LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 8 pps

173
có thể định ra những chỉ dẫn cụ thể về việc chọn tối u độ di tuyến đo tuyết v khoảng
cách giữa các điểm đo ứng với từng vùng địa lý căn cứ vo những dẫn liệu về cấu trúc
thống kê của độ cao thảm tuyết ở vùng đã cho.
Chơng 8: Khai triển quá trình ngẫu nhiên v trờng ngẫu nhiên
thnh những thnh phần trực giao tự nhiên
8.1. Thiết lập bi toán
Trong toán học, phơng pháp khai triển các hm thnh chuỗi theo một hệ hm trực
giao chuẩn hoá no đó đợc sử dụng rộng rãi. Hệ hm
)(t
1
, )(t
2
, , ),(t
n
đợc gọi l
trực giao chuẩn hoá (trực chuẩn) trên khoảng
],[ ba (hữu hạn hoặc vô hạn), nếu thoả mãn
hệ thức




=

=
b
a
ki
ki

ki
tdtt
.
,
)()(
khi 1
khi 0

(8.1.1)
Hệ hm
{}
)(t
k
đợc gọi l đầy đủ nếu nh một hm )(tf bất kỳ cho trên khoảng
],[ ba , có thể khai triển thnh chuỗi Fourier theo nó


=
=
1k
kk
tatf ).()( (8.1.2)
Các hằng số
k
a gọi l các hệ số Fourier v từ (8.1.1), (8.1.2) chúng đợc xác định
theo công thức

=
b
a

kk
dtttfa ,)()( (8.1.3)
Tổng
n số hạng đầu tiên của chuỗi (9.1.2)

=
=
n
k
kkn
tatf
1
).()(
(8.1.4)
đợc gọi l đa thức Fourier của hm
)(tf . Bây giờ, một cách gần đúng, nếu ta thay thế
hm
)(tf bằng tổng (8.1.4) thì với mỗi giá trị của đối số t xuất hiện sai số )(t
n
bằng
).()()( tftft
nn
=
(8.1.5)
Ngời ta gọi đại lợng
n
l sai số bình phơng trung bình của phép xấp xỉ hm
)(tf bằng tổng (8.1.4) trên khoảng ],[ ba
[]

=
b
a
nn
dttftf
2
)()( (8.1.6)
Từ các đa thức dạng

=

n
k
kk
tC
1
)( ,

174
độ lệch bình phơng trung bình nhỏ nhất của hm
)(tf sẽ cho một đa thức Fourier, tức
một đa thức m các hệ số
k
C l các hệ số Fourier
k
a . Khi đó đại lợng
2
n
bằng

=
=
b
a
n
k
kn
adttf
1
222
)( . (8.1.7)
Thực vậy,
=






=


=
b
a
n
k
kkn
dttCtf

2
1
2
)()(



+=
=
b
a
b
a
k
n
k
k
dtttfCdttf )()()(
1
2
2


==
=
n
k
n
i
b

a
ikik
dtttCC
11
)()(



==
=
b
a
k
n
k
kkk
aaCdttf
11
222
)()( . (8.1.8)
Vế phải của (8.1.8) nhận giá trị nhỏ nhất bằng (8.1.7) khi

=
=
n
k
kk
aC
1
2

0)( , tức khi
kk
aC = .
Đại lợng
2
n
không âm, vì vậy ta có bất đẳng thức



=
b
a
n
k
k
dttfa )(
2
1
2
. (8.1.9)
Từ đó thấy rằng, đối với các hm khả tích với bình phơng, tức khi

b
a
dttf )(
2
l một
số hữu hạn, thì chuỗi

=1
2
k
k
a hội tụ, hơn nữa, bất đẳng thức sau xảy ra




=
b
a
k
k
dttfa )(
2
1
2
(8.1.10)
v nó đợc gọi l bất đẳng thức Bessel.
Nếu hệ hm
{}
)(t
k
l đầy đủ thì đối với một hm lấy đợc tổng bình phơng bất kỳ
)(tf sẽ có đẳng thức


=

=
b
a
k
k
dttfa )(
2
1
2
(8.1.11)
v đợc gọi l phơng trình khép kín.
Ngời ta ứng dụng việc khai triển các hm theo những hệ hm trực chuẩn khác
nhau: khai triển thnh chuỗi Fourier theo hệ hm lợng giác, khai triển thnh chuỗi
FourierBessel theo hệ hm Bessel, khai triển theo các đa thức trực giao Trebsev,
Ermit v các hệ hm khác.
Phơng pháp khai triển theo hệ các hm trực chuẩn cũng có thể áp dụng vo các
hm ngẫu nhiên.
Giả sử
)(tX l một hm ngẫu nhiên xác định trên khoảng ],[ ba có kỳ vọng toán học
bằng không
0=)(tm
x
v hm tơng quan cho trớc ),(
21
ttR
x
,
21
];,[, batt

{}
)(t
k
l hệ hm
trực chuẩn đầy đủ. Khi đó ta biểu diễn hm ngẫu nhiên
)(tX dới dạng chuỗi Fourier

175


=
=
1k
kk
tAtX )()( (8.1.12)
Các hệ số Fourier
k
A đợc xác định dới dạng

=
b
a
kk
dtttXA )()( (8.1.13)
l những đại lợng ngẫu nhiên.
Ta ký hiệu

=
=
n

k
kkn
tAtX
1
)()( (8.1.14)
l tổng của
n
số hạng đầu tiên của khai triển (8.1.12) v ta sẽ xấp xỉ hm ngẫu nhiên
)(tX bằng tổng
)(tX
n
. Khi đó, sai số bình phơng trung bình của phép xấp xỉ
[]

=
b
a
nn
tdtXtx
2
)()( (8.1.15)
sẽ l một đại lợng ngẫu nhiên.
Để lm thớc đo độ chính xác của phép xấp xỉ ta sử dụng kỳ vọng toán học của bình
phơng đại lợng ngẫu nhiên
n

[]
22

nn

M = . (8.1.16)
Đại lợng
2
n
biểu thị phơng sai sai số của phép xấp xỉ đại lợng ngẫu nhiên, nó
phụ thuộc vo việc chọn hệ hm
{}
)(t
k
v số lợng hm
n
của chúng. Khi đó, có thể không
cho trớc hệ hm
{}
)(t
k
m xác định hệ ny xuất phát từ yêu cầu thoả mãn một điều kiện
tự nhiên no đó. Chẳng hạn, có thể xác định một hệ nh vậy từ một số cho trớc
n
hm
)(),(),( ttt
n
,
21
sao cho đại lợng
2
n
trong (8.1.16) trở thnh cực tiểu. Những hm
)(),(),( ttt
n

,
21
nh vậy đợc gọi l những hm trực giao tự nhiên. Với hệ hm đợc
chọn nh trên việc biểu diễn hm ngẫu nhiên
)(tX dới dạng tổng n số hạng
)()( tAtX
k
n
k
k


=1
(8.1.17)
đợc gọi l khai triển hm thnh tổng các thnh phần trực giao tự nhiên.
Những vấn đề lý thuyết của việc khai triển theo các thnh phần trực giao tự nhiên
v các tính chất của phép khai triển nh vậy đã đợc xét trong các công trình của Kh.
Khoteling [92], A. M. Obukhov [67, 68], N. A. Bagrov [35, 36], V. S. Pugatrev [21].
Từ đẳng thức (8.1.7), có thể viết biểu thức (8.1.15) dới dạng


=
=
n
k
k
b
a
n
AtX

1
222
)( . (8.1.18)
Sử dụng (8.1.13) ta nhận đợc


=
=






=
n
k
b
a
k
b
a
n
dtttXdttX
1
2
22
)()()(

=
=
n
k
b
a
b
a
kk
b
a
dtdttttXtXdttX
1
212121
2
)()()()()( . (8.1.19)
Thế giá trị ny của
2
n

vo (8.1.16) ta nhận đợc

176


=
=
n
k
b

a
b
a
kkx
b
a
xn
dtdtttttRdttR
1
212121
2
)()(),()( . (8.1.20)
Bi toán quy về tìm các hm
)(),(),( ttt
n
,
21
sao cho biểu thức (8.1.20) trở thnh
cực tiểu, hay nói cách khác, sao cho tổng


=

n
k
b
a
b
a
kkx

dtdtttttR
1
212121
)()(),( (8.1.21)
trở thnh cực đại.
8.2. Một số kiến thức về lý thuyết phơng trình tích phân
Để tìm hệ hm trực chuẩn lm cho (8.1.21) cực đại, ta sử dụng những kết quả đã
biết từ lý thuyết phơng trình tích phân với nhân đối xứng m chúng ta sẽ liệt kê dới
đây v bỏ qua việc chứng minh. Trình by chi tiết về lý thuyết ny có thể tìm thấy, chẳng
hạn, trong [66, 24].
Xét phơng trình tích phân thuần nhất

=
b
a
xdsssxK )()(),( , (8.2.1)
trong đó hm
),( sxK l hm hai biến thực cho trong hình chữ nhật ;, bsabxa l
một số no đó;
)(x

l hm cần tìm cho trên khoảng ],[ ba .
Ta sẽ xem các hm
),( sxK v )(x

giới nội v có số một hữu hạn điểm gián đoạn, tại
đó tích phân trong (8.2.1) tồn tại.
Hm
),( sxK gọi l nhân của phơng trình tích phân. Nếu thoả mãn hệ thức
),(),(

*
xsKsxK = , (8.2.2)
đối với nhân thực, điều ny tơng đơng với đẳng thức
),(),( xsKsxK = , (8.2.3)
thì nhân đợc gọi l đối xứng.
Các giá trị của tham số

, tại đó phơng trình tích phân (8.2.1) có nghiệm không
đồng nhất bằng không, đợc gọi l giá trị riêng của nhân
),( sxK hay của phơng trình
(8.2.1). Nếu
0
= l giá trị riêng của phơng trình (8.2.1) v )(x
0
l nghiệm của
phơng trình ny khi
0
= , tức
)()(),( xsdssxK
b
a
000
=

, (8.2.4)
thì hm
)(x
0

đợc gọi l hm riêng ứng với giá trị riêng

0

của nhân ),( sxK hay của
phơng trình tích phân.
Có thể chỉ ra rằng tất cả các giá trị riêng của nhân đối xứng l những số thực, v
tất cả các hm riêng cũng có thể coi l những hm thực.
Các hm riêng của nhân đối xứng, ứng với những giá trị riêng khác nhau, trực giao
với nhau. Có thể lm cho các hm riêng trở thnh các hm chuẩn hoá.
Ta quy ớc liệt kê dãy các số riêng theo thứ tự giá trị tuyệt đối giảm dần. Nh vậy,
nếu

177
()
,
n2121
,,,
n
(8.2.5)
l dãy các giá trị riêng của một nhân đối xứng no đó, thì tơng ứng với dãy ny l hệ
trực giao các hm riêng
,
21
)(),(),( xxx
n

(8.2.6)
Trong trờng hợp ny định lý GilbertSmidth khẳng định rằng, có thể biểu diễn
hm
)(xf bất kỳ qua nhân ),( sxK dới dạng

=
b
a
dsshsxKxf )(),()( , (8.2.7)
trong đó
)(sh l một hm giới nội no đó có số hữu hạn điểm gián đoạn v khai triển đợc
thnh chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối v đều theo các hm riêng của nhân. Do đó nếu viết
chuỗi Fourier của hm
)(xh theo các hm riêng (8.2.6) của nhân ),( sxK dới dạng
)(xh ~


=

1k
kk
xh )( , (8.2.8)
thì hm
)(xf (8.2.7) đợc khai triển thnh chuỗi


=
=
1k
kkk
xhxf )()(
, (8.2.9)
trong đó
k
l giá trị riêng, còn )(x

k
l hm riêng của nhân ),( sxK .
Giả sử
)(xp v )(xq l hai hm giới nội có số hữu hạn điểm gián đoạn trên khoảng
],[ ba . Lập tích phân kép

b
a
b
a
dxdssqxpsxK )()(),( (8.2.10)
áp dụng định lý Gilbert-Smidth, ta đợc



=
=
b
a
k
kkk
xqdssqsxK
1
)()(),( , (8.2.11)
trong đó
k
q l các hệ số Fourier của hm )(xq khi khai triển thnh chuỗi Fourier theo các
hm riêng (8.2.6), v chuỗi ở vế phải hội tụ đều.
Nhân hai vế của (8.2.11) với
)(xp , lấy tích phân theo

x
v ký hiệu
k
p
l những hệ
số Fourier của hm
)(xp khi khai triển nó thnh chuỗi theo các hm riêng (8.2.6), ta
nhận đợc biểu diễn của tích phân (8.2.10) dới đây:




=
=
b
a
k
kkk
b
a
qpdxdssqxpsxK
1
)()(),( . (8.2.12)
Đặc biệt, khi
)()( xqxp ta đợc




=

=
b
a
k
kk
b
a
pdxdsspxpsxK
1
2
)()(),( . (8.2.13)
Ta sẽ xét những tính chất cực trị của các hm riêng của nhân đối xứng. Khi sắp xếp
các giá trị riêng theo thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối của chúng, theo (8.2.13) ta có




=

b
a
k
k
b
a
pdxdssqxpsxK
1
2
1
)()(),( . (8.2.14)

Theo phơng trình khép kín (8.1.11),

178



=
=
b
a
k
k
pdxxp
1
22
)( . (8.2.15)
Đối với hm chuẩn hoá
)(xp , tích phân trong vế trái (8.2.15) bằng đơn vị, do đó


=
=
1
2
1
k
k
p . (8.2.16)
Từ đó, đối với hm chuẩn hoá
)(xp bất đẳng thức (8.2.14) đợc viết dới dạng

b
a
b
a
dxdssqxpsxK .)()(),(
1
(8.2.17)
Trong (8.2.17) đẳng thức sẽ xảy ra khi
),()( xxp
1
= tức khi hm )(xp trùng với hm
riêng
).(x
1

Thực vậy, sau khi nhân hai vế đẳng thức
()
,
n2121
,,,
n
(8.2.18)
với
)(x
1

v lấy tích phân theo x, do tính chuẩn hoá của hm
)(x

1

, ta nhận đợc:

==
b
a
b
a
b
a
dxxdxdssxsxK
1
2
1111
)()()(),( . (8.2.19)
Nh vậy, định lý sau đây l đúng: Trên tập hợp các hm chuẩn hoá
)(xp tích phân

b
a
b
a
dxdsspxpsxK )()(),( có cực đại bằng
1
khi )()( xxp
1
= .
Bây giờ xét tập hợp các hm chuẩn hoá
)(xp trực giao với 1m hm riêng đầu tiên

của (8.2.6) của nhân
),( sxK . Khi đó trong (8.2.13) 1m hệ số Fourier đầu tiên
k
p của
biểu thức khai triển hm
)(xp thnh chuỗi Fourier theo các hm (8.2.6) sẽ bằng không.
Khi đó (8.2.13) đợc viết dới dạng



=
=
b
a
b
a
mk
kk
pdxdsspxpsxK
2
)()(),( . (8.2.20)
Từ đó


b
a
b
a
m
dxdsspxpsxK )()(),( . (8.2.21)

Trong (8.2.21) đẳng thức đạt đợc khi
)()( xxp
m
= , tức l định lý sau đây đúng:
Trên tập hợp các hm chuẩn tắc
)(xp trực giao với 1m hm riêng đầu tiên của nhân
),( sxK , tích phân

b
a
b
a
dxdsspxpsxK )()(),( có cực đại bằng
m
, cực đại ny đạt đợc khi
)()( xxp
m
= .
8.3. Tìm các thnh phần trực giao tự nhiên
Bây giờ trở lại bi toán tìm hệ các hm
{}
)(x
k
lm cho tổng (8.1.21) trở thnh cực
đại, ta thấy rằng trên cơ sở lý thuyết đã trình by trong mục 8.2, mỗi số hạng thứ k của
nó có cực đại bằng
k
khi chọn hm riêng của hm tơng quan ),(
21
ttR

x
ứng với giá trị
riêng
k
lm hm )(t
k
. Nh vậy, với t cách l các hm trực giao tự nhiên của phép
khai triển hm ngẫu nhiên
)(tX (8.1.17) phải lấy n hm riêng đầu tiên của hm tơng

179
quan
),(
21
ttR
x
tơng ứng với n giá trị riêng của hm tơng quan ny đợc sắp xếp theo
thứ tự giảm dần giá trị tuyệt đối.
Khi đó phơng sai sai số của phép xấp xỉ
2
n

đợc xác định theo công thức


=
=
b
a
n

k
kxn
dtttR
1
2
),( . (8.3.1)
Từ đẳng thức

=
b
a
b
a
kkxk
dtdtttttR
212121
)()(),(
[]
k
b
a
k
ADdtttXM =

=

2
)()(
(8.3.2)
thấy rằng, các giá trị riêng của hm tơng quan l phơng sai của các hệ số
k
A tơng
ứng của khai triển hm ngẫu nhiên theo hệ các hm riêng
{}
)(t
k

. Do đó, các giá trị riêng
của hm tơng quan thực sự l những số dơng, v dấu giá trị tuyệt đối trong (8.3.1) có
thể bỏ đi.
Hệ phơng pháp đã trình by hon ton có thể áp dụng cả cho khai triển trờng
ngẫu nhiên thnh các thnh phần trực giao tự nhiên. Trong trờng hợp ny, tất cả các
hm đợc xét nh hm của điểm
)(

N cho trên miền giới hạn no đó với số chiều đã cho.
Chẳng hạn, giả sử
),,()( zyxUU =


l trờng không gian ngẫu nhiên xác định trong miền
D
, có kỳ vọng toán học bằng không v hm tơng quan ),(
21



u
R .
Ta biểu diễn trờng ngẫu nhiên
)(


U dới dạng tổng

=

n
k
kk
AU
1
)()(

, (8.3.3)
trong đó
{}
)(

k
l hệ hm trực chuẩn đầy đủ trong miền
D
, tức l đối với nó điều kiện
sau đợc thực hiện





=
=
)(
.
,
),,(),,(
D
ki
ki
ki
dxdydzzyxzyx
khi 0
khi 1

(8.3.4)

Các hệ số Fourier
k
A l những đại lợng ngẫu nhiên đợc xác định theo công thức

=
)(
),,(),,(
D
kk
dxdydzzyxzyxUA . (8.3.5)
Trong trờng hợp ny bi toán xấp xỉ trờng ngẫu nhiên bởi tổng các thnh phần
trực giao tự nhiên (8.3.3) đợc quy về việc tìm các hm
)(),(),(


n
,
21
lm cực đại
tổng
ì

=
ddddxdydzzyxzyxR
k
n
k
DD
ku
),,(),,(),,;,,(
)()(
1
. (8.3.6)
Khi xem xét lý thuyết đã trình by trong mục 8.2 áp dụng vo phơng trình tích
phân
),,(),,(),,;,,(
)(
zyxdddzyxK
D
=

, (8.3.7)
ta nhận đợc những hm trực giao tự nhiên của khai triển trờng ngẫu nhiên
)(


U
(8.3.3) l
n hm riêng đầu tiên của hm tơng quan ),(
21

u
R tơng ứng với n giá trị

180
riêng đầu tiên của phơng trình (8.3.7) đợc sắp xếp theo thứ tự không tăng giá trị của
chúng. Khi đó phơng sai sai số của phép xấp xỉ
2
n
đợc xác định theo công thức


=
=
n
k
k
D
un
dxdydzzyxzyxR
1
2
)(
),,;,,( . (8.3.8)
Từ những công thức đối với phơng sai sai số của phép xấp xỉ (8.3.1) hay (8.3.8)
thấy rằng, độ chính xác tăng lên khi tăng số các thnh phần trực giao tự nhiên m hm
ngẫu nhiên khai triển theo chúng. Tuy nhiên các số
n

,
21
,, phân bố theo thứ tự giảm
dần, do đó số thứ tự của thnh phần trong công thức (8.1.14) hay (8.3.3) cng lớn thì, về
trung bình, tỷ trọng của thnh phần cng nhỏ. Nếu các giá trị riêng giảm khá nhanh, thì
điều đó cho phép nhận những kết quả gần đúng khi chỉ cần chú ý tới một số không lớn
các thnh phần. u điểm cơ bản của phép khai triển theo các thnh phần trực giao tự
nhiên l ở chỗ nó tập trung tối đa thông tin về hm ngẫu nhiên vo một số không nhiều
các số hạng.
Khi đánh giá độ chính xác của phép xấp xỉ (8.1.17) bởi một số
n
các thnh phần
trực giao tự nhiên đã chọn, có thể sử dụng phơng sai tơng đối của sai số xấp xỉ













=


b

a
b
a
n
n
dttXM
dttXtXM
)(
)]()([
2
2
2
. (8.3.9)
Theo (8.3.1) với giá trị cực tiểu của
2
n
ta nhận đợc



=

=
b
a
x
b
a
n
k

kx
n
dtttR
dtttR
),(
),(
1
2
. (8.3.10)
Sau khi dựng đồ thị phụ thuộc của đại lợng
n

vo số n, có thể ớc lợng số số
hạng khai triển cần thiết tuỳ theo độ chính xác đã cho của phép xấp xỉ.
Bây giờ ta xét trờng hợp khi không có bản ghi liên tục của hm ngẫu nhiên, m
chỉ có các lát cắt của nó ở những điểm rời rạc, điều m thờng xảy ra khi nghiên cứu thực
nghiệm các hm ngẫu nhiên.
Giả sử hm ngẫu nhiên
)(tX có kỳ vọng toán học bằng không, đợc cho tại một số
hữu hạn điểm
m
ttt ,
21
,, ,
{}
)(t
k
l hệ hm bất kỳ, cũng đợc cho tại các điểm
m
ttt ,

21
,, .
Ta sẽ xem hm ngẫu nhiên
)(tX nh một vectơ m chiều ),,(
m
XXXX ,
21
m mỗi thnh
phần của nó l một lát cắt của hm ngẫu nhiên
)(
11
tXX = , )(
22
tXX = , , )(
mm
tXX = .
Ta cũng xem các hm
)(t
k
nh những vectơ
m
chiều ),,(
k
m
kkk
,
21

m các thnh
phần của chúng l những giá trị của hm

)(t
k
tại các điểm
t
i
, tức
)(),(),(
mk
k
mk
k
k
k
ttt === ,
2211
.
Ta sẽ coi các vectơ
k


l trực giao v chuẩn hoá (trực chuẩn). Hai vectơ
a


21
), ,,(
m
aaa v b

21
), ,,(
m
bbb gọi l trực giao nếu tích vô hớng của chúng bằng không,

=
==
m
i
ii
baba
1
0


. (8.3.11)

181
Vectơ
a

gọi l chuẩn hoá nếu độ di của nó bằng đơn vị
1a
1
2
==

=
m
i

i
a

. (8.3.12)
Điều kiện trực chuẩn của các vectơ
{}
k



đợc viết dới dạng

=




=
=
m
i
l
i
k
i
lk
lk
1
khi 0
khi 1

.
,
(8.3.13)
Ta biểu diễn vectơ ngẫu nhiên
X

dới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ
{}
k




=

n
k
k
k
AX
1


, (8.3.14)
trong đó các hệ số
k
A
l những tổ hợp tuyến tính của các thnh phần của vectơ ngẫu
nhiên

=
=
m
j
k
jjk
XA
1
. (8.3.15)
Đẳng thức vectơ (8.3.14) viết cho các thnh phần vectơ sẽ dẫn tới hệ các đẳng thức

=
=
n
k
k
iki
miAX
1
, 2 1 ,,,
. (8.3.16)
Phơng sai sai số của phép xấp xỉ vectơ ngẫu nhiên
X

bởi tổng (8.3.14) đợc xác
định dới dạng
=

=

==
m
i
n
k
k
ikin
AXM
1
2
1
2
=

+=

====
m
i
n
k
n
k
n
l
l
i
k
ilk
k
ikii
AAAXXM
1111
2

2






+=

==== ===
m
i
n
k
m
i
m
j
n
k
n
l
m
i
l
i
k
ilk
l
j

k
ijii
AAXXXM
1111 111
2
2
. (8.3.17)
Do (8.3.13), tổng cuối cùng trong đẳng thức (8.3.17) bằng
k
j
n
k
m
i
m
j
k
iji
n
k
kk
n
k
n
l
m
i
l
i
k

ilk
XXAAAA ==

== ==== = 11 1111 1
. (8.3.18)
Từ đó ta nhận đợc
k
j
n
k
m
i
m
j
k
iij
m
i
iin
RR =

== == 11 11
2
, (8.3.19)
trong đó
ij
R l mômen tơng quan giữa các lát cắt )(
ii
tXX = v )(
jj

tXX = của hm ngẫu
nhiên, tức l các phần tử của ma trận tơng quan
ij
R của vectơ ngẫu nhiên X

.
Ta sẽ tìm một hệ các vectơ trực chuẩn
{}
k


sao cho đại lợng
2
n
nhận giá trị nhỏ
nhất, hay nói cách khác, tổng ba lớp trong (8.3.19) nhận giá trị lớn nhất.
Những vectơ nh vậy gọi l các vectơ trực giao tự nhiên của vectơ ngẫu nhiên
X

,
còn phép khai triển (8.3.14) với cách chọn các vectơ
{}
k


nh vậy gọi l khai triển vectơ
ngẫu nhiên thnh các thnh phẫn trực giao tự nhiên.
Vì hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên l hm xác định dơng, nên mỗi số
hạng

182

==
=
m
i
k
j
k
i
m
j
ijk
Rb
11
(8.3.20)
không âm, do đó, bi toán quy về việc xác định những vectơ trực chuẩn
{}
k



sao cho mỗi
số hạng
k
b nhận giá trị lớn nhất.
Ta sẽ xét hệ phơng trình

=
==

m
j
ijij
miR
1
, 2 1 ,,,
. (8.3.21)
Những giá trị của tham số

tại đó hệ (8.3.21) có nghiệm
),,(
m
,
21

khác vectơ không, đợc gọi l các giá trị riêng hay số riêng của ma trận
các hệ số
ij
R của hệ ny, còn các nghiệm
k


nhận đợc ứng với số riêng đã cho
k
đợc
gọi l những vectơ riêng của ma trận
ij
R .
Hệ (8.3.21) tơng tự (analog) nh phơng trình tích phân (8.2.1) m ta đã xét đối
với trờng hợp thể hiện của quá trình ngẫu nhiên đợc ghi liên tục, ma trận tơng quan

ij
R của hệ (8.3.21), nh đã biết, l ma trận đối xứng, tơng tự nh nhân đối xứng của
phơng trình tích phân.
Những vectơ riêng của ma trận thực đối xứng ứng với những số riêng khác nhau sẽ
trực giao với nhau.
Thực vậy, ta xét vectơ riêng
k


v
l


ứng với các số riêng
k
v lk
l
, , ta có

=
==
m
j
k
ik
k
jij
miR
1
, 2 1 ,,, , (8.3.22)

=
==
m
j
l
il
l
jij
miR
1
, 2 1 ,,,
. (8.3.23)
Nhân hai vế của các đẳng thức trong (8.3.22) với
l
i
rồi cộng lại v nhân từng đẳng
thức trong (8.3.23) với
k
i
v cũng cộng lại:

== =
=
m
i
m
j
m
i

l
i
k
ik
l
i
k
jij
R
11 1
, (8.3.24)

== =
=
m
i
m
j
m
i
l
i
k
il
k
i
l
jij
R
11 1

. (8.3.25)
Trừ (8.3.25) cho (8.3.24) ta nhận đợc

=
=
m
i
l
i
k
ilk
1
0)( . (8.3.26)
Vì
0
lk
nên

=
=
m
i
l
i
k
i
1
0 , tức các vectơ
k

v
l


trực giao.
Ta tính phơng sai của các tổ hợp tuyến tính (8.3.15)
=
















=

=
2
1
m

j
k
jjk
XMAD ][

====
=







m
i
m
j
k
j
k
iij
m
i
m
j
k
j
k
iji

RXXM
1111
(8.3.27)
Nếu
k

l một số riêng của ma trận tơng quan, còn
k


), ,,(
k
m
kk

21
l vectơ riêng
tơng ứng với nó, ta có thể viết (8.3.27) dới dạng

183
k
k
i
m
i
k
i
m
i
k

m
j
k
jij
k
ik
RAD ===

=== 111
][ . (8.3.28)
Từ đó thấy rằng các số riêng của ma trận tơng quan l phơng sai của các tổ hợp
tuyến tính
k
A . Điều ny chỉ ra rằng các số riêng của ma trận tơng quan l những số
không âm.
Ta sắp xếp các số riêng của ma trận tơng quan theo thứ tự giảm dần

321
, v giả sử ,,,
321



l những vectơ riêng tơng ứng với chúng.
Có một định lý sau đây về tính chất cực trị của các số riêng v các vectơ riêng của
ma trận đối xứng, tơng tự tính chất cực trị của các giá trị riêng v hm riêng của nhân
đối xứng của phơng trình tích phân.
Định lý: Trên tập hợp các vectơ chuẩn tắc

), ,,(
m

21
tổng
j
m
i
i
m
j
ij
R

=1
(8.3.29)
có cực đại bằng số riêng lớn nhất
1
của ma trận
ij
R . Cực đại ny đạt đợc khi vectơ



bằng vectơ riêng
1


ứng với số riêng
1

.
Trên tập hợp các vectơ trực giao chuẩn hoá với
n 1
vectơ riêng đầu tiên
121
,


n

,, của ma trận
ij
R , tổng (8.3.29) có cực đại bằng số riêng
n
đạt đợc khi
n
=

.
Chứng minh: Giả sử
m




21
,,, l những vectơ riêng độc lập tuyến tính của ma
trận
ij

R , khi đó vectơ


có thể biểu diễn dới dạng tổ hợp tuyến tính của chúng
m
m
ccc +++=





2
2
1
1
. (8.3.30)
Thế (8.3.30) vo (8.3.29), do tính chất trực giao của các vectơ riêng, ta nhận đợc

== ====
=
m
i
m
j
m
k
m
l
l

j
k
ilkij
m
i
m
j
jiij
ccRR
11 1111

===
=
m
i
k
j
k
i
m
j
ij
m
k
k
Rc
111
2
. (8.3.31)
Sử dụng (8.3.21) v điều kiện chuẩn hoá của các vectơ

, ta đợc
1
1
2
1
2
11
2
1
2
11
===

======
m
k
kk
m
k
k
m
i
k
ik
m
k
k
m

i
ji
m
j
ij
cccR ][ . (8.3.32)
Tổng (8.3.29) sẽ có giá trị cực đại bằng
1
1
khi =


, vì trong trờng hợp ny
0 1
21
===
m
=Ccc , .
Bây giờ giả sử vectơ


trực giao với các vectơ riêng
121
,


n

,,
, khi đó trong khai
triển (8.3.30)
0
121
====
n
ccc
v từ (8.3.32) ta nhận đợc
nk
m
nk
k
m
i
ji
m
j
ij
cR =

===
2
11
. (8.3.33)
Đẳng thức trong (8.3.33) đạt đợc khi


=
n

.
Nếu lấy các vectơ riêng của ma trận tơng quan
ij
R lm hệ các vectơ
{}
k


trong
khai triển vectơ ngẫu nhiên
X

(8.3.14) thì phơng sai của sai số xấp xỉ
2
n
sẽ đợc xác
định dới dạng

184

==
=
n
k
k
n
i
iin

R
11
2
, (8.3.34)
trong đó

k
các số riêng của ma trận tơng quan.
Nh vậy, với t cách l những vectơ trực giao tự nhiên khi khai triển vectơ ngẫu
nhiên thnh tổng của
n thnh phần trực giao tự nhiên cần phải lấy n vectơ riêng của ma
trận tơng quan ứng với
n số riêng đầu tiên của nó.
Khi chọn các vectơ riêng của ma trận tơng quan lm các vectơ
{}
k


, các hệ số khai
triển
k
A (8.3.14) đôi một không tơng quan.
Thực vậy,
l
j
k
i
m
i
ji

m
j
lk
XXMAAM =

=1
][][ lkR
l
i
m
i
k
il
l
i
m
j
ij
m
i
k
i
===

===
khi 0
111
(8.3.35)
Vì các số riêng
k

của ma trận tơng quan l phơng sai của các hệ số khai triển
vectơ ngẫu nhiên theo các vectơ riêng của ma trận tơng quan, nên bi toán khai triển
vectơ ngẫu nhiên thnh tổng các thnh phần trực giao tự nhiên có thể đặt ra nh sau.
Chẳng hạn, giả sử có m giá trị của yếu tố khí tợng
m
xxx ,
21
,, . Đây có thể l những giá trị
tại m mực khác nhau hay tại m điểm khác nhau trên một mặt đẳng áp, hay những giá trị
tại một điểm, nhng ở những thời điểm khác nhau. Các vectơ trực chuẩn
),,(
k
m
kkk
,
21

,
tức l những tổ hợp tuyến tính của các giá trị của yếu tố khí tợng
mix
i
, 2 1 ,,, = dạng

=
=
m
i
k
iik

xA
1
(8.3.36)
đợc tìm sao cho phơng sai của những tổ hợp tuyến tính ny
k
j
k
i
m
i
m
j
ij
m
i
k
iik
RxMAD =

=

=== 11
2
1
][ (8.3.37)
cực đại.
Mỗi vectơ
k


nh vậy l một vectơ riêng của ma trận tơng quan
ij
R
. Số riêng của
ma trận
ij
R tơng ứng với vectơ đó bằng phơng sai của tổ hợp tuyến tính
k
A .
ý nghĩa của khai triển hm ngẫu nhiên thnh tổng các thnh phần trực giao tự
nhiên l ở chỗ, từ một số lợng lớn những số liệu thực nghiệm, trớc hết tách ra tổ hợp
tuyến tính
,
1
A có độ biến thiên (phơng sai) lớn nhất. Tổ hợp tuyến tính ny tơng ứng

với vectơ riêng
1


ứng với số riêng lớn nhất trong các số riêng của ma trận tơng quan.
Tiếp theo xét đến những tổ hợp tuyến tính
,
k
A không tơng quan với ,
1
A v chọn lấy tổ
hợp
2
A trong số chúng có độ biến thiên lớn nhất, v.v Sau khi chọn đợc một số không
lớn những tổ hợp nh thế, độ biến thiên của tất cả các tổ hợp tuyến tính còn lại trở nên
nhỏ. Vì vậy, khi mong muốn mô tả phần lớn độ biến thiên đặc trng của tập hợp các giá
trị
m
xxx ,
21
,, , chúng ta có thể sử dụng không phải tất cả các tổ hợp tuyến tính ,
k
A m
chỉ một số tổ hợp ứng với những số riêng lớn nhất
k
.
Khi đó, để đánh giá sai số mắc phải, có thể sử dụng phơng sai tơng đối của sai số

185

=


=
==
m
i
i

m
i
k
i
n
k
ki
n
XM
AXM
1
2
2
11
2
(8.3.38)
để cho phơng sai cực tiểu phù hợp với (8.3.34) v nếu tính đến đẳng thức đã biết

==
=
m
k
k
m
i
ii
R
11
(8.3.39)
sai số ny sẽ đợc viết dới dạng

=
=


=
m
k
k
n
k
k
n
1
1
2


1
. (8.3.40)
Đại lợng


=
=


=
m

k
k
n
k
k
n
d
1
1


(8.3.41)
đặc trng cho phần của
n thnh phần tự nhiên trong phơng sai tổng.
Nh vậy, so với khai triển hm ngẫu nhiên theo những hệ hm hay vectơ trực
chuẩn bất kỳ no khác, phép khai triển hm ngẫu nhiên theo các thnh phần trực giao
tự nhiên đảm bảo sự giảm phơng sai nhanh nhất từ thnh phần ny đến thnh phần
khác.
Bi toán tìm các số riêng v các vectơ riêng của ma trận l một trong những bi
toán cơ bản của đại số tuyến tính. Nếu chuyển các số hạng từ vế phải sang vế trái, có thể
viết lại hệ (8.3.21) dới dạng
.)(
,)(
,)(
0

0
0
2211
2222121

1212111
=+++
=+++
=

++

+



mmmmm
mm
mm
RRR
RRR
RRR
(8.3.42)
Hệ các phơng trình thuần nhất (8.3.42) sẽ có nghiệm khác vectơ không chỉ trong
trờng hợp định thức của hệ bằng không, tức l ta có phơng trình
0
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
21
22221
11211
=
RRR

RRR
RRR
mmmm
m
m



. (8.3.43)
Phơng trình ny đợc gọi l phơng trình đặc trng của ma trận các hệ số
ij
R
hay
phơng trình trọng lợng. Khai triển định thức (8.3.43), ta có thể viết nó dới dạng một
phơng trình đại số đối với


0
1
2
2
1
1
=


mm
mmm
pppp (8.3.44).

186
Nh vậy, những số riêng của ma trận
ij
R
l các nghiệm của phơng trình bậc m
(8.3.44), v do đó, nói chung có m số riêng
m
,
21
,, , có thể sắp xếp theo thứ tự giảm
dần. Để xác định vectơ riêng
),,(
11
2
1
1
1
,
m


, tơng ứng với số riêng lớn nhất
1
, l vectơ
trực giao tự nhiên thứ nhất trong khai triển vectơ ngẫu nhiên (8.3.14), cần phải đặt
1
= vo hệ (8.3.42) v tìm nghiệm của hệ ny. Mỗi vectơ trực giao tự nhiên tiếp theo
n

,
32
,, sẽ đợc tìm bằng cách giải hệ (8.3.42) với
n
= , ,,
32
.
Những hệ số của phơng trình đặc trng (8.3.44) l tổng của tất cả các định thức
con của ma trận
ij
R bậc i dựa trên đờng chéo chính. Tính trực tiếp các hệ số
i
P l công
việc nặng nề v đòi hỏi rất nhiều thao tác.
Trong đại số tuyến tính đã xây dựng nhiều phơng pháp đơn giản hoá việc giải bi
toán xác định các số riêng v các vectơ riêng của ma trận, trình by chi tiết về vấn đề ny
có thể tìm đợc trong [77]. Phần lớn các phơng pháp đó bao gồm việc tính trớc các các
hệ số của phơng trình đặc trng bỏ qua việc tính nhiều định thức con. Sau đó các số
riêng đợc tính bằng một phơng pháp no đó để tính gần đúng các nghiệm của đa thức.
Khi khai triển vectơ ngẫu nhiên thnh tổng các thnh phần trực giao tự nhiên, nh
chúng ta đã thấy trên đây, thờng ngời ta giới hạn ở một số thnh phần đầu tiên, tức l
chỉ sử dụng một số vectơ riêng của ma trận tơng quan tơng ứng với những số riêng lớn
nhất của nó. Bi toán tìm một hoặc một số số riêng của ma trận v các vectơ riêng tơng
ứng với chúng trong đại số tuyến tính có tên l bi toán giá trị riêng bộ phận để phân
biệt với bi toán đầy đủ khi đòi hỏi xác định tất cả các số riêng v các vectơ riêng của ma
trận. Để giải bi toán bộ phận thì các phơng pháp lặp l rất hiệu quả, trong đó các số
riêng đợc nhận nh l giới hạn của những chuỗi số no đó, v các thnh phần vectơ
riêng tơng ứng với chúng cũng nh vậy. Trong các phơng pháp lặp, các số riêng thờng

đợc tính trực tiếp m
không cần tính trớc các hệ số của phơng trình đặc trng, điều
đó lm đơn giản bi toán. Các phơng pháp lặp thích hợp hơn cả đối với việc giải trên
máy tính điện tử, do đó chúng rất quan trọng.
8.4. Biểu diễn các trờng khí tợng dới dạng tổng các thnh phần trực
giao tự nhiên
Phơng pháp khai triển hm ngẫu nhiên thnh các thnh phần trực giao tự nhiên
cho phép tách ra những đặc điểm cơ bản nhất v loại bỏ những chi tiết nhỏ từ một số
lợng lớn số liệu thực nghiệm; phơng pháp ny đã đợc ứng dụng rộng rãi để mô tả cấu
trúc thống kê các trờng khí tợng trong các công trình của N. A. Bagrov [35,36], A. M.
Obukhov [67], M.I. Iuđin [87], L. V. Rukoves [73], G. Đ. Kuđashkin [58], A. V.
Mesherskaija v N. I. Iakovleva [64,65,89,90] v các tác giả khác.
Để lm ví dụ chúng ta xét việc khai triển profile thẳng đứng trờng địa thế vị theo
các thnh phần trực giao tự nhiên, đợc thực hiện trong công trình của L. V. Rukhoves.
Số liệu thực nghiệm ban đầu đợc sử dụng l các giá trị địa thế vị trên sáu mặt đẳng áp
(1000, 850, 700, 500, 300 v 200 mb) qua 3 giờ một v chúng đợc chia thnh bốn tập:
tập thứ nhất bao quát thời kỳ 10 ngy, từ 23/1 đến 1/2/1959, tập thứ hai 10 ngy, từ 15
đến 24/4/1959, tập thứ ba 11 ngy, từ 6 đến 16/7/1959, tập thứ t 10 ngy, từ 20 đến
29/10/1959.

187
Việc chọn một vi tập nh vậy nhằm khảo sát vấn đề về độ ổn định của phép khai
triển. Nếu các thnh phần trực giao tự nhiên nhận đợc theo một tập mất tính ổn định khi
chuyển sang những tập khác, thì việc ứng dụng khai triển nh vậy vo thực tế trở thnh ít
hiệu quả v không u việt so với phép khai triển theo các hệ hm trực giao khác.
Số liệu đợc lấy tại các điểm nút của lới đều trên lãnh thổ châu Âu. Mỗi mùa có
không ít hơn 990 giá trị biến đổi ngy đêm của địa thế vị, mặc dù, nh tác giả [73] đã nêu,
không phải tất cả các giá trị đều độc lập. Để nghiên cứu sự phụ thuộc của các hm trực
giao tự nhiên vo vĩ độ, ton bộ lãnh thổ đợc chia thnh ba vùng theo vĩ độ. Theo số liệu
của tập thứ ba, tập có nhiều giá trị nhất, đã tính các ma trận tơng quan

ij
R
cho từng
vùng trong số ba vùng, những ma trận tơng quan ny mô tả mối liên hệ của biến đổi ngy
đêm của địa thế vị giữa các mực trên ton bộ sáu mặt đẳng áp. Vì xét các số liệu trên sáu
mực chuẩn, nên ma trận tơng quan
ij
R l ma trận bậc sáu.
Việc tính các số riêng v vectơ riêng đợc thực hiện theo phơng pháp Jacobi, tức l
đa ma trận về dạng đờng chéo nhờ phép quay đơn giản [77]. Việc tính sự biến đổi ngy
đêm, ma trận tơng quan, các số riêng v vectơ riêng đợc thực hiện trên máy tính điện
tử.
Giá trị các vectơ riêng của ma trận tơng quan cho ba vùng (1, 2, 3), lấy từ [73],
đợc biểu diễn trên hình 8.1. Do độ biến động của địa thế vị tăng theo vĩ độ m các ma
trận tơng quan của các vùng khác biệt nhau một cách đáng kể. Nhng, nh ta thấy trên
hình 8.1, các vectơ riêng của những ma trận đó khá gần nhau.

Hình 8.1
Để nhận định tính chất ổn định của các vectơ riêng, trên hình 8.2 đã dẫn ra các giá
trị của chúng cho mỗi một trong bốn tập của một vùng. Từ hình 8.2 thấy rằng, đối với các
mùa khác nhau hình dạng các vectơ riêng gần giống nhau, đặc biệt đối với hai vectơ riêng
đầu tiên.
Trong bảng 8.1 dẫn ra giá trị các số riêng của ma trận tơng quan đối với từng tập
v các đại lợng

188


=
=

=
m
k
k
n
k
k
n
d
1
1


, (8.4.1)
đặc trng cho phần đóng góp của
n thnh phần trực giao tự nhiên vo phơng sai của
khai triển (8.3.14) với
6 , 2 1 ,,=n
, tức l khi hạn chế bởi một, hai, ba, v.v số hạng trong
tổng (8.3.14).

Hình 8.2
Bảng 8.1
Tập
1 2 3 4
k
k

%
n
d

k


%
n
d

k


%
n
d
k


%
n
d

1 559,8 80,9 195,2 66,2 184,7 73,5 625,2 50,2
2 93,4 94,4 59,4 86,3 40,8 89,7 115,5 95,0
3 22,5 97,6 18,5 92,6 14,2 95,3 21,0 97,7
4 10,6 99,2 11,0 96,3 5,5 97,5 10,7 99,0
5 3,6 99,7 8,7 99,3 4,2 99,2 5,1 99,7

6 2,1 100 2,1 100 1,9 100 2,4 100
Từ bảng thấy rằng hai thnh phần trực giao tự nhiên đầu tiên tập trung khoảng
90% phơng sai tổng cộng, tức l khai triển theo các thnh phần trực giao tự nhiên có tốc
độ hội tụ cao.