Giáo trinh Kỹ thuật thuỷ khí part 3 potx

K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 33 -








(H. 3-3)
Mặt cắt ớt là mặt cắt vuông góc với véctơ vận tốc của dòng chảy, ký
hiệu trong công thức là , trong bản vẽ là1-1,b-b,, đơn vị là m
2

Chu vi ớt là đoạn tiếp xúc giữa chất lỏng và thành giới hạn dòng
chảy, ký hiệu , đơn vị là m
Bán kính thuỷ lực:


=R , ví dụ tiết diện tròn
2.2
.
2
r
r
r
R ==

Lu lợng là lợng chất lỏng chảy qua trong 1 đơn vị thời gian,
-Lu lợng thể tich: ký hiệu là Q:


=


udQ
Đơn vị đo Q: m
3
/s
-Lu lợng trọng lợng: : ký hiệu là G:


=


duG
Đơn vị đo G: N/s, KG/s
Trong trờng hợp xét chuyển động theo đờng cong kín trong mặt
phẳng (H.3-4):

=
s
n
dsuQ
K thut thu khớ

Chng3. ng hc cht lng - 34 -

=
s
s
dsu .
- gọi là lu số vận tốc.

dS
S
u
n
u
s
u
A
B

Với 1 cung AB:


+==
==
B
A
yx
B
A
s

B
A
B
A
s
AB
dyudxudsu
dsusdu
) (.
.cos.).(


ds tiếp tuyến tại một điểm nào đó
của AB
H.3-4
Vận tốc trung bình của tiết diện ớt:

Q
v =

Suy ra: Q=v.
3. Đờng dòng, Dòng nguyên tố.
Đờng dòng là đờng cong trên đó véctơ vận tốc của mỗi điểm trùng
với tiếp tuyến với đờng cong tại điểm đó.
Từ định nghĩa suy ra: - Cách vẽ đờng dòng là vẽ đờng cong tiếp
tuyến với các véc tơ vận tốc tại một thời điểm trong không gian.
- Phơng trình đờng dòng trong chuyển động
dừng: từ định nghĩa ta xét chuyển động dừng vận tốc trùng phơng với dịch
chuyển dS

0 0// ==
dzdydx
uuu
kji
sdusdu
zyx
r
r
r
r

từ đó:

zyx
u
dz
u
dy
u
dx
==
(3-1)
K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 35 -
Chú ý: Tại mỗi điểm trong không gian, ở mỗi thời điểm chỉ đi qua một
đờng dòng, nghĩa là các đờng dòng không cắt nhau.

3
2
1
u
u
u
d
H.3-4
Cần phân biệt quĩ đạo với đờng dòng:
Quỹ đạo đặc trng cho sự biến thiên vị trí của phần tử chất lỏng theo
thời gian, còn đờng dòng biểu diễn phơng vận tốc của các phần tử chất
lỏng tại một thời điểm. Trong chuyển động dừng thì chúng trùng nhau.
Các đờng dòng tựa lên một vòng kín vô cùng nhỏ ta đợc một ống
dòng. Chất lỏng chảy đầy trong ống gọi là dòng nguyên tố. Chất lỏng không
thể xuyên qua ống dòng.
4. Hàm dòng và thế vận tốc.
Để đơn giản, ta khảo sát chuyển động trong mặt phẳng xy. Từ phơng
trình đờng dòng:
yx
u
dy
u
dx
=
,
đa vào hàm (x,y) và (x,y) sao cho thoả mãn điều kiện:
K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 36 -

yx
u
xy
u
yx


=


=


=


=




;

Ta có:
0:.0 ==


+

=+



ddy
y
dx
x
haydyudxu
xy

Do đó phơng trình đờng dòng có dạng: = const = C. gọi là
hàm dòng;
Tơng tự, ta có = const biểu diễn họ đờng đẳng vận tốc,gọi là thế
vận tốc.
Từ định nghĩa của và ta đợc:

0=




+




yyxx

Đó là điều kiện trực giao của các đờng dòng và đờng thế vận tốc
hay goi là điều kiện Côsi-Riêman.
Để thấy rõ ý nghĩa vật lý của và , từ định nghĩa của lu số vận tốc
ở trên:

)()()( ABddy
y
dx
x
dyudxudsu
B
A
B
A
y
B
A
x
B
A
sAB


==

+


=+==


Tơng tự:

)()()( ABddy
y
dx
x
dyudxudsuQ
B
A
B
A
y
B
A
x
B

A
nAB


==










+


===


nghĩa là hiệu các giá trị hàm dòng tại hai điểm nào đó bằng lu lơng chất
lỏng chảy qua ống dòng giới hạn bởi hai đờng dòng đi qua hai điểm đó.
5. Đờng xoáy, ống xoáy.
Chuyển động quay của mỗi phần tử chất lỏng xung quanh một trục
quay tức thời đi qua nó đợc gọi là chuyển động xoáy.
Vectơ vân tốc góc quay trong chuyển động xoáy:
K thut thu khớ

Chng3. ng hc cht lng - 37 -

urot
2
1
=

Chuyển động không xoáy hay chuyển động thế khi:

0=urot

Tơng tự nh khái niệm về đờng dòng và ống dòng, ở đây ta có khái
niệm về đờng xoáy và ống xoáy. Nếu cho trớc trờng vận tốc, từ biểu thức
trên ta có thể xác định trờng vectơ vận tốc góc

. Đờng cong tiếp xúc với
vectơ vận tốc góc gọi là đờng xoáy. Tập hợp các đờng xoáy bao quanh
một phân tố diện tích d nào đó gọi là ống xoáy. Chất lỏng chảy đầy trong
ống xoáy gọi là sợi xoáy.
Cờng độ của ống xoáy:

=


duroti
n
.

Phơng trình đờng xoáy:
z

dz
y
dy
x
dx

=

=


3.3. Định lý cosi hemhon (định lý hemhon 1)
Hay là định lý cơ bản của động học chất lỏng.
Định lý về sự biến dạng của phân tố chất lỏng.
Theo cơ học lý thuyết, đối với vật rắn, vận tốc tại M bằng vận tốc tịnh
tiến tại 0 cộng với vận tốc quay của M quanh 0 (H.3-5):

MOoM
uuu +=

ru
MO
=


O
r

0
u

M
H.3-5
K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 38 -
Đối với chất lỏng, mọi thể tích bất kỳ nào đó đều bị biến dạng trong
quá trình chuyển động. Vì vậy khảo sát vận tốc của một phân tố chất lỏng
phải thêm vào thành phần vận tốc biến dạng
bd
u :

bdo
uruu ++=
Đó là nột dung của định lý Hemhon 1.
bd
u của phân tố chất lỏng tại M
có thể viết dới dạng ma trận:
v
SS
&&
= - tenxơ vận tốc biến dạng, với các
thành phần

+


=
i
j
j
i
v
x
u
x
u
S
2
1
&&
; i,j = 1,2,3
Ngoài ra, còn có các định lý về chuyển động xoáy sau đây:
Định lý Hemhon 2: Định lý bảo toàn xoáy.
Định lý Stốc: Định lý về sự liên hệ giữa cờng độ của ống xoáy và lu
số vận tốc: i = .
Công thức Biô - Xava: Tìm phân bố vận tốc cảm ứng quanh sợi xoáy
đã biết.
3.4. Phơng trình liên tục
Đây là một dạng của định luật bảo toàn khối lợng: Khối lợng m của

hệ cô lập không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động:
0=
dt
dm

1. Dạng tổng quát (hay là dạng ơle)
Trong môi trờng chất lỏng chuyển động ta tởng tợng tách ra một
phân tố hình hộp có thể tích
dxdydzV
=

(H.3-6).
Theo định luật bảo toàn khối lợng:

0
)(
=

dt
Vd



),,,( tzyx


= khối lợng riêng của chất lỏng
K thut thu khớ

Chng3. ng hc cht lng - 39 -
Lấy đạo hàm: 0
11
=


+
dt
Vd
Vdt
d



y
x
z
1
2
O
x
u
dx
x
u
u
x
x

+





H.3-6





dt
Vd
là vận tốc biến dạng tơng đối của thể tích phân tố chất lỏng,
đợc xác định nh là tổng hợp của các biến dạng dài thành phần theo ba
phơng x,y,z.
Xét theo phơng x, vận tốc mặt 1:
x
u
.
vận tốc mặt 2:







+ dx

dx
u
u
x
x

Thể tích của phân tố chất lỏng thay đổi theo hớng trục x một lợng
tuyệt đối sau thời gian dt bằng:

dxdydzdt
x
u
dydzdtudydzdtdx
x
u
u
x
x
x
x


=

+

tơng tự cho hai phơng y,z, và tổng biến dạng theo ba phơng sẽ là:

dxdydzdt
z
u
y
u
x
u
Vd
z
y
x










+


+

=

và
z
u
y
u
x
u
dt
Vd
V
z
y
x


+


+


=


1

K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 40 -
Vậy 0
1
=


+


+


+
z
u
y
u
x
u
dt
d
z
y
x

Đó chính là phơng trình liên tục dạng tổng quát. Có thể viết dới
dạng gọn hơn:

0.
1
=+ udiv
dt
d



hay là:
0)( =+


udiv
t


(3-1)
Trong chuyển động dừng:
0=


t

nên
0)( =udiv

Đối với chất lỏng không nén đợc (` = const) ta đợc:

0. =udiv

Có thể chứng minh phơng trình liên tục gọn hơn bằng các công thức
và biến đổi tích phân.
2. Đối với dòng nguyên tốvà toàn dòng chảy.

Đối với dòng nguyên
tố:
Khảo sát đối với chất lỏng
trong dòng nguyên tố giữa
hai mặt cắt 1-1 và 2-2. Giả
thiết chuyển động dừng, chất
lỏng không nén đợc.
Sau thời gian dt lợng chất lỏng: - đi vào 1-1: dm
1
=

u
1
d

1
dt
- đi ra 2-2: dm
2
=

u

2
d

2
dt
Theo định luật bảo toàn khối lợng:
u
1
d
1
= u
2
d
2


u
1
d
1
= u
2
d
2
= dQ = Const
Đối với toàn dòng:
v
1

1

=

v
2

2
= Const
1
2
1
u
1
d
2
d

2
u
1
2
K thut thu khớ


Chng3. ng hc cht lng - 41 -
hay là: Q
1
= Q
2
= Const,
nghĩa là, trong dòng chảy dừng của chất lỏng không nén đợc, lu lợng qua

mọi mặt cắt đều bằng nhau, suy ra vân tốc tỷ lệ nghịch với tiết diện.
K thut thu khớ


Chng4-ng lc hc cht lng 42
chơng IV
động lực học chất lỏng
Trong chơng này ta nghiên cứu các quy luật chuyển động của chất lỏng dới tác
dụng của lực và những ứng dụng của nó. Để tiết kiệm thời gian, ta khảo sát chất lỏng thực
trớc, sau đó suy ra cho chất lỏng lý tởng.
Đ 4.1. phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực.
1.dạng ứng suất.
Trong chất lỏng thực chuyển động, áp suất thuỷ động vẫn hớng vào mặt tác
dụng (giống nh áp suất thuỷ tĩnh, chơng 2), nhng không chỉ hớng theo pháp tuyến,
mà nó là tổng của thành phần ứng suất pháp tuyến, ký hiệu là p, và thành phần ứng suất
tiếp do lực nhớt gây ra (xem (1-1)).

x
y
z
O
mF
xy

xx
p
dx
x
xz
xz

+


xz

dx
x
xy
xy


+


dx
x
p
p
xx
xx


+
dx
dy
dz
H.4-1
Để thành lập đợc phơng trình vi phân chuyển động, ta tiến hành giống nh khi

thành lập phơng trình Ơle tĩnh (2-3). Trong môi trờng chuyển động, ta khảo sát một
phân tố hình hộp chất lỏng với vận tốc
u (hình 4-1). ở đây, lực mặt gồm áp lực P ,và lực
K thut thu khớ


Chng4-ng lc hc cht lng 43
ma sát T. Lực khối m F tác dụng lên khối chất lỏng có thể tách ra đợc lực quán tính
dt
ud
mF
qt
= .
Theo nguyên lý Đalămbe, ta có điều kiện cân bằng:

0=+++
qt
FTPFm
r

Xét hình chiếu các lực lên trục x (hình 4-1)
Về lực mặt: ứng suất nhân với diện tích dydz:
p
xx
-ứng suất pháp(do áp suât).
ứng suất tiếp:
xy

chỉ số x:
nằm trong mặt phẳng Ox ;

chỉ số y: chiếu
lên Oy;
tơng ứng với ứng suất tiếp
xz

Lực quán tính: F
qt,x
=-

.dx.dy.dz.
dt
du

Lực khối: (m F)
x
=

.dx.dy.dz.X.
Vậy

x
= (mF)
x
+ T
x
- P
x
+F
qt,x
= 0

Hay là: +Xdzdydx











+


+


zyx
p
xz
xy
xx


. 0 = dzdydx
dt
du
dzdydx

Sau khi đơn giản cho .dx.dy.dz, ta đợc:

dt
du
zyx
p
X
xxz
xy
xx
=










+


+


+

1
;
Tơng tự cho trục y và z:
dt
du
zy
p
x
Y
yyzyyyx
=










+


+


+

1
; (4-1)

dt
du
z
p
yx
Z
zzz
zy
zx
=










+


+

+



1
;
(4-1) là phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng thực dạng ứng suất.
Có thể chứng minh:


xy
=
ỹ
;
xz
=
zx
;
zy
=
yz
;
2. phơng trình navie-stốc:
K thut thu khớ


Chng4-ng lc hc cht lng 44
Hai ông Navie (ngời Pháp) và Stokes (ngời Anh) đã viết hệ phơng trình (4-1)
dới dạng khác, tiện sử dụng, dựa trên các giả thuyết về ứng suất, và phơng trình đó

đợc mang tên hai ông.Với các giả thuyết sau:
1. áp suất thuỷ động p tại một điểm là trung bình cộng của các áp suất pháp
tuyến lên ba mặt vuông góc với nhau qua điểm đó:

()
zzyyxx
pppp ++=
3
1
(4-2)
Có dấu trừ vì chọn chiều dơng là chiều kéo giãn phần tử chất lỏng.
2. ứng suất phápcủa chất lỏng nhớt đồng chất đã làm xuất hiện các ứng suất
pháp bổ sung
xxxx
pp

+= ; với divu
x
u
x
xx
.
3
2
2




= ;

yyyy
pp

+= divu
y
u
y
yy
.
3
2
2




= (4-3)
zzzz
pp

+=
divu
z
u
z
zz
.
3
2
2

=
3. ứng suất tiếp:
Theo Newton: ứng suất tiếp gây ra bởi lực nhớt tỷ lệ với các vận tốc biến dạng
tơng ứng. Trong mặt phẳng ta có (1-1):
dy
du

=
Trong không gian:










+


=
y
u
x

u
x
y
xy

;









+


=
x
u
z
u
z
x
xz

(4-4)

+


=
y
u
z
u
z
y
yz


Thay các biểu thức (4-2) (4-4) vào (4-1) và sau một số phép biến đổi phức tạp, ta
đợc phơng trình Navie Stốc:
udiv
x
vuv
x
p
X

dt
du
x
x


++


=
3
1
.
1


udiv
y
vuv
y
p
Y
dt
du
y
y


++

=
3
1
.
1

(4-5)
K thut thu khớ


Chng4-ng lc hc cht lng 45
udiv
z
vuv
z
p
Z
dt
du
z
z


++


=
3
1

.
1


Hay viết dới dạng véctơ:

(
)
udivgrad
v
uvgradpF
dt
ud
3
.
1
++=

(4-6)
Trong đó - toán tử Laplas; =/ độ nhớt động học.
Một số nhận xét:
- Đối với chất lỏng không nén đợc: 0. == udivconst

nên phơng trình
(4-6) mất đi số hạng cuối cùng:
uvgradpF
dt
ud
+= .
1

(4-7)
Nh vậy 3 phơng trình (4-7) và phơng trình liên tục 0=udiv đủ để xác định 4 ẩn: u
x
,
u
y
, u
z
và p, có nghĩa mô hình toán là kín.
- Khi = 0, nghĩa là chất lỏng lý tởng, ta đợc:
gradpF
dt
ud

1
=
(4-8)
- Chất lỏng không chuyển động (ở trạng thái tĩnh): 0=u , hay chuyển động thẳng
đều: 0=
dt
ud
, nên (4-8) có dạng:
0
1
= gradpF


Đó chính là phơng trình Ơle tĩnh (2-4)

Đ 4.2. phơng trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý
tởng
1. dạng ơle:
Đó chính là phơng trình (4-8), hay còn gọi là phơng trình Ơle động.

dt
ud
gradpF =

1
(4-8)
2. dạng lămbơ- grômêca:
Phơng trình Ơle động (4-8) biểu diễn chuyển động tổng quát của chất lỏng.
K thut thu khớ


Chng4-ng lc hc cht lng 46
Để thấy rõ hơn những dạng chuyển động riêng biệt nh chuyển động tịnh tiến,
quay, biến dạng, Lămbơ - Grômêca đã biến đổi về dạng sau đây. Nhắc lại:
urot=2
Ta xét phơng trình hình chiếu xuống trục ox của (4-8)
x
u
u
x
u
u
z
u
u

y
u
u
x
u
u
t
u
x
p
X
z
z
y
y
x
z
x
y
x
x
x

+


+


+


=




1












+

+










+


+


+

=



x
u
z
u
u
x
u
y
u
u
x
u
u
x
u
u
x
u
u
t
u
x
p
X
zx

z
y
x
y
z
z
y
y
x
x
x

1

yz
x
wv
u
xt
u
x
p
X +

+


=



22
2
1
2


hay là:

()
yzzy
x
uu
u
xt
u
x
p
X =

2
2
1
2


Tơng tự:


()
zxxz
y
uu
u
yt

u
y
p
Y =
















2
2
1
2



()
uv
u

zt
u
z
p
Z
yx
z
=
















2
2
1
2

hay viết dới dạng véctơ:

u
t
uu
pgradF =











+ 2
2
2
(4-9)
Đó là phơng trình Lămbơ - Grômêca.
Đặt

=

dp
P
là hàm áp suất:
x

p
x
P


=



1
;
y
p
y
P


=



1
;
z
p
z
P


=

1

Nếu lực khối là hàm có thế, ta đa vào hàm thế U

x
U
X


=

y
U
Y


=
z
U
Z


=
Khi đó phơng trình (4-9) đợc viết dới dạng:
K thut thu khớ

Chng4-ng lc hc cht lng 47
u
t
uu
PUgrad =











++ 2
2
2
; (4-10)

Đ 4.3. Tích phân phơng trình vi phân chuyển động của chất
lỏng lý tởng
1. Tích phân côsi lagrăngiơ:
Xét chuyển động thế
(
)
0=
và không dừng

0
t
.Khi đó tồn tại hàm thế vận
tốc : grad = u
Do đó phơng trình (4-10) có dạng:

0
2
2
=










+++
t

u
PUgrad

(4-10)
Suy ra biểu thức trong dấu ngoặc không phụ thuộc vào toạ độ mà chỉ phụ thuộc
vào thời gian:

()
tC
t
u
PU =


+++

2
2
(4-11)
Đó là tích phân Côsi Lagrăngiơ.
Nếu lực khối chỉ là trọng lực, trục oz hớng lên:
X=Y=0; Z=-g; -U=-gz
Khi đó (4-11) có dạng:

()
tC
t
u
Pgz =

+++

2
2

Nh vậy có hai ẩn: P, nên thêm phơng trình liên tục 0=udiv = 0
2. Tích phân Béc nu li.
Xét chuyển động dừng: 0=


t
. Khi đó phơng trình (4-10) viết dới dạng hình
chiếu có dạng:

()
yzzy
uu
u
PU
x
=

++


2
2
2
;