Lý thuyết cơ sơ KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN - Chương 2 ppt

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 42
Chương 2
ĐỒ THỊ SMITH

2.1 Giới thiệu

Một cách tổng quát đồ thị Smith được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa hệ số
phản xạ
)(x
và trở kháng đường dây Z(x) tại một điểm x bất kỳ trên đường dây
truyền sóng.



)(1
)(1
)(
0
x
x
ZxZ




(2.1)

)(1
)(1

)(
x
x
xz




(2.2)

0
0
)(
)(
)(
ZxZ
ZxZ
x




(2.3)

1)(
1)(
)(




xz
xz
x

(2.4)
trong đó trở kháng chuẩn hóa
0
)(
)(
Z
xZ
xz 

(2.5)

Đồ thi Smith sẽ được xây dựng từ mặt phẳng

này:
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 43

2.2 Các đồ thị vòng tròn

Để thuận tiện, ta quy ước dùng các ký hiệu sau:
Hệ số phản xạ:
)()()( xjxx
ir

hoặc

ir
j

(2.6)
Trở kháng đường dây: Z(x) = R(x) + jX(x) hoặc Z = R +jX
(2.7)
R: là điện trở đường dây
X: là điện kháng đường dây

Trở kháng đường dây chuẩn hóa: z(x) = r(x) + jx(x) hoặc z = r + jx
(2.8)
Trong đó r = R/Z
0
là điện trở đường dây chuẩn hóa
X = X/Z
0
là điện kháng đường dây chuẩn hóa
Ngoài ra, trong thực tế, người ta thường chuẩn hóa các trị số trở kháng của mạch
điện theo một điện trở chuẩn R
0
(số thực) thay vì theo một trở kháng chuẩn Z
0
(số
phức trong trường hợp tổng quát). Do đó , các trị số R và X tỉ lệ hoàn toàn với các
trị số r và x:
0
R
R
r 
:

0
R
X
x 
(2.9)
2.2.1 Phép biểu diễn z trong mặt phẳng phức


Nội dung chính là gán cho mỗi điểm hệ số phản xạ

một giá trị trở kháng chuẩn
hóa z tương ứng, căn cứ theo (2.2).
Dùng các biểu thức phức của

và z ở (2.6) và (2.8), ta có thể viết lại (2.2) như
sau:

ir
ir
j
j
jxr



1
1

(2.10)
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 44
Nhân vế phải của biểu thức (2.10) với lượng liên hợp phức, sau đó cân bằng phần
thực và phần ảo hai vế của (2.10), ta thu được cặp phương trình:

22
22
)1(
1
ir
ir
r




(2.11)

22
)1(
2
ir
i
x




(2.12)
Xét (2.11), phương trình này chỉ phụ thuộc r mà không phụ thuộc giá trị x (nghĩa

là x bất kỳ). Nếu ta coi r là thông số hằng số thì (2.11) sẽ trở thành một phương
trình quan hệ giữa
r

và
i

(hoành độ và tung độ trong mặt phẳng phức

) và do
đó (2.11) được đặt trưng bởi một đường biểu diễn trong mặt phẳng

. Đường biểu
diễn này không phụ x (với mọi giá trị bất kỳ của x) mà chỉ phụ thuộc vào r : lần
lượt cho r các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn.
Ta gọi đó là họ các đường đẳng r (mỗi đường tương ứng với một giá trị r hằng số).
Ta viết lại (2.11) dưới dạng:

2
2
2
1
1
1

















rr
r
ir

(2.13)
vậy, mỗi đường đẳng r là một vòng tròn trong mặt phẳng phức

, có:
+ tâm :







0;
1 r
r

(2.14)
+bán kính:
r1
1
(ta luôn giả thiết r
0
)
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 45

Hình 2.2 biểu diễn họ các đường tròn đẳng r với các giá trị r khác nhau.Trong thực
tế r luôn luôn
0
nên ta chỉ xét họ vòng tròn đẳng r với
 r0


Các vòng tròn đẳng r đáng chú ý:
+ r = 0 : tâm(0,0), bán kính = 1. Ta thấy rằng r = 0 có nghĩa R = 0, tất cả các điểm
có

nằm trên vòng tròn này (

=1) là thuần kháng ( đoạn nối tắt, cảm kháng
hoặc dung kháng)
+ r =1 : tâm (1/2; 0), bán kính ½. Ta thấy rằng r = 1 có nghĩa R = R
0
, trở kháng
đường dây của tất cả các điểm có


nằm trên vòng tròn này có thành phần thực R
bằng đúng điện trở chuẩn hoá R
0.

+ r

: tâm (1;0), bán kính 0, có nghĩa

= +1. Đây là điểm tương ứng với trở
kháng là một hở mạch.

Tương tự như phương trình đẳng r ở (2.11), ta xét tiếp (2.12). Phương trình này
chỉ phụ thuộc x mà không phụ thuộc r (nghĩa là r bất kỳ). Nếu ta coi x là thông số
hằng thì (2.12) sẽ trở thành một phương trình quan hệ giữa
r

và
i

. Lần lượt cho
x các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn, ta gọi đó
là các đường đẳng x (mỗi đường tương ứng với một giá trị x hằng số).
Ta viết lại (2.12) dưới dạng:

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 46

22

2
11
)1(














xx
ir

(2.15)
Mỗi đường đẳng x trong mặt phẳng phức

cũng là đường tròn có:
Tâm









x
1
,1
; bán kính
x
1

(2.16)


Hình 2.3 biểu diễn họ các đường đẳng x với các giá trị x khác nhau. Chú ý rằng x
có thể mang giá trị dương (cảm kháng ) hoặc giá trị âm(dung kháng), nhưng bán
kính vòng tròn đẳng x phải là một số dương và bằng
x
1
.
Các điểm tâm của các vòng tròn đẳng x luôn luôn nằm trên đường
r

= 1 (xem
hình 2.3)
Vì


1
nên trong mặt phẳng phức


ta chỉ xét các điểm nằm trong phạm vi
vòng tròn

=1
Các vòng tròn đẳng x đáng chú ý
+ x =0 : tâm (1 ;

) , bán kính

, vòng tròn biến thành đường thẳng trùng với trục
hoành. Thật vậy, với trở kháng đường dây là điện trở thuần thì hệ số phản xạ

trở
thành số thực.

+ x

: tâm(1;0), bán kính = 0, đường tròn biến thành điểm có tọa độ (1;0), nghĩa
là

= 1, tương ứng trở kháng là một hở mạch.

+ với các giá trị điện kháng x đối nhau, các đường tròn đẳng x tương ứng sẽ đối
xứng nhau qua trục hoành.
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 47

2.2.2 Phép biểu diễn


trong mặt phẳng phức z

Nội dung chính là gán cho mỗi điểm trở kháng chuẩn hóa trong mặt phẳng phức z
=r +jx một giá trị hệ số phản xạ

tương ứng, căn cứ theo (2.4). Ở đây , ta có thể
biểu diễn

dưới dạng tọa độ cực.

 arg

(2.17)
vậy biểu thức (2.4) có thể được viết lại dưới dạng :


 arg
=
jxr
jxr
z
z





1
1
1

1

(2.18)

tương tự như phép biểu diễn z trong mặt phẳng

ở (2.10), (2.11) và (2.12), từ
(2.18) ta cũng có thể biểu diễn

theo r và x; arg

theo r và x
do đó, ta cũng được các đường đẳng

và đẳng arg

trong mặt phẳng phức z = r
+jx, được trình bày ở hình 2.4.



2.3 Đồ thị SMITH

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 48
Đồ thị SMITH là công cụ được sử dụng rất nhiều trong việc phân tích và thiết kế
các mạch siêu cao tầng. Ta có thể thực hiện nhiều phép tính toán trực tiếp trên đồ
thị Smith, chỉ bằng cách vẽ hình và đọc trị số mà không dùng các công cụ toán học
khác. Hiể sâu sắc và vận dụng nhuần nhuyễn đồ thị SMITH giúp người thiết kế

nắm được bản chất của mạch siêu cao tần, đồng thời biết trước được kết quả thiết
kê hoặc phỏng đoán các khó khăn trong việc thi công mạch điện.
Đồ thị SMITH được xây dựng dựa trên phép biểu diễn trở kháng z trong mặt
phẳng hệ số phản xạ, đã được đề cập đến ở mục 2.2, trên đó , ta đã vẽ các đồ thị
vòng tròn là các đường đẳng r và đẳng x.

2.3.1 Mô tả
Hình 2.5 là đồ thị Smith chuẩn, các điểm cần lưu ý:
+tất cả các giá trị trở kháng trên đồ thị Smith đều là trở kháng chuẩn hóa theo một
điện trở chuẩn định trước ( điện trở chuẩn R
0
hoặc điện trở đặc tính đường dây).
Người sử dụng phải tự suy ra giá trị thật.

+ Đồ thị Smith nằm trong phạm vi vòng tròn đơn vị vì hệ số phản xạ

là một số
phức có module nhỏ hơn hay bằng 1. Ta sẽ không xét các điểm

nằm ngoài
phạm vi của đồ thị Smith.

+ Các đường đẳng r: là họ các vòng tròn có phương trình thông số r xác định bởi
(2.13), mỗi vòng tròn tương ứng với một giá trị r duy nhất (hình 2.2). Trên đồ thi
Smith , giá trị r của mỗi vòng tròn đẳng r được đặt tên là “ Thành phần điện trở
R/Z
0
“ và được ghi trị số dọc theo trục hoành của đồ thị Smith. Giá trị của r tăng từ
0 


(luôn luôn dương).
+ Các đường đẳng x : là họ các vòng tròn có phương trình thông số x xác định bởi
(2.15), mỗi vòng tròn tương ứng với mỗi giá trị x duy nhất (hình 2.3) và chỉ được
vẽ phần vòng tròn nằm trong phạm vi vòng tròn đơn vị

Có hai nhóm đường tròn đẳng x
-Với giá trị x dương ( cảm kháng ), các đường đẳng x nằm ở phía trên trục hoành
của đồ thị Smith. Giá trị của x tăng dần từ 0 đến

và được ghi dọc theo chu vi
vòng tròn đơn vị, ở nửa phần bên trên của trục hoành được đặt tên là “ thành phần
cảm kháng +jX/Z
0
“
- Với giá trị x âm( dung kháng ), các đường đẳng x nằm ở bên dưới trục hoành của
đồ thi Smith. Giá trị của x giảm dần từ 0 đến -

, chỉ ghi dọc theo chu vi vòng
tròn đơn vị(chỉ ghi giá trị tuyệt đối
x
) ở nửa phần bên dưới của trục hoành , và
được đặt tên là thành phần dung kháng –jX/Z
0
).
- Tâm điểm của đồ thi Smith là giao điểm của đường đẳng r =1 và đẳng x= 0 ( trục
hoành của đồ thị), do đó tương ứng với trở kháng chuẩn z = r +jx = 1 (tức Z= R
0

). Đây là điểm có


= 0 ( có phối hợp trở kháng).
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 49
- Điểm tận cùng bên trái của trục hoành của đồ thị Smith là giao điểm của đường
đẳng r =0 và đẳng x = 0 , do đó tương ứng với trở kháng chuẩn hóa z = r + jx = 0
(tức Z = 0), là một ngắn mạch. Đây là điểm có hệ số phản xạ

= -1.
- Điểm tận cùng bên phải của trục hoành của đồ thi Smith là điểm đặc biệt mà tất
cả các đường đẳng r và đẳng x đều đi qua( mọi giá trị của r và x). ở đây, ta coi
rằng điểm này tương ứng với trở kháng chuẩn hóa z

( tức Z

), là một hở
mạch . Đây cũng là điểm có hệ số phản xạ

= +1.
- Chúng ta biết rằng từ (1.97), ta có thể suy ra hệ số phản xạ

(x) tại điểm x bất
kỳ trên đường truyền sóng từ hệ số phản xạ

(l) tại điểm tải l và khoảng cách d từ
điểm x đến tải:

d
elx


2
)()(



(2.19)

Mỗi điểm trên đồ thi Smith đều tương ứng với một hệ số phản xạ trên đường dây.
Do đó ta dễ dàng duy ra điểm

(x) trên đồ thị Smith nếu biết trước vị trí của điểm

(l) bằng cách xoay vòng trên một quỹ tích xoắn ốc quanh gốc tọa độ ( đối với
vòng tròn không tổn hao, là một quỹ tích hình tròn tâm là tâm của đồ thị Smith (
xem biểu thức (1.99) và hình 1.22).


djd
eelx

22
)()(


(

/2
)
(2.20)

Khi d tăng một khoảng cách bằng

/2 thì điểm hệ số phản xạ

sẽ quay 1 vòng
quanh gốc tọa độ của đồ thi Smith.
Như vậy, khi di chuyển khoảng cách d bất kỳ thì góc quay sẽ là:



dd
00
720
2/
360 

(2.21)
Công thức (2.20) thường được sử dụng với khoảng cách d khi di chuyển từ tải về
nguồn. Tuy nhiên có thể mở rộng (2.20) cho trường hợp tổng quát: điểm khởi
hành ở vị trí bất kỳ trên đường truyền sóng và di chuyển về phía nguồn (d > 0)
hoặc về phía tải (d < 0):
+ về hướng nguồn : theo chiều kim đồng hồ
+ về hướng tải: ngược chiều kim đồng hồ
Như vậy góc quay của hệ số phản xạ

khi di chuyển trên đường truyền sóng có
thể xác định theo đơn vị đo góc (độ), biến thiên từ –180
0
đến +180
0

hoặc theo số
lần bước sóng biến thiên từ 0 đến 0.5 lần

cho mỗi vòng quay.

-Đối với đường truyền có tổn hao (
)0

, khi di chuyển dọc theo đường truyền
sóng, theo (2.20), module của hệ số phản xạ

cũng biến thiên tỉ lệ với
d
e

2
.
Điều này có nghĩa khi di chuyển về phía nguồn (d > 0) thì giảm dần và khi di
chuyển về phía tải (d < 0) thì

tăng dần. Sự biến thiên

được xác định theo
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 50
một thang giá trị “ hệ số suy hao đường truyền” ở phần dưới trái của đồ thị Smith.
Trên thang giá trị này , cũng có hai chiều trị số: về phía nguồn và về phía tải.
- Hệ số sóng đứng S trên đường truyền không tổn hao cũng có thể được xác định
theo đồ thi Smith. Ở phần 1.4 , chúng ta biết rằng với đường truyền sóng không

tổn hao, giá trị của

và của S đều là hằng số trên suốt chiều dài đường truyền (
xem biểu thức (1.180) và (1.182)).
- Như vậy, các vòng tròn có tâm là gốc tọa độ trên đồ thị Smith có thể được coi là
các đường đẳng

hoặc các đường đẳng S , mỗi vòng tròn tương ứng với một giá
trị của

và một giá trị S duy nhất. Họ các đường đẳng S không được vẽ cụ thể
trên đồ thị Smith nhưng chúng ta có thể xác định chúng một cách dễ dàng nhờ
thang giá trị “Hệ số sóng đứng” ở phần dưới trái của đồ thị.

2.3.2 Đặc tính
a)Dẫn nạp trên đồ thị Smith
- Định nghĩa điện dẫn chuẩn: là nghịch đảo của điện trở chuẩn R
0



0
0
1
R
G 

(2.22)
- Định nghĩa dẫn nạp chuẩn hóa theo điện dẫn chuẩn:

zRZR
Z
G
Y
y
1
/
1
/1
/1
000


(2.23)
-Hệ số phản xạ

được tính là (theo (2.4)):

1
1
1
1
1
1
1
1










y
y
y
y
z
z

(2.24)
Hoặc



1
1
y

(2.25)
Quan hệ giữa

và y theo (2.24) và (2.25) là quan hệ một-một, và ta cũng có thể
xây dựng đồ thị Smith theo dẫn nạp.
Mặt khác, nếu so sánh (2.24) và (2.25) với (2.2) và (2.4), ta nhận thấy rằng quan
hệ giữa


với z hoàn toàn giống như quan hệ giữa (-

) với y. Điều này có nghĩa
đồ thị Smith xây dựng theo trở kháng chuẩn hóa z và đồ thị Smith xây dựng theo
dẫn nạp chuẩn y là đối xứng nhau qua gốc tọa độ của mặt phẳng phức

.
Nói một cách khác, đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa y được suy ra từ đồ thị
Smith theo trở kháng chuẩn hóa z bằng một trong hai cách sau:
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 51
+ Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị Smith qua gốc tọa độ (Hình 2.6)
+ Giữ nguyên đồ thị Smith, nhưng lấy đối xứng của điểm hệ số phản xạ đang xét

qua gốc tọa độ thành điểm hệ số phản xạ (-

) (hình 2.7).




Chú ý nếu trở kháng chuẩn hóa z có thể được viết : z = r + jx
(2.26)
Thì dẫn nạp chuẩn hóa y cũng được viết tương tự: y = g + jb
(2.27)
Trong đó: g = G/G
0
là điện dẫn chuẩn hóa
b = B/G

0
là điện nạp chuẩn hóa
Như vậy, trên đồ thị Smith theo trở kháng chuẩn hóa ta có đường đẳng r và đẳng x
thì trên đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa, các đồ thị vòng tròn giống hệt như
trên sẽ trở thành các đường đẳng g và đẳng b. Các thang trị số trên đồ thị không
thay đổi ( giá trị r

giá trị g; giá trị x

giá trị b)

b) Bụng sóng và nút sóng trên đồ thị Smith
Ở phần (1.4), chúng ta đã biết rằng khi có sóng đứng trên đường dây, các điểm
bụng sóng và nút sóng điện áp xảy ra tuần hoàn dọc theo chiều dài đường dây với
chu kỳ khoảng cách là

/2.
Tại điểm bụng sóng điện áp, theo (1.183) và (1.186), trở kháng đường dây sẽ cực
đại thuần trở và giá trị chuẩn hóa là :
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 52

Sr 
max

(2.31)
tại nút sóng điện áp, theo (1.187) và (1.189), trở kháng đường dây sẽ cực tiểu
thuần trở và giá trị chuẩn hóa là:

S
r
1
min


(2.32)
trong đó :
 S1
là hệ số sóng đứng đường dây.


Trên đồ thị Smith, khi có sóng đứng, hệ số phản xạ

sẽ di chuyển trên vòng
tròn đẳng S có tâm là tâm là gốc tọa độ, bán kính được xác định trên thang giá
trị của S ( xem phần 2.3.1). Giao điểm của đường tròn đẳng S này với trục
hoành của đồ thị Smith( đường đẳng x= 0) là các điểm mà tại đó trở kháng
đường dây trở thành điện trở thuần (do x = 0). Đây chính là các điểm tương
ứng với trở kháng đường dây tại bụng sóng và nút sóng.
Cụ thể là:
+ Giao điểm của vòng tròn đẳng S với nửa bên trái của trục hoành sẽ là nút
sóng điện áp (Hình 2.8) và trở kháng đường dây tại đó là
S
r
1
min

.
+ Giao điểm của vòng tròn đẳng S và nửa bên phải của trục hoành là các điểm

bụng điện áp và trở kháng đường dây tại đó là
Sr 
max
.
Nhờ đặc tính này, ta có thể suy ra trở kháng tải Z
L
tại đầu cuối đường dây bằng
cách đo hệ số sóng đứng ( S = V
max
/ V
min
) và khoảng cách từ các điểm bụng
sóng hoặc nút sóng cho đến điểm tải. Biết được giá trị của S, ta suy ra vị trí của
điểm bụng sóng (hoặc nút sóng) ở giao điểm bên phải (hoặc bên trái) của
đường đẳng S với trục hoành. Từ đó, xoay ngược chiều kim đồng hồ (về phía
tải) trên đường đẳng S một góc xoay tương ứng với khoảng cách từ điểm bụng
điện áp (hoặc điểm nút điện áp) đến điểm tải, ta sẽ tìm được

(l), tương ứng
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 53
với tải Z
L
. Phép tính trên hoàn toàn được thực hiện trên đồ thị Smith mà không
dùng công thức tính toán nào.
Chú ý: Cũng vì r
min
= 1/r
max

(do 2.31) và (2.32) nên thang trị số r ở nửa bên trái
của trục hoành là nghịch đảo của thang trị số r ở nửa bên phải.
Cũng vì
Sr 
max
(do (2.31) nên thang trị số r ở nửa bên phải của trục hoành
cũng trùng với thang trị số của S ở phần dưới trái của đồ thị Smith (xem phần
2.3.1)

a) Đổi cơ sở trở kháng chuẩn trên đồ thị Smith
Giả sử ta cần vẽ điểm trở kháng của một đường dây có điện trở đặc tính R
ao
=
aR
0
( a là hệ số tỉ lệ, giả sử là một số dương) trên đồ thị Smith của điện trở
chuẩn R
0
. Hệ số phản xạ trên đường dây R
ao
của một trở kháng Z là
ao
ao
a
RZ
RZ



( tương ứng với S

a
) .
Đặt p =
ao
ao
RR
RR
a
a





0
0
1
1
với a =
0
R
R
ao
; K =
a


Vậy các điểm
a


( tương ứng S
a
) trên đường dây có điện trở đặc tính R
ao
có
quỹ tích là đường tròn tròn trong mặt phẳng đồ thị Smith có :

Tâm :










0,
1
)1(
22
2
Kp
Kp
; Bán kính :
)1(
)1(
22
2

Kp
pK



(2.45)
Hình 2.9 miêu tả các vòng tròn đẳng
a

hoặc đẳng S
a
trên đồ thị Smith của
mặt phẳng

có điện trở chuẩn R
0:
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 54


+ Nếu R
ao
= R
0
( a =1 ) nghĩa là không thay đổi cơ sở trở kháng chuẩn hóa thì
p = 0 và các vòng tròn đẳng
a

hoặc đẳng S

a
trở thành các vòng tròn đẳng


hoặc đẳng S trên đồ thị Smith có tâm (0,0) và bán kính

.
+ Nếu R
ao
> R
0
( a>1) thì p < 0 : các vòng tròn đẳng
a

hoặc đẳng S
a
sẽ nằm
ở nửa phải của trục hoành của đồ thị Smith. Họ các vòng tròn này bao lẫn
nhau, vòng tròn với S
a
càng nhỏ thì bán kính càng nhỏ và nằm phía trong.( Ví
dụ , vùng không gian bao bọc bởi vòng tròn đẳng S
a
= 2.5 sẽ luôn tương ứng
với các hệ số sóng đứng nhỏ hơn S
a
= 2.5.
+ khi có phối hợp trở kháng trên đường dây R
ao
thì

a

= 0, có nghĩa là S
a
= 1 .
Lúc này vòng tròn đẳng S
a
= 1 trở thành một điểm có tọa độ








 0,
1
1
a
a
trên
đồ thị Smith. Điểm này cũng chính là điểm tương ứng với điện trở chuẩn hóa r
= R
ao
/ R
0
= a trên nửa phải của trục hoành của đồ thị Smith.
Trên đường tròn đẳng S
a

, ta cũng tìm thấy các điểm tương ứng với bụng sóng
và nút sóng trên đường dây R
ao
chính là các giao điểm của đường đẳng S
a
với
trục hoành của đồ thị Smith. Điểm bụng sóng nằm ở phía phải có giá trị điện
trở là S
a
.R
ao
= a S
a
.R
0
; điểm nút sóng nằm ở phiá trái có giá trị điện trở là
aa
ao
S
aR
S
R
0

.
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 55
+ Nếu R
ao

< R
0
( a < 1) thì p > 0 : các vòng tròn đẳng
a

hoặc đẳng S
a
sẽ nằm
ở nửa trái của trục hoành của đồ thị Smith. Các vòng tròn với S
a
càng nhỏ thì
bán kính càng nhỏ và nằm ở phía trong.
Đặc biệt khi có phối hợp trở kháng trên đường dây R
ao
thì S
a
= 1. Lúc này
vòng tròn đẳng S
a
= 1 trở thành 1 điểm tại tọa độ








 0,
1

1
a
a
tương ứng với
điện trở chuẩn hóa r = R
ao
/ R
0
= a ( a<1) trên nửa trái của trục hoành của đồ thị
Smith.
Tương tự ta cũng có các điểm bụng sóng và nút sóng trên đường dây R
ao
là
giao điểm của đường đẳng S
a
với trục hoành của đồ thị Smith.

2.4 Ứng dụng cơ bản của đồ thi Smith
2.4.1 Vẽ vector điện áp và dòng điện trên đồ thị Smith
Giả sử sóng điện áp và dòng điện tới hình sin, được biểu diễn bằng vector:


V

và
0
R
V
I







(2.46)
Như vậy, tại điểm toạ độ x bất kỳ, sóng phản xạ điện áp và dòng điện cũng được
biểu diễn bằng các vectơ:


 VxV

)(

(2.47a)

0
0
S
R
R
S


(2.47b)

trong đó:

(x) là một số phức, biểu thị cho hệ số phản xạ điện áp tại điểm x.
vậy, sóng điện áp và dòng điện tổng là vector tổng

+ Nếu R
ao
< R
0
( a < 1) thì p > 0 : các vòng tròn đẳng
a

hoặc đẳng S
a
sẽ nằm
ở nửa trái của trục hoành của đồ thị Smith. Các vòng tròn với S
a
càng nhỏ thì
bán kính càng nhỏ và nằm ở phía trong.
Đặc biệt khi có phối hợp trở kháng trên đường dây R
ao
thì S
a
= 1. Lúc này
vòng tròn đẳng S
a
= 1 trở thành 1 điểm tại tọa độ









 0,
1
1
a
a
tương ứng với
điện trở chuẩn hóa r = R
ao
/ R
0
= a ( a<1) trên nửa trái của trục hoành của đồ thị
Smith.
Tương tự ta cũng có các điểm bụng sóng và nút sóng trên đường dây R
ao
là
giao điểm của đường đẳng S
a
với trục hoành của đồ thị Smith.


 VxVVVV

)(

(2.48a)

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 56


 IxIIII

)(

(2.48b)

Nếu ta chuẩn hóa các vectơ tổng điện áp và dòng điện theo biên độ sóng tới thì ta
có các vectơ điện áp và dòng điện chuẩn hóa như sau:

 
ex
V
V


)(1 


(2.49a)

 
ex
I
I


)(1 


(2.49b)
trong đó, ta coi
e

là vectơ đơn vị trên mặt phẳng phức

(mặt phẳng đồ thị Smith)

Vậy ta có thể biểu diễn như sau:
+ vectơ điện áp chuẩn hóa được coi là tổng của vectơ đơn vị và vectơ hệ số phản
xạ. Hình 2.10 minh hoạ phép cộng vectơ trên và ta có được vectơ điện áp chuẩn
hóa.
+ vectơ dòng điện chuẩn hóa được coi là hiệu của vectơ đơn vị và vectơ hệ số
phản xạ (tổng của vectơ đơn vị với trừ của vectơ hệ số phản xạ). Hình 2.11 minh
họa phép hiệu vectơ trên và ta có được vectơ dòng điện chuẩn hóa.

Khi điểm khảo sát x di chuyển dọc theo chiều dài đường dây( giả sử đường dây
không tổn hao), điểm hệ số phản xạ sẽ di chuyển trên đường tròn đẳng S, tức là
đường tròn có tâm là tâm của đồ thị Smith( xem phần 2.3). Lúc này, các vectơ
điện áp và dòng điện chuẩn hóa trên đường dây sẽ có điểm gốc cố định nhưng
điểm đỉnh sẽ di chuyển trên đường tròn đẳng S (xem hình 2.10 và 2.11), biên độ
và pha biến thiên với chu kỳ khoảng cách

/2 ( một chu vòng tròn).
+ vectơ điện áp đạt biên độ cực đại V
max
tại giao điểm của đường tròn đẳng S với
nửa phải của trục hoành , góc pha bằng 0
0
; vectơ dòng điện đạt biên độ cực tiểu

I
min
tại giao điểm của đường tròn đẳng S với nửa trái của trục hoành , góc pha
bằng 0
0
. Đây là điểm bụng điện áp, nút dòng điện trên đường dây, trở kháng
đường dây là số thực (điện trở đường dây) có trị số r
max
được đọc trực tiếp trên
thang trị số ở nửa phải của trục hoành (xem phần 1.4 và 2.3)
+ vectơ điện áp đạt biên độ cực tiểu V
min
tại giao điểm của đường tròn đẳng S với
nửa trái của trục hoành , goá pha bằng 0
0
; vectơ dòng điện đạt biên độ cực đại I
max

tại giao điểm của đường tròn đẳng S với nửa phải của trục hoành , góc pha bằng 0
0

. Đây là điểm nút điện áp, bụng dòng điện trên đường dây, trở kháng đường dây là
số thực (điện trở đường dây) có trị số r
min
(hình 2.10 và 2.11).
Nhờ phương pháp biểu diễn vectơ điện áp và dòng điện trên đồ thi Smith, ta có
thể:
-Tính biên độ và góc pha của điện áp và dòng điện tại bất kỳ điểm x nào trên
đường dây, nếu các đại lượng sóng tới V
+

và I
+
đã được xác định trước.
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 57
- Thực hiện phép tổng hoặc hiệu vector trên đồ thị Smith.

2.4.2 Tính hệ số sóng đứng, hệ số phản xạ và trở kháng đường dây
Trên đường truyền sóng (có tổn hao hoặc không tổn hao), nếu ta biết giá trị trở
kháng tải chuẩn hoá Z
L
ở đầu cuối đường dây ( hoặc trở kháng đường dây
chuẩn hóa z(x
0
) tại điểm x
0
xác định trước), ta luôn có thể suy ra giá trị của hệ
số sóng đứng S, hệ số phản xạ

(x), trở kháng đường dây chuẩn hóa z(x) tại
điểm x bất kỳ trên đường dây, với vị trí của x được xác định tương đối so với
điểm tải (hoặc so với điểm x
0
định trước). Tất cả các tính toán trên đều có thể
thực hiện trực tiếp trên đồ thị Smith mà không cần phương tiện trung gian nào
khác.
Ví dụ xét hình 2.14, 2.15: 1 đường truyền sóng không tổn hao, điện trở đặc tính
R
0

, chiều dài l, z
L
= Z
L
/ R
0
= 1 +j1,

= 5 cm, tìm các điểm bụng và nút điện
áp đầu tiên kể từ tải và hệ số sóng đứng S trên đường dây.Từ đó suy ra trở
kháng (TK) đường dây chuẩn hóa tại điểm cách tải một đoạn d =

/ 4 = 1.25
cm

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 58

Bài toán trên có thể được giải trực tiếp trên đồ thị Smith.
TK tải chuẩn hóa z
L
biểu thị bởi điểm z
L
trên đồ thị Smith (hình 2.15).
Đường thẳng đi ngang qua điểm z
L
và cắt vòng tròn chu vi của đồ thị (vòng
“wavelength toward generator”) tại điểm giá trị 0.162


.
Vẽ vòng tròn đẳng S (có tâm là tâm đồ thị Smith) đi qua z
L
(xem hình
2.15), từ đó suy ra giá trị của hệ số sóng đứng là S=2.6
Ta biết rằng vị trí các điểm bụng và nút điện áp trên đường dây lần lượt là
giao điểm của vòng tròn đẳng S với nửa phần phải và nửa phần trái của trục
hoành (điểm V
max
và V
min
ở hình 2.15). Tọa độ các điểm đó trên thang giá trị ở
vòng chu vi của đồ thị Smith là 0.25

và 0.5

.
Vậy khoảng cách từ tải đến điểm bụng và nút điện áp đầu tiên trên đường
dây (đi theo chiều về nguồn):
d(V
max
)=(0.25-0.162)

=0.088

=0.44cm
d(V
min
)=(0.5-0.162)


=0.338

=1.69cm
TK đường dây chuẩn hóa tại điểm cách tải

/4, ta sẽ di chuyển từ điểm tải
z
L
theo chiều về nguồn một nửa vòng tròn trên đường đẳng S (hết vòng tròn
ứng với

/2), kết quả là:
z=0.5-j0.5

Bài tập
Bài 1
Cho 1 đường truyền sóng không tổn hao, điện trở đặc tính R
0
=50

, tải Z
L

= 50-j50,

= 4 cm.
a> Xác định điểm bụng, nút điện áp đầu tiên
b> Xác định trở kháng tại điểm bụng, nút điện áp
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 59
c> Giả sử dây dài l=9cm. Đầu vào có nguồn V
in
=sin

t(V). Xác định biểu
thức dòng điện đầu vào đường dây
Bài 2
Cho 1 đường truyền sóng không tổn hao, điện trở đặc tính R
0
=50

, tải
Z
L
=25

, dây dài l=15

/8. Nguồn e(t)=10cos

t(V), nội trở R
S
=50

. Xác
định biểu thức điện áp tại điểm cách tải d=5

/8
Bài 3

Cho 1 đường truyền sóng không tổn hao có trở kháng đặc tính R
0
=300

.
Trên đó có 1 sóng

=50m lan truyền. Hệ số sóng đứng S=2 và khoảng cách từ
tải đến nút điện áp gần nhất là 10m.Cho biên độ nút điện áp là 1V.
a> Xaùc ñònh biên độ bụng điện áp
b> Giả sử chiều dài đường dây là l=170m. Tính trở kháng nhìn từ đầu
vào đường dây
Bài 4
Cho 1 đường truyền sóng không tổn hao có trở kháng đặc tính R
0
=50

.
Trên đó có 1 sóng

=5cm lan truyền. Chiều dài đường dây là l=2m.Đầu cuối
kết thúc bởi 1 tải Z
L
=(75-j75)

. Xaùc ñònh:
a> Vị trí điểm bụng, nút điện áp đầu tiên tính từ tải
b> Hệ số phản xạ
c> Hệ số sóng đứng
d> Trở kháng tại 1 điểm cách tải d=5


/4
e> Số bụng, nút điện áp

2.4.3 Tính trở kháng mạch phức hợp

Mạch phức hợp trong phạm vi môn học này được hiểu là mạch điện bao gồm
nhiều phần tử thụ động tuyến tính gồm điện trở tuyến tính R, điện dung C, và
điện cảm L ghép với nhau. Ở một tần số định trước , trở kháng hoặc dẫn nạp
của một mạch phức hợp có thể được xác định bằng các công thức tính toán
của định luật Ohm.
Phép toán trên có thể được thực hiện trực tiếp trên đồ thị Smith chỉ bằng cách
vẽ và đo mà không cần dùng công thức tính toán nào. Tuy nhiên , điều này đòi
hỏi người thực hiện phải sử dụng thành thạo đồ thị Smith, nhất là phép biến đổi
trở kháng dẫn nạp trên đồ thị Smith (mục 2.3.2a).
Ví dụ xét hình 2.16, 2.17: R = 50

, C1 = 10 pF, C2 = 12 pF, L = 22.5nH,

= 10
9
rad/s. Tính trở kháng Z tương đương giữa 2 đầu mạch điện

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 60


Chọn R
0

=50


Trở kháng gồm R và C
1
nối tiếp có trị số chuẩn hóa:

0
1
1
1
R
Cj
R
z
RC



=1-j2 (điểm (A) trên đồ thị Smith ở hình 2.17)
Vì z
RC1
mắc song song với C
2
nên trên đồ thị Smith, ta chuyển toàn bộ
thành giá trị dẫn nạp.
Đối với RC
1
dẫn nạp y
RC1

được suy ra từ z
RC1
bằng cách lấy đối xứng điểm
(A) từ đồ thị Smith qua gốc tọa độ thành điểm (B). Ta suy ra vị trí của (B):
y
RC1
=0.2+j0.4
Dẫn nạp của C
2
là
0
2
1
2
R
Cj
y
C


=j0.6
Vậy dẫn nạp y
RC1C2
=0.2+j0.4+j0,6=0.2+j (điểm (C))
Vì phần mạch điện RC
1
C
2
mắc nối tiếp với L nên ta chuyển sang trở kháng
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 61
Trở kháng z
RC1C2
được suy ra từ y
RC1C2
bằng cách lấy đối xứng điểm (C)
qua gốc tọa độ thành điểm (D) (xem hình 2.17), trở kháng kết quả (lấy gần
đúng):
z
RC1C2
=0.2-j0.95
Trở kháng L được chuẩn hóa:
0
R
Lj
z
L


=j0.45
Vậy trở kháng chuẩn hóa tương đương là:
z=0.2-j0.95+j0.45=0.2-j0.5
hay trở kháng tương đương là:Z=zR
0
=(10-j25)



Bài tập

Bài 1: Cho mạch điện phức hợp như hình:
9
10

rad/s.
 50
0
R
.

C1
20p
L1
100nH
1
2
C2
15p
R1
100
L2
200nH
1 2
R2
150



Tính trở kháng tương đương Z

Bài 2: Cho mạch điện phức hợp như hình:
9
10

rad/s.
 50
0
R
.

L1
100nH
1
2
C1
10p
R3
100
R2
150
L2
50nH
12
C3
20p
R1
50
L3
200nH
1

2
R4
150
L4
150nH
1
2
C2
20p
C4
25p


Tính trở kháng tương đương Z

2.5 Phối hợp trở kháng trên đường dây truyền sóng
Một ứng dụng quan trọng của đồ thị Smith: tính toán sự phối hợp trở kháng
trên đường dây truyền sóng. Trạng thái phối hợp trở kháng trên đường dây
truyền sóng là trạng thái mà tại đó, trở kháng Z
L
của tải cuối đường dây bằng
trở kháng đặc tính Z
0
của đường dây. Lúc này, hệ số phản xạ

L
trên tải bằng
0, không có sóng phản xạ, do đó hệ số sóng đứng bằng 1.

Vấn đề phối hợp trở kháng trên đường dây truyền sóng rất quan trọng trong kỹ

thuật siêu cao tần vì các lý do sau:
Z
R1L1
Z
R1L1C1
Z
R1L1C1R2L2
Z
Z
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 62
- Khi có phối hợp trở kháng, toàn bộ công suất của nguồn phát mới được chuyển
tải hoàn toàn đến tải tiêu thụ.
- Khi mất phối hợp trở kháng , sẽ xuất hiện các điểm bụng sóng điện áp trên
đường dây. Biên độ điện áp tại đây tăng nhiều ( tối đa là gấp hai lần biên độ điện
áp của sóng tới), có thể gây đánh lửa trên đường dây.
- Khi mất phối hợp trở kháng , tiêu hao trên đường dây tăng, hiệu suất công suất
giảm.
- Khi mất phối hợp trở kháng thì tần số và công suất của nguồn phát ở đầu vào
đường dây cũng bị thay đổi.

Trong thực tế, yêu cầu phối hợp trở kháng được đặt ra với nhiều thiết bị hoạt
động ở tần số cao và siêu cao, chẳng hạn:
- Ở đài phát thanh hoặc phát hình , đường dây feeder nối liền giữa phần công
suất phát và tải anten phải được phối hợp trở kháng , nếu không, sẽ gây ra đánh
lửa trên đường dây và làm hư đèn công suất.
- Ở máy thu hình, đường dây anten nối liền giữa anten thu và TV (thường dùng
đường dây 300


hoặc 75

) cũng phải được phối hợp trở kháng , nếu không, sẽ
gây ra phản xạ ảnh hoặc bóng( ảnh ma) trên màn hình máy thu.
- Trong các hệ thống truyền số liệu bằng dây cable ( thường dùng cable đồng
trục 50

), các đường cable cũng phải được phối hợp trở kháng , nếu không, sẽ
gây méo dạng xung trên đường truyền và gây nhiễu liên ký tự.

2.5.1 Phối hợp trở kháng bằng mạch điện tập trung hình

hoặc


Ta thực hiện phối hợp trở kháng giữa một tải Z
L
bất kỳ với một đường dây không
tổn hao, điện trở đặc tính R
0
, bằng một mạch điện có thông số tập trung hình


hoặc

.



Mô hình mạch phối hợp trở kháng giữa đường truyền và tải được vẽ ở hình 2.18.

Mạch phối hợp trở kháng gồm hai phần tử thuần điện kháng (dung kháng hoặc
cảm kháng) X
1
và X
2
, tạo thành mạng hai cửa

hoặc hình

, như được vẽ ở
hình 2.19a và 2.19b
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 63

Mục tiêu của bài toán là từ giá trị của tải Z
L
bất kỳ, ta cần xác định dạng mạch
phối hợp hình

hoặc hình

, sau đó tính toán các trị số điện kháng X
1
và X
2

tương ứng ( xác định các điện kháng X
1
, X

2
là dung kháng hoặc điện kháng). Tất
cả các phép tính toán trên đều được thực hiện trên đồ thị Smith.

Ví dụ: Z
L
= (10 – j40)

cần được phối hợp trở kháng với đường dây không
tổn hao có R
0
= 50

, tại tần số hoạt động

= 10
9
rad/s. Dùng mạch phối hợp
hình


Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 64


Trở kháng tải chuẩn hóa
0
R
Z

z
L
L

=0.2-j0.8
Mắc nối tiếp z
L
với điện kháng chuẩn hóa jx
1
sẽ cho trở kháng trung gian:
z
t
=z
L
+jx
1
Vì jx
1
là thuần kháng nên z
t
chính là điểm di chuyển của z
L
trên đường đẳng
r=0.2 của đồ thị Smith. z
t
chính là giao điểm của đường đẳng r=0.2 với ảnh của
đường đẳng g=1 qua gốc tọa độ (đường tròn chấm chấm trên hình 2.21)
Vậy từ z
L
ta di chuyển đến điểm z

t
=0.2-j0.4 hoặc điểm
'
t
z
=0.2+j0.4
Bài toán có 2 nghiệm

Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 65
Nghiệm 1:
Từ điểm z
t
ta lấy đối xứng qua gốc để có điểm dẫn nạp y
t
=1+j2
Mắc song song với y
t
điện nạp chuẩn hóa jb
2
sẽ cho dẫn nạp tổng là:
y= y
t
+ jb
2

Vì jb
2
là thành phần điện nạp nên được chọn sao cho điểm y

t
sẽ di chuyển trên
đường đẳng g=1 về gốc tọa độ, tại đó có phối hợp trở kháng với đường dây.
Trị số của jx
1
: jx
1
=z
t
-z
L
=(0.2-j0.4)-(0.2-j0.8)=j0.4
Vì x
1
>0 nên đây là điện cảm L
1
:
0
1
R
L

=0.4L
1
=20nH
jb
2
=1- y
t
=1-(1+j2)=-j2

Vì b
2
<0 nên đây cũng là điện cảm L
2
:

0
2
1
1
R
L

=2  L
2
=25nH
Nghiệm 2:
Từ điểm
'
t
z
=0.2+j0.4, ta lấy đối xứng qua gốc để có điểm dẫn nạp
'
t
y
=1-j2
Mắc song song với
'
t
y

dẫn nạp chuẩn hóa jb
2
sẽ di chuyển trên đường đẳng
g=1 về gốc tọa độ.
Trị số của jx
1
: jx
1
=
'
t
z
-z
L
=(0.2+j0.4)-( 0.2-j0.8)=j1.2
Vì x
1
>0 nên đây là điện cảm L
1
:
0
1
R
L

=1.2L
1
=60nH
jb
2

=1-
'
t
y
=1-(1-j2)=j2
Vì b
2
>0 nên đây là điện dung C
2
:

0
2
1
R
C

=2  C
2
=40pF
Ví dụ: Z
L
= (10 – j40)

cần được phối hợp trở kháng với đường dây không tổn
hao có R
0
= 50

, tại tần số hoạt động


= 10
9
rad/s. Dùng mạch phối hợp hình



Cách làm tương tự ví dụ trên cho ta 2 nghiệm:
Nghiệm 1: L
1
=77.5nH, L
2
=70nH (xem đồ thị Smith bên dưới)
Chương 2: Đồ thị Smith

Trang 66
Nghiệm 2: C
1
=13pF, L
2
=30.5nH (xem đồ thị Smith bên dưới)




Kết luận:
- Nếu điểm trở kháng tải chuẩn hóa nằm ngoài vòng tròn đẳng r = 1 và vòng tròn
ảnh của nó qua gốc thì ta luôn luôn có thể thực hiện phối hợp trở kháng bằng mạch
dạng


hoặc bằng mạch dạng

tùy ý.