Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phơng trình đờng chuẩn của (P).
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (P) tại điểm M thuộc (P) có tung độ bằng 4.
3. Giả sử đờng thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A, B có hoành độ tơng ứng là x
1
, x
2
. Chứng minh: AB = x
1
+ x
2
+ 4.
Bi 4 (2 điểm).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x + 2y + 4z - 3 = 0
và hai đờng thẳng
=
=+
0z2x
02y2x
:)(
1
,
1
z
1
y
1
1x
:)(
2
==
.
1. Chứng minh
)(
1
và
)(
2
chéo nhau.
2. Viết phơng trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đờng
thẳng
)(
1
và (
2
).
Bi 5 (1điểm).
Giải bất phơng trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
2
n
n
2n
1n
2n
A
2
5
CC >+
+
+
.
HT
Thớ sinh khụng c s dng ti liu.
Giỏm th khụng gii thớch gỡ thờm.
H v tờn thớ sinh:
S bỏo danh:
Ch ký ca giỏm th s 1:
Ch ký ca giỏm th s 2:
12
B GIO DC V O TO
K THI TT NGHIP TRUNG HC PH THễNG
NM HC 2004 - 2005
HNG DN CHM THI
CHNH THC MễN: TON
(Bn hng dn chm gm: 04 trang)
I. Hng dn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm nh hớng dẫn quy định (đối với từng phần).
2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm phải
đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong
Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cng im ton bi mi lm trũn im thi, theo nguyờn tc:
im ton bi c lm trũn n 0,5 im (l 0,25 lm trũn thnh 0,5; l 0,75 lm
trũn thnh 1,0 im).
II. ỏp ỏn v thang im.
Bi 1 (3,5
im).
1
(2 im).
2x 1 1
y2
x1 x1
+
==
++
TX:
{
}
\1R
.
S bin thiờn:
()
2
1
y' 0, x 1.
x1
=>
+
Hm s ng bin trờn cỏc khong
(
)
;1
v
(
)
1; +
.
Hm s khụng cú cc tr.
Gii hn v tim cn:
x
lim y 2
=
ng thng y = 2 l tim cn ngang.
x1 x1
lim y , lim y
+
=+ =
ng thng x = -1 l tim cn ng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
13
• Bảng biến thiên:
• Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm
1
;0
2
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
và cắt trục Oy tại điểm
(
)
0;1
.
2 (0,75 điểm).
Diện tích hình phẳng
•
0
1
2
1
S2 dx
x1
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
+
⎝⎠
∫
•
()
()
0
2x ln x 1
1
2
=− +
−
•
1ln2= −
(đvdt).
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
y
1
-1
1
2
−
0
2
x
+ +
2
y
y'
x
-
∞
+∞
-1
-
∞
+∞
2
14
3 (0,75 điểm).
• Đường thẳng (d) đi qua A(-1; 3),với hệ số góc k có phương trình:
y = k(x+1) + 3.
• (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
()
()
2
2x 1
k x 1 3 (1)
x1
1
k (2)
x1
+
⎧
=++
⎪
+
⎪
⎨
⎪
=
⎪
+
⎩
• Thay k từ (2) vào (1) và rút gọn ta được x = - 3. Suy ra
1
k
4
= .
Tiếp tuyến của (C) đi qua A là (d):
113
yx
44
= +
.
Bài 2 (1,5 điểm).
1 (0,75 điểm).
• Đặt
2
du (1 2sinx.cosx)dx
uxsinx
vsinx
dv cosxdx
⎧
=+
⎧
=+
⎪
⇒
⎨⎨
=
=
⎪
⎩
⎩
.
•
()
()
()
2
2
0
I x sin x sinx 1 2sinx.cosx sin xdx
2
0
π
π
=+ −+
∫
• =
22
2
00
1 sin xdx 2 sin xd(sin x)
2
ππ
π
⎛⎞
+− −
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
=
3
22
00
22
(1)cosx sinx .
2323
ππ
ππ
++ − =−
2
(0,75 điểm).
•Tập xác định:
R
. y' = 3x
2
- 6mx + (m
2
- 1).
• Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0.
Suy ra m
2
- 12m + 11 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 11.
• Thử lại:
Với m = 1 thì y''(2) = 6 > 0, do đó x = 2 không phải là điểm cực đại của
hàm số.
Với m = 11 thì y''(2) = 12 - 66 < 0, do đó x = 2 là điểm cực đại của hàm
số.
Kết luận: m = 11.
Bài 3 (2 điểm).
1 (0,5 điểm).
• Ta có: 2p = 8 ⇒ p = 4.
• Tiêu điểm F(2; 0), đường chuẩn (∆): x = - 2.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
15
2 (0,75 điểm).
• M(x; y) ∈(P), y = 4 ⇒ x = 2.
• Tiếp tuyến của (P) tại M(2; 4): 4.y = 4(2 + x) ⇔ x - y + 2 = 0.
3 (0,75 điểm).
• Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có:
1
2
FA x 2
FB x 2
= +
⎧
⎨
= +
⎩
.
• Suy ra AB = AF + FB = x
1
+ x
2
+ 4.
Bài 4 (2 điểm).
1 (1 điểm).
• Phương trình tham số của (∆
1
):
x2t
y1t
zt
=
⎧
⎪
= −
⎨
⎪
=
⎩
.
• (∆
1
) đi qua điểm A(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương
(
)
u2;1;1=−
G
,
(∆
2
) đi qua điểm B(1; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
(
)
v1;1;1= −−
G
.
•
(
)
(
)
u,v 0;1;1 , AB 1; 1;0
⎡⎤
==−
⎣⎦
GG JJJG
.
• u,v .AB 1 0
⎡⎤
= −≠ ⇒
⎣⎦
GG JJJG
(∆
1
) và (∆
2
) chéo nhau.
2 (1 điểm).
• Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) song song với (∆
1
) và (∆
2
) nên có
vectơ pháp tuyến
(
)
nu,v 0;1;1
⎡⎤
==
⎣⎦
G GG
.
Phương trình của (P) có dạng: y + z + m = 0.
• Mặt cầu (S) có tâm I(1; - 1; - 2) và bán kính R = 3.
• Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I, (P)) = R hay
m3
3m332
2
−
=⇔ =±
.
• Với
m332=+
⇒
(
)
1
P:y z 332 0+++ =
.
Với
m332=−
⇒
(
)
2
P:yz332 0++− =
.
Cả hai mặt phẳng trên đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5 (1 điểm).
• Điều kiện: n ≥ 2.
• Bất phương trình đã cho tương đương với
(
)
()
n2
n3 n
n3!
55n!
CA
2n!.3!2n2!
+
+
>⇔ >
−
•
32
n9n26n60⇔− + +>
(
)
2
nn 9n 26 6 0⇔−++>
, luôn đúng với mọi n ≥ 2.
Kết luận: n ∈
N
, n ≥ 2.
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
HẾT
16
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi:
toán - Trung học phổ thông không phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,5 điểm)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
6x
2
+ 9x .
2. Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đờng thẳng
2
yxm m=+ đi qua trung điểm của
đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Câu 2 (1,5 điểm)
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = e
x
, y = 2 và đờng
thẳng x = 1.
2. Tính tích phân
2
2
0
sin2x
Idx
4cosx
=
.
Câu 3 (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phơng trình
22
xy
1
4 5
=.
1. Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và viết phơng trình các đờng tiệm cận
của (H).
2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) biết các tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2; 1).
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0;
1), B(1; 2; 1), C(0; 2; 0).
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
1. Viết phơng trình đờng thẳng OG.
2. Viết phơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C.
3. Viết phơng trình các mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng OG và tiếp xúc với
mặt cầu (S).
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển nhị thức Niutơn của
()
n
1x+ ,
*
nN
, biết tổng
tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
Hết
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:
Chữ ký của giám thị 2:
17
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2006
Môn thi: Toán - Trung học phổ thông không phân ban
hớng dẫn chấm THi
Bản hớng dẫn chấm gồm 04 trang
I. Hớng dẫn chung
1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn chấm
phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện
trong Hội đồng chấm thi.
3. Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm thi theo nguyên tắc: Điểm toàn bài
đợc làm tròn đến 0,5 điểm ( lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0
điểm).
II. Đáp án và thang điểm
Đáp án Điểm
Câu 1
(3,5 điểm)
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: R
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
y' 3x 12x 9 ; y' 0=+ = x = 1 hoặc x = 3.
y' > 0 trên các khoảng
(;1)
và
()
3;+ , y' < 0 trên khoảng (1; 3).
Khoảng đồng biến ( ;1) và
()
3;+
, khoảng nghịch biến (1; 3).
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y
CĐ
= y(1) = 4;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT
= y(3) = 0.
Giới hạn:
xx
lim y ; lim y
+
= =+
.
Tính lồi, lõm và điểm uốn:
y'' 6x 12, y'' 0 x 2= ==
.
x
2 +
y"
0 +
Đồ thị lồi Điểm uốn lõm
U(2; 2)
Bảng biến thiên:
x
1 2 3 +
y' + 0
0 +
y 4 +
0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
2
18
c) Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ: (0; 0), (3; 0).
Đồ thị có tâm đối xứng
U(2; 2).
Đồ thị (C) nh hình bên.
2. (0,5 điểm)
Điểm uốn U(2; 2),
()
y' 2 3= .
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn:
y
2 =
3(x
2)
y =
3x + 8.
3. (0,5 điểm)
Điểm cực đại (1; 4), điểm cực tiểu (3; 0).
Trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm CĐ, CT là điểm uốn U(2; 2).
Đờng thẳng y = x + m
2
m đi qua U(2; 2)
2 = 2 + m
2
m
m = 0 hoặc m = 1.
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(1,5 điểm)
Câu 3
(2,0 điểm)
1. (0,75 điểm)
Giải phơng trình: e
x
= 2
x = ln2.
Diện tích hình phẳng cần tìm: S =
11
xx
ln2 ln2
e 2 dx (e 2)dx
=
()
1
x
ln2
e2x= = (e
2)
(2
2ln2) = e + 2ln2
4 (đvdt).
2. (0,75 điểm)
Đặt t = 4
cos
2
x.
dt = 2sinxcosx dx = sin2xdx;
x0 t3, x t4
2
= == =
.
4
4
3
3
dt 4
I ln t ln4 ln3 ln
t3
== ==
.
1. (1,0 điểm)
Phơng trình (H) có dạng:
22
22
xy
1
ab
=
a
2
= 4, b
2
= 5
c
2
= 9.
Tọa độ các tiêu điểm: (
3; 0), (3; 0), các đỉnh: (
2; 0), (2; 0).
Phơng trình các tiệm cận:
55
yx;y x.
22
==
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
x
0 1 2 3 4
y
4
2
(C)
19
Câu 4
(2,0 điểm)
2. (1,0 điểm)
Phơng trình đờng thẳng qua M(2; 1): m(x
2) + n(y
1) = 0
mx + ny
2m
n = 0 , với m
2
+ n
2
0.
Điều kiện tiếp xúc: 4m
2
5n
2
= (2m + n)
2
, với 2m + n
0
n0
3n 2m 0.
=
+=
n = 0, chọn m = 1.
Phơng trình tiếp tuyến: x
2 = 0.
3n + 2m = 0, chọn m = 3, n =
2.
Phơng trình tiếp tuyến: 3x
2y
4 = 0 .
1. (0,75 điểm)
Toạ độ điểm
24
G; ; 0.
33
Véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng OG:
24
OG ; ; 0 .
33
=
JJJG
Phơng trình đờng thẳng OG:
xyz
.
120
==
2. (0,75 điểm)
Phơng trình mặt cầu (S) có dạng:
222
x y z 2ax 2by 2cz d 0+++ + + +=.
O, A, B, C (S), ta có hệ phơng trình:
d0
2a 2c d 2 0
2a 4b 2c d 6 0
4b d 4 0
=
++=
++++=
++=
d0 a 1
b1 b1
ac 1 c0
ac 1 d0.
==
= =
= =
+= =
Phơng trình mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
2x
2y = 0 .
3. (0, 5 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm.
24
OG ; ; 0
33
=
JJJG
Véc tơ pháp tuyến của (P): (1;2;0).
Phơng trình (P) có dạng: x + 2y + D = 0.
Mặt cầu (S) có tâm I = (1; 1; 0), bán kính R =
2
.
Điều kiện tiếp xúc:
D310
3D
2
5
D310.
= +
+
=
=
Vậy, có hai mặt phẳng (P) lần lợt có phơng trình:
x2y3 100;x2y3 100.++ = + =
Chú ý: Mặt cầu qua O, A, B, C có đờng kính AB .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
20
C©u 5
(1,0 ®iÓm)
Khai triÓn
n01 nn
nn n
(1 x) C C x C x+=+ ++
.
Tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn: T =
n
kn
n
k0
C2.
=
=
∑
T = 1024 ⇔ n = 10.
HÖ sè cña x
5
trong khai triÓn:
5
10
C 252.=
0,25
0,25
0,25
0,25
…
…
HÕt
21
Bộ giáo dục và đào tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007
Môn thi:
toán - Trung học phổ thông không phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
12
2
1
+=
x
xy
, gọi đồ thị của hàm số là (H).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A
()
3;0
.
Câu 2 (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
173)(
23
+= xxxxf
trên đoạn
[]
2;0
.
Câu 3 (1,0 điểm)
Tính tích phân
.
ln
1
2
dx
x
x
J
e
=
Câu 4 (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có phơng trình
.1
1625
22
=+
yx
Xác định
toạ độ các tiêu điểm, tính độ dài các trục và tâm sai của elíp (E).
Câu 5 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng (d) có phơng trình
3
1
2
1
1
2
=
+
=
zyx
và mặt phẳng (P) có phơng trình
.023 =++ zy
x
1. Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng (d) với mặt phẳng (P).
2. Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu 6 (1,0 điểm)
Giải phơng trình
6
1
54
3
+
=+
nnn
CCC
(trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:
Chữ ký của giám thị 2:
22
bộ giáo dục và đào tạo
đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2007
Môn thi: toán Trung học phổ thông không phân ban
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang
I. Hớng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho
đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn
chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất
thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành
0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
câu Đáp án Điểm
1. (2,5 điểm)
a) Tập xác định: D = R\
.
2
1
0,25
b) Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y = 1 +
2
)12(
4
x
; y > 0 với mọi x
D.
- Hàm số đồng biến trên các khoảng
2
1
;
và
.;
2
1
+
Cực trị: Hàm số không có cực trị.
0,75
Câu 1
(3,5 điểm)
Giới hạn và tiệm cận:
=
y
x
lim
;
+=
+
y
x
lim
+=
y
x
2
1
lim
và
=
+
y
x
2
1
lim
tiệm cận đứng:
.
2
1
=x
[]
0)1(lim =+
xy
x
tiệm cận xiên:
.1+= xy
0,50
23
Bảng biến thiên:
0,50
c) Đồ thị:
- Đồ thị cắt Ox tại các điểm: (1; 0) và
0;
2
3
; cắt Oy tại điểm (0; 3).
- Đồ thị hàm số nhận giao điểm I
2
3
;
2
1
của hai đờng tiệm cận làm tâm
đối xứng.
0,50
2.(1,0 điểm)
- Hệ số góc của tiếp tuyến tại A(0; 3) là: y(0) = 1 +
2
)10.2(
4
= 5.
- Vậy phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0; 3) là:
3)0).(0(' += xyy
hay
35 += xy
.
1,00
Câu 2
(1,0 điểm)
- Ta có
.729)('
2
= xxxf
- Xét trên đoạn
[]
2;0
ta có
0)(' =xf
x = 1.
Mặt khác f(0) = 1; f(1) =
4
; f
(2) = 7.
Vậy
[]
.7)2()(max
2;0
== fxf
1,00
- Đặt ln
x
=
t
.dt
x
dx
=
- Với
x
= 1 thì
t
= 0, với
x
=
e
thì
t
= 1.
0,50
Câu 3
(1,0 điểm)
Vậy
dttJ
=
1
0
2
=
0
1
3
3
t
=
.
3
1
0,50
x
2
1
+
y
+ +
+
+
y
3
y
x
2
3
-1
O
2
1
1
2
3
I
24
- Phơng trình chính tắc của (
E) có dạng:
).0(1
2
2
2
2
>>=+ ba
b
y
a
x
- Theo đề ra ta có:
a
= 5,
b
= 4
c
=
22
ba
= 3.
- Toạ độ các tiêu điểm:
)0;3(
1
F
,
).0;3(
2
F
0,75
Câu 4
(1,5 điểm)
- Độ dài trục lớn: 2
a
= 10.
- Độ dài trục bé: 2
b
= 8.
- Tâm sai:
e
=
5
3
=
a
c
.
0,75
1. (1,0 điểm)
- Phơng trình tham số của đờng thẳng (
d
) là:
+=
+=
+=
.31
21
2
tz
ty
tx
- Toạ độ giao điểm
M
(
x
;
y
;
z
) thoả mãn hệ:
=++
+=
+=
+=
.023
31
21
2
zyx
tz
ty
tx
0,50
- Giải hệ ta đợc:
=
=
=
=
.2
3
1
1
z
y
x
t
Vậy
M
(1; -3; -2).
0,50
Câu 5
(2,0 điểm)
2. (1,0 điểm)
- Gọi (
Q
) là mặt phẳng chứa (
d
) và vuông góc với (
P
).
- Đờng thẳng (
d
) có một véc tơ chỉ phơng là
).3;2;1(=u
- Mặt phẳng (
P
) có một vectơ pháp tuyến là
).3;1;1(
=
n
- Vectơ pháp tuyến của (
Q
) là: [
nu,
]
).3;0;9( =
Vậy phơng trình của mặt phẳng (
Q
) là:
3(
x
2) + 0(
y
+1) 1(
z
-1) = 0
3
x
z
5 = 0.
1,00
- Điều kiện:
n
N,
n
5
.
- Phơng trình đã cho tơng đơng với:
!!(1)!
3.
4!( 4)! 5!( 5)! 6!( 5)!
nn n
nn n
+
+=
0,50
Câu 6
(1,0 điểm)
10
1
5
1
4
1 +
=+
n
n
10
1
)4(5
1 +
=
+ n
n
n
n
= 6.
0,50
.Hết.
25
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LẦN 2 NĂM 2007
Môn thi Toán – Trung học phổ thông không phân ban
Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số
32
32yx x=− + −
, gọi đồ thị của hàm số là
()C
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
()C
tại điểm uốn của
()C
.
Câu 2
(1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
4
() 1
2
fx x
x
=− + −
+
trên đoạn
[1;2]−
.
Câu 3 (1,0 điểm)
Tính tích phân
1
2
3
0
3
1
x
I dx
x
=
+
∫
.
Câu 4
(1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho hypebol
()H
có phương trình
22
1
16 9
xy
−=
.
Xác định toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai và viết phương trình các đường tiệm cận của
hypebol
()H
.
Câu 5
(2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng
()d
và
(')d
lần lượt có phương
trình
121
():
121
x
yz
d
−+ −
== và
1
('): 12
13.
x
t
dy t
zt
=− +
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
=− +
⎩
1. Chứng minh rằng hai đường thẳng
()d
và
(')d
vuông góc với nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
(1; 2;1)K −
và vuông góc với đường thẳng
(')d
.
Câu 6
(1,0 điểm)
Giải phương trình
322
323
nnn
CC A+=
(trong đó
k
n
A
là số chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử,
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử).
HÕt
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm
.
Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 2:
26
