BÀI GIẢNG MẠCH ĐIỆN II - Chương I: Phân tích mạch trong miền thời gian ppsx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HCM
KHOA ĐIỆN
BỘ MÔN. CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN
0


BIÊN SOẠN: ThS. LÊ THỊ THANH HOÀNG

BÀI GIẢNG.


MẠCH ĐIỆN II














TP. HCM Tháng 12 / 2005
Ω
K
1
Ω

k
1
C
+
_
Ω
k
2
Ω
k
2
2
R
1
R
X(P)
)
P
(
X
1
)
P
(
Y
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HCM
KHOA ĐIỆN
BỘ MÔN: CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN
0

BIÊN SOẠN: ThS. LÊ THỊ THANH HOÀNG

BÀI GIẢNG.


MẠCH ĐIỆN II














TP. HCM Tháng 12 / 2005
Ω
K
1
Ω
k
1
C
+

_
Ω
k
2
Ω
k
2
2
R
1
R
X(P)
)
P
(
X
1
)
P
(
Y
LỜI NÓI ĐẦU


MẠCH ĐIỆN là một môn học cơ sở quan trọng đối với sinh viên khối kỹ
thuật nói chung và sinh viên ngành điện nói riêng. Để có thể tiếp tục nghiên cứu
chuyên sâu về lónh vực điện thì sinh viên phải nắm vững những kiến thức trong
môn học MẠCH ĐIỆN.
Ngoài ra môn học này là còn là môn cơ sở để cho sinh viên học tiếp các
môn chuyên ngành khác như môn Điều Khiển Tự Động, Máy Điện, Lý Thuyết Tín

Hiệu…
Mạch điện II này bao gồm ba chương :
Chương I: Phân tích mạch trong miền thời gian
Chương II: Phân tích mạch trong miền tần số
Chương III : Mạch không tuyến tính
Quyển sách này tác giả trình bày các phương pháp phân tích mạch có kèm theo các
ví dụ cụ thể và các bài tập được soạn theo từng các chương lý thuyết, để giúp người học
có thể giải và ứng dụng vào các môn học có liên quan.
Tác giả đã viết bài giảng này với sự cố gắng sưu tầm các tài liệu trong và ngoài
nước, với sự đóng góp tận tình của các đồng nghiệp trong và ngoài bộ môn, cùng với kinh
nghiệm giảng dạy môn học này trong nhiều năm. Tuy nhiên đây cũng là lần đầu tiên biên
soạn bài giảng mạch điện II nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự
đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, của các em sinh viên và các bạn đọc quan tâm đến
bài giảng này.

Xin chân thành cảm ơn.
TP. HCM tháng 12 năm 2005.
Truong DH SPKT TP. HCM
Thu vien DH SPKT TP. HCM -
Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP. HCM
MỤC LỤC

CHƯƠNG I
.
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN (QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ) trang 1
I.1 Khái niệm trang 1
I.2 p dụng phương trình vi phân giải bài toán quá độ trang 1
( Phương pháp tích phân kinh điển)
I.2.1. Giải bài toán với điều kiện ban đầu bằng 0 trang1
I.2.2. Giải bài toán với điều kiện đầu khác 0 trang 5

a. Mạch có cuộn dây trang 5
b. Mạch có tụ: trang 7
I.3 p dụng phương pháp toán tử Laplace giải bài toán quá độ trang 11
I.3.1Một số kiến thức cơ bản để biến đổi Laplace. trang 11
I.3.2. Đònh luật kirchoff dạng toán tử trang 16
I.3.3. Sơ đồ toán tử Laplace trang 16
I.3.4. Thuật toán tính quá trình quá độ bằng phương pháp toán tử trang 17
I.3.5. Một số ví dụ về các bài toán quá độ với các điều kiện ban trang 18
đầu bằng 0
I.3.6. Các bài toán quá độ với các điều kiện ban đầu khác 0 trang 20
BÀI TẬP CHƯƠNG I trang 26
CHƯƠNG II.
PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN TẦN SỐ trang 33
II.1.Đònh nghóa hàm truyền đạt
trang 33

II.2.Biểu diễn đồ thò của hàm truyền
trang 37

II.2.1. Đặc tuyến logarit – tần số logarit
trang 37

II.2.2. Giản đồ Bode
trang 37

II.2.3. Đặc tuyến pha tần số Logarit
trang 41

BÀI TẬP CHƯƠNG II
trang 43

CHƯƠNG III.
MẠCH PHI TUYẾN
trang 46
III.1. Các Phần Tử Không Tuyến Tính trang 46
III.1.1. Điện Trở Phi Tuyến trang 46
III.1.2.Điện cảm phi tuyến (cuộn dây phi tuyến) trang 46
III.1.3 Điện dung phi tuyến trang 47
III.2. Các Thông Số Đặc Trưng Của Các Phần Tử Phi Tuyến trang 47
III.2.1. Điện Trở tónh và động trang 47
III.1.2.Điện cảm phi tuyến tónh và động trang 48
III.1.2.Điện dung phi tuyến tónh và động trang 49
III.3. Các phương pháp phân tích mạch KTT trang 49
III.3.1.Phương pháp đồ thò trang 49
Truong DH SPKT TP. HCM
Thu vien DH SPKT TP. HCM -
Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP. HCM
III.3.2. Phương pháp dò trang 50
III.3.3.Phương pháp giải tích trang 52
III.4. Cách Ghép Nối Các Phần Tử KTT trang 56
III.4.1.Mắc nối tiếp các phần tử KTT trang 56
III.4.2.Mắc song song trang 56
III.4.3. Cách nối các phần tử KTT với nguồn tác động trang 57
III.4.4. Mạch KTT dòng một chiều trang 59
III.5. Chuổi Fourier trang 61
III.5.1. Chuổi Fourier lượng giác trang 61
III.5.2.Chuổi Fourier dạng phức trang 62
BÀI TẬP CHƯƠNG III trang 68

Truong DH SPKT TP. HCM
Thu vien DH SPKT TP. HCM -
Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP. HCM
TÀI LIỆU THAM KHẢO


1. PHẠM THỊ CƯ – LÊ MINH CƯỜNG – TRƯƠNG TRỌNG TUẤN MỸ, Mạch Điện II,
Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, 2002.
2. DAVID E. JOHNSON – JOHNNY R. JOHNSON – JOHN L. HILBURN, Electric Circuit
Analysis, Prentice Hall, 1989.
3. DAVID IRWIN J., Basic Engineering Circuit Analysis, Prentice Hall, 1996.
4. JOHN WILEY & SONS, Inc., Electric Engineering Circuits, 1963.
5.
NGUYỄN QUÂN., Lý Thuyết Mạch, Trường Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh 1993.
6.
PHƯƠNG XUÂN NHÀN – HỒ ANH TUÝ, Lý Thuyết Mạch, NXB Khoa học Kỹ thuật,
1993.
7.
SANDER K.F., Electric Circuit Analysis, Addison Wesley, 1992.

Truong DH SPKT TP. HCM
Thu vien DH SPKT TP. HCM -
Ban quyen © Truong DH Su pham Ky thuat TP. HCM
1

CHƯƠNG Ι: PHÂN TÍCH MẠCH TRONG MIỀN THỜI GIAN
(QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ)

I.1 Khái niệm

Quá trình quá độ là quá trình biến đổi dòng điện ban đầu thành giá trò xác lập.
Xét mạch điện như hình vẽ:








Trong đó:
K: khoá dùng đóng mở mạch điện
Trước khi khóa K đóng i = 0 gọi là giá trò ban đầu.
Khoá k đóng trong một thời gian dài thì dòng điện đạt đến giá trò xác lập là i =
E
R

Quá trình biến đổi từ giá trò ban đầu đến giá trò xác lập được gọi là quá trình quá độ
I.2 p dụng phương trình vi phân giải bài toán quá độ ( Phương pháp tích phân kinh
điển)
I.2.1. Giải bài toán với điều kiện ban đầu bằng 0

Cho mạch điện như hình vẽ:








Tại t = 0 đóng khoá k lại. Tìm cường độ dòng điện i(t) chạy trong mạch điện

Giải


Khi khoá k đóng lại
u
R
+ u
L
= E
Mà : u
R
= i.R
L
di

UL
dt
di
iR L E
dt
=
+=

E
KR
L
i(t)
E
KR
L
i(t)
2
Vậy ta phải giải phương trình vi phân để tìm i (t)
Giả sử i là nghiệm của phương trình:
i = i
tựï do
+ i
xác lập

i
xác lập
: là dòng điện trong mạch sau khi đóng (hoặc mở) khoá k sau một thời gian dài
Trong mỗi mạch điện cụ thể có một giá trò xác lập.
i
tự do

: là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng không(phương trình thuần
nhất).
(Thành phần tự do của điện áp và dòng điện phụ thuộc vào năng lượng tích lũy trong mạch và
các thông số mạch, nó không phụ thuộc vào hình dạng của nguồn tác động)

Đặt i
td
= ke
st
Trong đó :
k : hằng số
s : số phức
t : thời gian
i. R +L
di
dt
= 0
Thay vào:
⇔ k.e
St
.R + L
dt
)ke(d
St
= 0
()
.0
st
ke R L S+=

Để nghiệm i
td
≠ 0 ( 0
st
ke ≠ )
⇒ R + L.S = 0
R
S
L
⇒=−

Rt
L
td
ike
−
⇒=

Mà i
xác lập
=
E
R

Vậy
()
R
t
L
E

it ke
R
−
=+
Xác đònh k :
Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán i(0
+
)= 0

Tại t = 0:
00
0
=+= e.k
R
E
)(i
⇒ k =
R
E
−

i (0
-
)
t
0
-

i(0
+

)
t
0
+
Chưa đóng
Đ
óng
Đóng k
t
3
)e(
R
E
e
R
E
R
E
)t(i
t
L
R
t
L
R
−−
−=−= 1
(A)
Vậy :
Tại t = 0

⇒ i = 0
Tại t =
∞ ⇒ i =
R
E


Đặt
L
R
τ
=
: hằng số thời gian

()
1
t
E
it e
R
τ
−

=−



Khi
3t
τ

= thì i≈ I
xác lập
(96%)
Thời gian quá độ là thời gian để dòng điện đi từ giá trò ban đầu đến giá trò xác lập.

Ví dụ 2
: cho mạch điện như hình vẽ:










Yêu cầu :
Tại t =0 đóng khoá k,tìm u
c
(t)?
Giải


Khi đóng khoá k
u
R
+u
C
= E

Mà:u
R
= i.R
dt
du
Ci
C
=


i
t
0
R
E

KR
C
E
u
c
(t)
i(t)
4
u
C
+ RC
dt
du
C

= 0
Đây là phương trình vi phân. Giải phương trình vi phân trên để tìm u
C
(t)
Đặt u
c
= u
ctự do
+ u
cxác lập.

u
cxác lập
: là điện áp xác lập trên tụ một thời gian dài sau khi đóng (hoặc mở) khoá k.
u
cxác lập
= E (khi tụ đã được nạp đầy)
u
ctự do
: là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng không.
u
c
+ 0
dUc
RC
dt
=
Đặt u
ctự do
=

s
t
ke
Vậy:

(
)
0
st
st
RCd ke
ke
dt
+=

Trong đó:
k: hằng số
s:số phức
t: thời gian
⇔ ke
St
+ RCS.ke
St
= 0
⇔ ke
St
(1 +RCS) = 0
Do ke
St
≠ 0 nên:

(1 +RCS) = 0
⇒ S =
RC
1
−

Phương trình trên là phương trình đặc trưng
u
ctd
= k.
RC
t
e
−

u(t) = E + K
RC
t
e
−


+ xác đònh k:
Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán.
u
c
(0) = 0
tại t = 0
u
c

(0) = E + ke
0
= 0
K= - E
⇒ u
c
(t) = E(1-
t
e
τ
−
)


τ
=RC : hằng số thời gian của mạch (đơn vò s)
Vậy :
u
c
(t) = E(1-
t
e
τ
−
)
khi t = 0
→ u
c
(t) = 0
khi t = ∞ → u

c
(t) = E



0
t
c
u
E
5

Theo đề bài ta tìm i(t)
i = C
dt
du
C
= C
dt
)e.EE(d
RC
t
−
−

i(t) =
t
E
e
R

τ
−
với τ = RC
Tại t = 0
⇒
E
i
R
=
t =
∞ ⇒ i = 0









I.2.2. Giải bài toán với điều kiện đầu khác 0

a. Mạch có cuộn dây

Tại t = 0 K mở. Xác đònh i(0
+
)
Điều kiện bảo toàn từ thông : Tổng từ thông móc vòng trong 1 vòng kín liên tục tại thời
điểm đóng mở:
⇒ ∑ϕ(0-) = ∑ϕ(0+) (liên tục)
Tại t
0-
⇔ ϕ(0-)
Tại t
0+
⇔

ϕ(0+)
Từ thông ϕ = L.i

∑ L i(0-) = ∑ L i(0+)
 Tại t
0-


∑ ϕ(0-)= L. i
L1
(0
-
)

R

E
i
)L1(0
-
=

i
L2(0-)
= 0
 Tại t
0+


∑ ϕ(0+) = L
1
i(0
+
) + L
2
i(0
+
)
E
RL1
L2
K
i(t)
R
E

t
i
0
6

⇒ ϕ(0+) = ϕ(0-)

⇒ L
1
i(0
-
) = (L
1
+ L
2
) i(0
+
)
Vậy
⇒
21
1
LL
R
E
L
)0(i
+
=
+

Ví dụ :









Tại t = 0 mở K tìm i(t).
Giải
Trước khi mở K
A3
4
12
R
E
)0(i ===
−

Tại t
0+

4
3
LL
)0(iL

)0(i
21
1
=
+
=
−
+
(A)

Khi mở K :
i R + (L
1
+ L
2
)
dt
di
= E : phương trình vi phân
Giải phương trình vi phân
Đặt i = i
td
+ i
xl

i
xl
= 3
R
E

= (A)
i
td
là nghiệm của phương trình vi phân có vế phải bằng 0
i R + (L
1
+ L
2
)
dt
di
= 0
Đặt i
td
= K . e
St

⇔ K. e
St
. R + (L
1
+ L
2
)
dt
)e.K(d
St
= 0
⇔ K. e
St

[R + (L
1
+ L
2
). S] = 0
Do K. e
St
≠ 0 nên ⇒ R + (L
1
+ L
2
). S = 0 ⇒ S =
21
LL
R
+
−

⇒ i
td
= K.
t
LL
R
21
e
+
−

i(t) = 3 + K.

t
LL
R
21
e
+
−

Xác đònh K :
i (0
+
) = 3 + K e
0
=
4
3

E = 12V
L1= 1H
L2 = 3H
K
i(t)

4
7

⇒ K =
4
9
−

Vậy i(t) = 3
4
9
−
. e
-t

/ τ
với τ =
R
LL
21
+

t
quá độä
= 3s dòng điện đạt giá trò ổn đònh.
Khi mở khóa K dòng điện tăng lên 3A (giá trò i
xl
)


b. Mạch có tụ:

Tại t = 0 đóng khóa K. tìm u
c
(t)
Giải
Trước khi đóng K
u
c1
(0
-
) = E
u
c2
(0
-
) = 0
Tại t(0
+
) : u
c1
(0
+
) = u
c2
(0
+
) = u
c
(0

+
)
Điều kiện bảo toàn điện tích: Điện tích tại 1 đỉnh (nút) liên tục tại thời điểm đóng mở:
q(0
+
) = q(0
-
)
Điện tích tại a ở t(0
-
)
Ở t(0
-
) : q(0
-
) = C
1
u
c1
(0
-
) = C
1
. E
t(0
+
) : q(0
+
) = C
1

. u
c1
(0
+
) + C
2
. u
c2
(0
+
) = ( C
1
+ C
2
). U
c
(0
+
)
q(0
+
) = q(0
-
)
⇒ ( C
1
+ C
2
). U
c

(0
+
) = C
1
. E
⇒ u
c
(0
+
) =
21
1
CC
EC
+


i
3
4
3

t
0
Lúc mở K
K
E
R
C
1

C
2

u
c
(t)
a
8
• Nếu 2 tụ bằng nhau thì điện áp 2 tụ lúc này sẽ là
2
E

Ví dụ áp dụng:Cho mạch điện như hình vẽ:








Tại t = 0 đóng K tìm u
c
(t)
Giải
+ Tìm điều kiện ban đầu :
⇒ u
c
(0
+

) =
21
1
CC
EC
+
=
3
20
4
1
2
1
10.
2
1
=
+
(V)
+ Khi đóng K lại ta có :
u
R
+ u
c
= E
Với C = C
1
+ C
2
; u

R
= i.R = R.C.
dt
du
c



R.C.
dt
du
c
+ u
c
= E : phương trình vi phân
Giải phương trình vi phân tìm u
c

Ta đặt : u
c
(t) = u
ctd
+ u
cxl

Với u
cxl
= E (điện áp sau khi đóng khóa K thời gian dài)
Tìm u
ctd

bằøng cách cho vế phải của phương trình vi phân bằng 0
R.C.
dt
du
c
+ u
c
= 0
Đặt u
ctd
= K e
St
thay vào phương trình ta được :

(
)
0
st
st
RCd ke
ke
dt
+=
Trong đó:
k: hằng số
s:số phức
t: thời gian
⇔ ke
St
+ RCS.ke

St
= 0
⇔ ke
St
(1 +RCS) = 0
Do ke
St
≠ 0 nên:
(1 +RCS) = 0
⇒ S =
RC
1
−
Phương trình trên là phương trình đặc trưng
Ta được u
c
(t) = E + K.
RC
t
e
−

K
E
2Ω
C
1
C
2
F

2
1

F
4
1

9


+ xác đònh k: Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán.
u
c1
(0
-
) = E ; u
c2
(0
-
) = 0
u
c
(t) = E + K.
RC
t
e
−

tại t = 0
⇔ u

c
(0
+
) = E + Ke
0
= 10 + K.e
0
=
3
20

⇒ K = -
3
10

τ =RC : hằng số thời gian của mạch (đơn vò s)
τ = R.C = 2. )
4
1
2
1
(
+ =
2
3

Vậy u
c
(t) = 10 -
3

10
.
3
t2
e
−


Ví dụ: Cho mạch điện như hình vẽ :

Cho e(t) = 10 cos(10t + 45
0
). Khi K đang đóng ở vò trí 1, tại t = 0 đóng K sang vò trí
2. Tìm i(t)
Giải
Trước khi đóng K sang (2) ta có :
i(0
-
) =
2
1
R
E
=
(A)
Khi vừa đóng sang (2)
↔ i(0
+
)
i(0

+
) =
2
1
(A) ( do L.i(0
-
) = L.i(0
+
), không gây đột biến vì chỉ có 1 cuộn dây.)
Khi đóng K sang (2)
u
c
10V
3
20
t
0
Lúc đón
g
K

1
2
K
10
Ω
1H
e
(
t

)

5V
10
i.R + L.
dt
di
= e = 10 cos(10t + 45
0
)
Đặt i = i
td
+ i
xl

i
xl
: dòng điện xác lập là dòng điện khi đóng điện 1 thời gian dài.
Ta có sơ đồ tương đương :

Tổng trở phức toàn mạch :

0
4521010j10Z ∠=+=
&


2
1
45210

4510
Z
E
I
0
0
XL
=
∠
∠
==
&
&
&



⇒ i
xl
=
2
1
cos10t
Xác đònh i
td
ta giải phương trình vi phân :
i.R + L.
dt
di
= 0 ⇒ i

td
= K.
t
L
R
e
−
= K.e
-10t

i(t) = K. e
-10t
+
2
1
cos10t
Xác đònh K : dựa vào điều kiện ban đầu
i(0
+
) = K. e
0
+
2
1
cos0 =
2
1


⇒ K = - 0,207

Vậy i(t) = - 0,207. e
-10t
+
2
1
cos10t

I.3 p dụng phương pháp toán tử Laplace giải bài toán quá độ

Phương pháp tích phân kinh điển nghiên cứu ở mục trên có ưu điểm là cho thấy rõ
hiện tượng vật lý của dòng điện và điện áp quá độ nhưng không tiện dùng cho các mạch
phức tạp vì vậy việc giải trực tiếp phương trình vi phân sẽ khó khăn, khi bậc của phương
trình vi phân cao.
Phương pháp toán tử có ưu điểm là ở chỗ, nó cho phép đại số hóa phương trình vi
tích phân, với các điều kiện đầu được tự động đưa vào phương trình đại số, do đó kết quả
nhận được sẽ nhanh hơn trong trường hợp giải trực tiếp.
I.3.1Một số kiến thức cơ bản để biến đổi Laplace.

Gọi f(t) là hàm gốc , biến thiên theo thời gian t và ta biến đổi thành hàm F(p). F(p) được
gọi là hàm ảnh ; p : số phức .Biểu thức (1.1) dùng để xác đònh ảnh của một hàm f(t) .
10Ω
j
10
0
4510E ∠=
&

xl
I
&

11
L[f(t)]=
0
() ()
pt
Fp fte dt
∞
−
=
∫
(1.1)
Trong đó P là số phức :
P =
σ + jω
Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace là :
Ảnh của đạo hàm gốc
L[f
’
(t)] = F(P) =
∫
∞
−
0
pt
dte)t(f
dt
d

Dùng công thức tích phân phân đoạn ta có :

∫
∞
−
0
pt
dte)t(f = f(t)
∞
−
0
Pt
e + P
∫
∞
−
0
pt
dte)t(f = P F(P) – f(0)
nh của đạo hàm gốc bằng hàm ảnh nhân với P.
L
P
)P(F
dt)t(f
0
=







∫
∞

Ảnh của tích phân hàm gốc bằng hàm ảnh chia cho P.
Nhờ hai tính chất quan trọng của biến đổi Laplace ta chuyển phương trình vi tích phân
theo hàm gốc thành phương trình đại số với ảnh là F(P).

BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE


Hàm gốc f(t) Hàm ảnh F(p)

1
1
p


t
e
α
−

1
p
α
+


()

1
1
t
e
α
α
−
−
()
1
pp
α
+


.
t
te
α
−

()
2
1
p
α
+

Cosωt
22
ω
+
P
P


Sinωt
22
ω
ω
+
P


t
2
1
p

12

t
n

1n
P
!n
+

12
21
1
()
tt
ee
αα
αα
−−
−
−

12
1
()()pp
α
α
++


12
12
12
1
()
tt
ee
αα

αα
αα
−−
−
−

12
()()
p
pp
α
α
++



nt
te
α
−

1
!
; 0,1, 2
()
n
n
n
p
α

+
=
+


2
1
1(1 )
t
te
α
α
α
−

−+


2
1
()
pp
α
+


2
1
(1)
t

et
α
α
−
+−
2
1
()
pp
α
+


(1 )
t
te
α
α
−
−
2
()
p
p
α
+


sin
t

et
α
ω
−

22
()p
ω
α
ω
++


cos
t
et
α
ω
−

22
()
p
p
α
α
ω
+
++

2
1
(1 cos )t
ω
ω
−

22
1
()pp
ω
+


sintt
ω

222
2
()
p
p
ω
ω
+


costt
ω

22
222
()
p
p
ω
ω
−
+


1221
22
12
sin sintt
ω
ωω ω
ωω
−
−

12
22
22
12
()()pp
ω
ω
ωω

++


112 2
22
12
sin sintt
ω
ωω ω
ωω
−
−

2
22
22
12
()()
p
pp
ωω
++


13
21
22
12
cos costt
ω

ω
ωω
−
−

22
22
12
()()
p
pp
ωω
++


22
112 2
22
12
cos costt
ω
ωω ω
ωω
−
−

3
22
22
12

()()
p
pp
ωω
++


sin t
t
ω
arctg
p
ω




Ngược lại nếu biết hàm ảnh F(P) =
)P(P
)P(P
2
1
ta có thể tìm được hàm gốc theo công thức sau:

∑
=
=
n
1K
PKt

K
'
2
K1
e
)P(P
)P(P
)t(f

Trong đó
)P(P
K
'
2
là đạo hàm của đa thức P
2
(P) tại điểm P = P
K

* Sau đây là một số ví dụ cách tìm hàm gốc:
Ví dụ 1:
Cho hàm ảnh
F(P) =
()( )
4
12pp
++

Hãy tìm hàm gốc f(t)?

Giải


Khi gặp hàm phức tạp ta dùng phương pháp phân tích:
Bước 1
:
Phân tích


()( )
4
12 1 2
A
B
pp PP
=+
++ + +

Tìm A: nhân 2 vế cho P+1
(
)
1
4
22
BP
A
pP
+
=+
++

Cho P = -1
⇒ A = 4
Tìm B: nhân 2 vế cho P + 2

(
)
2
4
11
P
A
B
pP
+
=+
++

Cho P = -2
⇒ B = -4
Bước 2
:
Tra bảng



2
() 4. 4
tt
f

tee
−−
⇒=−
14
Cách 2: ta có thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A =
=+
−→
)P(F).P(lim
P
1
1
4
2
4
1
=
+
−→
P
lim
P

B =
=+
−→
)P(F).P(lim
P
2
2

4
1
4
lim
2
−=
+
−→
P
P

Ví dụ 2:


()
8
()
2
FP
PP
=
+

Hãy tìm hàm gốc f (t) ?

Giải


Bước 1

:
Phân tích

()
8
22
A
B
PP P P
=+
++

Tìm A:
Nhân 2 vế cho P
8.
22
BP
A
P
P
⇔=+
++

Cho P = 0
⇒ A = 4
Tìm B:
Nhân 2 vế cho P + 2
(
)
2

8
P
A
B
pP
+
⇔= +

Cho P = -2
⇒ B = - 4
Bước 2 :

Tra bảng

f(t) = 4 – 4e
-4t

Cách 2: ta có thể tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A =
)P(F.Plim
P 0→
=
4
2
8
lim
0
=
+
→

P
P

B =
=+
−→
)P(F).P(lim
P
2
2
4
8
lim
2
−=
−→
P
P

Ví dụ 3:

()( )
2
4
()
12
FP
PP
=
++

Hãy tìm hàm gốc f (t) ?

Giải

Bước 1
: Phân tích:
()( ) ()
22
4
12
12 2
AB C
PP
PP P
=++
++
++ +

Tìm A: nhân 2 vế cho P+1
15
()
(
)
(
)
()
22
11
4

2
22
BP CP
A
P
PP
++
=+ +
+
++

Cho P = -1
⇒ A = 4
Tìm C: nhân 2 vế cho
()
2
2p +


() ()()()
22
42_12 1AP BP P CP⇔= + + + + + +

Cho P = -2
⇒ 4 = C (-2 +1)
⇒ C = -4
Tìm B:
Nhân 2 vế cho
()
2

2P +


()
()
()
2
2
4
2
11
AP
B
PC
pP
+
⇔= +++
++

Đạo hàm P theo 2 vế:
-
()
(
)
(
)
()
22
2
4

11
AP
B
pP
+
=+
++

Gía trò (….) không cần quan tâm
Cho P = -2
⇒ B = -4
Bước 2
:
Tra bảng
f(t) = 4.e
-t
– 4.e
-2t
– 4t.e
-2t

Cách 2: ta có thể tìm A, B, và C bằng cách lấy giới hạn
A =
=+
−→
)P(F).P(lim
P
1
1
4

)2(
4
lim
2
1
=
+
−→
P
P

C =
)P(F.)P(lim
P
2
2
2+
−→
= 4
1
4
lim
2
−=
+
−→
P
P

Tìm B bằng cách nhân 2 vế của phương trình cho (P+2)

2
sau đó lấy đạo hàm 2 vế của
phương trình và cho P = - 2 ta được :
B = -4
I.3.2. ĐỊNH LUẬT KIRCHOFF DẠNG TOÁN TỬ

Đònh luật Kirchoff 1
Từ biểu thức
∑
= 0i ⇒
∑
= 0)P(I
Đònh luật kirchoff 2
Cho mạch vòng kín gồm R – L – C nối tiếp đặt vào điện áp u ta có :

)0(uidt
C
1
dt
di
LRiu
c
t
0
+++=
∫

Chuyển sang biến đổi Laplace ta được :
U(P) = I(P)
)(Li

P
)(u
PC
PLR
c
0
0
1
−+






++

Từ đó ta suy ra :
I(P) =
PC
1
PLR
)0(Li
P
)0(u
)P(U
c
++
+−

16
Công thức trên tương ứng với sơ đồ toán tử của hình dưới đây :

Trong đó : L.i(0) và
P
)0(U
C
− đặc trưng cho điều kiện đầu của bài toán.
I.3.3. Sơ đồ toán tử Laplace:


I.3.4. Thuật toán tính quá trình quá độ bằng phương pháp toán tử

Bước 1 : Xác đònh các điều kiện ban đầu
Bước 2 : Lập sơ đồ toán tử , giải sơ đồ toán tử theo các phương pháp đã biết tìm
I(P).
Bước 3 : Dùng biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc i(t).
I.3.5. Một số ví dụ về các bài toán quá độ với các điều kiện ban đầu bằng 0:


Bài 1
:Cho mạch điện như hình vẽ:

Tại t = 0 đóng khoá K , tìm i(t) ?

U(P)
R
PL
PC
1

L.i(0)
I(P)
P
)0(U
C
−
R
i(t)
Đ
ại số hóa
I(P)
R
i(t)
Đ
ại số hóa
I(P)
LP
L
i(t)
C
Đ
a

ï
i số hóa
I(P)
CP
1

10
K2
H
4
1

i(t)
17
Giải


Bước 1 :

Xác đònh điều kiện ban đầu

Theo đề bài tại t = 0 đóng khoá K để tìm i(t) .Trước khi khoá K đóng thì mạch điện hở .Vì
thế các điều kiện ban đầu đều bằng không .
Bước 2 :

Biến đổi các thông số
:
Trước khi muốn giải một bài toán quá trình quá độ ta phải biến đổi các thông số về
dạng Laplace và đại số hóa mạch điện ( tức là đưa mạch điện về sơ đồ tương đương dưới
dạng Laplace).

Sơ đồ tương đương laplace:








Bước 3 :

Tính toán các giá trò theo biến đổi laplace

Ta có : Tổng trở của mạch điện là như sau :


8
() 2
44
P
P
ZP
+
=+ =

Cường độ dòng điện chạy qua mạch :
10
() 40
()
8

() ( 8)
4
UP
P
IP
P
ZP PP
===
+
+

Bước 4
:
Phân tích:


40
(8) 8
A
B
PP P P
=+
++
= F(P)
Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A =
)P(F.Plim
P 0→
=
5

8
40
lim
0
=
+
→
P
P

B =
=+
−→
)P(F).P(lim
P
8
8
5
40
lim
8
−=
−→
P
P

Vậy :
40 5 5
()
(8) 8

IP
PP P P
=− =
++


88
() 5 5 5(1 )
tt
it e e
−−
⇒=− =−

Thời gian quá độ là:

i(t)
5
t
2
P
10

4
P

I(P)
18
Bài 2
: Cho mạch điện như hình vẽ

Yêu cầu :
Tại t = 0 đóng khoá K tìm i(t) qua R và u
c
(t) đặt trên hai đầu tụ điện?

Giải


Bước 1 :

Xác đònh điều kiện ban đầu

Tại t = 0 đóng khoá K .Do đó trước khi khoá K đóng thì mạch điện trên hở.Vì vậy các
điều kiện ban đầu bằng 0.
Bước 2 :

Đại số hoá mạch điện (tức là đưa mạch điện về sơ đồ tương đương dưới dạng
laplace)

12)t(u
c

= V ⇒
P
12
)P(U
=


C =
2
1
F ⇒ C(P) =
P
2


Sơ đồ tương đương :
Bước 3 :

Tính toán các giá trò theo biến đổi laplace

Ta có :tổng trở của mạch

24 22(2 1)
() 4
PP
ZP
PP P
++
=+ = =

Cường độ dòng điện chạy trong mạch :
4Ω
2
P
12
P
I(p)
Uc(P)
K
12V
u
c(t)

i(t)

4
F
2
1
19

()
()
()
12
12 3
()
2(2 1) 1
42
2

Up
IP
zp
P
IP
P
P
P
P
=
⇒= = =
+
+
+

Vậy
1
2
() 3
t
it e A
−
=
Thời gian quá độ :

3
3
2
qd
t
τ
==
(s)
Tìm u
c
(t) ?
Ta có : Điện áp đặt trên hai đầu tụ điện

2122
() ()
42
Uc P I P
P
PP
=⋅= ⋅
+


24 6
1
(4 2)
()
2
PP
P

P
==
+
+⋅

Bước 4
:
Phân tích
6
1
()
2
P
P+⋅
=
1
2
A
B
P
P
+
+
= F(P)
Tìm A và B bằng cách lấy giới hạn
A =
=+
−→
)P(F).P(lim
P

2
1
2
1
12
6
lim
2
1
−=
−→
P
P

B =
=
→
)P(F.Plim
P 0

12
2
1
6
lim
0
=
+
→
P

P

Vậy A = -12 ; B = 12

12 12
()
1
2
Uc t
P
P
=−
+


11
22
( ) 12 12 12(1 )
tt
Uc t e e
−−
⇒=− =−


I.3.6. Các bài toán quá độ với các điều kiện ban đầu khác 0:

f(t)
→ F(p)

()

() (0)
dft
PFP f
dt
−
⋅
→⋅ −
i(t)
→ I(P)
0
t
c
u
12
t
3
0