Lý thuyết cơ sơ KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN - Chương 3 pdf

Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 77
Chương 3
MA TRẬN TÁN XẠ

3.1 Khái niệm
Nội dung của chương này giới thiệu một phương cách mô hình hóa một mạch
điện hoặc một phần mạch điện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương đương
có thông số phân bố hoặc tập trung trung, biểu diễn dưới dạng các mạng nhiều
cửa . Thông số của mạng được định nghĩa thông qua các ma trận đặc tính . Biết
được giá trị của ma trận đó là biết được hoàn toàn đặc tính hoạt động của
mạng, mà ta không cần quan tâm đến cấu trúc thực tế của các phần tử trong
mạng , đến cường độ điện từ trường tại các điểm của mạng.
Hình 3.2 một mạng n cửa được đánh số từ cửa 1 đến cửa n. Tại mỗi cửa j , có
một nguồn tín hiệu E
J
và một nội trở nguồn Z
oJ
(được chọn làm trở kháng
chuẩn cho cửa j đó)

Điện áp và dòng điện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của sóng tới và sóng phản
xạ:
V
j
= V
ij
+ V
rj
I

j
= I
ij
- I
rj

nj ,1


3.2 Ma trận Tán Xạ
 
S
- các hệ số:
1. Dẫn dắt ban đầu
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 78
Cho mạch điện đơn giản gồm nguồn tín hiệu E, nội trở Z
0
(phần thực R
0
), mắc nối
tiếp với Z
L
.Ta có thể coi Z
L
như một mạng một cửa có điện áp và dòng điện ngõ
vào lần lượt là V và I.
Ta có:

L
ZZ
E
I


0
(3.1)

L
L
ZZ
Z
EV


0
(3.2)
Công suất từ nguồn E đạt cực đại khi có sự phối hợp trở kháng giữa tải và
nguồn, nghĩa là:

*
0
ZZ
L

(liên hiệp phức) (3.3)
Ở vùng tần số siêu cao, điện áp và dòng điện tại bất kì điểm nào cũng đều
được coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ.
Dòng điện sóng tới được định nghĩa là dòng điện trong mạch khi có sự phối

hợp trở kháng (điều kiện (3.3)):

0
*
00
2R
E
ZZ
E
I
i



(3.4)
Điện áp sóng tới được tính khi có sự phối hợp trở kháng:

0
*
0
*
00
*
0
2R
EZ
ZZ
EZ
V
i




(3.5)
Vậy:
ii
IZV
*
0

(3.6)
Sóng phản xạ điện áp là:

ir
VVV 
(3.7)
Thay (3.2) và (3.5) vào (3.7), ta có:

i
L
L
L
L
L
L
L
L
r
V
ZZ

ZZ
Z
Z
ZZ
ZZ
Z
Z
ZZ
EZ
ZZ
ZZ
Z
Z
ZZ
EZ
ZZ
EZ
ZZ
EZ
V





























0
*
0
*
0
0
0
*
0
*
0
0

*
00
*
0
0
*
00
*
0
*
00
*
0
*
00
*
0
0
1

(3.8)
Tương tự, sóng phản xạ dòng điện là:

)(
ir
III 
(3.9)
Thay (3.1) và (3.4) vào (3.9), ta có:
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 79

i
L
L
L
L
r
I
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
ZZ
E
ZZ
E
ZZ
E
I



















0
*
0
0
*
00
*
00
0
*
00
1

(3.10)
Hệ số phản xạ điện áp:

L
L
i
r
v
ZZ

ZZ
Z
Z
V
V
S




0
*
0
*
0
0

(3.11)
Hệ số phản xạ dòng điện là:

i
r
i
I
I
S 

=
L
L

ZZ
ZZ


0
*
0

(3.12)
Trường hợp đặc biệt, nếu Z
0
là điện trở thực (
00
RZ 
) thì (3.11) và (3.12) sẽ
đồng nhất:

0
0
RZ
RZ
SSS
L
L
vi



(3.13)
Biểu thức (3.13) chính là hệ số phản xạ trên đường dây đã xét ở chương 1

Ta cũng có:

rr
IZV
0

(3.14)

Cho mạng n cửa như hình 3.2. Xét cửa thứ j như hình
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 80
Tại cửa j gồm nguồn E
j
, nội trở R
0j
, V
ij
,V
rj
, I
ij
, I
rj
là hiệu điện thế tới/về và
cường độ dòng điện tới/về.
V
j
, I
j

là hiệu điện thế và cường độ dòng điện tại ngõ vào bằng tổng của sóng
tới và sóng phản xạ:

rjijj
VVV 
(3.15)

rjijj
III 
(3.16)
Ta định nghĩa ma trận trở kháng chuẩn [Z
0
] là ma trận đường chéo nxn gồm
các trở kháng chuẩn tại các cửa Z
0j
Ta cũng định nghĩa các đại lượng điện áp và dòng điện sóng tới và sóng phản
xạ như là các vectơ cột n phần tử:


 






















in
i
i
i
V
V
V
V
.
.
.
2
1

 






















rn
r
r
r
V
V
V
V
.
.
.
2
1

 





















in
i
i
i
I
I
I

I
.
.
.
2
1

 





















rn

r
r
r
I
I
I
I
.
.
.
2
1

(3.18)
Vậy (3.15) và (3.16) được viết thành:

     
ri
VVV 

(3.19)

     
ri
III 

(3.20)
Ta cũng có quan hệ tương tự như (3.6) và (3.14):

 

 
 
ii
IZV
*
0


(3.21)

 
 
 
rr
IZV
0


(3.22)
Tương tự như hệ số phản xạ điện áp và dòng điện được định nghĩa ở (3.11)
và (3.12) ta cũng có ma trận hệ số phản xạ điện áp và dòng điện:

 
 
 
ivr
VSV 

(3.23)

 
 
 
iir
ISI 

(3.24)

2. Ma trận tán xạ
 
S

Ma trận Tán Xạ
 
S
( Scattering Matrix) của một mạng n cửa được xây
dựng từ quan hệ của các đại lượng
 
a
và
 
b
liên quan đến công suất sóng tới
và sóng về( khác với sóng phản xạ). Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j đều có một
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 81
thành phần sóng tới a
j
( sóng đi vào cửa) và một thành phần sóng về b

j
( sóng đi ra
khỏi cửa) như được vẽ ở hình 3.3


Sóng tới a
j
không những bao gồm công suất của nguồn tín hiệu E
j
tại cửa j
mà còn gồm công suất sóng từ nguồn khác phản xạ trên nội trở kháng Z
oj
để quay
vào cửa j.
Sóng về theo hướng đi ra khỏi cửa j không những bao gồm sóng phản xạ của
nguồn E
j
tại ngõ vào cửa j mà còn gồm công suất của các nguồn khác vào mạng
tại các cửa khác và đi ra khỏi cửa j. Do đó ta không gọi tên đây là sóng phản xạ
mà gọi là sóng về.


 


















n
a
a
a
a
.
.
2
1
;
 


















3
2
1
.
.
b
b
b
b
(3.25)

Sóng tới [a] và sóng về [b] được định nghĩa như sau:

 
 
 
 
 
i
I
ZZ
a

2
2
1
*
00


(3.26)

 
 
 
 
 
r
I
ZZ
b
2
2
1
*
00


(3.27)
Trong đó, các ma trận [Z
0
], [I
i

] và [I
r
] được định nghĩa lần lượt theo (3.17) và
(3.18), (3.21), (3.22)
Nếu gọi R
0j
là phần thực của trở kháng chuẩn Z
0j
thì (3.26) và (3.27) có thể viết
thành:

ijjj
IRa .
0

(3.28)
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 82

rjjj
IRb .
0

(3.29)
Hoặc viết dưới dạng ma trận:

     
i
IRa

2
1
0

(3.30)

     
r
IRb
2
1
0

(3.31)
Ma trận tán xạ
 
S
được định nghĩa dựa theo quan hệ sau đây giữa
 
a
và
 
b
:

 
b
=
 
S

.
 
a
(3.32)
Nghĩa là
 
S
biểu diễn quan hệ giữa các đại lượng sóng tới
 
a
và sóng về
 
b

tại các cửa. Biết được các thông số của ma trận
 
S
có nghĩa là ta biết được đặc
tính hoạt động của mạng n cửa và tính được các công suất sóng ra khi đã biết được
các công suất sóng đưa vào, mà không cần biết đến cấu trúc mạch điện bên trong
của mạng n cửa.

Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với điện áp và dòng điện
Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có:

jjj
ZVE
0

(3.42)

Mặc khác, từ (3.15) và (3.16):

rjijj
VVV 
(3.43)

rjijj
III 
(3.44)
Kết hợp với (3.6) và (3.14):

ijjij
IZV
*
0

(3.45)

rjjrj
IZV
0

(3.46)
Ta có thể viết lại thành:

jjj
ZVE
0



 
ijj
ijjijj
rjijjrjjijj
IR
IZIZ
IIZIZIZ
0
0
*
0
00
*
0
2




(3.47)
Theo (3.28), ta có thể viết lại:

j
jjj
ijjj
R
IZV
IRa

0
0
0
2
.




(3.48)

j
j
R
E
0
2


(3.49)
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 83


Để tìm quan hệ giữa sóng về b
j
với V
j
và I

j
, ta lại tính:

jjj
IZV
*
0




 
rjj
rjjrjj
rjijjrjjijj
IR
IZIZ
IIZIZIZ
0
*
00
*
00
*
0
2



(3.50)

Từ (3.29) ta có thể viết:

j
jjj
rjjj
R
IZV
IRb
0
*
0
0
2
.



(3.51)
Từ (3.48) và (3.51) ta có thể viết:

j
j
jj
j
j
jj
I
R
ZZ
R

V
ba
0
*
00
0
2


(3.54)

jjj
j
jj
jj
IRI
R
ZZ
ba
0
0
*
00
2



(3.55)
Trường hợp đặc biệt, nếu Z
0j

là điện trở thực (
jj
RZ
00

) thì (3.54) có thể
viết lại:

j
j
jj
R
V
ba
0

(3.56)

3.2.1 Ý nghĩa các đại lượng
 
a
và
 
b
:
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 84

Xét tại cửa th ứ j của mạng n cửa như hình, ta có công suất trung bình P
j

được truyền vào phía trong của cửa j là:

 
*
Re
2
1
jjj
IVP 
(3.61)
Thay giá trị của V
j
và I
j
từ (3.55) và (3.56) vào (3.61):

 
 
 




















**
0
0
1
Re
2
1
jj
j
jjjj
ba
R
baRP
(3.62)

 
 
*
*

***
Re
2
1
jjjjjjjj
bbbabaaa 

Vì
 
*
**
jjjj
baba 
là thuần ảo nên:

 
22
2
1
jjj
baP 
(3.63)

2
2
1
j
a
tượng trưng cho công suất sóng tới P
ij

của cửa j


2
2
1
j
b
tượng trưng cho công suất sóng về P
rj
của cửa j
Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ 1 phần
công suất mới được truyền vào phía trong mạng n cửa.

3.2.2 Đặc tính của ma trận tán xạ
 
S
:

Tính đối xứng: nếu mạng n cửa có tính thuận nghịch thì ma trận
 
S
sẽ đối xứng
qua đường chéo, hoặc nói cách khác
nlkSS
lkkl
,1, 

(Tính thuận nghịch là khi đưa một tín hiệu vào cửa k, công suất tín hiệu ra tại cửa l
cũng bằng công suất tín hiệu đi ra tại cửa k nếu đưa cùng một tín hiệu vào cửa l).

Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 85
Định lý Kronecker:
Ngoài tính chất đối xứng, các hệ số S
kl
của ma trận
 
S
của mạng n cửa không tổn
hao còn phải thỏa mãn định lý Kronecker:
ij
n
k
kj
ik
SS



1
*
.

Trong đó







jineu
jineu
ij
0
1



3.2.3 Ý nghĩa vật lý của các hệ số S
kl
của ma trận
 
S
:
Xét một mạng hai cửa thụ động không tổn hao và thuận nghịch như hình 3.6

Ta có từ (3.48) và (3.49):

j
jjj
ijjj
R
IZV
IRa
0
0
0
2

.





j
j
R
E
0
2

j=1,2
(3.85)
Ta có từ (3.51):
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 86

j
jjj
rjjj
R
IZV
IRb
0
*
0
0

2
.



j=1,2
(3.86)
và từ (3.32):

 
b
=
 
S
.
 
a

Ma trận
 
S
có dạng
 
S
=







2221
1211
SS
SS

Ma trận [a] có dạng
 







2
1
a
a
a

Ma trận [b] có dạng
 








2
1
b
b
b

Vậy, ta có:







2
1
b
b
=






2221
1211
SS
SS







2
1
a
a

Dạng biểu thức:









2221212
2121111
aSaSb
aSaSb

Ý nghĩa của S
11
:
Ta có:
0

2
1
1
11


a
a
b
S

Điều kiện
0
2
a
ám chỉ không có sóng đi vào cửa 2 của mạng, có nghĩa là:
+ Cửa 2 được kết thúc bởi tải phối hơp
+ Nguồn E
2
bị triệt tiêu
Từ (3.85), ta có: Với
0
2
a
nên E
2
=0 và
2022
IRV 

(3.88)
Thay (3.85) và (3.86) vào (3.87), ta có:

LoadRE
IRV
IRV
S
:,0
022
1011
1011
11





(3.89)
Gọi
LoadRE
I
V
Z
:,0
022
1
1
11



là trở kháng nhìn vào cửa 1 trong điều kiện cửa
2 có tải R
02
và nguồn E
2
triệt tiêu, ta có thể viết lại (3.89):
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 87

0111
0111
11
RZ
RZ
S




(3.90)
S
11
chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 1 với trở kháng chuẩn là R
01
và
trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
11
, trong điều kiện cửa 2 không có nguồn E
2

(E
2
=
0) và được kết thúc bởi tải R
02
phối hợp.

0
2
1
2
1
0
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
11




a

a
b
a
a
b
S
(3.91)
Như ta đã biết,
2
1
2
1
a
tượng trưng cho công suất sóng tới của cửa 1 và
2
1
2
1
b

tượng trưng cho công suất sóng phản xạ của cửa 1
Vậy
2
11
S
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 1.
Ý nghĩa của S
22
:
Tương tự như trên, ta có:

0
1
2
2
22


a
a
b
S

(3.92)
Và ta cũng suy ra:

0222
0222
22
RZ
RZ
S




(3.93)
S
22
chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 2 với trở kháng chuẩn là R

02
và
trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z
22
, trong điều kiện cửa 1 không có nguồn E
1
(E
1
= 0
) và được kết thúc bởi tải R
01
phối hợp.
Tương tự
2
22
S
tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2.
Ý nghĩa của S
21
:
Tương tự như trên, ta có:

0
2
1
2
21


a

a
b
S

(3.94)
S
21
là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 2 khi đặt sóng tới tại cửa 1 trong điều kiện
không có sóng tới tại cửa 2 ( nguồn E
2
= 0 và cửa 2 được kết thúc bởi tải R
02
phối
hợp)
Thay (3.85) và (3.86) vào (3.94), ta có:

0
2
201
202
21


i
i
r
I
IR
IR
S

(3.95)
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 88
Mặc khác vì
0
2

i
I
nên I
2
= -I
r2
và do cửa 2 có tải là R
02
nên

2022022 r
IRIRV 
Vậy:

01
1
02
2
101
02
2

21
2
1
.
R
E
R
V
IR
R
V
S
i


(3.96)
Ta cũng có thể viết từ (3.94):

0
2
1
2
1
0
2
2
1
2
2
2

2
1
2
2
2
21




a
a
b
a
a
b
S

(3.97)
Vậy
2
21
S
tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 để đến
tải R
02
với công suất tín hiệu đến tại cửa 1.
2
21
S

được gọi là hệ số truyền đạt công
suất từ cửa 1 đến cửa 2.
Chú ý rằng do điều kiện Kronecker của mạng 2 cửa thụ động và thuận
nghịch, ta có:

2
21
S
+
2
11
S
=1
(3.98)
So sánh (3.91) và (3.97) với (3.98), ta nhận thấy định luật bảo toàn công suất
được kiểm nghiệm: Tổng công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 (
2
2
2
1
b
) với công suất
phản xạ tại cửa 1 (
2
1
2
1
b
) chính là công suất sóng tới tại cửa 1 (
2

1
2
1
a
)
Ý nghĩa của S
12
:
Tương tự như trên, ta có:

0
1
2
1
12


a
a
b
S

(3.99)
S
12
là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi đặt sóng tới tại cửa 2 trong điều kiện
không có sóng tới tại cửa 1 ( nguồn E
1
= 0 và cửa 1 được kết thúc bởi tải R
01

phối
hợp)
Tương tự như trên,
2
12
S
tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi
cửa 1 để đến tải R
01
với công suất tín hiệu đến tại cửa 2.
2
12
S
được gọi là hệ số
truyền đạt công suất từ cửa 2 đến cửa 1.

Một cách tổng quát ta có các đặc tính sau của các hệ số S
ij
của mạng n cửa:
Chương 3: Ma trận tán xạ

Trang 89
- S
jj
là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào thứ j trong điều kiện các cửa còn lại
không có sóng vào. Nếu S
jj
= 0 , ta có phối hợp trở kháng tại cửa j.
- S
ij

là hệ số truyền đạt công đạt công suất từ cửa j đến cửa i . Nếu S
ij
= 0 , ta
nói cửa i và cửa j cách ly nhau.

Bài tập:
Cho mạng 2 cửa có ma trận tán xạ [S] như hình. Cửa 1 gồm nguồn E
1
, nội trở
R
01
, trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z
11
. Cửa 2 gồm nguồn E
2
, nội trở R
02
, trở
kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z
22
. Cho Z
1
=(50-j75)

, Z
2
=(60+j50)

, Z
3

=(20-
j25)

.

R02
100
R01
50
E2E1

Xác định ma trận [S]

Z
1
Z
2
Z
3