LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 2 ppt

50
Chơng 2: Hm ngẫu nhiên v các đặc trng của chúng
2.1. Định nghĩa hm ngẫu nhiên
Đại lợng ngẫu nhiên l đại lợng m khi tiến hnh một loạt các phép thử trong
cùng những điều kiện nh nhau có thể mỗi lần nhận đợc giá trị ny hay giá trị khác
không biết trớc đợc cụ thể.
Giả thiết rằng, kết quả thí nghiệm không phải l một số m l một hm no đó của
một hay nhiều đối số. Một hm m kết quả của mỗi lần thí nghiệm đợc tiến hnh trong
những điều kiện nh nhau, có thể có các dạng khác nhau, không biết trớc đợc cụ thể,
đợc gọi l hm ngẫu nhiên. Khi đó hm không ngẫu nhiên thu đợc do kết quả của mỗi
thí nghiệm đợc gọi l thể hiện của hm ngẫu nhiên. Với mỗi lần lặp lại thí nghiệm ta
nhận đợc một thể hiện mới. Nh vậy có thể xem hm ngẫu nhiên nh l tập tất cả các
thể hiện của nó. Cách tiếp cận thống kê nh vậy rất thuận lợi khi nghiên cứu nhiều quá
trình vật lý, kỹ thuật, sinh học v.v Đặc biệt, khái niệm hm ngẫu nhiên phản ánh rất
tốt thực chất của các quá trình khí tợng thuỷ văn.
Tính chất đặc trng của khí quyển l chuyển động rối nhiễu loạn gây nên sự biến
động mạnh của các yếu tố khí tợng cả theo thời gian lẫn không gian. Các xung rối mạnh
xảy ra cả trong các quá trình qui mô lớn cũng nh trong các chuyển động qui mô nhỏ. Sự
tồn tại của rối dẫn tới chỗ những điều kiện ban đầu không còn quy định một cách đầy đủ
diễn biến của quá trình, do đó các thí nghiệm tiến hnh trong cùng những điều kiện bên
ngoi nh nhau sẽ dẫn
đến các kết quả khác nhau.
Giả sử vo cùng một ngy một giờ của mỗi năm trong một khoảng thời gian no đó
ta đo nhiệt độ không khí tại một điểm cho trớc trong khí quyển. Với mỗi lần đo nh vậy
ta nhận đợc nhiệt độ nh l hm của thời gian T(t). Các hm nhận đợc khi lặp lại thí
nghiệm sẽ khác nhau. Mỗi hm T
i
(t) nhận đợc ở thí nghiệm i có thể đợc xem nh một
thể hiện riêng, còn tập tất cả các hm thu đợc cho chúng ta tập hợp các thể hiện quan
trắc của hm ngẫu nhiên.

Tơng tự, các yếu tố khí tợng khác - áp suất, các thnh phần của vectơ vận tốc gió,
v.v cũng có thể đợc xem nh l các hm ngẫu nhiên của thời gian v toạ độ không
gian.
Trên hình 2.1 dẫn các đờng cong phụ thuộc vo thời gian của thnh phần vĩ hớng
vectơ gió nhận đợc theo các số liệu quan trắc thám không.
Từng đờng cong trên hình 2.1 l một thể hiện của hm ngẫu nhiên. Nếu cố định
thời điểm t=t
o
v vạch một đờng thẳng vuông góc với trục honh, thì nó sẽ cắt mỗi thể
hiện tại một điểm. Các điểm giao l các giá trị của một đại lợng ngẫu nhiên m ngời ta
gọi l lát cắt của hm ngẫu nhiên ứng với giá trị của đối số t=t
o
.
Xuất phát từ đó có thể đa ra một định nghĩa khác về hm ngẫu nhiên: Hm ngẫu
nhiên của đối số t l hm X(t) m giá trị của nó tại mỗi trị số của đối số t=t
o
(mỗi một lát
cắt tơng ứng với t=t
o
) l một đại lợng ngẫu nhiên.
Ta sẽ ký hiệu hm ngẫu nhiên bằng các chữ cái lớn kèm theo đối số X(t),
Y(t) , còn các thể hiện của nó l các chữ cái nhỏ x
1
(t), x
2
(t) với các chỉ số nêu
rõ lần thí nghiệm m thể hiện trên nhận đợc. Lát cắt của hm ngẫu nhiên tại
giá trị đối số t
o
đợc ký hiệu l X(t

o
).
U (m/s)

51

Hình 2.1

Đối số t có thể nhận một giá trị thực bất kỳ trong khoảng hữu hạn hoặc vô hạn đã
cho, hoặc chỉ l các giá trị rời rạc nhất định. Trong trờng hợp thứ nhất X(t) đợc gọi l
quá trình ngẫu nhiên, còn trong trờng hợp thứ hai nó đợc gọi l dãy ngẫu nhiên.
Thuật ngữ hm ngẫu nhiên bao hm cả hai khái niệm trên. Đối số của hm ngẫu
nhiên không nhất thiết phải l thời gian. Chẳng hạn, có thể xét nhiệt độ không khí nh
l hm ngẫu nhiên của độ cao. Hm ngẫu nhiên có thể phụ thuộc không chỉ vo một biến
m có thể vi biến. Hm ngẫu nhiên của vi đối số gọi l trờng ngẫu nhiên.
Ví dụ, trong khí tợng học ngời ta xét trờng nhiệt độ, trờng gió, trờng áp suất,
tức l nhiệt độ, áp suất hay vectơ gió đợc xem nh l hm ngẫu nhiên của 4 đối số: 3 toạ
độ không gian v thời gian. Khi đó trờng ngẫu nhiên có thể vô hớng nh trong các
trờng hợp trờng nhiệt độ v trờng áp suất hoặc trờng véc tơ nh trờng gió, khi m
mỗi thể hiện của nó l một
hm vectơ.
Các quá trình khí tợng thuỷ văn l các hm của đối số liên tục, vì vậy chúng ta sẽ
không đề cập đến lý thuyết của chuỗi ngẫu nhiên, m chỉ xét các quá trình ngẫu nhiên
của một đối số liên tục v các trờng ngẫu nhiên nh l hm ngẫu nhiên của một vi đối
số liên tục. Khi đó ta sẽ gọi quá trình một chiều l hm ngẫu nhiên hay quá trình nhẫu
nhiên, không phân biệt giữa các thuật ngữ đó.
2.2. Các qui luật phân bố quá trình nhẫu nhiên
Nh ta đã thấy trớc đây, đại lợng ngẫu nhiên đợc hon ton xác định nếu biết
hm phân bố của nó
F(x) = P(X<x) (2.2.1)

Hệ các đại lợng ngẫu nhiên đợc xác định nếu cho hm phân bố của nó
F(x
1
,x
2
,x
n
) = P(X
1
<x
1
,X
2
<x
2
,X
n
<x
n
) (2.2.2)
Quá trình ngẫu nhiên X(t) có thể đợc xét nh l tập hợp tất cả các lát cắt của nó
m mỗi một lát cắt l một đại lợng ngẫu nhiên.
Khi cố định các giá trị của đối số t
1
, t
2
, , t
n
chúng ta nhận đợc n lát cắt của quá
trình nhẫu nhiên.

X
1
=X(t
1
), X
2
=X(t
2
), , X
n
=X(t
n
)

52
Khi đó, một cách gần đúng, quá trình ngẫu nhiên có thể đợc đặc trng bởi hm
phân bố của hệ các đại lợng ngẫu nhiên nhận đợc.
F
n
(x
1
,x
2
, ,x
n
) = P(X
1
<x
1
,X

2
<x
2
, ,X
n
<x
n
) (2.2.3)
Rõ rng, hm phân bố ny sẽ đặc trng cho quá trình ngẫu nhiên cng đầy đủ hơn,
nếu các giá trị của đối số t
i
cng phân bố gần nhau, số lát cắt n có đợc cng lớn.
Xuất phát từ đó, quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc coi nh đã cho trớc nếu đối với
mỗi giá trị t, hm phân bố của đại lợng ngẫu nhiên X(t) đã đợc xác định
F
1
(x,t) = P[X(t)<x)], (2.2.4)
đối với mỗi cặp hai giá trị t
1
v t
2
của đối số t, hm phân bố của hệ các đại lợng
ngẫu nhiên X
1
=X(t
1
), X
2
=X(t
2

) đợc xác định
F
2
(x
1
,x
2
,t) = P(X
1
<x
1
, X
2
<x
2
), (2.2.5)
v nói chung, với mọi n giá trị bất kỳ t
1
, t
2
, , t
n
của đối số t, hm phân bố n chiều
của hệ các đại lợng ngẫu nhiên X
1
=X(t
1
), X
2
=X(t

2
) , X
n
=X(t
n
) đợc xác định
F
n
(x
1
,x
2
, ,x
n
; t
1
,t
2
, ,t
n
) = P(X
1
<x
1
,X
2
<x
2
, ,X
n

<x
n
). (2.2.6)
Hm F
1
(x;t) đợc gọi l hm phân bố một chiều của quá trình ngẫu nhiên, nó đặc
trng cho qui luật phân bố của mỗi một lát cắt của nó, nhng không giải đáp đợc vấn đề
về sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các lát cắt khác nhau.
Hm F
2
(x
1
,x
2
;t
1
,t
2
) đợc gọi l hm phân bố hai chiều của quá trình ngẫu nhiên, nó
cũng không phải l đặc trng bao quát của quá trình ngẫu nhiên.
Để đặc trng đầy đủ quá trình ngẫu nhiên cần phải cho tất cả các hm phân bố
nhiều chiều.
Đối với các hm ngẫu nhiên liên tục, mỗi lát cắt của nó l một đại lợng ngẫu nhiên
liên tục, có thể sử dụng qui luật phân bố vi phân nhiều chiều để đặc trng cho hm ngẫu
nhiên. Nếu F
1
(x;t) có đạo hm riêng theo x

Fxt
x
1
(;)
= f
1
(x;t) (2.2.7)
thì nó đợc gọi l mật độ phân bố một chiều hay qui luật phân bố vi phân một chiều của
hm ngẫu nhiên.
Qui luật phân bố vi phân một chiều f
1
(x;t) l qui luật phân bố vi phân của đại lợng
ngẫu nhiên - lát cắt của hm ngẫu nhiên ứng với giá trị t cho trớc.
Qui luật phân bố vi phân nhiều chiều của hm ngẫu nhiên cũng đợc xác định một
cách tơng tự.
Nếu tồn tại đạo hm riêng hỗn hợp của hm phân bố n chiều



n
nnn
n
Fxx x tt t
xx x
( , , , ; , , , )

12 12
12
= fxx xtt t
nnn

( , , , ; , , , )
12 12
, (2.2.8)
thì nó đợc gọi l mật độ phân bố n chiều của quá trình ngẫu nhiên.
Hm phân bố v mật độ phân bố cần thoả mãn điều kiện đối xứng, tức l cần phải
nh nhau với mọi cách chọn các giá trị của đối số t
1
, ,t
n
.
Với mọi hoán vị i
1
, i
2
, ,i
n
từ các số 1, 2, , n, các hệ thức sau đây phải đợc thực
hiện:

53

Fx x x t t t
ni i i ii i
nn
( , , , ; , , , )
12 12
= Fxx x tt t
nnn
( , , , ; , , , )
12 12

(2.2.9)

fxx x t t t
ni i i ii i
nn
( , , , ; , , , )
12 12
= fxx xtt t
nnn
( , , , ; , , , )
12 12
(2.2.10)
Nh đã chỉ ra trong mục 1.7, từ hm phân bố v mật độ phân bố của hệ n đại lợng
ngẫu nhiên có thể nhận đợc hm phân bố của mọi hệ con của nó. Vì vậy, nếu đã biết
hm phân bố hoặc mật độ phân bố n chiều thì cũng chính l cho trớc tất cả các hm
phân bố v mật độ phân bố bậc thấp hơn.
Đặc trng hm ngẫu nhiên bằng việc cho trớc các qui luật phân bố nhiều chiều,
phần lớn trong ứng dụng thực tiễn, l không thể, do tính phức tạp của việc xác định thực
nghiệm các qui luật phân bố nhiều chiều, cũng nh do sự cồng kềnh, khó khăn khi sử
dụng để giải các bi toán ứng dụng.
Vì vậy, thay cho các qui luật phân bố nhiều chiều, trong đa số trờng hợp ngời ta
giới hạn bằng cách cho những đặc trng riêng của các qui luật ny, tơng tự nh trong lý
thuyết đại lợng ngẫu nhiên, thay cho qui luật phân bố ngời ta sử dụng các đặc trng số
của chúng.
2.3. Các đặc trng của quá trình ngẫu nhiên
Để đặc trng cho quá trình ngẫu nhiên, cũng nh các đại lợng ngẫu nhiên, ngời
ta sử dụng các mômen phân bố.
Mômen bậc i
1
+i

2
+ +i
n
của quá trình ngẫu nhiên l kỳ vọng toán học của tích các
luỹ thừa tơng ứng của các lát cắt khác nhau của quá trình ngẫu nhiên

), ,,(
21, ,,
21
niii
tttm
n
=
[][][]
{
}
n
i
n
ii
tXtXtXM )( )()(
21
21
(2.3.1)
Mômen bậc nhất:
m
1
(t) = M[X(t)] = m
x
(t) (2.3.2)

gọi l kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên.
Kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên l một hm không ngẫu nhiên m
x
(t),
m giá trị của nó với mỗi t bằng kỳ vọng toán học của lát cắt tơng ứng.
Kỳ vọng toán học m
x
(t) hon ton xác định bởi quy luật phân bố bậc nhất

mt
x
()
=
xf x t dx
1
(;)

+

(2.3.3)
Mômen gốc bậc hai có thể có hai dạng: mômen bậc hai đối với cùng một lát cắt của
quá trình ngẫu nhiên

mt
20,
()
=
[]
{}
MXt()

2
(2.3.4)
v mômen hỗn hợp bậc hai đối với hai lát cắt khác nhau

mtt
11 1 2,
(, )=
[]
MXt Xt()()
12
(2.3.5)
Mômen
m
20,
phụ thuộc vo một giá trị đối số t, mômen hỗn hợp m
11,
phụ thuộc
vo hai giá trị t
1
v t
2
của đối số t.

54
Bên cạnh các mômen gốc, ngời ta còn xét các mômen trung tâm của quá trình
ngẫu nhiên.
Hiệu giữa quá trình ngẫu nhiên v kỳ vọng của nó

Xt
o

()
= X(t) - m
x
(t) (2.3.6)
đợc gọi l quá trình ngẫu nhiên qui tâm.
Mômen trung tâm của quá trình ngẫu nhiên X(t) l mômen gốc bậc tơng ứng của
quá trình nhẫu nhiên qui tâm
Xt
o
()
Mômen trung tâm bậc nhất bằng không

1
(t) = M[ Xt
o
()] = M[X(t) m
x
(t)] = m
x
(t) m
x
(t) = 0.
Mômen trung tâm bậc hai có dạng:


20,
()t =
[]
{}
MXt MXt mt

o
x
() () ()
















=
2
2
(2.3.7)

11 1 2,
(, )tt = MXt Xt
oo
()()
12

=
=
[][ ]
{}
MXt m t Xt m t
xx
() () ( ) ( )
112 2
(2.3.8)
Mômen trung tâm

20,
()t l hm của đối số t, với mỗi giá trị t cố định nó l
phơng sai của lát cắt tơng ứng của quá trình ngẫu nhiên. Hm không ngẫu nhiên ny
của đối số t
D
x
(t) =
[]
{}
MXt m t
x
() ()
2
(2.3.9)

đợc gọi l phơng sai của quá trình ngẫu nhiên.
Mômen trung tâm
),(
211,1
tt

l hm của hai đối số t
1
v t
2
, với mỗi cặp hai giá trị t
1

v t
2
đó l mômen quan hệ hay mômen tơng quan giữa các lát cắt tơng ứng của quá
trình ngẫu nhiên.
Hm không ngẫu nhiên của hai đối số t
1
v t
2


),(
21
ttR
x
=
[][ ]
{}

)()()()(
2211
tmtXtmtXM
xx
(2.3.10)
đợc gọi l hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên X(t).
Rõ rng, khi t
1
=t
2
=t thì R
x
(t,t) = D
x
(t), tức l với các giá trị của đối số nh nhau thì
hm tơng quan trở thnh phơng sai.
Khi sử dụng qui luật phân bố vi phân hai chiều của hm ngẫu nhiên, có thể viết lại
hm tơng quan
),(
21
ttR
x
:

),(
21
ttR
x
=
[][ ]

+

+


21212122211
),;,()()( dxdxttxxftmxtmx
xx
(2.3.11)
Từ định nghĩa hm tơng quan
),(
21
ttR
x
thấy rằng, nó đối xứng đối với các đối số

55

),(
21
ttR
x
= ),(
12
ttR
x
(2.3.12)
Thay cho hm tơng quan, có thể sử dụng hm tơng quan chuẩn hoá
),(

21
ttr
x
đợc
xác định dới dạng

),(
21
ttr
x
=
)()(
),(
21
21
tt
ttR
xx
x

, (2.3.13)
trong đó
x
(t) = )(tD
x
đợc gọi l độ lệch bình phơng trung bình của hm ngẫu nhiên.
Với mỗi cặp giá trị t
1
v t
2

, hm tơng quan chuẩn hoá ),(
21
ttr
x
l hệ số tơng quan
của hai lát cắt tơng ứng của hm ngẫu nhiên.
Việc cho mômen bậc nhất v bậc hai, tức l kỳ vọng toán học v hm tơng quan
của quá trình ngẫu nhiên, m không cho các đặc trng đầy đủ của nó, cũng đã xác định
đợc hng loạt tính chất của quá trình ngẫu nhiên.
Tại mỗi giá trị cố định của đối số t, kỳ vọng toán học m
x
(t) xác định tâm phân bố
của mỗi lát cắt của quá trình ngẫu nhiên.
Hm tơng quan
),(
21
ttR
x
, trở thnh phơng sai khi các giá trị của đối số nh nhau
t
1
=t
2
=t, đặc trng cho tính tản mát của các giá trị ngẫu nhiên của lát cắt đã cho xung
quanh tâm phân phối.
Với các giá trị t
1
v t
2
khác nhau, hm tơng quan đặc trng cho mức độ phụ thuộc

tuyến tính giữa mỗi cặp các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên.
Khi giải quyết nhiều bi toán ứng dụng, chỉ cần biết hai mômen ny - kỳ vọng toán
học v hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên, l đủ.
Phần lý thuyết hm ngẫu nhiên dựa trên các đặc trng ny có tên gọi l lý thuyết
tơng quan của hm ngẫu nhiên.
Đối với các quá trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn thờng gặp trong thực tế, kỳ vọng
toán học v hm tơng quan l các đặc trng bao quát của quá trình ngẫu nhiên.
Quá trình ngẫu nhiên đợc gọi l có phân bố chuẩn nếu mọi hệ các lát cắt X(t
1
),
X(t
2
), , X(t
n
) của nó đều tuân theo quy luật phân bố chuẩn của hệ các đại lợng ngẫu
nhiên.
Mật độ phân bố của hệ các đại lợng ngẫu nhiên phân bố chuẩn đợc xác định duy
nhất bởi các kỳ vọng toán học v ma trận tơng quan của hệ đại lợng ngẫu nhiên (xem
mục 1.10).
Vì kỳ vọng toán học của các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên l trị số của kỳ vọng
toán học m
x
(t) tại các giá trị cố định của đối số t, còn các phần tử của ma trận tơng quan
l giá trị hm tơng quan
),(
21
ttR
x
khi cố định cặp hai đối số của nó, do đó kỳ vọng toán
học v hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên hon ton xác định mọi mật độ phân

bố n chiều của quá trình ngẫu nhiên phân bố chuẩn.
Ngy nay, lý thuyết hm ngẫu nhiên đợc xây dựng khá đầy đủ v nhờ nó đã có thể
giải quyết hng loạt bi toán ứng dụng quan trọng. Lý thuyết tơng quan cho phép xác
định cấu trúc thống kê của các quá trình v các trờng khí tợng, thuỷ văn, giải quyết
các bi toán dự báo những quá trình ny v nhiều bi toán khác.

56
Trong thống kê toán học, khi xác định kỳ vọng toán học v các mômen tơng quan
của các đại lợng ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm, theo định luật số lớn, thay cho
các giá trị của chúng l trung bình theo mọi giá trị của đại lợng ngẫu nhiên
m
x
= M[X] =

=
n
i
i
x
n
1
1
(2.3.14)

[]

=


==

n
i
yixiyxxy
mymx
n
mYmXMR
1
))((
1
1
))((
, (2.3.15)
ở đây, n l số trị số của đại lợng ngẫu nhiên.
Việc lấy trung bình tơng tự theo tập hợp tất cả các thể hiện đợc tiến hnh khi xác
định kỳ vọng toán học v hm tơng quan của hm ngẫu nhiên:
m
x
(t) =

=
n
i
i
tx
n
1
)(
1
(2.3.16),

[][ ]

=


=
n
i
xixix
tmtxtmtx
n
ttR
1
221121
)()()()(
1
1
),(
(2.3.17)
trong đó, n l số lợng các thể hiện.
Từ đó, để xác định các đặc trng của hm ngẫu nhiên, thay cho toán tử lấy kỳ vọng
toán học, trong các ti liệu thờng sử dụng toán tử trung bình hoá m nó đợc ký hiệu
bởi
m
x
(t) = )(tX (2.3.18)

[][]
)()()()(),(
221121

tXtXtXtXttR
x
= (2.3.19)
ở đây, đờng gạch ngang phía trên mỗi đại lợng l ký hiệu lấy trung bình đại lợng ny
theo tập hợp tất cả các thể hiện của hm ngẫu nhiên.
Ta hãy xét xem các đặc trng của quá trình ngẫu nhiên thay đổi nh thế no khi
thêm vo nó một hm không ngẫu nhiên.
Giả sử
Y(t) = X(t) + (t) (2.3.20)
trong đó (t) l hm không ngẫu nhiên.
Theo định lý cộng kỳ vọng toán học:
m
y
(t) = m
x
(t) + (t) (2.3.21)
Ta hãy xác định hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên Y(t)
[
]
[
]
{
}
)()()()(),(
221121
tmtYtmtYMttR
yyy
= =
=
[

]
[
]
{
}
)()()()()()()()(
22221111
ttmttXttmttXM
yy




++ =
=
[
]
[
]
{
}
),()()()()(
212211
ttRtmtXtmtXM
xyy
= (2.3.21)
tức l, rõ rng, khi thêm vo một hạng tử không ngẫu nhiên, hm tơng quan của quá
trình ngẫu nhiên không thay đổi.
Sử dụng tính chất ny, thông thờng, thay cho chính quá trình ngẫu nhiên ngời ta
xét quá trình ngẫu nhiên qui tâm.

57
Khi nghiên cứu các quá trình khí tợng thuỷ văn, kỳ vọng toán học nhận đợc bằng
cách trung bình hoá theo mọi thể hiện của quá trình ngẫu nhiên, l chuẩn khí hậu của
quá trình đã cho. Đó có thể l chuẩn trung bình ngy, tháng hoặc nhiều năm, v.v., phụ
thuộc vo tính chất của quá trình nghiên cứu. Sự thay đổi của quá trình đợc đặc trng
bởi độ lệch của thể hiện của quá trình so với chuẩn v gọi l dị thờng.
Điều quan tâm lớn nhất khi nghiên cứu thống kê các quá trình ngẫu nhiên l đặc
trng của các dị thờng ny. Chẳng hạn, trong dự báo ta quan tâm đến độ lệch của yếu
tố cần xét so với chuẩn, tức l yếu tố đó sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn chuẩn khí hậu.
Từ đó, thông thờng ngời ta xét các quá trình ngẫu nhiên qui tâm với kỳ vọng
toán học bằng 0. Khi đó hm tơng quan của quá trình qui tâm trùng với hm tơng
quan của quá trình ban đầu.
2.4. Hệ các quá trình ngẫu nhiên. Hm tơng quan quan hệ
Thông thờng ta xét đồng thời một vi quá trình ngẫu nhiên. Khi đó ngoi các đặc
trng của mỗi quá trình ngẫu nhiên, chủ yếu l xác lập mối quan hệ giữa các quá trình
khác nhau.
Chẳng hạn, khi nghiên cứu các hiện tợng thời tiết đòi hỏi phải xét đồng thời một
loạt các quá trình ngẫu nhiên, nh sự thay đổi của nhiệt độ không khí, áp suất, độ ẩm,
v.v
Tơng tự nh hệ các đại lợng ngẫu nhiên, có thể xét hệ n quá trình ngẫu nhiên
nh l vectơ ngẫu nhiên n chiều phụ thuộc vo đối số t, m mỗi một quá trình ngẫu
nhiên đợc xem l hình chiếu của vectơ ny trên trục toạ độ đã cho.
Do sự cồng kềnh v không có khả năng ứng dụng thực tế nên các qui luật phân bố
nhiều chiều của hệ các quá trình ngẫu nhiên sẽ không đợc mô tả, chúng ta sẽ giới hạn ở
hai mômen đầu tiên m chúng đợc sử dụng trong lý thuyết tơng quan. Mômen gốc bậc
nhất trùng với kỳ vọng toán học các quá trình ngẫu nhiên tơng ứng.
Mômen trung tâm bậc hai có thể có hai dạng. Dạng thứ nhất, có thể xét mômen
trung tâm bậc hai đối với hai lát cắt của cùng một quá trình ngẫu nhiên, nó sẽ l hm
tơng quan của mỗi quá trình ngẫu nhiên của hệ.

Dạng thứ hai, có thể xét mômen trung tâm bậc hai đối với một lát cắt tơng ứng với
giá trị đối số t
1
của một quá trình ngẫu nhiên của hệ, còn lát cắt của quá trình thứ hai
tơng ứng với giá trị đối số t
2
.
Mômen trung tâm ny đợc gọi l hm tơng quan quan hệ giữa hai quá trình
ngẫu nhiên đã cho. Ngời ta cũng còn dùng tên khác, l hm tơng quan lẫn nhau.
Xét hệ hai quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t). Trong lý thuyết tơng quan các đặc
trng của nó sẽ l: Kỳ vọng toán học m
x
(t) v m
y
(t), hm tơng quan R
x
(t
1
,t
2
) v R
y
(t
1
,t
2
),
v hm tơng quan quan hệ
R
xy

(t
1
,t
2
) =
[]
[]
{}
MXt m t Yt m t
xy
() () () ()
1122
(2.4.1)
Hm tơng quan quan hệ (2.4.1) đặc trng cho mức độ phụ thuộc tuyến tính giữa
các lát cắt X(t
1
) v Y(t
2
). Khi t
1
=t
2
hm tơng quan quan hệ sẽ đặc trng cho mức độ phụ
thuộc tuyến tính của các lát cắt tơng ứng với cùng một giá trị đối số của các quá trình
ngẫu nhiên X(t) v Y(t).

58
Hm tơng quan của mỗi quá trình ngẫu nhiên đặc trng cho mức độ quan hệ giữa
các lát cắt của cùng một quá trình, đôi khi còn đợc gọi l hm tự tợng quan.
Hm tơng quan quan hệ R

xy
(t
1
,t
2
) không đối xứng đối với các đối số của chúng, tuy
nhiên nó có tính chất l không thay đổi khi chuyển vị đồng thời cả đối số v chỉ số.
Thực vậy, từ (2.4.1) rõ rng:
R
xy
(t
1
,t
2
) = R
yx
(t
2
,t
1
) (2.4.2)
Dễ rng chứng minh đợc rằng hm tơng quan quan hệ không thay đổi khi thêm
vo mỗi hm ngẫu nhiên các hạng tử không ngẫu nhiên, cho nên có thể tính nó khi sử
dụng hm ngẫu nhiên qui tâm.
Khi cố định các giá trị đối số t
1
v t
2
thì R
xy

(t
1
,t
2
) l mômen quan hệ giữa hai đại
lợng ngẫu nhiên X(t
1
) v Y(t
2
), vì vậy

)()(),(
2121
ttttR
yxxy


(2.4.3)
Thay cho hm tơng quan quan hệ ta xét đại lợng vô thứ nguyên, gọi l hm
tơng quan quan hệ chuẩn hoá.

),(
21
ttr
xy
=
)()(
),(
21
21

tt
ttR
yx
xy

(2.4.4)
Theo (2.4.3)

1),(
21
ttr
xy
(2.4.5)
Khi cố định các giá trị t
1
v t
2
hm tơng quan quan hệ chuẩn hoá ),(
21
ttr
xy
l hệ số
tơng quan của các đại lợng ngẫu nhiên X(t
1
) v Y(t
2
).
Nếu hm tơng quan quan hệ đồng nhất bằng không thì các quá trình ngẫu nhiên
đợc gọi l không liên hệ hay không tơng quan.
Cũng nh đối với đại lợng ngẫu nhiên, điều kiện không tơng quan l điều kiện

cần nhng không phải l điều kiện đủ để các quá trình ngẫu nhiên độc lập. Nó chỉ đặc
trng cho sự không phụ thuộc tuyến tính giữa chúng.
Nếu có hệ n quá trình ngẫu nhiên X
1
(t), X
2
(t), , X
n
(t) thì, để đặc trng cho hệ ny,
trong lý thuyết tơng quan cần phải cho n kỳ vọng toán học
)(tm
i
x
, n hm tơng quan
),(
21
ttR
i
x
v
2
)1( nn
hm tơng quan quan hệ ),(
21
ttR
ji
xx
. Do (2.4.2), chỉ cần cho các hm
tơng quan quan hệ đối với các cặp chỉ số x
i

, x
j
, với i<j l đủ, vì

),(
21
ttR
ji
xx
= ),(
12
ttR
ij
xx
(2.4.6)
Xét trờng hợp khi quá trình ngẫu nhiên Z(t) l tổng của hai quá trình ngẫu nhiên
khác X(t) v Y(t),
Z(t) = X(t) + Y(t) (2.4.7)
Ta tìm kỳ vọng v hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên Z(t).
Với mỗi giá trị t cố định, theo tính chất kỳ vọng của tổng các đại lợng ngẫu nhiên,
ta nhận đợc
m
z
(t) = m
x
(t) + m
y
(t) (2.4.8)
Tính hm tơng quan R
z

(t
1
,t
2
)

59

[]
[]
)()()()()()()()()( tYtXtmtYtmtXtmtZtZ
oo
yxz
o
+=+==
. (2.4.9)
Từ đó
),(
21
ttR
z
=

+






+=






)()()()()()(
221121
tYtXtYtXMtZtZM
oooooo
=
=

+






+






+






)()()()()()()()(
21212121
tXtYMtYtXMtYtYMtXtXM
oooooooo
=
=
),(
21
ttR

x
+ ),(
21
ttR
y
+ ),(
21
ttR
xy
+ ),(
21
ttR
yx
(2.4.10)
Nh vậy, để xác định kỳ vọng toán học của tổng hai quá trình ngẫu nhiên cần biết
kỳ vọng toán học của cả hai quá trình.
Để xác định hm tơng quan của tổng hai quá trình ngẫu nhiên cần biết hm
tơng quan của mỗi quá trình thnh phần v hm tơng quan quan hệ của các quá trình
đó. Trong trờng hợp khi các quá trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) không liên hệ,
),(
21
ttR
xy
=0, ),(
21
ttR
yx
=0 thì (2.4.10) có dạng
),(
21

ttR
z
= ),(
21
ttR
x
+ ),(
21
ttR
y
(2.4.11)
Các công thức ny có thể đợc tổng quát hoá cho trờng hợp tổng của n hạng tử
Z(t) =

=
n
i
i
tX
1
)(
(2.4.12)
khi đó

)(tm
z
=

=
n

i
x
tm
i
1
)( (2.4.13)

),(
21
ttR
z
=

=
n
i
x
ttR
i
1
21
),( +

<
n
ji
xx
ttR
ji
),(

21
(2.4.14)
Trong trờng hợp tất cả các quá trình ngẫu nhiên đôi một không liên hệ ta có

),(
21
ttR
z
=

=
n
i
x
ttR
i
1
21
),( . (2.4.15)
Khi cộng hm ngẫu nhiên X(t) với đại lợng ngẫu nhiên Y, ta có thể xét đại lợng
ngẫu nhiên ny nh l hm ngẫu nhiên không thay đổi theo đối số t.
Trong trờng hợp ny m
y
(t) = m
y
, còn ),(
21
ttR
y
= ),( ttR

y
=D
y
. Khi đó công thức (2.4.8)
đợc viết lại dới dạng
m
z
(t) = m
x
(t) + m
y
. (2.4.16)
Khi hm ngẫu nhiên X(t) không liên hệ với đại lợng ngẫu nhiên Y, công thức
(2.4.10) đợc viết lại dới dạng

),(
21
ttR
z
= ),(
21
ttR
x
+ D
y
, (2.4.17)

60
2.5. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Các quá trình ngẫu nhiên m những tính chất thống kê của chúng, trên thực tế,

không thay đổi theo đối số l những quá trình đơn giản nhất cho việc nghiên cứu v mô
tả thống kê. Các quá trình nh vậy đợc gọi l dừng.
Thuật ngữ dừng xuất hiện khi nghiên cứu các hm ngẫu nhiên thời gian v đặc
trng cho các tính chất của chúng không thay đổi theo thời gian. Đối với các quá trình
ngẫu nhiên m đối số của chúng không phải thời gian m l biến khác, chẳng hạn,
khoảng cách, thuật ngữ đồng nhất l tự nhiên hơn. Tuy nhiên, thuật ngữ dừng đợc thừa
nhận đối với hm ngẫu nhiên một biến không phụ thuộc vo tính chất của biến ny.
Thuật ngữ đồng nhất đợc áp dụng cho trờng ngẫu nhiên, khi đặc trng cho tính
chất đồng nhất của chúng trong không gian, còn tính dừng của trờng đợc hiểu l các
tính chất thống kê của nó không thay đổi theo thời gian. Ta sẽ định nghĩa chính xác hơn
khái niệm dừng.
Quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc gọi l dừng nếu tất cả các qui luật phân bố hữu hạn
chiều của nó không thay đổi khi thêm vo mọi giá trị của đối số với cùng một số, tức l
nếu tất cả chúng chỉ phụ thuộc vo sự sắp xếp các giá trị của đối số với nhau m không
phụ thuộc vo chính các giá trị ny.
Nh vậy, quá trình ngẫu nhiên X(t) l dừng nếu với mọi n v mọi t
o
, đẳng thức sau
đây đợc thực hiện
), ,,;, ,,(
2121 nnn
tttxxxf = ), ,,;, ,,(
2121 onoonn
ttttttxxxf +++ (2.5.1)
Do đó, mật độ phân bố l bất biến đối với phép dịch chuyển gốc tính của đối số t.
Cụ thể, đối với mật độ phân bố một chiều f
1
(x;t) của quá trình ngẫu nhiên dừng, khi
đặt t
o

=t ta nhận đợc
f
1
(x;t) = f
1
(x;tt) = f
1
(x;0) = f
1
(x) (2.5.2)
tức l mật độ phân bố một chiều không phụ thuộc vo t, nó nh nhau đối với mọi
lát cắt của quá trình ngẫu nhiên.
Khi t
o
=t
1
mật độ phân bố hai chiều đợc đa về dới dạng
f
2
(x
1
,x
2
;t
1
,t
2
) = f
2
(x

1
,x
2
;0,t
2
t
1
) = f
2
(x
1
,x
2
;t
2
t
1
) = f
2
(x
1
,x
2
;), (2.5.3)
tức l mật độ phân bố hai chiều phụ thuộc vo không phải cả hai đối số t
1
, t
2
m chỉ
phụ thuộc vo một đối số l hiệu của chúng = t

2
t
1
. Từ đó, theo (2.5.2), đối với quá trình
ngẫu nhiên dừng ta nhận đợc

)(tm
x
=

+

dxxxf )(
1
= m
x
= const (2.5.4)
tức kỳ vọng toán học của quá trình ngẫu nhiên dừng không phụ thuộc vo đối số t
v l một đại lợng không đổi.
Theo (2.5.3) v (2.5.4),

),(
21
ttR
x
=

+

+

2121221
);,())(( dxdxxxfmxmx
xx

= )(

x
R (2.5.5)
Nh vậy, hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng l hm chỉ của một đối
số = t
2
t
1
.

61
Các điều kiện (2.5.4) v (2.5.5) đợc thực hiện đối với mọi quá trình dừng, tức đó l
những điều kiện cần của tính dừng. Tuy nhiên chúng không phải l điều kiện đủ đối với
quá trình dừng, có nghĩa l điều kiện đó cha đảm bảo để thực hiện điều kiện (2.5.1) khi
n3.
Trong lý thuyết tơng quan của hm ngẫu nhiên ngời ta không sử dụng qui luật
phân bố nhiều chiều m chỉ sử dụng hai mômen phân bố đầu tiên, khi đó việc thực hiện
các điều kiện (2.5.4) v (2.5.5) l điều hết sức cốt yếu, nó lm đơn giản hoá rất nhiều việc
mô tả các quá trình ngẫu nhiên v giải quyết đợc nhiều bi toán.
Vì vậy, trong lý thuyết tơng quan ngời ta tách ra lớp các quá trình ngẫu nhiên
m các điều kiện (2.5.4) v (2.5.5) đợc thoả mãn, tức l đối với chúng kỳ vọng toán học
l đại lợng không đổi, còn hm tơng quan l hm chỉ của một đối số.
Các quá trình nh vậy đợc gọi l dừng theo nghĩa rộng. Sau ny, khi nghiên cứu

lý thuyết tơng quan hm ngẫu nhiên, nếu nói đến tính dừng ta sẽ hm ý l dừng theo
nghĩa rộng.
Đối với các quá trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn, tính dừng theo nghĩa rộng
tơng đơng với tính dừng theo nghĩa hẹp, vì tất cả các mật độ phân bố n chiều trong
trờng hợp ny hon ton đợc xác định bởi kỳ vọng
toán học v hm tơng quan của
quá trình ngẫu nhiên. V do đó, sự không phụ thuộc của kỳ vọng v hm tơng quan vo
việc chọn gốc tính của đối số t dẫn đến tính bất biến của mật độ phân bố n chiều của quá
trình ngẫu nhiên có phân bố chuẩn.
Từ tính chất đối xứng của hm tơng quan (2.3.12) suy ra
R
x
() = R
x
() (2.5.6)
tức hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng l hm chẵn. Từ đó cũng có thể
nói hm tơng quan chỉ phụ thuộc vo giá trị tuyệt đối của hiệu t
2
t
1
, tức l xem =
12
tt
.
Đối với quá trình ngẫu nhiên dừng X(t), phơng sai
D
x
(t) = R
x
(t,t) = R

x
(0), (2.5.7)
tức phơng sai cũng l một đại lợng không đổi, không phụ thuộc vo đối số t. Nó
nhận đợc từ hm tơng quan R
x
() khi =0.
Theo (2.3.12), hm tơng quan chuẩn hoá của quá trình dừng đợc xác định dới
dạng

)0(
)()(
)(
x
x
x
x
x
R
R
D
R
r



== (2.5.8)
Đặc biệt

1
)0(

)0(
)0( ==
x
x
x
R
R
r
(2.5.9)
Ta hãy xét hệ các quá trình ngẫu nhiên X
1
(t), X
2
(t), , X
n
(t). Hệ ny đợc gọi l dừng
theo nghĩa rộng nếu mỗi một quá trình ngẫu nhiên X
i
(t) l dừng theo nghĩa rộng, ngoi
ra, các hm tơng quan quan hệ
),(
21
ttR
ji
xx
l hm chỉ của một đối số =t
2
t
1
, tức l

),(
21
ttR
ji
xx
= )(

ji
xx
R . (2.5.10)

62
Hệ nh vậy cũng còn đợc gọi l dừng v liên hệ dừng.
Đối với hệ nh vậy, từ tính chất của hm tơng quan quan hệ (2.4.2) ta đợc

)(

ji
xx
R = )(


ji
xx
R (2.5.11)
Từ những điều đã trình by ta thấy rằng, tính dừng của hm ngẫu nhiên đã lm
đơn giản đi một cách đáng kể việc mô tả thống kê nó. Trong khuôn khổ lý thuyết tơng
quan điều đó cho phép vạch ra các phơng pháp toán học khá hữu hiệu giải quyết các
vấn đề biến đổi hm ngẫu nhiên dừng, dự báo chúng,

Đối với các hm không dừng việc giải quyết các vấn đề đó gặp rất nhiều khó khăn.
Vì vậy, trớc khi xét bất kỳ một hm ngẫu nhiên no xảy ra trong thực tế, ta phải xét
trên quan điểm có thể cho rằng nó l dừng.
Đối với các quá trình xảy ra trong khí quyển v thuỷ quyển, giả thiết về tính dừng
của chúng đợc thoả mãn tơng đối tốt trong khoảng thời gian hoặc khoảng cách không
lớn. Khi tăng khoảng thay đổi của đối số tính dừng bị phá huỷ. Khi đó, do biến trình
ngy (năm) của các yếu tố khí tợng v các nhân tố hệ thống khác, m dẫn đến việc kỳ
vọng toán học thay đổi theo sự thay đổi của đối số. Vì vậy nhiều khi tính dừng theo nghĩa
hm tơng quan không phụ thuộc vo gốc tính toán, trên thực tế, vẫn đợc bảo ton, nếu
không chính xác thì cũng l xấp xỉ cho phép no đó.
Trong trờng hợp ny, thay cho chính quá trình ngẫu nhiên, hợp lý hơn ta xét quá
trình ngẫu nhiên qui tâm, tức l độ lệch của nó khỏi kỳ vọng toán học
)()()( tmtXtX
x
o
=
Khi đó, có thể xem quá trình ngẫu nhiên qui tâm l dừng với kỳ vọng toán học
không đổi bằng 0. Hm tơng quan của quá trình ngẫu nhiên qui tâm v quá trình ngẫu
nhiên ban đầu trùng nhau nh đã chỉ ra trong mục 2.3.
Khi nghiên cứu cấu trúc thống kê các quá trình khí quyển v thuỷ quyển, thông
thờng nhất l các quá trình ngẫu nhiên dừng có hm tơng quan đợc xấp xỉ bởi các
dạng hm sau đây:
1) R() =



e
2
, >0 (hình 2.2)
2) R() =

2
2



e , >0 (hình 2.3)
3) R() =



e
2
cos, >0 (hình 2.4)
4) R() =
2
2



e cos, >0 (hình 2.5)
5) R() =



e
2
(cos+

sin ), >0, >0 (hình 2.6)
6) R() =







>










o
o
o





khi0
khi1

2
(hình 2.7)
Trên các hình chỉ dẫn ra đồ thị các hm tơng quan đối với >0, do tính chẵn của
các hm ny, ta sẽ có tơng ứng các đờng cong đối xứng đối với trục tung.

63
Từ các hình 2.2, 2.3, 2.7 ta thấy, giá trị của hm tơng quan giảm khi tăng, tức l
mối liên hệ tơng quan giữa các lát cắt của hm ngẫu nhiên giảm theo sự tăng của
khoảng cách giữa chúng.
Các đờng cong trên hình 2.4 v 2.5 có dạng dao động điều ho với biên độ giảm
dần. Dạng các đờng cong ny nói lên tính có chu kỳ trong cấu trúc của hm ngẫu nhiên.
Việc nhận đợc các giá trị âm của R() trên khoảng biến đổi của chỉ ra mối quan hệ
nghịch biến giữa các lát cắt của hm ngẫu nhiên, tức l độ lệch khỏi kỳ vọng toán học ở
lát cắt ny dơng tơng ứng với độ lệch âm ở lát cắt khác.
Đối với tất cả các trờng hợp đã nêu, hm tơng quan dần tới không khi dần tới
vô hạn. Thực tế, tính chất ny thờng đợc thoả mãn đối với tất cả các hm ngẫu nhiên
thờng gặp trong khí tợng thuỷ văn.
Ngoại trừ trờng hợp khi m trong cấu trúc của hm ngẫu nhiên có thnh phần l
một đại lợng ngẫu nhiên không đổi. Trong trờng hợp ny hm tơng quan sẽ chứa một
hạng tử l hằng số, bằng phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên ny. Khi thì R
() sẽ
dần đến phơng sai ny. Ví dụ nh, đối với trờng hợp 3 đồ thị sẽ có dạng nh trên hình
2.8.
Hình 2.2

Hình 2.3
Hình 2.4

Hình 2.5

64

Hình 2.6

Hình 2.7
Một vấn đề xuất hiện l, có phải mọi
hm chẵn đều có thể l hm tơng quan
của quá trình ngẫu nhiên dừng hay
không.
Hm f(t) m đối với nó bất đẳng
thức sau đây đúng đối với mọi n số thực
a
1
, a
2
, , a
n
v mọi giá trị của đối số t
1
,
t
2
, , t
n
đợc gọi l xác định dơng:

Hình 2.8

==

n
i
n
j
jiji
ttfaa
11
0)( (2.5.12)
Ta xét tổng kiểu nh vậy đối với hm tơng quan R
x
()

==

n
i
n
j
jixji
ttRaa
11
)( =

==

n
i
n
j
jij
o
i
o
aatXtXM
11
)()( = 0)(
2
1

=
n
i
i
o
i
tXaM (2.5.13)
Tổng (2.5.13) không âm giống nh kỳ vọng toán học của đại lợng không âm. Do
đó, hm tơng quan l xác định dơng. Từ đó thấy rằng, một hm chỉ có thể l hm
tơng quan của quá trình ngẫu nhiên dừng khi nó l xác định dơng.
Điều ngợc lại cũng đúng vì mọi hm xác định dơng l hm tơng quan đối với
một quá trình ngẫu nhiên dừng no đó.
Có thể chỉ ra rằng, tất cả các hm đợc xét trên các hình 2.22.7 đều xác định
dơng.
Đối với hm tự tơng quan, nh chúng ta đã thấy, giá trị cực đại bằng phơng sai
của quá trình ngẫu nhiên, đạt đợc khi =0.
Đối với hm tơng quan quan hệ của hai quá trình ngẫu nhiên điều đó không phải
luôn luôn xảy ra. Thực vậy, ảnh hởng của một quá trình lên quá trình khác có thể xảy
ra với độ trễ no đó. Chẳng hạn, sự nung nóng tầng bình lu do bức xạ mặt trời chỉ xảy
ra sau một thời gian no đó. Trong trờng hợp ny, giá trị của mômen quan hệ giữa các

65
lát cắt của các quá trình ny sau khoảng thời gian , lớn hơn so với mômen quan hệ giữa
các lát cắt tại cùng thời điểm của các quá trình đó. Sự trễ ny có thể l nguyên nhân của
tính không đối xứng của hm tơng quan quan hệ đối với đối số , tức l
)()(

xyxy
RR .
2.6. Tính egodic của quá trình ngẫu nhiên dừng
Cho đến nay chúng ta đã xác định đợc các đặc trng của hm ngẫu nhiên, nh kỳ
vọng toán học v hm tơng quan, bằng cách lấy trung bình theo tập hợp tất cả các thể
hiện. Tuy nhiên có thể có phơng pháp lấy trung bình khác nếu chúng ta có một thể hiện
với độ di đủ lớn. Nếu mối liên hệ giữa các lát cắt khác nhau của quá trình ngẫu nhiên
giảm nhanh thì có thể xem các phần của thể hiện không phụ thuộc lẫn nhau v có thể
xét chúng nh l tập hợp các thể hiện. Đơng nhiên, chỉ có thể xét phơng pháp ny đối
với hm ngẫu nhiên dừng, vì đối với hm không dừng các tính chất thống kê thay đổi
theo đối số, v các đoạn riêng biệt của thể hiện không thể xem l những thể hiện khác
nhau nh kết quả của các lần thí nghiệm trong cùng những điều kiện nh nhau.
Đối với quá trình ngẫu nhiên dừng, kỳ vọng toán học (giá trị trung bình) không phụ
thuộc vo đối số, vì vậy có thể xác định giá trị của nó nh l trung bình số học của tất cả
các giá trị của thể hiện đã cho m không cần chia thể hiện thnh các phần riêng biệt.
Trong trờng hợp ny kỳ vọng toán học đợc xác định bởi công thức


=
T
x
dttx
T
m
0
)(
1

(2.6.1)
trong đó T l khoảng lấy trung bình.
Tơng tự, hm tơng quan R
x
() cũng đợc xác định nh l trung bình số học của
tích
[][ ]
xx
mtxmtx + )()(


theo tất cả các giá trị của thể hiện đã cho bằng công thức

[][ ]


+

=




T
xxx
dtmtxmtx
T
R
0
)()(

1
)(
(2.6.2)
Một vấn đề xuất hiện l các giá trị ny có tiệm cận với giá trị tơng ứng nhận đợc
bằng cách lấy trung bình trên ton tập hợp hay không. Câu trả lời l điều đó sẽ xảy ra
không phải đối với mọi hm dừng.
Ngời ta nói rằng, hm ngẫu nhiên có tính egodic l hm m đối với nó, các đặc
trng nhận đợc bằng cách lấy trung bình theo một thể hiện có thể tiến dần đến các đặc
trng tơng ứng nhận đợc bằng việc lấy trung bình theo tập tất cả các thể hiện với xác
suất tuỳ ý gần bằng đơn vị khi tăng khoảng lấy trung bình T. Các hm ngẫu nhiên có
tính egodic l các hm m mỗi thể hiện của chúng có cùng một số tính chất thống kê.
Nếu các thể hiện riêng biệt có những đặc tính của mình, ví dụ nh dao động xung quanh
các giá trị trung bình khác nhau, thì giá trị trung bình nhận đợc theo một thể hiện có
thể khác nhiều so với trung bình theo tập hợp tất cả các thể hiện.
Điều kiện toán học của tính egodic của hm ngẫu nhiên dừng đã đợc phát biểu.

66
Cụ thể, hm tơng quan R
x
() tiến đến không khi tiến đến vô hạn đối với kỳ vọng
toán học l điều kiện đủ cho tính egodic. Điều kiện ny thờng thoả mãn đối với mọi hm
ngẫu nhiên gặp trong thực tế. Tuy nhiên, nó sẽ không đợc thực hiện nếu trong thnh
phần của hm ngẫu nhiên có chứa một đại lợng ngẫu nhiên no đó nh l một hằng số
cộng.
Thực vậy, giả sử hm ngẫu nhiên Z(t) l tổng của quá trình ngẫu nhiên dừng X(t)
v một đại lợng ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học bằng 0 không liên hệ với nó. Khi đó,
theo (2.4.17), xảy ra đẳng thức sau:
R
z
() = R

x
() + D
y
,
v R
z
() sẽ không tiến tới 0, m tiến tới một số dơng D
y
no đó khi , thậm chí cả khi
điều kiện
0)(lim =



x
R đợc thoả mãn.
Trong trờng hợp ny, theo (2.4.16), ta có
m
z
(t) = m
x
(t) + m
y
= m
x
(t). (2.6.3)
Mỗi một thể hiện z
i
(t), tại mọi giá trị đối số t, sẽ chứa một hằng số cộng bằng giá trị
y

i
của đại lợng ngẫu nhiên Y, tức l

iii
ytxtz += )()( (2.6.4)
vì vậy, giá trị trung bình nhận đợc bằng việc lấy trung bình theo thể hiện ny bằng

ixz
ymm += (2.6.5)
sẽ khác với giá trị thực m
z
một đại lợng y
i
.
Khi xác định các đặc trng của quá trình ngẫu nhiên có tính egodic theo một thể
hiện thì độ di của khoảng lấy trung bình hết sức quan trọng. Vì các đặc trng nhận
đợc bằng việc trung bình hoá theo một thể hiện khá gần trùng với các đặc trng thống
kê thực của chúng chỉ khi giới hạn khoảng lấy trung bình tăng lên vô hạn, nên khi chỉ có
các quan trắc trong một khoảng nhỏ của đối số thay đổi, có thể nhận đợc các đặc trng
cần tìm với sai số lớn không cho phép.
Taylor [33] đã chỉ ra rằng, đối với phơng sai của hiệu giữa giá trị thực của kỳ vọng
toán học của quá trình ngẫu nhiên X(t) có dạng đã nói v giá trị nhận đợc bằng cách lấy
trung bình theo một thể hiện với T đủ lớn, công thức xấp xỉ sau đây l đúng
D
)0(2
1
x
R
T
T

, (2.6.6)
trong đó T l khoảng lấy trung bình, còn T
1
l đại lợng, gọi l thời gian tơng quan,
đợc xác định theo công thức



=
0
1
)(
)0(
1

dR
R
T
x
x
. (2.6.7)
Nh vậy, để xác định chắc chắn các đặc trng cần tìm, cần phải lấy khoảng trung
bình hoá lớn hơn nhiều lần so với thời gian tơng quan T
1
.
Điều kiện egodic đối với hm tơng quan đợc phát biểu phức tạp hơn. Trên thực tế
thông thờng ta không kiểm tra đợc sự thoả mãn của chúng, vì vậy ngời ta thờng
phán đoán tính egodic xuất phát từ bản chất vật lý của quá trình.

67

Tính egodic có ý nghĩa thực tế lớn, vì nhờ nó việc xác định các đặc trng thống kê
không đòi hỏi phải có số thể hiện lớn. Khi nghiên cứu cấu trúc thống kê các yếu tố khí
tợng, hon ton không phải lúc no cũng có thể thực hiện việc lặp lại các thí nghiệm
nhiều lần trong những điều kiện nh nhau.
Còn một điều phức tạp nữa trong thuỷ văn. Ví dụ nh số liệu dòng chảy năm của
sông có thể chỉ l một thể hiện.
Nếu có một vi thể hiện độ di nh nhau, l kết quả của các lần thí nghiệm trong
cùng một điều kiện, thì khi sử dụng tính egodic, có thể nhận đợc các đặc trng thống kê
bằng cách lấy trung bình theo mỗi thể hiện, v sau đó lấy giá trị trung bình số học của
chúng nh l giá trị cần tìm. Nếu độ di các thể hiện khác nhau thì cần phải tiến hnh
lấy trung bình kết quả theo chúng có tính đến trọng số của mỗi thể hiện.
2.7. Hm cấu trúc
Để đặc trng cho quá trình ngẫu nhiên dừng, bên cạnh hm tơng quan ngời ta
còn xét hm cấu trúc B() m nó đợc xác định bởi kỳ vọng toán học của bình phơng
hiệu các lát cắt của quá trình ngẫu nhiên tơng ứng với các giá trị của đối số t v t+
B
x
() =
[]
{
}
2
)()( tXtXM +

(2.7.1)
Từ định nghĩa thấy rằng, hm cấu trúc không âm, B
x
()0.
Có thể biểu diễn hm cấu trúc qua hm tơng quan
B

x
() =
[]
{
}
2
))(())((
xx
mtXmtXM +

=
[]
{}
MXt m
x
()+
2

+
[]
{
}
2
)(
x
mtXM 2
[][]
{}
xx
mtXmtXM + )()(

= 2[R
x
(0) R
x
()]. (2.7.2)
Từ (2.7.2) v tính chất của hm tơng quan ta nhận đợc:
B
x
(0) = 0, (2.7.3)
B
x
() = B
x
() (2.7.4)
tức hm cấu trúc của quá trình ngẫu nhiên dừng l hm chẵn.
Đối với quá trình ngẫu nhiên, nếu thoả mãn điều kiện

0)(lim =



x
R (2.7.5)
thì từ (2.7.2) ta có
2
2)0(2)(lim
xxx
RB

==


Ký hiệu
)()(lim =

xx
BB


, khi (2.7.5) thoả mãn ta viết lại (2.7.2) dới dạng

)(2)()(


xxx
RBB = , (2.7.6)
từ đó có thể biểu diễn hm tơng quan qua hm cấu trúc

[]
)()(
2
1
)(

xxx
BBR = (2.7.7)
Nh vậy, với điều kiện (2.7.5), m trên thực tế nó thờng thoả mãn, khi biết hm
cấu trúc trên khoảng vô hạn của đối số, ta có thể xác định đợc hm tơng quan theo

hm cấu trúc.

68
Thực tế ta không bao giờ có bản ghi thể hiện của quá trình ngẫu nhiên trên khoảng
vô hạn, tuy nhiên, trong nhiều trờng hợp, hm cấu trúc đạt khá nhanh đến giá trị m
khi tăng hơn nữa khoảng , giá trị ny thay đổi cũng không đáng kể.
Giá trị đó đợc xem l
)(
x
B , đôi khi nó đợc gọi l giá trị bão ho của hm cấu
trúc. Giữa hm cấu trúc v hm tơng quan xảy ra hệ thức

2
)(
2
1
)(
xxx
BR

=+ (2.7.8)
Trên hình 2.9 minh hoạ hệ thức ny đối với quá trình ngẫu nhiên dừng có hm
tơng quan (hình 2.2) l



= eR
x
2
)(

Vì hm cấu trúc đợc biểu diễn qua hm tơng quan nên đối với quá trình ngẫu
nhiên dừng có tính egodic, hm cấu trúc cũng có thể đợc xác định theo một thể hiện độ
di đủ lớn bằng công thức:

[]


+

=




T
x
dttxtx
T
B
0
2
)()(
1
)( (2.7.9)
Nếu hm ngẫu nhiên l dừng v có
số thể hiện đủ lớn đảm bảo mô tả đợc các
tính chất của nó một cách chắc chắn trên
tất cả các khoảng biến đổi của đối số, thì
có thể xác định hm tơng quan trực tiếp
theo các số liệu thực nghiệm.

Tuy nhiên, trong nhiều trờng hợp
tốt hơn cả nên sử dụng hm cấu trúc.

Hình 2.9

Tính dừng của các quá trình khí tợng thực thờng mang tính chất địa phơng, nó
chỉ đợc bảo ton trên khoảng thay đổi không lớn lắm của đối số.
Khi nghiên cứu cấu trúc qui mô vừa, v đặc biệt l qui mô lớn, của các quá trình
ny, tính dừng (đồng nhất) của chúng chỉ có thể đợc chấp nhận với mức độ gần đúng
nhất định. Khi đó kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên không phải l hằng số. Việc xác
định hm tơng quan đối với các quá trình nh vậy có thể mắc phải sai số lớn khi giá trị
của đối số nhỏ.
Những biến đổi chậm chạp của chính quá trình không ảnh hởng đến hm cấu trúc
khi độ lớn của hiệu các giá trị đối số t nhỏ. Vì vậy, tính không đồng nhất của các nhiễu
động sóng di không ảnh hởng rõ rệt đến độ chính xác của việc tính B() khi giá trị
nhỏ. Nói chung, những sai số hệ thống, m chúng bảo ton giá trị của mình trong suốt
chu kỳ di lớn hơn , không ảnh hởng đến đại lợng B
x
(), vì chúng bị khử bỏ khi tính
hiệu x(t+)x(t).
Nếu không sử dụng trung bình thống kê thực m sử dụng trung bình theo thể hiện,
tức l lại xảy ra sai số hệ thống, thì việc sử dụng hm cấu trúc sẽ tốt hơn khi xử lý theo
một thể hiện. Hm cấu trúc đợc tính theo các thể hiện riêng biệt không chứa sai số hệ
thống ny, vì khi tính toán ngời ta không dùng giá trị trung bình theo thể hiện. Đây l

69
trờng hợp việc chỉnh lý đợc tiến hnh theo tập hợp thống kê số các thể hiện không lớn
lắm.
Nh vậy, trong nhiều trờng hợp việc sử dụng hm cấu trúc cho phép lm giảm
ảnh hởng của tính không đồng nhất của quá trình v sai số hệ thống đến độ chính xác

của các đặc trng của hm ngẫu nhiên tính toán theo số liệu thực nghiệm.
Tuy nhiên, những u việt của hm cấu trúc l đáng kể chỉ khi giá trị của tham số
nhỏ. Khi tính hm tơng quan qua hm cấu trúc, trớc hết độ chính xác không tăng lên,
vì tất cả sai số nằm trong giá trị bão ho của hm cấu trúc.
2.8. Giới hạn của quá trình ngẫu nhiên
Ta định nghĩa khái niệm giới hạn của quá trình ngẫu nhiên X(t) khi đối số t dần tới
giá trị t
o
no đó.
Nếu f(t) l hm không ngẫu nhiên thì, nh đã biết, số A đợc gọi l giới hạn của
hm f(t) khi t t
o
, nếu với mọi >0 tồn tại một số >0 sao cho với mọi t m

<
0
tt
, thì
bất đẳng thức

< Atf )( thoả mãn. Điều ny có nghĩa rằng đối với mọi t đủ gần
0
t ,
những giá trị tơng ứng của
)(tf sẽ gần với A tuỳ ý.
Đối với hm ngẫu nhiên, một đại lợng ngẫu nhiên no đó m chuỗi các lát cắt của
hm ngẫu nhiên sẽ hội tụ tại đó khi t tiến tới
0
t , sẽ l giới hạn. Khi đó có thể nói về sự
tiến dần của một đại lợng ngẫu nhiên đến một đại lợng ngẫu nhiên khác chỉ l về

trung bình theo tất cả các giá trị của chúng.
Ta sẽ xem rằng đại lợng ngẫu nhiên Y l giới hạn của hm ngẫu nhiên X(t) khi
0
tt , nếu giới hạn của kỳ vọng toán học của bình phơng hiệu của chúng tiến tới không

[]
{
}
0)(lim
2
0
=

YtXM
tt
(2.8.1)
ở đây giới hạn cũng đợc hiểu theo nghĩa thông thờng, vì kỳ vọng toán học l hm
không ngẫu nhiên. Nh vậy, ta sẽ gọi đại lợng ngẫu nhiên Y l giới hạn của hm ngẫu
nhiên X(t) khi t tiến tới
0
t nếu với mọi >0 tìm đợc một >0 sao cho với mọi giá trị t m
0
tt <, bất đẳng thức
[]
{
}

<
2
)( YtXM thoả mãn. Vậy ngời ta gọi giới hạn vừa định

nghĩa l giới hạn theo nghĩa bình phơng trung bình.
Nhiều khi để phân biệt giới hạn của hm ngẫu nhiên, đợc hiểu l giới hạn bình
phơng trung bình, với giới hạn thông thờng của hm không ngẫu nhiên, ngời ta ký
hiệu
)(l.i.m.
0
tX
tt
. Sau ny chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu lim thông thờng, nhng hiểu theo
nghĩa nêu ở trên.
Ta sẽ gọi hm ngẫu nhiên X(t) l liên tục tại điểm
0
t nếu giới hạn của nó khi
0
tt
l lát cắt
)()(lim ),(
00
0
tXtXtX
tt
=

, tức l, nếu

[]
{
}
0)()(lim
2

0
0
=

tXtXM
tt
(2.8.2)

70
2.9. Đạo hm của hm ngẫu nhiên
Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X(t) khả vi tại điểm
0
t nếu tồn tại một đại lợng
ngẫu nhiên
)(
0
tY sao cho

).(
)()(
0
00
0
lim
tY
t
tXttX
t
=

+

(2.9.1)
Theo định nghĩa giới hạn của hm ngẫu nhiên, điều ny có nghĩa rằng với mọi >0
sẽ tìm đợc một >0 sao cho với

<t bất đẳng thức sau thoả mãn:


<
















=

+
2

0
00
)(
)()(
tY
t
tXttX
M
(2.9.2)
Đại lợng ngẫu nhiên
)(
0
tY gọi l đạo hm của quá trình ngẫu nhiên X(t) tại điểm
0
t v đợc ký hiệu bằng

.
)(
)(
0
0
tt
dt
tdX
tY
=
= (2.9.3)
Nếu quá trình ngẫu nhiên khả vi tại mọi giá trị t của khoảng no đó, thì đạo hm
dt
tdX

tY
)(
)( =
cũng sẽ l quá trình ngẫu nhiên của đối số t.
Định nghĩa ny về đạo hm của hm ngẫu nhiên tơng tự nh định nghĩa về đạo
hm của hm không ngẫu nhiên, chỉ khác l giới hạn đợc hiểu nh giới hạn bình
phơng trung bình.
Giả sử hm ngẫu nhiên X(t) có kỳ vọng toán học
)(tm
x
v hm tơng quan
),(
21
ttR
x
. Ta sẽ xác định kỳ vọng toán học
)(tm
y
v hm tơng quan
),(
21
ttR
y
của đạo
hm
dt
tdX
tY
)(
)( =

:
[]
=







+
==

t
tXttX
MtYMtm
t
y
)()(
lim)()(
0


.
)()()(
lim
)()(
lim
00
dt

tdm
t
tmttm
t
tXttX
M
xxx
tt
=

+
=







+
=

(3.9.4)
Nh vậy, kỳ vọng toán học của đạo hm của hm ngẫu nhiên bằng đạo hm của kỳ
vọng toán học của hm ngẫu nhiên đó.
Ta xác định
),(
21
ttR
y

:

;)()(),(
2
0
1
0
21






= tYtYMttR
y
(2.9.5)


+
==

t
tXttX
tmtYtY
t
y
)()(
lim)()()(
0

0

=

+


t
tmttm
xx
t
)()(
lim
0


71
[][]
=

++
=

t
tmtXttmttX
xx
t
)()()()(
lim
0

dt
tXd
t
tXttX
t
)()()(
lim
000
0
=

+
=

(2.9.6)
Thế (2.9.6) vo (2.9.5), ta nhận đợc
=






+

+
=

2
2
0
22
0
0
1
1
0
11
0
0
21
)()(
lim
)()(
lim),(
21
t
tXttX
t
tXttX
MttR
tt
y

[]
{
+++

=


),(),(
1
lim
2112211
21
0
0
2
1
tttRttttR
tt
xx
t
t

[]
}
=+ ),(),(
21221
ttRtttR
xx

21
21
2
2
21
2
211
1
0
),(),(),(1
lim
1
tt
ttR
t
ttR
t
tttR
t
xxx
t






=

+

=

(2.9.7)
Nh vậy, hm tơng quan của đạo hm của hm ngẫu nhiên bằng đạo hm hỗn
hợp cấp hai của hm tơng quan của chính hm ngẫu nhiên.
Ta sẽ xét phép tính đạo hm đối với quá trình ngẫu nhiên dừng X(t). Trong trờng
hợp ny kỳ vọng toán học
x
m l hằng số, do đó

,0=
dt
dm
x
(2.9.8)
tức l kỳ vọng toán học của đạo hm của quá trình ngẫu nhiên dừng bằng không.
Hm tơng quan l hm một đối số
12
),( ttR
x
=

, từ đó
=






==
1221
2
21
)()(
),(
t
R
ttt
R
ttR
xx
y

2
2
2
)()(






d
Rd
d
dR
t
xx
=






= , (2.9.9)
tức l hm tơng quan của đạo hm của quá trình ngẫu nhiên dừng bằng đạo hm cấp
hai lấy ngợc dấu của hm tơng quan một đối số của chính quá trình ngẫu nhiên đó.
Từ đó thấy rằng hm tơng quan của đạo hm của quá trình ngẫu nhiên dừng cũng
chỉ phụ thuộc vo một đối số

)(),( ,
21


yy
RttR = , tức l đạo hm của hm ngẫu nhiên
dừng cũng l hm dừng.
Chúng ta đã xác định những đặc trng của đạo hm của hm ngẫu nhiên trong
điều kiện giả định nó khả vi.
Có thể chỉ ra rằng [21], điều kiện cần v đủ để hm ngẫu nhiên khả vi l tồn tại
đạo hm của kỳ vọng toán học v đạo hm riêng hỗn hợp cấp hai của hm tơng quan
của nó tại t
1
=t
2
(tồn tại đạo hm cấp hai của hm tơng quan tại =0 đối với hm ngẫu
nhiên dừng). Từ đó suy ra rằng không phải mọi hm ngẫu nhiên đều khả vi.
Ví dụ, hm ngẫu nhiên có hm tơng quan dạng

72

0 ,)(
2
>=



eR
x
(2.9.10)

l hm không khả vi.
Thực vậy,






<
>
=

.0 khi
,0 khi
)(
2
2





e
e
R
x
(2.9.11)
Từ đó thấy rằng tại điểm =0 đạo hm
)(

x
R

bị gián đoạn, vì đạo hm bên phải
điểm ny bằng

2
, còn đạo hm bên trái bằng

2
. Do đó, đạo hm cấp hai )(
''

x
R
tại điểm =0 không tồn tại.
Ta sẽ tìm các đặc trng của đạo hm của một số quá trình ngẫu nhiên dừng.
1. Giả sử quá trình ngẫu nhiên có hm tơng quan

0 ,)(
2
2
>=



eR
x
(2.9.12)
Hm tơng quan của đạo hm của quá trình ngẫu nhiên ny bằng

2
)21(2)(
22



= eR
y
(2.9.13)
Tại = 0 ta có


2
2)0( =
y
R
(2.9.14)
Từ đó thấy rằng quá trình ngẫu nhiên X(t) khả vi.
Phơng sai của đạo hm Y(t) khi đó phụ thuộc không những vo phơng sai của
quá trình ngẫu nhiên X(t), m còn vo hệ số đặc trng cho mức độ giảm hm tơng
quan
)(

x
R khi đối số tăng.
2.
;0 ,cos)(
2
>=

eR
x
(2.9.15)
Trong trờng hợp ny đạo hm của hm tơng quan bị gián đoạn tại =0 v do đó
đạo hm cấp hai không tồn tại.
Do đó quá trình ngẫu nhiên X(t) có hm tơng quan dạng nh vậy không khả vi.
3. ;0 ,cos)(
2
2
>=



eR
x
(2.9.16)

,)sincos2()(
2
2'



+= eR
x
(2.9.17)

[]
2
sin4cos)42()()(
2222''



+== eRR
xy
(2.9.18)
Tại = 0 ta có

).2()0(
22

+=
y
R
(2.9.19)
Quá trình ngẫu nhiên X(t) khả vi, phơng sai của đạo hm của quá trình ny phụ
thuộc không chỉ vo phơng sai của X(t), m còn vo các hệ số v quy định dạng hm
tơng quan
)(

x
R .
4. ;0 ,0 ,sincos)(
2
>>

+=






eR
x
(2.9.20)

73








<

>








+
=

.0 khi sincos
,0 khi sincos
)(
2
2

e
e
R
x
(2.9.21)
Từ đó
== )()(
''

xy
RR








+
+

+

0.> khi )sincos(

0,> khi )sincos(
22
2
22
2










e
e
(2.9.22)
Có thể viết )(

y
R dới dạng một biểu thức

)sincos()(
22
2

+
=

eR
y
. (2.9.23)
).()0( 0 Khi
222

+===
yy
RD (2.9.24)
Vậy hm ngẫu nhiên X(t) có hm tơng quan dạng nh trên l hm khả vi.
Chúng ta sẽ xác định tiếp hm tơng quan quan hệ
),(
21
ttR
xy
giữa hm ngẫu nhiên
X(t) v đạo hm của nó
dt
tdX
tY
)(
)(
= . Theo (2.4.1) ta có
[]
[

]
{
}
== )()( )()(),(
221121
tmtYtmtXMttR
yxxy


[][]
.)()()()(
22
2
11






= tmtX
dt
d
tmtXM
xx
(2.9.25)
Đổi chỗ phép tính lấy vi phân v phép lấy kỳ vọng toán học v ký hiệu đạo hm
bằng đạo hm riêng theo biến
2
t , vì biến

1
t đợc xem nh đại lợng không đổi, có thể viết
[][ ]
{}
== )()( )()(),(
2211
2
21
tmtXtmtXM
t
ttR
xxxy


).,(
21
2
ttR
t
x


(2.9.26)
Đặc biệt đối với hm ngẫu nhiên dừng X(t)

,
)(
).(),(
12
2

21
2






d
dR
ttR
t
ttR
t
x
xx
== (2.9.27)
trong đó
12
tt =

.
Từ đó thấy rằng hm tơng quan quan hệ giữa hm ngẫu nhiên dừng v đạo hm
của nó l hm một đối số , tức hm ngẫu nhiên dừng v đạo hm của nó l những hm
liên hệ dừng.
Hm tơng quan quan hệ giữa hm ngẫu nhiên dừng v đạo hm của nó bằng đạo
hm của hm tơng quan của chính hm ngẫu nhiên.

74
2.10. Tích phân của hm ngẫu nhiên

Giả sử quá trình ngẫu nhiên X(t) đợc cho trên đoạn
].,[ ba
Chia đoạn ny thnh n
phần bởi các điểm
bttta
n
== , ,,
10
v lập tổng

=

n
k
kk
ttX
1
)( , trong đó )(
k
tX l lát cắt
của quá trình ngẫu nhiên tại
k
tt = , còn .
1
=
kkk
ttt
Tơng tự nh định nghĩa tích phân của hm không ngẫu nhiên, ta sẽ gọi giới hạn
bình phơng trung bình của tổng tích phân ny khi đại lợng , l hiệu lớn nhất trong số
các hiệu

k
t , tiến tới không, l tích phân xác định của hm ngẫu nhiên X(t) trên đoạn
],[ ba v ký hiệu bằng



=

=
n
k
kk
b
a
ttXdttX
1
0
)()(
lim

(2.10.1)
Tích phân xác định của hm ngẫu nhiên, giống nh giới hạn của tổng các đại lợng
ngẫu nhiên, l một đại lợng ngẫu nhiên. Nếu giới hạn ny tồn tại v không phụ thuộc
vo cách thức chia đoạn
],[ ba
bởi các điểm
k
t , thì hm ngẫu nhiên X(t) gọi l khả tích
trên đoạn
],[ ba .

Có thể chứng minh rằng [21], muốn cho tồn tại tích phân đã nêu chỉ cần tồn tại tích
phân của kỳ vọng toán học của hm ngẫu nhiên X(t) v tích phân hai lớp của hm tơng
quan của nó.
Bây giờ ta xét tích phân với cận trên biến thiên của hm ngẫu nhiên X(t)


=
t
dXtY
0
)()(

(2.10.2)
Tích phân ny l một hm ngẫu nhiên mới
)(tY . Chúng ta sẽ xác định kỳ vọng toán
học
)(tm
y
v hm tơng quan ),(
21
ttR
y
của hm ngẫu nhiên Y(t), khi xem rằng các đặc
trng tơng ứng của X(t) đã đợc cho trớc:


=

=

=






=
n
k
kkx
t
n
k
kk
t
y
mXMtm
kk
1
0
1
0
)(lim)(lim)(

. (2.10.3)
Tổng cuối cùng ny l tổng tích phân đối với hm không ngẫu nhiên
)(

x

m , do đó


=
t
xy
dmtm
0
)()(

(2.10.4)
Vì

=






+==
t
yxy
tmdtmXtmtYtY
0
00
)()()()()()(

=+=
t
yy
t
dXtmtmdX
0
0
0
0
,)()()()(

(2.10.5)
nên