LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 5 potx

MËt ®é phỉ nμy (nh− ®· chØ ra trong mơc 3.2, vÝ dơ 5) t−¬ng øng víi hμm t−¬ng
quan

R y (τ ) = σ 2 e

−α τ


α
 cos βτ + sin β τ

β



.



(4.4.31)

Tõ (4.4.29), biĨu diƠn β vμ σ qua các hệ số của phơng trình
=

k2 2 ,

2 =

c
,
2k 2

(4.4.32)

ta viết hm tơng quan (4.4.31) dới dạng
Ry() =

c
2k

2

e





cos k 2 − α 2τ +
sin k 2 − 2

2
2
k

(4.4.33)

Quá trình ngẫu nhiên Y(t) có hm tơng quan dạng (4.4.31) l khả vi, tuy nhiên có
thể chỉ ra rằng nó không tồn tại đạo hm bậc hai. Vì vậy, cần xét nghiệm của phơng
trình (4.4.26) theo nghĩa nh đà chỉ ra đối với phơng trình (4.4.19).

Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên
5.1. Đặt bi toán
Ta hÃy xét một vi bi toán thờng gặp trong khí tợng thuỷ văn.
1. Ngoại suy
Giả sử có một thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) trên khoảng biến đổi no
đó của tham số [a,t] xảy ra trớc thời điểm t. Giả thiết rằng các đặc trng của quá trình
ngẫu nhiên X(t) kỳ vọng toán học v hm tơng quan của nó, đà biết. Yêu cầu dự báo
giá trị x(t+T) của thể hiện ny tại thêi ®iĨm tiÕp theo t+T nμo ®ã, T>0. Ng−êi ta gọi đại
lợng T l lợng ngắm đón.
Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên. Do giả thiết rằng
thể hiện x(t) đợc xác định chính xác, không có sai số đo, nên bi toán ny đợc gọi l bi
toán ngoại suy thuần tuý.
2. Lm trơn
Giả sử thể hiện x(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định nhờ kết quả thực
nghiệm, trên khoảng biến ®ỉi [a,t] cđa tham sè t, víi sai sè y(t) l thể hiện của quá trình
ngẫu nhiên Y(t), tức l do thực nghiệm ta nhận đợc thể hiện z(t) = x(t) + y(t), với x(t) l
giá trị thực của thể hiện, y(t) l sai số đo. Giả thiết rằng đà biết các đặc trng của các
quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t), nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng
quan quan hệ. Yêu cầu xác định giá trị thực của thể hiện x(t) tại thời điểm t no đó, có
nghĩa l tách nó ra khỏi sai số đo.
Bi toán ny gọi l bi toán lm trơn (lọc) quá trình ngẫu nhiên. Nó xuất hiện,
chẳng hạn, khi tách các tín hiệu hữu ích trên nền nhiễu trong kỹ thuật vô tuyến, trong
đó ngời ta gọi giá trị thực l các tín hiệu hữu ích, còn sai số lm méo tín hiệu đợc gọi l

115


nhiễu hay ồn.
Trong khí tợng thuỷ văn bi toán ny nảy sinh về cơ bản giống nh bi toán loại
bỏ sai số đo khi chỉnh lý các số liệu thực nghiệm. Khi đó có sự khác nhau cơ bản giữa bi
toán lm trơn số liệu thực nghiệm v bi toán tách tín hiệu trong kỹ thuật vô tuyến.
Trong kỹ thuật vô tuyến, v nói chung trong lý thuyết hệ điều khiển tự động, ngời ta
giả thiết rằng, nếu tín hiệu đi qua một thiết bị đợc sử dụng để lm trơn tín hiệu thì ở
thời điểm t no đó chỉ có những giá trị của tín hiệu trớc thời điểm ny đi qua, m không
thể tính đến những giá trị về sau của nó. Vấn đề ở chỗ cái gọi l nguyên lý nhân quả về
mặt vật lý của hệ. Khi đó, để nhận đợc giá trị x(t) phải tiến hnh lm trơn thể hiện z(t)
trên khoảng [a,t] no đó xảy ra trớc thời điểm ny.
Khi lm trơn các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý,
không sử dụng các thiết bị vật lý, chúng ta sẽ không bị phụ thuộc vo các điều kiện ny
v có thể sử dụng tất cả các giá trị của thể hiện z(t) đà có để lm trơn, tức l giá trị cần
tìm x(t) tại thời điểm t có thể đợc xác định bằng cách lm trơn các giá trị của thể hiện
z(t) trên ton đoạn [a,b].
3. Ngoại suy có lm trơn
Bi toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc lm trơn, vì trên thực tế ta luôn luôn
nhận đợc thể hiện của quá trình ngẫu nhiên m ta quan tâm có chứa cả sai số đo trong
đó. Khi đó bi toán ngoại suy quá trình ngẫu nhiên l ở chỗ, với thể hiện đà có trên đoạn
[a,t]
z(t) = x(t) + y(t)
phải dự báo đợc giá trị của thể hiện x(t) tại thời điểm t+T, T>0. Bi toán ny đợc gọi l
bi toán ngoại suy có lm trơn. Khi T<0 thì bi toán gọi l nội suy có lm trơn.
Trên thực tế, bi toán nội suy thờng xuất hiện trong các trờng hợp do thực
nghiệm giá trị của thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên đợc cho tại chuỗi những giá
trị rời rạc của đối số t1, t2,..., tn trong khoảng [a,b] no đó, v yêu cầu xác định giá trị của
thể hiện x(t) tại các thời điểm trong khoảng. Khi không có sai số đo y(t), nó đợc gọi l

bi toán nội suy thuần tuý, khi có sai số đo bi toán nội suy có lm trơn.
Khi nội suy các số liệu thực nghiệm bằng cách tiến hnh tính toán thuần tuý, ta
cũng có thể sử dụng tất cả các giá trị đà cho của thể hiện z(t), cả trớc v sau thời điểm t.
Có thể xét các bi toán nội, ngoại suy v lm trơn nh một bi toán chung xác định
giá trị thực của thể hiện x(t) tại giá trị tham số to no đó theo các giá trị đà biết của thể
hiện
z(t) = x(t) + y(t)
trên khoảng [a,b] no đó.
Phát biểu toán học của bi toán ngoại suy (nội suy) v lm trơn nh sau. Cho biết
thể hiện
z(t) = x(t) + y(t)

(5.1.1)

trên khoảng biÕn ®ỉi cđa tham sè [a,b] nμo ®ã, x(t) vμ y(t) l thể hiện của các quá trình
ngẫu nhiên X(t) v Y(t) có các kỳ vọng toán học, hm tơng quan, hμm t−¬ng quan quan
hƯ cho tr−íc. Ta sÏ cho r»ng, kú väng to¸n häc mx(t) vμ my(t) b»ng 0. (Trong trờng hợp
ngợc lại ta sẽ xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm tơng ứng).

116


Yêu cầu xác định giá trị x(t0) cuả thể hiện x(t) tại thời điểm t0. Đối với trờng hợp
ngoại suy t0 = b + T, víi T >0.
T−¬ng tù, t0 = b cho trờng hợp lm trơn.
Vì ta đang xét hm ngẫu nhiên nên cái m ta quan tâm l tìm phơng pháp giải
bi toán sao cho nhận đợc kết quả tốt nhất từ tập hợp tất cả các thể hiện theo nghĩa no
đó, tức l tìm một toán tử sao cho khi tác dụng lên tập các thể hiện z(t), sẽ cho giá trị tốt
nhất của thể hiện x(t0), theo nghĩa no đó.
Nếu ký hiệu toán tử cần tìm lμ L, ta cã thÓ viÕt

X(t0) = L{Z(t)}

(5.1.2)

X(t0) = L{X(t) + Y(t)}

(5.1.3)

hay
Trớc hết cần xác định tiêu chuẩn chất lợng của nghiệm bi toán đặt ra l gì.
Trong khuôn khổ lý thuyết xác suất chỉ có thể đánh giá chất lợng của toán tử trên
phơng diện thống kê trung b×nh theo toμn bé tËp thĨ hiƯn cã thĨ cđa hm ngẫu nhiên.
Ký hiệu l hiệu giữa giá trị thực X(t0) v giá trị nhận đợc theo công thức (5.1.2),
δ = X(t0) − L{Z(t)}

(5.1.4)

Cã thĨ gäi to¸n tư L l tốt nhất nếu nó lm cho giá trị trung bình của một hm đợc
chọn no đó của hiệu trở nên cực tiểu, ví dụ nh kỳ vọng toán học của modul hiệu.
Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng l lm cực tiểu kỳ
vọng toán học của bình phơng hiệu
M[ 2] = M{[ X(t0) − L{Z(t)}]2}

(5.1.5)

Ta sÏ gäi to¸n tư L lμ tèi −u nÕu nã lμm cho biÓu thøc (5.1.5) trë thμnh cùc tiểu, v
công thức (5.1.2) tơng ứng với nó l công thức ngoại suy (nội suy) hoặc lm trơn tối u.
Trên thùc tÕ hiƯn nay, ta thõa nhËn lêi gi¶i cđa bi toán đà nêu khi có những giới
hạn sau m chúng ta sẽ còn tiếp tục xét sau ny:
1) Toán tư L lμ tun tÝnh vμ dõng, tøc kh«ng phơ thuộc vo đối số t;

2) Các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng;
Với các giả thiết đà nêu, bi toán đang xét đợc gọi l bi toán nội, ngoại suy v
lm trơn tuyến tính tối u quá trình ngẫu nhiên dừng. Lần đầu tiên bi toán ny đợc A.
N. Komogorov [10] đề xuất v giải quyết. T tởng đó đợc phát triển tiếp trong công
trình của N. Viner [32].
Phơng pháp giải bi toán đà nêu phụ thuộc vo khoảng m trên đó thể hiện z(t)
đợc cho l vô hạn hay hữu hạn.
Ta sẽ xét từng trờng hợp riêng biệt. Trong đó, đối với trờng hợp khoảng hữu hạn,
ta sẽ xem rằng thể hiện đợc cho tại một số hữu hạn các giá trị rời rạc của tham số t,
điều m thờng xuyên xảy ra trong thực tế đo đạc khí tợng thuỷ văn.

5.2. Nội, ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn hm ngẫu nhiên cho trên
một số điểm hữu hạn
Ta bắt đầu xét từ trờng hợp khi đà biết chỉ một số hữu hạn giá trị của thể hiện
cuả quá trình ngẫu nhiên dừng, tức l biết các giá trị của thể hiện z(t) tại các thời điểm

117


t1, t2,..., tn (t1Nếu xem các giá trị ny l kết quả đo đạc có chứa sai số, ta có thÓ viÕt
z(tk) = x(tk) + y(tk), k = 1, 2, ..., n,

(5.2.1)

ở đây x(tk) l giá trị thực của thể hiện tại thời điểm tk, còn y(tk) l sai số đo. Ta sẽ
xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng, còn các đặc trng của
chúng, nh kỳ vọng toán học, hm tơng quan v hm tơng quan quan hệ, đà biết.
Không lm mất tÝnh tỉng qu¸t, cã thĨ cho kú väng to¸n häc bằng 0 khi chuyển về
xét các hm qui tâm tơng ứng.

Có thể viết giá trị cần tìm x(t0), kết quả của việc tác dụng toán tử tuyến tính lên tất
cả các giá trị z(tk), dới dạng tổ hợp tuyến tính
n

x(t 0 ) =  α k z (t k )

(5.2.2)

k =1

trong đó k l các hệ số hằng số.
Bi toán dẫn đến việc tìm giá trị của các hệ số 1, 2,..., n sao cho đại lợng
2
n




(1 , α 2 ..., α n ) = M  X (t0 ) −  α k Z (t k )
k =1




2
n

(5.2.3)

nhận giá trị nhỏ nhất.

Nh đà biết, điều kiện cần để cực tiểu hm n biến l các đạo hm riêng theo từng
biến phải bằng không.
Từ đó suy ra r»ng α1, α2,..., αn ph¶i lμ nghiƯm cđa hƯ phơng trình
2
n (1 , 2 ..., n )
= 0, k = 1,2,..., n.
∂α k

(5.2.4)

Ta biÕn ®ỉi biĨu thøc (5.2.3)
2
n

 


σ (α1 , α 2 ...,αn ) = M  X (t0 ) − αk [X (tk ) + Y (tk )]  =
k =1

 


2
n

[

]

n

= M X 2 (t0 ) − 2α k {M [X (to )X (t k )] + M [X (to )Y (t k )]} +

[

k =1

]

[

]

[

]

[

]

+ α kα j {M X (t k )X (t j ) + M X (t k )Y (t j ) + M Y (t k )X (t j ) + M Y (t k )Y (t j ) } =
n

n

k =1 j =1

[

]

[

= Rx (0) − 2αk Rx (to − tk ) + Rxy (to − tk ) + α k α j Rx (t j − t k ) + R y (t j − t k ) +
n

k =1

n

n

k =1 j =1

]

+ Rxy (t j − tk ) + Ryx (t j − tk )

(5.2.5)

LÊy đạo hm riêng vế phải (5.2.5) theo k v đồng nhất bằng 0, ta nhận đợc hệ
phơng trình:

[

]

R x (t o − t k ) + R xy (t o − t k ) +

[

]

+  α j R x (t j − t k ) + R y (t j − t k ) + R xy (t j − t k ) + R yx (t j − t k ) = 0 ,
n

j =1

118

(5.2.6)


k = 1,2,..., n.
Đổi dấu, cuối cùng ta nhận đợc hệ để xác định các hệ số k

Rx (to tk ) + Rxy (to − tk ) −

[

]

−  α j Rx (t j − t k ) + R y (t j − t k ) + Rxy (t j − tk ) + R yx (t j − tk ) = 0 ,
n

j =1

(5.2.7)

k = 1,2,..., n.
2
§iỊu kiện (5.2.7) l điều kiện cần để hm n ( 1 , 2 ,..., n ) đạt cực trị. Có thể chứng

minh rằng với các giá trị 1, 2,...,n l nghiệm của hệ (5.2.7), hm (5.2.3) thật sự đạt giá
trị nhỏ nhất, có nghĩa l điều kiện (5.2.7) cũng l điều kiện đủ.
Nh vậy, về nguyên tắc bi toán nội, ngoại suy tuyến tính hoặc lm trơn trong
trờng hợp đang xét đợc đa về việc giải hệ phơng trình (5.2.7) để tìm các giá trị 1,
2,...,n v đặt vo công thức (5.2.2).
2
Để tính đợc sai số bình phơng trung b×nh σ n (α1 , α 2 ,..., α n ) của phép nội, ngoại

suy tối u hay lm trơn, khi đà tìm đợc các giá trị 1, 2,..., n, ta nhân từng hạng tử của
(5.2.7) với k v cộng các kết quả lại, ta đợc

[R (t
n

n

k

j

x

j

]

t k ) + R y (t j − tk ) + Rxy (t j − tk ) + R yx (t j − tk ) =

k =1 j =1

[

n

]

=  α k Rx (t0 − t k ) + Rxy (t0 − tk )
k =1

(5.2.8)

ThÕ vμo (5.2.5) ta nhËn ®−ỵc
2
σ n (α1 , α 2 ..., α n ) = Rx (0) −  α k [Rx (to − tk ) + Rxy (to − tk )]
n

(5.2.9)

k =1

Khi sè giá trị quan trắc của thể hiện z(t) lớn, tức l khi số điểm n lớn, bi toán dẫn
đến việc giải hệ (5.2.7) với số phơng trình lớn, điều đó trở nên rất khó khăn thậm chí
ngay cả khi sử dụng máy tính điện tử. Trong trờng hợp ny, thông thờng để thuận tiện
hơn, một cách gần đúng xem rằng thể hiện z(t) đợc cho tại mọi giá trị của ®èi sè t x¶y ra
tr−íc thêi ®iĨm t0 vμ sư dụng phơng pháp đợc trình by trong mục 5.3.

Ta xét các trờng hợp riêng của bi toán tổng quát đà nêu.
1. Không có sai số đo. Nội ngoại suy thuần tuý.
Trong trờng hợp riêng, khi z(tk) = x(tk) l các giá trị chính xác của thể hiện x(t)
đợc xác định kh«ng chøa sai sè, tøc lμ khi y(tk) ≡ 0, vμ do ®ã

Ry (τ ) ≡ Rxy (τ ) ≡ 0

(5.2.10)

hệ (5.2.7) đợc viết dới dạng
n

Rx (t0 t k ) −  α j Rx (t j − t k ) = 0,

k = 1,2,...n

(5.2.11)

j =1

Vì hm tơng quan l xác định dơng nên định thức của hệ (5.2.11) khác không, v
do đó hệ luôn luôn có nghiệm. Sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u
trong trờng hợp ny đợc xác định bằng cách đặt các giá trị 1, 2,...,n tìm đợc vo
công thức

119


n

2
σ n (α1 , α 2 ,....α n ) = Rx (0) −  α k Rx (t0 − t k ),

(5.2.12)

k =1

Công thức ny nhận đợc từ (5.2.9) khi cho Rxy(τ) ≡ 0.
Sư dơng (5.2.8) vμ ®iỊu kiƯn (5.2.10), ta có thể nhận đợc biểu thức sai số bình
phơng trung bình dới dạng khác
n

n

2
n (1 , 2 ,....α n ) = Rx (0) −  α kα j Rx (t j − t k ).

(5.2.13)

k =1 j =1

Vì hm tơng quan Rx() l xác định dơng, nên dạng ton phơng trong biểu thức
(5.2.13) không âm
n

n


k

j

Rx (t j − t k ) ≥ 0

(5.2.14)

k =1 j =1

Do đó, sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy tối u không vợt quá
phơng sai của hm ngẫu nhiên X(t).
Để lm thớc đo sai số nội, ngoại suy, thuận tiện hơn l sử dụng đại lợng vô thứ
2
nguyên n, bằng tỷ số của sai số trung bình bình phơng n v phơng sai của hm ngẫu
nhiên Dx = Rx(0),

εn =

2
σn

n

= 1 −  α k rx (t0 − t k ),

Dx

(5.2.15)

k =1

trong ®ã rx(τ) lμ hμm tơng quan chuẩn hoá của hm ngẫu nhiên X(t). Các hệ số k nhận
đợc theo phơng pháp nội, ngoại suy tối u l trọng số m các giá trị x(tk) trong tổng
(5.2.2) đợc tính đến theo chúng.
Các trọng số ny phụ thuộc vo mức độ quan hệ giữa các giá trị x(tk) với nhau v
mức độ quan hệ của chúng với giá trị đợc xấp xỉ x(t0).
Ta xét một vi trờng hợp giới hạn.
a) Giả sử lát cắt X(t0) của quá trình ngẫu nhiên, trên thực tế, không liên hệ với các
lát cắt của nó tại các thời điểm tk, tøc lμ cã thÓ xem

Rx (t0 − tk ) = 0.

(5.2.16)

Khi ngoại suy, điều đó sẽ xảy ra trong trờng hợp nếu lợng ngắm đón T đợc chọn
lớn đến mức sao cho lát cắt của quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm t0=tn+T không liên hệ
với các lát cắt của nó tại các thời điểm tk. Trong trờng hợp ny hệ (5.2.11) đợc viết dới
dạng
n

R (t
j

x

j

tk ) = 0, k = 1,2,....n.

(5.2.17)

j =0

Vì định thức của hệ thuần nhất ny khác 0, nên nó chỉ có nghiệm bằng 0 l
1=2=...=n=0, tức trong trờng hợp ny phơng pháp ngoại suy tối u cho giá trị bằng
kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên mx=0. Khi đó, theo (5.2.13), sai số bình phơng
2
trung bình của phép ngoại suy n bằng phơng sai hm ngẫu nhiên.
b) Giả sử lát cắt của hm ngẫu nhiên tại các thời điểm tk vμ tj kh«ng quan hƯ víi
nhau, nh−ng cã quan hƯ với lát cắt tại thời điểm t0.

120


Khi nội suy, trờng hợp ny có thể tơng ứng với trờng hợp các lát cắt liền kề
nhau X(tk1) v X(tk) của quá trình ngẫu nhiên khi hiệu tktk1 lớn, trên thực tế không
quan hệ với nhau, nhng có quan hệ với giá trị nội suy X(t0), ở đây tk1(5.2.11) đợc viết dới dạng

k Rk (0) = Rx (t0 − tk ),

k = 1,2,....n.

(5.2.18)

Tõ ®ã

αk =

Rx (t0 − t k )
= rx (t0 − tk ),

Rx (0)

(5.2.19)

tức l các trọng số k bằng hệ số tơng quan giữa các lát cắt của hm ngẫu nhiên
tại các thời điểm to v tk. Trọng số của giá trị x(tk) cng lớn thì x(tk) cng liên hệ chặt chẽ
với giá trị x(to).
2. Có sai số đo, nhng sai số không tơng quan với nhau v không quan hệ với giá
trị thực của đại lợng đợc đo.
Ta xét một trờng hợp quan trọng trong thực tế, khi sai số đo Y(t) tại các giá trị
khác nhau của đối số t không tơng quan với nhau, tức Ry()0 khi 0, v các sai số ny
không tơng quan với các giá trị thực của đại lợng đợc đo, tức hm tơng quan quan
hƯ Rxy(τ) ≡ 0 víi mäi τ. Trong tr−êng hỵp ny công thức (5.2.5) đối với sai số bình phơng
2
trung bình của phép ngoại suy n đợc viết dới d¹ng
n

2
σ n (α1 ,α 2 ,α 3 ...α n ) = Rx (0) − 2α k Rx (t 0 − t k ) +
k =1

n

n

n

+  α kα j Rx (t j − t k ) +  α k2 R y (0).
k =1 j =1

(5.2.20)

k =1

Khi ®ã hƯ (5.2.7) để xác định các hệ số k có dạng
n

Rx (t0 − t k ) −  α j Rx (t j − t k ) − α k R y (0) = 0, k=1,2,...,n

(5.2.21)

j =1

Nhân các hạng tử của (5.1.21) với k v cộng các kết quả lại, ta đợc
n


k =1

n

k

n

n

Rx (t0 − t k ) =  α kα j Rx (t j − t k ) + R y (0) α k2 .
k =1 j =1

(5.2.22)

k =1

ThÕ (5.2.22) vo (5.2.20), ta nhận đợc công thức đối với sai số bình phơng trung
bình của phép nội, ngoại suy tối −u
n

2
σ n (α1 , α 2 ,...α n ) = Rx (0) −  α k Rx (t0 − t k ).

(5.2.23)

k =1

hay
n

n

n

2
σ n (α1 , α 2 ,...α n ) = Rx (0) −  α kα j Rx (t j − t k ) − Ry (0) α k2 .
k =1 j =1

(5.2.24)

k =1

C«ng thøc (5.2.23) trïng víi dạng công thức (5.2.12) cho trờng hợp không có sai số
2
đo. Nó không chỉ rõ ảnh hởng của sai số đo đến đại lợng sai số n , tuy nhiên ảnh
hởng ny l có, vì các hệ số k xác định từ hệ (5.2.21) phụ thuộc vo phơng sai cđa sai
sè ®o Dy=Ry(0).

121


Trong công thức (5.2.24) ảnh hởng của sai số đo đợc thể hiện qua cả ảnh hởng
của nó đến các hƯ sè αk cịng nh− biĨu hiƯn mét c¸ch trùc tiếp qua các hạng tử cuối cùng.
2
Có thể chứng minh rằng, sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy n

tăng lên khi phơng sai sai số Dy tăng, còn các trọng số k thay đổi sao cho tổng bình
phơng của chúng giảm, tức l sai số đo sẽ lm giảm độ chính xác của phép nội, ngoại
suy tối u.
Tuy nhiên khi nội, ngoại suy tối u có lm trơn, tức l khi xác định các trọng số k
2
có tính đến sai số đo theo công thức (5.2.21), đại lợng sai số n nhận đợc sẽ bé hơn so
với khi ta tiến hnh nội ngoại suy thuần tuý theo công thức (5.2.11) v bỏ qua việc tính
đến sai số đo.

5.3. Ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn quá trình ngẫu nhiên cho
trên khoảng vô hạn
Giả sử các giá trị thể hiện z(t) của quá trình ngẫu nhiên X(t), đợc xác định với sai
số ngẫu nhiên y(t) cũng l thể hiện của quá trình ngẫu nhiên Y(t), đà đợc biết trớc trên
khoảng vô hạn xảy ra trớc giá trị đà cho của đối số, tức l thể hiện z(t) = x(t) + y(t) cho
trớc trên khoảng (, t).
Trên thực tế điều ny có nghĩa l thể hiện z(t) đợc cho trên một khoảng biến đổi

đủ lớn của đối số, lớn hơn khoảng m trên đó mối liên hệ tơng quan giữa các lát cắt của
quá trình ngẫu nhiên đà hon ton lụi tắt.
Giống nh trớc đây, ta xem các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên
hệ dừng có kỳ vọng toán học bằng 0, v cho trớc các hm tơng quan Rx(), Ry(), các
hm tơng quan quan hệ Rxy(), Ryx().
Yêu cầu xác định giá trị x(t+T) sao cho kỳ vọng toán học của bình phơng hiệu 2
giữa các giá trị thực v giá trị dự báo trở nên cực tiểu.
Tơng ứng với những điều đà trình by trong mục 4.2, có thể biểu diễn giá trị cần
tìm x(t+T) l kết quả tác dụng toán tử tuyến tính lên hm z(t) (5.1.2), dới d¹ng
∞

∞

x(t + T ) =  g (τ )z (t − τ )dτ =  g (τ )[x(t − τ ) + y (t )]d
0

(5.3.1)

0

Bi toán dẫn đến việc lựa chọn hm trọng lợng g(t) để cho đại l−ỵng
2
∞

 


σ = M  X (t + T ) −  g (τ )Z (t − τ )dτ 
0

2

đạt cực tiểu.
Trong đó, hm trọng lợng phụ thuộc lợng ngắm đón T.
Ta biến đổi (5.3.2)


= M [X (t + T )] − 2 g (τ )M [X (t + T )Z (t − τ )]dτ +
2

2

0

∞

∞

0

0

+  g (τ 1 )dτ 1  g (τ 2 )M [Z (t − τ 1 )Z (t − τ 2 )]dτ 2 =

122

(5.3.2)

∞

∞

∞

= Rx (0 ) − 2  g (τ )Rxz (T + τ )dτ +  g (τ 1 )dτ 1  g (τ 2 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 2
0

Trong ®ã

0

(5.3.3)

0

Rxz (τ ) = M [X (t + T )Z (t )] = M {X (T + τ )[ X (t ) + Y (t )]} =
= Rx (τ ) + Rxy (τ )

(5.3.4)

R z (τ ) = M[Z(t + τ )Z(t )] =

= M {[X (t + τ ) + Y (t + τ )][X (t ) + Y (t )]} =

= Rx (τ ) + Rxy (τ ) + R yx (τ ) + R y ( )

(5.3.5)

Ta hÃy xác lập điều kiện cần v đủ m hm trọng lợng g(t) phải thoả mÃn để cho
đạt cực tiểu.
2

Giả sử hm g(t) lm cho 2 ®¹t cùc tiĨu, khi ®ã nÕu trong (5.3.3) thay cho g(t) lμ
hμm
g1(t) = g(t) + aα(t)

(5.3.6)

trong ®ã a lμ mét sè thùc bÊt kú, cßn α(t) lμ mét hμm tuú ý, thì đại lợng chỉ có thể chỉ
có thể tăng lên.
2

Do vậy, khi đó 2 đợc xét nh l hm của đối số a, đạt cực tiểu khi a=0, tức đạo
hm của nó theo a phải bằng 0 khi a=0.
Thay (5.3.6) vo (5.3.3) ta đợc


(a ) = R x (0) − 2 [g (τ ) + aα (τ )]R xz (T + τ )dτ +
2

0

∞

∞

0

0

+  dτ 1  [g (τ 1 ) + aα (τ 1 )][g (τ 2 ) + aα (τ 2 )]Rx (τ 2 − τ 1 )dτ 2 =
∞

= Rx (0 ) − 2  [g (τ ) + aα (τ )]Rxz (T + τ )dτ +
0

∞

∞

[

]

+  dτ 1  g (τ 1 )g (τ 2 ) + aα (τ 2 )g (τ 1 ) + aα (τ 1 )g (τ 2 ) + a 2α (τ 1 )α (τ 1 ) Rz (τ 1 − τ 2 )dτ 2
0

0

(5.3.7)

Khi lÊy vi ph©n d−íi dÊu tÝch ph©n (5.3.7) theo tham sè a, ta nhận đợc

d 2 (a )
= 2 ( )Rxz (T + τ )dτ +  α (τ 2 )dτ 2  g (τ 1 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1 +
da

0
0
0
∞

∞

∞

∞

0

∞

0

+  α (τ 1 )dτ 1  g (τ 2 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 2 =0

(5.3.8)

Thay τ1 b»ng τ2, cßn τ2 b»ng 1 vo tích phân cuối cùng, do tính chẵn của hm tơng
quan nên đẳng thức (5.3.8) đợc viết dới dạng






0

0

0

2  α (τ )Rxz (T + τ )dτ + 2  α (τ 2 )dτ 2  g (τ 1 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1 =0
hay
123

(5.3.9)


∞



∞



0



0



 α (τ ) Rxz (T + τ ) −  g (τ )Rz (t − τ )dτ  dt = 0

(5.3.10)

Vì đẳng thức (5.3.10) đúng với mọi hm (t), nên đẳng thức sau cần thoả mÃn


Rxz (T + ) −  g (τ )Rz (t − τ )dτ = 0 , víi mäi t≥0

(5.3.11)

0

Nh− vËy ®iỊu kiƯn (5.3.11) l điều kiện cần để cho 2 đạt cực tiểu. Ta chøng minh
r»ng ®iỊu kiƯn nμy cịng lμ ®đ. Mn vËy ta viÕt (5.3.7) d−íi d¹ng
∞

∞∞

0

0 0

σ 2 (a) = Rx (0) − 2 g (τ )Rxz (T − τ )dτ +

  g (τ

1

)g (τ 2 )R z (τ 2 − τ 1 ) dτ 1dτ 2 +

∞

∞∞


2
+ 2a  α (t ) − Rxz (T + τ ) +  g (τ )Rz (t − τ )dτ dt + a   α (τ 1 )α (τ 2 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1dτ 2 . (5.3.12)
0
0
0 0




Theo (5.3.3), ba hạng tử đầu tiên trong (5.3.12) l giá trị 2(0), hạng thứ t sẽ bằng
0 khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, tích phân hai lớp ci cïng cã thĨ viÕt d−íi d¹ng
∞∞

∞
a 2   α (τ 1 )α (τ 2 )Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1dτ 2 = a 2 M   α (τ )Z (t − τ )dτ  ,
 0



0 0

(5.3.13)

Từ đó thấy rằng, vế phải (5.3.13) l một số không âm, có thể ký hiệu bằng A2. Do
đó, khi điều kiện (5.3.11) đợc thực hiện, đẳng thức (5.3.12) đợc viết dới dạng

2 (a) = 2 (0) + A2

(5.3.14)

tức l kỳ vọng toán học của bình phơng sai số 2 chỉ có thể tăng lên khi thay hm trọng
lợng g(t), thoả mÃn điều kiện (5.3.11), bởi một hm bất kỳ khác. Do vậy, nếu hm trọng
lợng g(t) thoả mÃn điều kiện (5.3.11), thì 2 thực sự đạt cực tiểu.
Nh vậy, bi toán tìm hm trọng lợng g(t) đảm bảo 2 cực tiểu tơng đơng với bi
toán tìm hm trọng lợng g(t) l nghiệm của phơng trình tích phân (5.3.11). Phơng
trình tích phân ny đợc gọi l phơng trình Winer-Hopf, các tác giả lần đầu tiên khảo
sát phơng trình dạng ny.
Hm trọng lợng g(t), nghiệm của phơng trình WinerHopf, đợc gọi l hm trọng
lợng tối u, còn công thøc (5.3.1) khi thÕ vμo nã hμm träng l−ỵng tèi u g(t) gọi l công
thức ngoại suy tối u có lm trơn.
Khi T =0 ta nhận đợc công thức lm trơn tối u. Ta sẽ xác định sai số bình phơng
trung bình 2 của phép ngoại suy tối u.
Viết (5.3.3) d−íi d¹ng
∞


σ = Rx (0) − 2   Rxz (T + τ ) −  g (τ ) Rz (t − τ )dτ  ×
0 
0

2

∞

∞∞

× g (t )dt −   g (τ 1 ) g (τ 2 ) Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1dτ 2

0 0

Đối với hm trọng lợng tối u, do (5.3.11), hạng thứ hai triệt tiêu, từ đó

124

(5.3.15)


∞∞

σ 2 = Rx (0) −   g (τ 1 ) g (τ 2 )R(τ 2 − τ 2 )d 1d 2 .

(5.3.16)

0 0

Ta biến đổi tích phân hai líp trong (5.3.16), mn vËy ta ký hiƯu mËt ®é phổ của
quá trình ngẫu nhiên Z(t) l Sz(), khi đó hm tơng quan Rz(21) có thể viết dới dạng


Rz ( 2 − τ 1 ) =  e iω (τ 2 −τ1 ) S z (ω )dω

(5.3.17)

−∞

Khi ®ã
∞∞

  g (τ ) g (τ
1

2

)Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1dτ 2 =

0 0

∞∞

∞

0 0

−∞

=   g (τ 1 ) g (τ 2 )  e iω (τ 2 −τ1 ) S z (ω )dωdτ 1dτ 2 =
∞ ∞

 ∞

=    e −iωτ 1 g (τ 1 )dτ 1    e iωτ 2 g (τ 2 )dτ 2 S z (ω )dω.
−∞ 0

 0

(5.3.18)

Theo (4.2.22), tÝch ph©n

∞

 g (τ )e

−iωτ

dτ = L(ω )

(5.3.19)

0

lμ hμm trun tơng ứng với hm trọng lợng g(t), ta sẽ gọi nó l hm truyền tối u.
Tơng tự, tích phân


g ( )e

i

d = L * ( )

(5.3.20)

0

l liên hợp phức của hm truyền tối u. Từ đó, (5.3.18) đợc viết d−íi d¹ng
∞ ∞

∞

− ∞− ∞

−∞



 g (τ 1 ) g (τ 2 ) Rz (τ 2 − τ 1 )dτ 1dτ 2 =

 L(ω )

2

S z (ω )dω.

(5.3.21)

ThÕ (5.3.21) vμo (5.3.16) ta nhận đợc công thức đối với sai số bình phơng trung
bình của phép ngoại suy tối u

2 = Rx (0) −

∞



2

L(ω ) S z (ω )dω =

−∞

 [S

∞

2

x

]

(ω ) − L(ω ) S z (ω ) dω ,



(5.3.22)

trong đó Sx() l mật độ phổ quá trình ngẫu nhiªn X(t). Theo (5.3.5) vμ do tÝnh chÊt
tun tÝnh cđa phép biến đổi Fourier, mật độ phổ Sz() đợc biểu diễn qua các mật độ
phổ Sx(), Sy() của các quá trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) v mật độ phổ quan hƯ Sxy(ω) cđa
chóng d−íi d¹ng

S z (ω ) = S x (ω ) + S xy (ω ) + S yx (ω ) + S y (ω )

(5.3.23)

T−¬ng tù, theo (5.3.4), mật độ phổ quan hệ Sxz đợc biểu diễn d−íi d¹ng

S xz = S x (ω ) + S xy ( )

(5.3.24)

Các phơng pháp giải phơng trình WinerHopf (5.3.11) đợc trình by trong các
mục 5.4, 5.5, 5.6.

125


Đơn giản nhất, phơng trình ny đợc giải cho trờng hợp thể hiện của quá trình
ngẫu nhiên z(t) đợc cho tại mọi giá trị t, tức l cho trên ton khoảng vô hạn (, +).
Nghiệm phơng trình (5.3.11) đối với trờng hợp ny đợc dẫn ra trong mục 5.4.
Trờng hợp ngoại suy hay lm trơn thể hiện z(t) chỉ với các giá trị của đối số t xảy
ra trớc thời điểm t dẫn tới phơng trình (5.3.11) chỉ đợc thoả mÃn với các giá trị không
âm của đối số, khi t<0 hm trọng lợng g(t) nhất thiết phải bằng 0.
Ta xét hai phơng pháp giải phơng trình (5.3.11) đối với trờng hợp thờng gặp
nhất trong thực tế, khi các hm t−¬ng quan Rx(τ), Ry(τ) vμ hμm t−¬ng quan quan hƯ Rxy()
có mật độ phổ hữu tỷ.
Phơng pháp thứ nhất dựa trên cơ sở sử dụng lý thuyết hm biến phức đợc trình
by ở mục 5.5. Phơng pháp giải thứ hai (xem 5.6) dựa trên cơ sở biểu diễn hm tơng
quan có phổ hữu tỷ dới dạng tổng các số mũ.
Trong trờng hợp tổng quát, khi m mật độ phổ không phải l các hm hữu tỷ của
tần số , lời giải sẽ rất phức tạp v ta sẽ không xét nó.
Trên thực tế, ngời ta xấp xỉ hm tơng quan nhận đợc theo các số liệu thực
nghiệm bằng các biểu thức giải tích. Khi đó, nếu sử dụng chúng vo mục đích ngoại suy
tối u hay lm trơn thì nên chän biĨu thøc xÊp xØ hμm cã phỉ h÷u tû hoặc hm tơng
quan đợc xấp xỉ gần đúng với hm có phổ hữu tỷ, chẳng hạn, biểu diễn chúng dới dạng
tổng các số mũ.

5.4.

Lm trơn quá
vô hạn (,+)

trình

ngẫu

nhiên

cho

trên

khoảng

Khi lm trơn quá trình ngẫu nhiên m thể hiện của nó đợc cho trên khoảng
(,+), thì giá trị lm trơn đợc tìm d−íi d¹ng
+∞

x(t) =

 g (τ ) z (t − τ )d .

(5.4.1)



Trong trờng hợp ny, tích phân ở biểu thức dới dấu tích phân trong (5.3.10) đợc
lấy trên ton khoảng (,+), v do đó, phơng trình (5.3.11) cần thoả mÃn với mọi giá

trị của đối số t. Khi đó T=0 v phơng trình (5.3.11) đợc viết dới dạng
+

g ( ) R (t − τ )dτ = R
z

xz

(t )

(5.4.2)

−∞

Ta biÓu diƠn Rz(t−τ) vμ Rxz(t) qua mËt ®é phỉ Sz(ω) vμ mËt ®é phỉ quan hƯ Sxz(ω):

Rz (t − τ ) =

+∞

e

iω ( t −τ )

S z (ω )dω

(5.4.3)

−∞
+∞

Rxz (t ) =

e

iωt

S xz (ω )dω

(5.4.4)

−∞

Thay (5.4.3) vμ (5.4.4) vμo (5.4.2) ta nhận đợc
+

+ i ( t )
it
g ( )e S z (ω )dω  dτ = −∞e S xz (ω )dω
−


+∞

126

(5.4.5)


Khi thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân hai líp ta viÕt l¹i (5.4.5) d−íi d¹ng

+∞


e iωt  S xz (ω ) − S z (ω )  e −iωτ g (τ )dτ dω = 0
∞ 
−
−∞

+∞

(5.4.6)

§Ĩ ý ®Õn biĨu thøc (4.2.20) ®èi víi hμm trun L(ω), ta ®−ỵc
+∞

ω
 e [S
i t

xz

(ω ) − S z (ω ) L( )]d = 0

(5.4.7)



Điều đó chứng tỏ rằng, phép biến ®æi Fourier hμm S xz (ω ) − S z ( ) L( ) đồng nhất
bằng không, do đó đẳng thức sau đợc thoả mÃn

S xz ( ) S z (ω ) L(ω ) = 0

(5.4.8)

Nh− vËy, hμm truyÒn tối u L() đợc xác định dới dạng

L( ) =

S xz (ω )
S z (ω )

(5.4.9)

BiĨu diƠn Sxz(ω) vμ Sz(ω) qua mật độ phổ của các quá trình ngẫu nhiên X(t), Y(t) vμ
mËt ®é phỉ quan hƯ cđa chóng theo (5.3.24) vμ (5.3.23) ta viÕt (5.4.9) d−íi d¹ng

L(ω ) =

S x (ω ) + S xy (ω )
S x (ω ) + S xy (ω ) + S yx (ω ) + S y (ω )

(5.4.10)

Khi biÕt hμm truyÒn tèi u L(), theo 4.2.20), ta sẽ tìm đợc hm trọng lợng tối u
g(t) nh l biến đổi Fourier của L() chia cho 2
+

1
g(t) =
2

e

it

L( )d

(5.4.11)



Đặt hm trọng lợng tối u tìm đợc vo (5.4.1) ta nhận đợc công thức lm trơn
tối u.
Trên thực tế thờng gặp những trờng hợp có thể xem sai số đo không tơng quan
với giá trị thực của đại lợng đợc đo. Trong trờng hợp ny Rxy()=Ryx()0, do đó
Sxy()=Syx()0, v các công thức (5.3.23), (5.3.24) đợc viết dới dạng
Sxy() = Sx()

(5.4.12)

Sz() = Sx() + Sy()

(5.4.13)

Khi đó công thức (5.4.10) để xác định hm truyền đợc viết nh− sau

L(ω ) =

S x (ω )
S x (ω ) + S y (ω )

(5.4.14)

Trong tr−êng hỵp nμy, khi thay (5.4.13) v (5.4.14) vo (5.3.22), ta nhận đợc sai số
bình phơng trung bình của phép lm trơn tối u l
+

S x (ω ) S y (ω )

−∞

σ2 =

x

S

(ω ) + S y (ω )

dω

(5.4.15)

Tõ ®ã thÊy r»ng, chØ cã thĨ tách hon ton hm ngẫu nhiên X(t) ra khỏi sai sè ®o
Y(t) khi Sx(ω)Sy(ω)=0, tøc lμ khi phỉ cđa chóng không bị phủ lên nhau.

127


5.5. Ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên cho trên khoảng (,t) nhờ sử

dụng phơng pháp của lý thuyết hμm biÕn phøc
Ta biĨu diƠn hμm t−¬ng quan Rxz(t+τ) vμ Rz(t) qua các mật độ phổ tơng ứng khi
đa vo phơng trình (5.3.11)
+

Rxz (t + ) = ei ( t +τ ) S xz (ω )dω

(5.5.1)

−∞

+∞

Rz (t − τ ) =  e iω ( t −τ ) S z (ω )dω

(5.5.2)

−∞

Ta biĨu diƠn hμm träng l−ỵng g(τ) qua hm truyền L()

1
g() =
2

+

e

i

L( )d .

(5.5.3)



Đặt (5.5.1), (5.5.2), (5.5.3) vo (5.3.11) ta đợc
+
+

1 i
i ( t )
S z (ω )dω  dτ −
  e L(ω )dω  e
2π  −∞
0
−∞

+∞

−  eiω ( t +T ) S xz (ω )dω = 0, khit ≥ 0

(5.5.4)

−∞

Khi thay đổi thứ tự tích phân ta viết (5.5.4) dới d¹ng



1
∞ 2π
− 



∞
eiω1t L(ω ) S z (ω1 )   e i (ω −ω1 )τ dτ  dω1 −
∞
−

0

∞

+∞

}

− e iω (t +T ) S xz (ω ) dω = 0, khit ≥ 0

(5.5.5)

Theo tÝnh chÊt cña hμm Delta (4.2.4) ta cã
∞

1
i (ω −ω )τ
 e 1 dτ = δ (ω − ω1 )
2π 0

(5.5.6)

Khi ®ã, theo tÝnh chÊt của hm Delta (4.2.7), tích phân bên trong của (5.5.5) b»ng
+∞

e

iω1t

L(ω ) S z (ω1 )δ (ω − ω1 )dω1 = e iωt L(ω ) S z (ω )

(5.5.7)

−∞

Nh− vËy, (5.5.5) cã d¹ng
+∞

ω
ω
 e [L(ω )S (ω ) − e
i t

i T

z

]

S xz (ω ) dω = 0, khi t ≥ 0

−∞

(5.5.8)

Ta sÏ xÐt vÕ tr¸i cđa (5.5.8) nh− mét hμm f(t) nμo ®ã
+∞

f(t) =

ω
ω
 e [L(ω )S (ω ) − e
i t

i T

z

]

S xz (ω ) dω

−∞

(5.5.9)

Hμm nμy lμ biến đổi ngợc Fourier của hm
F() = L() Sz () − e

128

iωT

S xz (ω)

(5.5.10)


Do ®ã, F(ω) lμ biÕn ®ỉi Fourier cđa hμm f(t), theo (5.5.8), hm f(t) ny đồng nhất
bằng không khi t0.
Trong lý thuyết biến đổi Fourier, định lý sau đây đà đợc chứng minh:
Giả sử f(t) l một hm khả tích, đồng nhất bằng không trên khoảng (0,+) v có
biến đổi Fourier
F() =

1
2



e

it

f (t )dt .

Khi đó F() l giá trị trên trục thực của hm giải tích biến phức bị chặn F() trong
nửa mặt phẳng phía trên, với
= + iλ
NÕu hμm F(ζ) lμ hμm gi¶i tÝch biÕn phøc bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên thì
biến đổi ngợc Fourier giá trị F() của nó trên trục thực bằng không trên khoảng (0,),
f(t) = 0.
Nếu thay khoảng (0,) bằng khoảng (-,0) v thay nửa mặt phẳng phía trên bằng
nửa mặt phẳng phía dới ta sẽ nhận đợc một định lý tơng tự.
Theo định lý ny hm (5.5.10) l giá trị trên trục thực của hm giải tích F() bị
chặn ở nửa mặt phẳng phía trên.
Trong đa số các bi toán ứng dụng, các quá trình ngẫu nhiên l những quá trình có
phổ hữu tỷ, tức mật độ phổ của chúng l hm phân thức hữu tỷ của tần số . Hm phân
thức hữu tỷ chẵn biến thực cã thĨ biĨu diƠn d−íi d¹ng tÝch cđa hai hμm S1() v S2(),
trong đó hm thứ nhất S1() l giá trị trên trục thực của hm biến phức giải tích, bị chặn
không có không điểm ở nửa mặt phẳng phía trên = + i, còn S2() l giá trị trên trục
thực của hm biến phức giải tích, bị chặn v không có không điểm ở nửa mặt phẳng dới.
Thực vậy, giả sử
S() =

P ( )
Q( )

trong đó P() v Q() l các đa thức có hệ số thực cđa ω.
Ta khai triĨn tư thøc vμ mÉu thøc thμnh các nhân tử tuyến tính. Ta gộp các nhân
tử của tư thøc vμ mÉu thøc mμ chóng sÏ b»ng kh«ng ở nửa mặt phẳng dới vo một hm
S1(), v gộp tất cả các nhân tử còn lại của tử thức vμ mÉu thøc thμnh S2(ω) vμ do S(ω) lμ
hμm ch½n, còn các hệ số của đa thức P() v Q() l thực nên các nhân tử tạo thnh S2()
l các đại lợng liên hợp phức của các nhân tử trong S1(), tức l chúng chỉ biến thnh
không ở nửa mặt phẳng trên. Tơng ứng với điều đó ta biểu diễn hm phổ dới dạng
Sz() = S1()S2(), (5.5.11)

trong đó S1() không có không điểm v cực điểm ở nửa mặt phẳng trên, S2() không có
không điểm v cực điểm ở nửa mặt phẳng dới. Đặt (5.5.11) vo (5.5.10)
F() = L()S1()S2() eiT S xz ( )

(5.5.12)

v chia cho S1() ta đợc

S (ω )
F (ω )
= L(ω ) S 2 (ω ) − e iωT xz
S1 (ω )
S1 (ω )

129

(5.5.13)


Hm

F ( )
l giải tích v bị chặn ở nửa mặt phẳng phía trên, vì trên đó hm F()
S1 ( )

l giải tích v bị chặn, còn S1() không có không điểm v cực điểm.
Do đó, theo phần hai của định lý, biến đổi ngợc Fourier của hm ny bằng không
trên khoảng (0,), tức l do (5.5.13) ta có

S ( )  iωt
F (ω ) iωt
e dω =   L(ω ) S 2 (ω ) − e iωT xz
 e dω = 0, khi t ≥ 0
∞ S1 (ω )
S1 ( )



(5.5.14)

Từ đó ta nhận đợc




it
L( )S 2 (ω )e dω =

−∞

S xz (ω )

 S (ω ) e

iω ( t +T )

dω , khi t ≥ 0

(5.5.15)

1

−∞

Hμm L(ω) gièng nh− hμm trun cđa hƯ kh¶ dĩ thực, m ta giả thiết nó ổn định, có
thể có nghiệm của mẫu thức chỉ trong nửa mặt phẳng trên, do đó nó không có cực điểm
trong nửa mặt phẳng dới.
Nh vậy, hm L()S2() l giải tích, bị chặn ở nửa mặt phẳng dới, do đó nhờ định
lý đà dẫn, biến đổi ngợc Fourier của nó bằng không


(t ) =  L(ω ) S 2 (ω )e iωt dω = 0, khi t < 0

(5.5.16)

−∞

Khi ®ã nÕu lÊy biến đổi Fourier của hm (t) ta nhận đợc
L()S2() =

1
2



iωt
 ϕ (t )e dt =

−∞

∞

∞

−∞

1
2π

−∞

iω t
−iωt
 e  L(ω1 )S2 (ω1 )e 1 dω1dt

(5.5.17)

Nh−ng theo c«ng thøc (5.5.15), khi t0 tích phân bên trong của (5.5.17) có thể thay
thế bëi vÕ ph¶i cđa (5.5.15)
∞

2πL(ω)S2(ω) =

− i ωt
e

−∞

∞

S xz (ω1 )

 S (ω ) e

−∞

1

iω1 ( t +T )

dω1dt

(5.5.18)

1

Tõ ®ã ta nhận đợc công thức đối với hm truyền tối −u
∞

∞

1
S (ω ) iω (t +T )
−iωt
L(ω) =
∞e −∞ Sxz(ω11) e 1 dω1dt
2πS 2 (ω ) −

1

(5.5.19)

Khi biÕt hμm truyÒn L() ta tìm đợc hm trọng lợng g(t) nh l biến đổi ngợc
Fourier của L() theo (5.4.12) chia cho 2.
Tơng ứng với những điều đà trình by, để xác định hm truyền tối u L() trong
trờng hợp mật độ phổ hữu tỷ cần phải lm nh sau
1. Xác định các mËt ®é phỉ Sxz(ω) vμ Sz(ω).
2. BiĨu diƠn Sz(ω) d−íi dạng tích của hai hm Sz() = S1()S2(), trong đó S1()
không có không điểm v điểm kỳ dị trong nửa mặt phẳng trên, còn S2()không có không
điểm v điểm kỳ dị trong nửa mặt phẳng dới.
Muốn vậy, trong mật độ phổ Sz() =

P( )
cần phải khai triển tử thức v mẫu thức
Q( )

thnh các nhân tử tuyến tính. Gộp vo hm S1() các nhân tử của tử thức v mẫu thøc

130


m chúng biến thnh không ở nửa mặt phẳng dới, còn những nhân tử còn lại gộp vo
S2().
3. Xác định hμm trun theo c«ng thøc (5.5.19). Khi tÝnh theo c«ng thức (5.5.19) để
thuận tiện ta sử dụng các công thức:
Nếu b >0 th×

1

2π

∞

 in
t n−1e i ( a +ib ) t khi t > 0,

=  (n − 1)!
0
khi t < 0


e dω

 [ω − (a + ib)]

n

−∞

(5.5.20)

 in
t n−1e i ( a +ib ) t khi t < 0,

=  (n − 1)!
0
khi t > 0


iωt

(5.5.21)

NÕu b <0 th×

1
2π

∞

iωt

e dω

 [ω − (a + ib)]

n

−∞

A.M. Iaglom [28], ®· chøng minh đợc rằng, trong nhiều trờng hợp có thể tìm hm
truyền tối u L() không cần tiến hnh tính theo c«ng thøc (5.5.19) mμ sư dơng tÝnh chÊt
dõng cđa hμm đa vo đẳng thức (5.5.10).
Trên đây ta đà xác định rằng
1. Hm F() l hm giải tích, bị chặn trong nửa mặt phẳng trên,
2. Hm L() không có không điểm v cực điểm ở nửa mặt phẳng dới,
3. Nh đà thấy từ công thức (5.3.22), tích phân không kỳ dị sau ph¶i héi tơ
∞

 L(ω )

2

S z (ω )dω

(5.5.22)

−∞

Nh− ta sÏ chØ ra trong c¸c vÝ dơ, khi sư dơng điều kiện thứ ba ny có thể tìm đợc
hm truyền tối u.
Các ví dụ
1. Ta xét trờng hợp ngoại suy thuần tuý khi trên khoảng (,t) có một thể hiện
của quá trình ngẫu nhiên X(t) m hm tơng quan có dạng
Rx() = D e



(5.5.23)

Trong trờng hợp ny không có sai sè ®o vμ theo (5.3.4)
Rz(τ) = Rxz(τ) = Rx(τ).
MËt ®é phỉ Sx(ω) t−¬ng øng víi hμm t−¬ng quan (5.5.23), nh− ®· chØ ra trong mơc
3.2, vÝ dơ 1, cã d¹ng

S x (ω ) =

Dα
π (ω 2 + α 2 )

(5.5.24)

Do đó,
Sz() = Sxz() = S x ( ) =
Công thức (5.5.10) đợc viết lại dới dạng

131

D
( 2 + α 2 )

(5.5.25)


[

F(ω) = L(ω ) − e iωT

]

Dα
π( ω 2 + α 2 )

=

Dα
L(ω ) − e iωT
π (ω − iα )( + i )

(5.5.26)

Theo điều kiện 1 hm F() phải giải tích trong nửa mặt phẳng trên. Nhng mẫu
thức vế phải (5.5.26) có không điểm tại =i ở nửa mặt phẳng trên, do đó tử thức vế phải
cũng phải có không điểm tại =i, không điểm ny đợc rút gọn với không điểm của mẫu
thức.
Nh vậy, cần thoả mÃn điều kiÖn

L(iα ) − ei ( iα )T = 0,

(5.5.27)

L(ω ) = e −αT

(5.5.28)

Tõ ®ã

Tõ ®iỊu kiƯn 1 vμ 2 suy ra rằng hm L() nói chung không thể có điểm kỳ dị hữu
hạn. Thực vậy, hm F() giải tích trong nửa mặt phẳng trên, v có nghĩa l vế phải cđa
(5.5.26), tøc lμ c¶ hμm L(ω), ph¶i gi¶i tÝch ë nửa mặt phẳng trên. Còn từ điều kiện 2 suy
ra rằng, L() cũng không có điểm kỳ dị ở nửa mặt phẳng dới.
Để thực hiện điều kiện 3 cần đặt hm L() bằng đại lợng hằng số. Khi đó tích
phân không kỳ dị (5.5.22) hội tụ


L( )

2

S z ( )dω = L(ω )

2

−∞

∞

 S (ω )dω
z

2

= L(ω ) D

(5.5.29)

−∞

Nh− vËy, cã thĨ lÊy hμm trun tèi −u lμ
L(ω) = e T = const.

(5.5.30)

Theo (5.4.12), hm trọng lợng g(t) tơng ứng với hm truyền ny đợc xác định
dới dạng
g(t) =

1
2

it
e L(ω )dω = e

−αT

−∞

1
2π

∞

e

iωt

dω = e −αT δ(t).

(5.5.31)

−∞

Khi ®ã, theo tính chất của hm Delta (4.2.7), công thức ngoại suy tối u (5.3.1) đợc
viết dới dạng
x(t+T) = e

T

x(t − τ )δ (τ )dτ

= e −αT x(t).

(5.5.32)

0

Tõ ®ã thÊy rằng, trong trờng hợp ngoại suy thuần tuý quá trình ngẫu nhiên có
hm tơng quan dạng (5.5.23), để dự báo tối u thể hiện tại thời điểm t+T chỉ cần biết
giá trị của nó tại thời điểm t. Việc biết giá trị của thể hiện ở tất cả các thời điểm trớc
không thể lm cho dự báo tốt hơn. Nếu tăng giá trị của lợng ngắm đón T thì đại lợng
e T bị giảm đi v sẽ dần tới không khi T.
Nh vậy, khi T giá trị đoán trớc tối −u x(t+T) sÏ tiÕn tíi kú väng to¸n häc cđa
qu¸ trình ngẫu nhiên v bằng không.
Theo (5.3.22), sai số bình phơng trung bình của dự báo 2 đợc xác định d−íi d¹ng
σ2 = D − e −2αT

∞

S

x

(ω )dω = D(1 − e −2αT )

−∞

132

(5.5.33)


Từ đó thấy rằng sai số dự báo tăng lên khi tăng lợng ngắm đón T.
Khi sử dụng công thức (5.5.19) ta nhận đợc chính giá trị của hm truyền tối u.
Trong trờng hợp ny, khi phân tích mật độ phổ Sz() = Sx() thnh các nhân tử
tuyến tính ta đợc
Sz() =

D

1
( i )( + i )

(5.5.34)

Nhân tử cđa mÉu thøc ω+iα cã nghiƯm ω=−iα n»m ë nưa mặt phẳng phía dới,
nhân tử i có nghiệm =i nằm ở nửa mặt phẳng phía trên. Vì vậy, ta lấy hμm S1(ω)
lμ
S1(ω) =

1
,
(ω + iα )

(5.5.35)

S2(ω) =

Dα
π (ω − iα )

(5.5.36)

v lấy S2() l

Thay các hm S1() v S2() đà chọn vo (5.5.19) ta nhận đợc

i it ∞ 1
L(ω) =
e 
eiω ( t +T ) dω1dt .
2 
ω − iα
2π 0
−∞ 1
1

(5.5.37)

Theo (5.5.20), ta cã

1
2π

ie −α ( t +T )
1

e iω1 (t +T ) dω1 = 
 ω − iα
0
−∞ 1
∞

khi t + T > 0
khi t + T < 0

(5.5.38)

Tõ ®ã
L(ω) = (α+iω) e

−αT

∞

e

− (α + iω ) t

dt = e −αT .

(5.5.39)

0

2. Ta xÐt tr−êng hợp ngoại suy thuần tuý thể hiện x(t) cho trên khoảng (,t), khi
quá trình ngẫu nhiên X(t) có hm tơng quan

Rx(τ) = D e

−α τ

cos βτ

(5.5.40)

Hμm t−¬ng quan nμy, nh− ®· chØ ra trong mơc 3.2, vÝ dơ 3, t−¬ng øng víi mËt ®é
phỉ
Sx(ω) =
=

Dα

α 2 + β 2 + ω2
=
π (ω 2 − α 2 − β 2 ) 2 + 4α 2ω 2

Dα

α 2 + β 2 + ω2
π [ω + ( β + iα )][ω − ( β + iα )][ω + ( β − iα )][ω ( i )]

(5.5.41)

Công thức (5.5.10) đợc viết l¹i d−íi d¹ng
F(ω)=

Dα

[L(ω ) − e ](α
iωT

+ β 2 + ω2)
π [ω + ( β + iα )][ω − ( β + iα )][ω + ( β − iα )][ω − ( β − iα )]
2

(5.5.42)

MÉu thøc vÕ ph¶i (5.5.42) có không điểm ở nửa mặt phẳng trên tại =+i v
=+i. Vì biểu thức 2+2+2 tại các không điểm ny không bằng không, nên tại các

133


giá trị ny của hm L() eiT cần phải bằng không. Từ đó ta đợc
L(+i) = ei ( β + iα )T = e − (α − iβ )T ,
L(−β+iα) = e

i ( − β + iα ) T

=e

( + i )T

(5.5.43)
.

(5.5.44)

Hm F() có không điểm tại ± i α 2 + β 2 , trong ®ã ®iĨm i α 2 + β 2 n»m ë nưa mặt
phẳng trên, do đó hm L() chỉ có thể có cực điểm đơn tại = i 2 + 2 , cã nghÜa lμ hμm
L(ω)(ω− i α 2 + 2 ) cần phải nguyên, tức l nó không thể có điểm kỳ dị hữu hạn.
Để thực hiện điều kiện 3 cần phải cho hm ny l hm tuyến tính, tức đặt
L()( i 2 + 2 ) = Aω + B.

(5.5.45)

Tõ ®ã
L(ω) =

Aω + B

ω −i α2 + β2

.

(5.5.46)

Khi sư dơng ®iỊu kiƯn (5.5.43) vμ (5.5.44) ta nhận đợc hệ để xác định các hệ số A
v B:

[ (
[− β + i(α −

)]
)]e

e −αT β + i α − α 2 + β 2 eiβT = A(β + iα ) + B

e −αT

α2 + β2

−iβT

= A(− β + i ) + B

(5.5.47)

Khi giải hệ ny ta đợc:

2 + β2
sinβT) e −αT , (5.5.48)
β

A = (cosβT +

B = i α2 + β2 (

α 2 + β 2 −α
sinβT - cosT) e T .


(5.5.49)

Khi đà tìm đợc các giá trị A v B, hợp lý hơn ta biểu diễn hμm trun tèi −u
(5.5.46) d−íi d¹ng
L(ω) = A −

A α 2 + β 2 − iB
iω + α 2 + β 2

α 2 + β 2 −α
= (cosβT +
sinβT) e −αT −
β

α 2 + β 2 −α α 2 + β 2
−
sinβT. e −αT
2
2
β
iω + α + β
2

(5.5.50)

Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm trọng lợng tối u

2 + 2 −α
−αT 1
sinβT) e
β
2π

g(t) = (cosβT +

2(α + β − α α + β )

2

−

2

2

β

2

sin βT .e −αT

Theo tÝnh chÊt cña hμm Delta (4.2.4)

134

1
2π

∞

e

−∞

iωt

∞

e

iωt

dω −

−∞

dω
iω + α 2 + β 2

(5.5.51)


1
2



e

it

d = (t )

(5.5.52)

Tích phân trong hạng thứ hai cña (5.5.51) b»ng

1
2π

∞

e

−∞

dω

iωt

iω + α + β
2

e −

=
0


i
=
2π

2

α 2 +β 2 t

∞

e

dω

iωt

−∞

ω −i α2 + β2

=

khi t ≥ 0
khi t < 0

(5.5.53)

Khi thÕ (5.5.52) vμ (5.5.53) vμo (5.5.51) ta nhËn ®−ỵc hμm träng l−ỵng tèi −u víi t≥0

α 2 + β 2 −α
sinβT) e −αT δ(t) −
g(t) = (cosβT +
β
−

2(α 2 + β 2 − α α 2 + β 2 )

β

sin βT .e −αT e −

α 2 +β 2 t

(5.5.54)

Khi đó, tơng ứng với (5.3.1), công thức ngoại suy tối u đợc viết dới dạng

2 + 2 −α
sinβT) e −αT x(t) −
x(t+T) = (cosβT +
β
−

2(α 2 + β 2 − α α 2 + β 2 )

β

sin βT .e

−αT

∞

 x(t − τ )e

− α 2 + β 2

d

(5.5.55)

0

Công thức (5.5.55) chứng tỏ rằng, giá trị dự báo x(t+T) không chỉ phụ thuộc vo các
giá trị cuối cùng của thể hiện x(t) đà biết, m còn phụ thuộc vo giá trị của nó tại tất cả
các trị số cho tr−íc cđa ®èi sè theo ®ã tiÕn hμnh lÊy tích phân.
Theo (5.3.22), sai số bình phơng trung bình trong trờng hợp đà xét đợc xác định
dới dạng
2



2 + β 2 −α
D
− 2αT 
σ2 =
1− e
cos β T −
sin βT  
 

2
β
 



(5.5.56)

3. Ta xÐt tr−êng hỵp ngoại suy thuần tuý, khi m quá trình ngẫu nhiên X(t) cã hμm
t−¬ng quan
Rx(τ) = D e

−α τ


α
 cos βτ + sin β τ

β







(5.5.57)

T−¬ng øng víi hμm t−¬ng quan nμy lμ hμm mËt ®é phỉ
Sx(ω) =

2 Dα

π

(ω

α2 + β2
2

+α2 − 2

)

2

+ 4 2 2

(5.5.58)

Trong trờng hợp ny công thức (5.5.10) đợc viết dới dạng
F() =

2 D



[L( ) e ](α
iωT

+ β 2)
[ω + ( β + iα )][ω − ( β + iα )][ω + (β − iα )][ω − ( β − iα )]

135

2

(5.5.59)


TiÕn hμnh lËp luËn nh− trong vÝ dô 2 ta nhận đợc hm truyền tối u dới dạng



i sin T −αT
α
L(ω ) =  cos βT + sin βT e T +
e







(5.5.60)

Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm trọng lợng tèi −u
g(t) = (cosβT +

∞
∞
α
1
sin β T .e −αT 1

sinβT) e −αT
e iωt dω +
iωe iωt dω
2π −
2π −
β
β
∞
∞

(5.5.61)

TÝch ph©n

1
2π

∞

 i e

i t

d = (t)

(5.5.62)



l đạo hm của hm Delta. Từ đó ta có thể viết hm trọng lợng tối −u d−íi d¹ng

g(t) = (cosβT +

α
sin βT .e −αT
δ ′(t )
sinβT) e −αT δ (t ) +
β
β

(5.5.63)

Khi thay hμm träng lợng tìm đợc vo (5.3.1) ta nhận đợc công thức ngo¹i suy tèi
−u
x(t+T) = (cosβT +

α
sin β T .e −αT
sinβT) e −αT x(t ) +
x′(t )
β
β

(5.5.64)

V×
∞

 x(t − τ )δ ′(τ )dτ = x′(t )

(5.5.65)

0

Tõ c«ng thøc (5.5.64) thÊy r»ng giá trị ngoại suy x(t+T) phụ thuộc vo chính giá trị
của thể hiện x(t) tại thời điểm t cũng nh phụ thuộc cả vo đạo hm x(t) của nó tại thời
điểm ny.
Sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy trong trờng hợp vừa xét đợc
xác định dới dạng










2 = D 1 − e − 2αT  cos β T +




sin T




2

.



(5.5.66)

4. Xét trờng hợp ngoại suy có lm trơn khi cho thể hiện z(t)=x(t)+y(t) trên khoảng
(,t) với y(t) l sai số đo.
Ta sẽ xem rằng các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) không tơng quan lẫn nhau
v có các hm tơng quan
Rx() = D1e

1

Ry() = D2e

(5.5.67)

2

(5.5.68)

Các mật độ phổ tơng ứng với chúng đợc mô tả bởi các công thức
Sx() =

(

D11

2

2
+ 1

136

)

=

2

c1

2
+ α1

(5.5.69)


Sy(ω) =

D2α 2
c
= 2 2 2
2
2

π ω +α2 ω +α2

(

)

(5.5.70)

T−¬ng ứng với (5.3.23) v (5.3.24) ta tìm đợc mật độ phỉ Sz(ω) vμ mËt ®é phỉ quan
hƯ Sxz(ω):
Sxz(ω) = Sx(ω)
Sz(ω) =Sx(ω) + Sy(ω) =

(

)

c3 ω 2 + β 2
2
ω 2 + α12 ω 2 + α 2

(

)(

(5.5.71)

)

(5.5.72)

trong ®ã

D1α 2 + D2α1
α1α 2
D1α1 + D2α 2

(5.5.73)

L(ω )c3 (ω 2 + β 2 ) − e iωT c1 (ω + iα 2 )(ω − iα 2 )
(ω + iα1 )(ω − iα1 )(ω + iα 2 )(ω − iα 2 )

(5.5.74)

c3 =

1

π

(D1α1 + D22), 2 =

Công thức (5.5.10) đợc viết dới dạng
F() =

Mẫu thức vế phải (5.5.74) có không điểm ở nửa mặt phẳng trên tại =i1 v =i2.
Vì hm F() l giải tích ở nửa mặt phẳng trên, nên tử thức cũng phải có không điểm tại
các điểm ny để chúng có thể đợc rút gọn với các không điểm của mẫu thức.
Do đó, cần thoả mÃn các đẳng thức
2

c3 L(iα1 )( β 2 − α12 ) = c1e −α1T (α 2 − α12 ) ,
2
L(iα 2 )( β 2 − α 2 ) = 0

(5.5.75)

2
c1 α 2 − α12 1T
e
L(i1 ) =
c3 2 12

(5.5.76)

Từ đó ta đợc

L(i2) = 0, khi β ≠ α2. (5.5.77)
Hμm L(ω) gi¶i tÝch ở nửa mặt phẳng dới, còn ở nửa mặt phẳng trên nó chỉ có thể
có các cực điểm m chúng không phải l cực điểm của hm F(), tức l với chúng hm
L()(2+2) không thể có cực điểm. Điểm =i lμ ®iĨm duy nhÊt nh− vËy, tøc L(ω) cã thĨ
cã cực điểm =i, do đó hm L()(i) l nguyên. Để thoả mÃn điều kiện 3 ta giả thiết
nó l hm tuyÕn tÝnh
L(ω)(ω−iβ) = Aω + B,

(5.5.78)

tõ ®ã
L(ω) =

Aω + B

ω i

(5.5.79)

Thay (5.5.76) v (5.5.77) vo (5.5.78) ta xác định đợc các hệ số A v B từ hệ
phơng trình
Ai2 + B = 0
2
Aiα1 + B
c1 α 2 − α12 −α1T
e
=
2
2
c3 β − α1
i (α1 − β )

tõ ®ã

137

(5.5.80)


A=

c1 α1 + α 2 −α1T
e ,
c3 α1 + β

B = − iα 2

c1 α1 + α 2 −α1T
e
c3 α1 +

(5.5.81)

Thay (5.5.81) vo (5.5.79) ta nhận đợc hm truyền tèi −u
L(ω) =

c1 α1 + α 2 α 2 + iω −α1T
e
c3 α1 + β β + iω

(5.5.82)

Theo (5.4.12) ta tìm đợc hm trọng lợng tối u dới dạng

=



c1 1 + α 2 −α1T 1
e
2π
c3 α1 + β

g(t) =

e

i ωt

−∞

α 2 + iω
dω =
β + iω

c1 α1 + α 2 −α1T
e
δ (t ) + (α 2 − β )e −βt .
c3 1 +

[

]

(5.5.83)

Công thức ngoại suy tối u có lm trơn sẽ có dạng


D11
1 + 2 1T
e  x(t ) + (α 2 − β )  e −βt x(t − τ )dτ 
D1α1 + D2α 2 1 +
0

x(t+T) =

(5.5.84)

Sai số bình phơng trung bình của phép ngoại suy có lm trơn trong trờng hợp
trên đợc xác định nh sau:



2 = D1 1



D11 (1 + α 2 ) 2
e −α1T  .
2
( D1α1 + D2α 2 )(α1 + β )


(5.5.85)

5.6. Ngo¹i suy vμ lμm trơn quá trình ngẫu nhiên khi biểu diễn hm tơng
quan dới dạng tổng các hm mũ
Đối với các quá trình ngẫu nhiên m hm tự tơng quan v hm tơng quan quan
hƯ cđa chóng cã thĨ biĨu diƠn d−íi d¹ng tổng các hm mũ thì phơng pháp giải phơng
trình VinerHopf [17] có thể không đòi hỏi phải sử dụng lý thuyết hm biến phức.
Các hm ngẫu nhiên, m hm tơng quan của chúng đợc biểu diễn dới dạng tổng
các hm mũ, l những hm có mật độ phổ hữu tỷ.

Thực vậy, nếu
Rx() =

D e


k

k

,

(5.6.1)

k

thì mật độ phổ có d¹ng
Sx(ω) =

2

π

∞

 Rx (τ ) cos ωτdτ =
0

2

π

∞

 Dk  e −αkτ cos ωτdτ =
k

0

2

Dkα k
2
+ α k2

ω
π
k

(5.6.2)

Cã thÓ chØ ra rằng, mọi hm tơng quan có thể đợc xấp xỉ, với độ chính xác tuỳ ý,
bởi chuỗi m các thnh phần của nó l các hm mũ.
Cụ thể, hm tơng quan đợc biểu diễn qua các hm mũ l tỉng cã d¹ng
R(τ) =

D e α τ
−

k

k

k

cosβkτ =


k

138

[

]

Dk −(α k +iβk ) τ
−(α −iβ ) τ
e
+e k k .
2

(5.6.3)


Giả sử tất cả các hm tơng quan đa vo phơng trình Viner-Hopf đợc biểu diễn
dới dạng tổng các hm mò:

Rx (τ ) =  S i e

−α i τ

,

(5.6.4)

i

R y (τ ) =  N i e

− βi τ

;

(5.6.5)

i

 H i e −δ iτ ,
 i
Rxy (τ ) = 
γ iτ
 Gi e ,
 i

τ >0
(5.6.6)

τ <0

 Gi e −γ iτ ,
 i
R yx (τ ) = 
δ iτ
 H i e ,
 i

τ >0
(5.6.7)

τ <0

Thay (5.6.4)-(5.6.7) vμo c«ng thức (5.3.4), (5.3.5) ta đợc

Rxz ( ) = S i e −αiτ +  N i e − βiτ ,
i

Rz (τ ) =  S i e −αiτ +  Gi e
i

(5.6.8)

i

+  H ie

−γ i τ

i

−δ i τ

i

+  Nie

− βi τ

.

(5.6.9)

i

Trong c«ng thøc (5.6.8) ta chØ xÐt 0, vì phơng trình Viner-Hopf chỉ đợc xét đối
với các giá trị không âm của t.
Có thể viết lại các công thức (5.6.8) v (5.6.9) khi hợp hai tổng vo mét
p

Rxz (τ ) =  Ck e −ckτ ,τ ≥ 0 ;

(5.6.10)

k =1

p

Rz (τ ) =  Ck e

−ck τ

k =1

m

+ B je

b j

(5.6.11)

j =1

ở đây p v m l số các hạng chung trong tổng kết hợp tơng ứng.
Ta sẽ tìm hm trọng lợng g(t) dới dạng
N

g (t ) =  As e −ast + Aδ (t ),

(5.6.12)

s =1

trong đó (t) l hm Delta.
Số N v cả các hệ số As v as đợc xác định từ phơng trình Viner-Hopf (5.3.11).
Thay (5.6.10), (5.6.11) v (5.6.12) vo phơng trình (5.3.11) v yêu cầu sao cho nó
thoả mÃn đồng nhất tại mọi giá trị không âm của đối số t:
p

C e

−ck ( t +T )

k

k =1

m
 p
N
−b t −τ 
−c t −τ
=   As e −asτ + Aδ (τ )  C k e k
+  B j e j  dτ =
j =1
  k =1
0  s =1

∞

∞ N

=

p

0 s =1

k =1

  As  Ck e

−ck t −τ

∞ N

m

0 s =1

j =1

e −asτ dτ +   As  B j e

139

−b j t −τ

e −asτ dτ +