Giáo trinh Kỹ thuật thuỷ khí part 8 potx

K thut thu khớ


Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 108 -
Xác định khoảng cách dịch chuyển của đờng dòng do ảnh hởng
của tính nhớt dựa trên tính chất: đờng dòng là đờng lu lờng bằng nhau.
Tính lu lợng Q
t
chất lỏng thực qua mặt cắt giữa bề mặt vật và đờng dòng
cách thành một khoảng y.


=
y
0
t
udyQ

Đờng dòng tơng ứng của chất lỏng lý tởng sẽ gần bề mặt vật hơn
một đoạn và đợc tính từ điều kiện cân bằng lu lợng:

==


udyu)y(uQ
y
0
l

==

y
0
lt
dy)uu(uQQ
hay










=

y
0
dy
u
u
1

Khi y

thì =
max

= * =











y
0
dy
u
u
1

hay viết dới dạng không thứ nguyên
* =


1
0
d)1(

, với

==

;
u
u

Đối với chát lỏng nén đợc: *=














0
dy
u
u
1

Nh vây, * đặc trng cho sự dịch chuyển đờng dòng của dòng ngoài
khỏi phơng của đờng dòng trong chuyển động của chất lỏng lý tởng.

Lợng chất lỏng đi qua chiều dày * bằng lợng chất lỏng đi qua ( - *). Sự
giảm lu lợng đó gây ra do lớp biên ép chất lỏng, nên * mang tên chiều
dày bị ép. Đối với tấm phẳng: * = 0,375
K thut thu khớ


Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 109 -
3. Chiều dày tổn thất xung lực.
Xét ảnh hởng động lực của tính nhớt lên dòng chảy bao quanh vật.
Tính lực cản X theo định lý biến thiên động lợng (Định lý Ơ le 1(4-
20)) cho khối chất lỏng chứa trong ABAB (h.8-3)
Động lợng chất lỏng chảy vào qua AB:

2
1
hu2q

=


Vì lợng chất lỏng chảy vào qua AB gần bằng lợng chảy ra qua AB
nên:


+


=
h
h

udyhu2


Suy ra:

+


=
h
h
1
udyuq


Động lợng chất lỏng chảy ra qua AB:


+

=
h
h
2
2
dyuq


Theo định lý biến thiên động lợng:

'qdyuudyuX
h
h
2
h
h
+=

+

+




trong đó q - động lợng chất lỏng chảy qua Â, BB. Khi h

thì
0'q
nên:


+

= dy
u
u
1uuX


Tìm hệ số lực cản:

b
2
dy
u
u
1
u
u
b
2
bu
2
1
X
C
2
*

+



=








==




K thut thu khớ


Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 110 -
trong đó
dy
u
u
1
u
u

=

+






- chiều dày tổn thất xung lực
Trong lớp biên có dạng:
dy
u
u
1
u
u
0

=






Hay là viết dới dạng không thứ nguyên:
()

=

1
0
d1


Nh vậy, chiều dày tổn thất xung lực là chiều dày mà trong đó động
lợng của chất lỏng lý tởng (tơng ứng với U

) bằng động lợng tiêu hao
trong lớp biên:


=

0
dy)uu(uuu

Tính cho tấm phẳng:
**
= 0,146
Đối với chất lỏng nén đợc:









=






0
dy
u

u
1
u
u

Trong một số tính toán, ngời ta còn dùng tỉ số các chiều dày:













=== H;H;H

4. Phơng pháp lớp biên.
a) Giải chính xác
: Vì lớp biên đợc hình thành chỉ khi số Râynôn lớn,
nên phơng trình chuyển động trong lớp biên có thể nhận đợc từ phơng
trình Navie - Stốc viết dới dạng tổng quát không thứ nguyên, sau đó đánh
giá bậc các thành phần trong phơng trình ấy dựa trên điều kiện cơ bản:
chiều dày lớp biên nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của vật (<<1) nên suy ra
giá trị các đại lợng theo phơng y nhỏ hơn giá trị các đại lợng theo phơng
x (h.8-4)

K thut thu khớ


Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 111 -
Bằng cách đó, năm 1904, L.Prandtl đã tìm ra hệ phơng trình vi phân
lớp biên cho trờng hợp chuyển động phẳng, dừng của chất lỏng không nén
đợc và bỏ qua lực khối (xem trang 135-137 tập 2 [1]).

2
2
y
u
v
dx
du
u
y
u
v
x
u
u


+=


+

0
y
u
x
u
=


+


(8-1)
Với các điều kiện: tại y = 0: u=v=0
y = : u = u

(x)
Giải trực tiếp hệ phơng trình (8-1) với các điều kiện biên tơng ứng
ta sẽ tìm đợc nghiệm u(x,y), v(x,y) trong toàn lớp biên và do đó có thể tính
đợc ứng suất tiếp trên bề mặt vật. Lời giải điển hình là của Foknẻ và Skane
tìm ra từ năm 1930 khi cho phân bố vận tốc ngoài lớp biên dới dạng hàm số
mũ:
u

(x) = C. x
m

b. Giải gần đúng: Hệ thức tích phân T. Karman
Dựa trên việc đánh giá sự biến thiên động lợng trong lớp biên qua
chiều dày bị ép
*
)h.8-5) Karman nhận đợc hệ thức tích phân:

2
w
u
)2(
dxu
du
dx
d
dx
dp








=+++

(8-2)
Số hạng thứ nhất trong vế trái của phơng trình (8-2) biểu diễn ứng
suất ma sát đối với chuyển động của chất lỏng nén đợc. Đối với chất lỏng
không nén đợc (

= const) ta có phơng trình:

()
2
w
w
u
2
dx
du
u
1
dx
d





=++

(8-3)
Khi u

= const, số hạng thứ hai bằng 0.
K thut thu khớ


Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 112 -
Phơng trình (8-2), (8-3) gọi là hệ thức tích phân Karman vì nó chứa
các tích phân
*
,
**
. Từ hệ thức tích phân đó ta sẽ xác định đợc
w
,
*
,
**
.
Khi cho biết dạng prôfin vận tốc trong lớp biên, chẳng hạn nh Pôn hau den
cho prôfin vận tốc không thứ nguyên:

0
dx
du
;AAA
u
u
3

3
2
20
++==




Bằng phơng pháp này ngời ta đã giải cho lớp biên chảy tầng trên
tâm phẳng và tìm ra đợc hệ số cản toàn bộ:
Re/444,1C
x
=

Hệ số cản cục bộ:
x
2
w
f
Re
722,0
u
2
1
C ==




trong khi đó, lời giải chính xác cho:

x
f
Re
664,0
C =





Do
v
x.u
Re
x

=

lực ma sát trên tấm phẳng:
3
l
0
w
lu.
3
b4
dxb2x

==

lớp biên chảy tầng:
)x(f
u
x.v
30 ==



Khi Re
x
> (3,6 ữ 5).10
5
lớp biên rối

)x(f)
v
xu
(x37,0
5
4
5
1
r
==

(lớp biên chảy rối tăng nhanh hơn lớp biên chảy tầng)
Kỹ thuật thuỷ khí


Lực tác động lên vật ngập trong lòng chất lỏng chuyển động - 113 -
vµ
5
1
xf
Re0576,0C
−
=


5
1
x
Re.072,0C
−
=
(cã thÓ lÊy = 0,074)

5
1
2
Re.l.b.u 072,0x
−
∞
=
ρ

K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 114 -

Chơng IX
Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự

9.1. Mở đầu

Những lời giải chính xác (bằng phơng pháp lý thuyết) của một số bài
toán thuỷ khí động lực là rất hiếm. Trên thực tế, ngời ta sử dụng nhiều
phơng pháp thực nghiệm. Phơng pháp mô hình hóa tơng đối phổ biến. Nó
dựa trên lý thuyết thứ nguyên và tơng tự. Mô hình hoá là sự thay thế việc
nghiên cứu hiện tợng của một đối tợng trên nguyên mẫu bằng việc nghiên
cứu hiện tợng tơng tự trên mô hình có kích thớc bé hơn hay lớn hơn.
ý nghĩa của phơng pháp: dựa vào những kết quả thí nghiệm trên mô
hình có thể kết luận về các hiện tợng xảy ra trên nguyên mẫu. Điều kiện sử
dụng đợc những kết quả trên mô hình là khi tiến hành thí nghiệm phải tuân
theo những qui luật nhất định của mô hình hóa. Những quy luật đó là những

tiêu chuẩn tơng tự.
Việc xác định các tiêu chuẩn tơng tự hay là các đại lợng không thứ
nguyên (các số) khi mô hình hoá các hiện tợng là một vấn đề rất phức tạp.
Khi giải bài toán này có thể chia các hiện tợng nghiên cứu ra làm hai loại.
1. Những hiện tợng và các quá trình có thể đợc mô tả bằng
các phơng trình (nh phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng trong
ống, trong khe hẹp v.v )
Khi đó các tiêu chuẩn tơng tự đợc xác định dễ dàng nh là các hệ số
của phơng trình viết dới dạng không thứ nguyên.
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 115 -

2. Các quá trình và các hiện tợng cha đợc mô tả bằng các
phơng trình. Khi đó, lý thuyết duy nhất cho phép tìm các tiêu chuẩn tơng
tự là lý thuyết thứ nguyên.
nguyên hình mô hình
lý thuyết thứ nguyên
Phép tuơng tự
Hình 9-1

9.2. lý thuyết thứ nguyên.
1. Các đại lợng có thứ nguyên nh độ dài, diện tích, vận tốc, áp
suất v.v Các đại lợng không thứ nguyên nh góc đo bằng rađiăng (rad), số
Râynôn, Re, số Mắc, v.v
Định nghĩa: đại lợng có thứ nguyên là đại lợng mà các giá trị bằng
số của nó phụ thuộc vào hệ đơn vị đo lờng do ta chọn.
Đại lợng không thứ nguyên là đại lợng mà các giá trị bằng số của
nó không phụ thuộc vào hệ đơn vị đo lờng do ta chọn.

Các định nghĩa nêu trên chỉ có tính chất tơng đối.
2. Thứ nguyên
- Đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất.
Các đại lợng vật lý đợc liên hệ với nhau bằng những biểu thức nhất
định. Trong cơ học thờng chọn 3 đại lợng cơ bản: độ dài L, thời gian T,
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 116 -

khối lợng M và thiết lập cho chúng một đơn vị đo lờng nào đó gọi là đơn
vị cơ bản, nh hệ đơn vị SI (m,s,kg), hệ đơn vị CGS (cm, gam, s)
Đơn vị dẫn xuất là đơn vị biểu diễn qua đơn vị cơ bản nh cm/s, kg/m
3

v.v
Thứ nguyên là biểu thức biểu diễn đơn vị dẫn xuất qua đơn vị cơ bản
và đợc ký hiệu bằng dấu []. Ví dụ nh thứ nguyên của vận tốc [L/T], của
gia tốc [L/T
2
] v.v
3. Công thức tổng quát của thứ nguyên.
Lý thuyết thứ nguyên dựa trên hai định lý sau đây:
a. Tỷ số giữa hai giá trị bằng số của một đại lợng dẫn xuất bất kì nào
đấy không phụ thuộc vào việc chọn các kích thớc của hệ đơn vị cơ bản.
Chẳng hạn nh tỷ số giữa hai diện tích không phụ thuộc vào việc là chúng
đợc đo trong hệ đơn vị nào.
Từ định lý này có thể suy ra công thức thứ nguyên tổng quát của các
đại lợng vật lý:
a = L

l
T
t
M
m
(9-1)

Chẳng hạn nh công thức thứ nguyên của vận tốc [L/T] sẽ có l=1,t=-1,
m = 0
b. Biểu thức bật kỳ giữa các đại lợng có thứ nguyên có thể biểu diễn
nh biểu thức giữa các đại lợng không thứ nguyên. Đây chính là nội dung
của định lý Pi () - Buckingham.
Biểu thức toán học của định lý này có thể biểu diễn dới dạng sau: nếu
đại lợng có thứ nguyên a là hàm của các đại lợng độc lập với nhau có thứ
nguyên a
1,
a
2
, , a
k
, , a
n
, nghĩa là:
a = f (a
1,
a
2
, , a
k
,a

k+1
, , a
n
) (9-2)
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 117 -

Nếu k

n là số các đại lợng có thứ nguyên cơ bản thì (n+1-k) tổ hợp
không thứ nguyên Pi của các đại lợng có thứ nguyên ở trên có thể biểu diễn
dới dạng: (theo (9-1))

qk
k
2q
2
1q
1
n
kn
pk
k
2p
2
1p
1
1k

1
mk
k
2m
2
1m
1
a aa
a

a aa
a
a aa
a
=
=
=

+




Nghĩa là số tổ hợp bằng hiệu giữa số đại lợng có thứ nguyên và số
thứ nguyên cơ bản.
Nh vậy, trong hệ đơn vị mới biểu thức (9-2) có thể viết dới dạng:
= f(
1
,
2

, ,
k
)
Mỗi tổ hợp không thứ nguyên là một tiêu chuẩn tơng tự. Có nghĩa là
nếu đại lợng không thứ nguyên (ví dụ hệ số lực cản Cx) phụ thuộc n đại
lợng, mà số thứ nguyên cơ bản của chúng bằng k, thì số tiêu chuẩn tơng tự
là = n - k. Trong thuỷ khi động lực k = 3, vậy nên biểu diễn đại lợng nào
đó qua bốn thông số.
Ví dụ 1. Hãy xác định sự phụ thuôc hệ số lực cản Cx của cánh vào các
thông số dòng chảy.

Bài giải:

Giả sử Cx phụ thuộc vào các đại lợng có thứ nguyên sau đây: khối
lợng riêng , độ nhớt , vận tốc và chiều dài của cánh L. Khi đó:
Cx = f(,,,L)
Dùng công thức thứ nguyên có thể tìm đợc một tổ hợp không thứ
nguyên của các đại lợng vật lý trên:
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 118 -

[Cx] = []
b
[]
d
[]
c
[L]

n
= 1
Để tìm các số mũ b,d,c,n ta thay vào công thức trên thứ nguyên của
các đại lợng vật lý:
[] = [ML
-3
]; [] = [ML
-1
T
-1
];[] = [LT
-1
];[L] = [L]
Thay các giá trị đó vào biểu thức Cx:
[ML
-3
]
b
[ML
-1
T
-1
]
d
[LT
-1
]
c
[L]
n

= 1
từ đó ta có 3 phơng trình đối với 3 thứ nguyên cơ bản:
M : b + d = 0
L : -3d -d +c +n = 0
T : - d - c = 0
Xem rằng một trong 4 số mũ, chẳng hạn n đã biết, giải hệ phơng
trình trên ta đợc b = c = n; d = -n. Nh vậy, ta tìm đợc dạng phụ thuộc của
Cx vào đại lợng thứ nguyên:

)(Ref
vl
fCx
n
n
=

=



Nghĩa là Cx phụ thuộc vào số Râynôn. Số mũ n có thể tìm bằng thực
nghiệm hoặc từ các điều kiện phụ thuộc về sức cản của cánh.

Ví dụ 2: áp dụng định lý Pi để lập biểu thức tính công suất N của
bơm.
Biết N phụ thuộc lu lợng Q, cột áp H và trọng lợng riêng .

Bài giải: Quan hệ giữa các đại lợng trên có thể biểu diễn qua phơng
trình (9-2):
f(,Q,H) = N
Có 4 đại lợng có thứ nguyên và chỉ có 3 thứ nguyên của đơn vị cơ
bản, do đó có 4 - 3 = 1 số hạng . Chọn , Q, H là 3 đại lợng có thứ nguyên
cơ bản, ta có thể lập số hạng :
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 119 -


zyx
HQ
N


=

Viết dới dạng thứ nguyên:
FLT
-1
= [L
3
T
-1
]
x
[FL
-3
]
y
[L]
z

Từ đó suy ra: x = y = z = 1
Do đó:
QH
N


=
hay là N = kQH
Qua hai ví dụ trên, có thể suy ra một số bớc cơ bản để giải một bài
toán nh sau:
1 - Lập biểu thức phụ thuộc (n + 1) đại lợng a (9-2). Ghi thứ nguyên
của chúng.
2- Chọn k đại lợng cơ bản (thông thờng k = 3). Viết công thức thứ

nguyên của các đại lợng vật lý. Nh vậy ta có (n + 1 - k) số hạng .
3- Số hạng đầu tiên có thể là tích của k đại lợng có số mũ cha biết
với một đại lợng khác có số mũ đã biết (thông thờng cho số mũ đó bằng 1)
4- Lấy những đại lợng đã chọn ở mục 2 làm biến số (k đại lợng) và
chọn một trong những biến số còn lại để lập số hang tiếp theo. Lặp lại
tơng tự liên tiếp cho các số sau.
5- Nhờ phân tích thứ nguyên ta sẽ có hệ k phơng trình đại số và từ đó
xác định đợc số mũ của mỗi số hạng

9.3. Các tiêu chuẩn tơng tự
Định nghĩa: Hai hiện tợng gọi là tơng tự (hay đồng dạng) nếu dựa
vào các đặc trng của hiện tợng này có thể suy ra các đặc trng của hiện
tợng kia bằng một phép biến đổi đơn giản.
Điều kiện tơng tự cơ bản của hai hiện tợng là các tiêu chuẩn tơng
tự phải bằng nhau (idem). Nếu ký hiệu n cho nguyên mẫu: m cho mô hình,
thì Re
n
= Re
m
, M
n
= M
m
, v.v
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 120 -

1. Tơng tự hình học

Hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự hình học là khi các kích thớc
tơng ứng của chúng tỷ lệ với nhau.

; ;
2
L
m
n
L
m
n
k
S
S
k
L
L
Dm
Dn
===

Trong đó k
L
- tỷ lệ tơng tự hình học

Hình 9-2
2. Tơng tự động học:
Hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự động học phải tơng tự hình học và
có thời gian di chuyển của một phần tử chất lỏng từ điểm này sang điểm
khác trên các đờng dòng tơng ứng tỷ lệ:

Ta có:
T
m
n
k
T
T
=

k
T
- Tỷ lệ tơng tự thời gian.
Từ đó tự động học áp dụng trong các máy thuỷ khí là các tam giác vận
tốc đồng dạng.

K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 121 -


Hình 9-3
3. Tơng tự động lực học.

Hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự động lực học và có các khối
lợng tơng ứng tỷ lệ gọi là tơng tự động lực học.

m
n
p

k


=
- tỷ lệ tơng tự động lực
Tỷ lệ các lực:
2
T
4
Lp
2
mm
3
mm
2
nn
3
nn
m
n
k
kk
TLL
TLL
F
F
==

Tiêu chuẩn tơng tự Newton hay số Niutơn
Nh vậy trong thực tế, hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự phải
thoả mãn các điều kiện sau:
1- Chúng phải tơng tự hình học.
2- Có tính chất giống nhau và có cùng phơng trình vi phân.
3- Chỉ có thể so sánh với nhau gia các đại lợng đồng chất tại những
toạ độ không gian giống nhau và thời gian giống nhau.
K thut thu khớ


Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 122 -

4- Các hằng số tơng tự của hai hiện tợng có mối liên quan chặt chẽ
với nhau. Việc chọn bất kỳ một trong những đại lợng nào đó sẽ tạo nên sự
phụ thuộc xác định đối với những đại lợng hằng số tơng tự còn lại.
4. Tơng tự hai chuyển động phẳng.
Để làm sáng tỏ những điều đã nêu ở trên, ta hãy tìm các điều kiện cần
thiết để cho hai chuyển động phẳng tơng tự. Muốn vậy, ta viết phơng trình
chuyển động Navie-Stốc (4-5) cho trờng hợp chuyển động phẳng dới dạng
không thứ nguyên bằng cách chọn các đại lợng đặc trng (tỉ lệ) sau đây:
chiều dài l (nh bài kính ống, cung của cánh ). Vận tốc v
0
(nh vận tốc ở
trên trục ống, ở vô cùng ) áp suất p
0
, khối lợng riêng
0
, độ nhớt động học

0
, thời gian t
0
, lực khối viết cho một đơn vị khối lợng g - gia tốc trong
trờng. Ký hiệu các đại lợng không thứ nguyên cũng bằng những chữ nh
các đại lợng có thứ nguyên:


0
;
1
)(
;
1
)(
0
0
2
00
0
2
000
0
2
00
0
2
000
=

+


+


=


+


+


+


=


+


+


y

u
x
u
u
lvy
p
v
p
Y
v
gl
y
u
u
x
u
u
t
u
tv
l
u
lvx
p
v
p
X
v
gl
y

u
u
x
u
u
t
u
tv
l
y
x
y
y
y
y
x
y
ũy
ox
y
x
x
x

Từ hệ phơng trình trên suy ra nếu hai dòng chảy tơng tự, có nghĩa là
chúng đợc mô tả bằng những phơng trình và các điều kiện biên giống
nhau, thì phải có cùng giá trị các đại lợng không thứ nguyên sau đây:

lv
v
p
v
gl
tv
l
0
0
2
00
0
2
0
00
;;;