Chương 3 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton ppsx

Chương 3

Đồ thị Euler và đồ thị
Hamilton
Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung



Phần 3.1.

Đồ thị Euler

Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung



Bài toán 7 cái cầu ở TP Konigsberg

A
B
Graph Theory

C

07/25/14

D
3


Bài tốn 7 cái cầu ở Tp. Konigsberg

A
B

A
Mơ hình thành
Đồ thị

D

C
Graph Theory

B

D

C

07/25/14

4


Đặt vấn đề (tt)


Hãy vẽ các hình sau bằng đúng một nét bút (không
được nhấc bút lên trong khi vẽ)

Không vẽ được bằng 1 nét.
Tối thiểu phải vẽ bằng 6 nét.

Không vẽ được bằng 1 nét.
Tối thiểu phải vẽ bằng 2 nét.
Lý thuyết đồ thị

07/25/14

5


Đặt vấn đề (tt)


Hãy vẽ các hình sau bằng đúng một nét bút (không
được nhấc bút lên trong khi vẽ)

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

6


Đường đi, chu trình Euler


Xét đồ thị G = <V,E>.
Một đường đi trên đồ thị được gọi là đường đi Euler nếu

nó đi qua tất cả các cạnh, mỗi cạnh một lần.
 Một chu trình trên đồ thị được gọi là chu trình Euler nếu
nó đi qua tất cả các cạnh, mỗi cạnh một lần.


VD: Đồ thị sau có các đường đi Euler là:
d1: 1 2 3 4 2 5 4 1 5
d2: 1 2 4 3 2 5 1 4 5
2
…
1
Lý thuyết đồ thị

07/25/14

3
4
5
7


Đường đi, chu trình Euler (tt)
VD: Đồ thị sau có các chu trình Euler là:
3
d1: 1 2 3 4 2 5 4 1 5 6 1
d2: 1 2 4 3 2 5 1 4 5 6 1
2
…
1

4
5

6

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

8


Đồ thị Euler


Xét đồ thị G = <V,E>.
Đồ thị G được gọi là đồ thị Euler nếu và chỉ nếu tồn tại
một chu trình Euler trong G.
 Đồ thị G được gọi là đồ thị nửa Euler nếu và chỉ nếu tồn
tại một đường đi Euler trong G.
3
3


2

4

2

4

1

5

1

5

Đồ thị Euler
(hiển nhiên
cũng là đồ thị
nửa Euler).

Đồ thị nửa Euler

6
Lý thuyết đồ thị

07/25/14

9


Định lý Euler


Định lý. Đồ thị vô hướng, liên thông G là đồ thị Euler
nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.



Hệ quả. Đồ thị vơ hướng, liên thông G là đồ thị nửa
Euler nếu và chỉ nếu nó có khơng q hai đỉnh bậc
lẻ.

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

10


Thuật tốn xây dựng chu trình Euler


Thuật tốn Fleury


Bắt đầu từ một đỉnh bất kỳ của đồ thị và tuân theo các
quy tắc sau:






Quy tắc 1. Khi đi qua một cạnh nào đó thì xóa nó đi và xóa
ln đỉnh cơ lập, nếu có.

Quy tắc 2. Khơng bao giờ đi qua cầu (cạnh cắt) trừ phi khơng
cịn cách nào khác.

VD: Tìm chu trình Euler trong đồ thị sau:
a

h
Lý thuyết đồ thị

b

g

c

d

f
07/25/14

e
11


Định lý Euler cho đồ thị có hướng


Định lý: Xét G là đồ thị có hướng, liên thơng mạnh.
Khi đó G là đồ thị Euler nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của
G đều có bán bậc ra bằng bán bậc vào.

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

12


Phần 3.2.

Đồ thị Hamilton

Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung



Đường đi, chu trình Hamilton


Xét đồ thị G = <V,E>.
Một đường đi trên đồ thị được gọi là đường đi Hamilton
nếu nó đi qua tất cả các đỉnh, mỗi đỉnh một lần.
 Một chu trình trên đồ thị được gọi là chu trình Hamilton
nếu nó đi qua tất cả các đỉnh, mỗi đỉnh một lần.


VD: Đồ thị sau có các đường đi và chu trình Euler là:
3
d1: 1 2 3 4 5
d2: 1 5 2 4 3

2
4
…
C1: 1 2 3 4 5 1
5
1
C2: 2 5 1 4 3 2
…
Lý thuyết đồ thị

07/25/14

14


Đồ thị Hamilton


Xét đồ thị G = <V,E>.
Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu và chỉ nếu tồn
tại một chu trình Hamilton trong G.
 Đồ thị G được gọi là đồ thị nửa Hamilton nếu và chỉ nếu
tồn tại một đường đi Hamilton trong G.
3
3


2

4

2

4

1

5

1

5

Đồ thị Hamilton
(hiển nhiên
cũng là đồ thị
nửa Hamilton).

Đồ thị nửa Hamilton

6
Lý thuyết đồ thị

07/25/14

15


Một số kết quả trên đồ thị Hamilton




Định lý (Dirak, 1952). Xét G là đơn đồ thị vô hướng
với n đỉnh (n>2). Nếu mỗi đỉnh của G đều có bậc
khơng nhỏ hơn n/2 thì G là đồ thị Hamilton
Định lý (Dirak, 1952). Xét G là đơn đồ thị có hướng,
liên thông mạnh với n đỉnh. Nếu mọi đỉnh của G đều
có bán bậc ra và bán bậc vào khơng nhỏ hơn n/2 thì
G là đồ thị Hamilton

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

16


Một số kết quả trên đồ thị Hamilton (tt)


Định lý.
Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton
 Mọi đồ thị đấu loại, liên thông mạnh là Hamilton




Định lý (Ore, 1960). Cho đồ thị G có n đỉnh. Nếu hai
đỉnh khơng kề nhau bất kỳ của G đều có tổng bậc

khơng nhỏ hơn n thì G là đồ thị Hamilton. Nghĩa là:

( ∀u, v ∈V , (u, v) ∉ E ⇒ deg(u ) + deg(v) ≥ n ) ⇒ G Hamilton

Lý thuyết đồ thị

07/25/14

17


Kiểm tra đồ thị Hamilton???


Các quy tắc để xác định chu trình Hamilton (H) của
đồ thị:
Quy tắc 1: Nếu có 1 đỉnh bậc 2 thì hai cạnh của đỉnh này
bắt buộc phải nằm trong H
 Quy tắc 2: Không được có chu trình con (độ dài nhỏ hơn
n) trong H
 Quy tắc 3: Ứng với một đỉnh nào đó, nếu đã chọn đủ 2
cạnh vào H thì phải loại bỏ tất cả các cạnh cịn lại (vì
khơng thể chọn thêm)
 Khơng có đỉnh cơ lập hoặc đỉnh treo nào khi áp dụng
quy tắc 3.


Lý thuyết đồ thị

07/25/14

18


Kiểm tra đồ thị Hamilton (tt)


Đồ thị sau đây có Hamilton không?
2

1
4
7

Lý thuyết đồ thị

5

3
6

8

07/25/14

9

19