[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 9 pps

CÁC TẬP HỢP SỐ


151
Phát biểu định nghĩa các khái niệm: phân số thập phân, phân số biểu diễn được dưới dạng
thập phân, số thập phân
Phát biểu tiêu chuẩn để một phân số là số thập phân.
NHIỆM VỤ 2:
Trình bày các phương pháp biểu diễn một số thập phân. Nêu ưu điểm và hạn chế của nó.
NHIỆM VỤ 3:
Phát biểu định nghĩa và quy tắc thực hành phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các số
thập phân. Minh hoạ qua các ví dụ cụ thể.
NHIỆM VỤ 4:
Phát biểu định nghĩa và nêu quy tắc thực hành so sánh các số thập phân. Minh họa qua các ví dụ.
NHIỆM VỤ 5:
Tìm hiểu khái niệm về số thập phân vô hạn tuần hoàn. Xây dựng ba ví dụ về số thập phân vô hạn
tuần hoàn đơn, ba ví dụ về số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp.
ĐÁNH GIÁ
1) Điền dấu ∈ hoặc ∉ vào ô trống:
a)
963
100
F Q
+10
b)
963
100
F Q
+10

c)

963
100
F Q
+10
d)
963
100
F Q
+10

e)
963
100
F Q
+10
f)
963
100
F Q
+10

g)
963
100
F Q
+10
h)
963
100
F Q

+10


2. Điền theo mẫu:
a)
3
4
=
75
100
= 0,75
b)
1703
1000
= . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CÁC TẬP HỢP SỐ


152
c)
27
125
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .
d)
51
24
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . .
e)
3
375

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Điền theo mẫu:
a) 1,5 =
15
10
=
3
2

b) 1,875 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) 0,06875 = . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d) 1,0496 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô trống:
F Tổng của hai số thập phân là một số thập phân.
F Hiệu của hai số thập phân (nếu phép trừ thực hiện được) là một số thập phân.
F Tích của hai số thập phân là một số thập phân.
F Thương của một số thập phân với một số thập phân khác 0 là một số thập phân.
F Thương của hai số thập phân là một số thập phân.
5. Chứng minh rằng xen giữa hai số thập phân khác nhau tồn tại vô số các số thập phân khác
nằm giữa chúng.
6. Nêu cơ sở toán học của các quy tắc thực hành bốn phép tính về số thập phân. Nêu cơ sở
toán học của quy tắc thực hành so sánh các số thập phân.
7. Nêu cơ sở toán học của quy tắc thực hành so sánh các số thập phân.
8. Biểu diễn s
ố hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn:
a)
30
7
b)
40

11
c)
17
572
d)
229
99
.
9. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng số hữu tỉ không âm:
a) 0,(7) b) 10,(09) c) 5,(243) d) 1,4(72) e) 23,00(54) f) 2,11(6).

CÁC TẬP HỢP SỐ


153
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6.
SỐ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC
THÔNG TIN CƠ BẢN
Số thập phân được trình bày trong lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung:
– Hình thành khái niệm số thập phân;
– So sánh các số thập phân;
– Bốn phép tính về số thập phân gồm: hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và
quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính;
– Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm;
– Giải toán về số thập phân.
3.6.1. Hình thành khái niệm số thập phân
Thông qua thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho học sinh thông qua
hai con đường:
– Số thập phân là cách viết không có mẫu số của phân số thập phân. Chẳng hạn:

1
10
= 0,1

7
100
= 0,07

9
1000
= 0,009

– Số thập phân là cách viết thu gọn thay cho cách biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng
bằng đơn vị đo phức hợp. Chẳng hạn:
2m7dm = 2,7m
18m5dm6cm = 18,56m = 185,6dm
1kg86g = 1,086kg
Thông qua các ví dụ về số thập phân, sách giáo khoa rút ra cho học sinh nhận xét: mỗi số thập
phân có hai phần, phần nguyên là một số đứng bên trái dấu phẩy, phần thập phân là một nhóm
các chữ số đứng bên phải dấu phẩy. Phần nguyên và ph
ần thập phân được phân cách bởi dấu
phẩy. Chẳng hạn 12,048 (12 là phần nguyên, 048 là phần thập phân) và đọc là mười hai phẩy
không bốn tám
CÁC TẬP HỢP SỐ


154
3.6.2. So sánh số thập phân
Tương tự như đối với phân số, khi so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống:

– Rút ra kết luận số này lớn hơn (hoặc bé hơn) số kia
– Rút ra kết luận hai số đó bằng nhau
bằng cách sử dụng quy tắc.
Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau:
– So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập phân nào có
phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn;
– Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ hàng phần
mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn, đến cùng một hàng nào đó mà số thập phân nào
có hàng tương ứng lớn hơn thì lớn hơn;
– Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó bằng nhau.
Đồng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu quy tắc:
– Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) ch
ữ số 0 ở bên phải phần thập phân của một số thập phân thì
được một số thập phân bằng nó.
3.6.3. Các phép toán về số thập phân
Khi dạy bốn phép tính về số thập phân, sách giáo khoa Toán 5 đều sử dụng cách trình bày
thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích
trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính.
Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “May áo hết 1,54m vải, may quần hết 1,72m vải. Hỏi may cả áo
và quần hết bao nhiêu mét vải?” Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến với ý nghĩa của phép
cộng số thập phân. Từ phân tích lờ
i giải của bài toán rút ra cho học sinh quy tắc (xem [1]).
Muốn cộng hai số thập phân:
– Ta viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số cùng một hàng đơn vị đặt thẳng
cột với nhau;
– Cộng như cộng hai số tự nhiên;
– Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng.
Muốn trừ hai số thập phân:
– Ta viết số
trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số cùng hàng thì thẳng cột với nhau.

– Trừ như trừ hai số tự nhiên.
– Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ.
Phép nhân số thập phân được hình thành theo hai bước:
– Nhân một số thập phân với một số tự nhiên.
CÁC TẬP HỢP SỐ


155
– Nhân một số thập phân với một số thập phân.
Phép chia số thập phân được hình thành theo bốn bước:
– Chia một số thập phân cho một số tự nhiên.
– Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên với thương tìm được là một số thập phân.
– Chia một số tự nhiên cho một số thập phân.
– Chia một số thập phân cho một số thập phân.
Tương tự như đối với phân s
ố, các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, của bốn phép
tính về số thập phân, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra thông qua những bài tập cụ
thể. Chẳng hạn thông qua bài tập:
Tính rồi so sánh giá trị của biểu thức (a + b)
× c và a × c + b × c
a b c (a + b) x c a x c + b x c
2, 4 3, 8 1, 2
6, 5 2, 7 0, 8
8, 2 1, 8 14, 7
Cho học sinh rút ra nhận xét:
(a + b) × c = a × c + b × c
3.6.4. Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm
– Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,
– Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000
3.6.5. Giải toán về số thập phân

Các bài toán về số thập phân ở Tiểu học có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:
– Các bài toán về cấu tạo số thập phân (tìm một số thập phân khi cho biết một số điều kiện về số đó).
– Các bài toán về so sánh số thập phân.
– Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân (tính giá trị biểu thức
bằng cách hợp lí hoặc tìm thành phần chưa biết của phép tính ).
– Điền chữ số thay cho các chữ trong phép tính về số thập phân.
– Toán về tỉ số phần trăm.
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo số thập phân
Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể dùng phương pháp liệt kê, phương pháp thử chọn,
phương pháp tìm hai số khi biết hiệu và tỉ hoặc tổng và tỉ số của chúng. Ngoài ra, có thể bổ
sung thêm một số tính chất sau:
Tính chất 6.1: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ trái sang phải một, hai, ba, hàng thì
số đó tăng gấp 10, 100, 1000, lần.
CÁC TẬP HỢP SỐ


156
Tính chất 6.2: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một, hai, ba, hàng thì
số đó giảm đi 10, 100, 1000, lần.
Ví dụ 6.1:
Hãy viết các số thập phân từ ba chữ số 0, 1, 2 sao cho mỗi chữ số đã cho xuất hiện đúng một lần.
Giải: Các số đó là: 0,12; 0,21; 1,20; 1,02; 2,10; 2,01; 10,2; 12,0; 21,0; 20,1.
Ví dụ 6.2:
Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng
thêm 888,3 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
Giải: Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân thì số đó
tăng gấp 10 lần. Theo đề bài ta có sơ đồ:
Số cần tìm
Số mới
Số cần tìm là

888,3 : (10 – 1) = 98,7.
Ví dụ 6.3:
Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của số thập phân có ba chữ số ở phần thập
phân theo thứ tự là ba số chẵn liên tiếp. Tích các chữ số ở phần thập phân bằng phần nguyên
của số đó. Các chữ số ở phần nguyên và phần thập phân đều khác nhau. Tìm số thập phân đó
Giải: Phần thập phân của số thập phân có thể là: 024; 246; 468; 420; 642; 864
Ta có bảng sau:
Phần thập phân Phần nguyên Số thập phân Kết luận
024 0 0,024 Loại
246 48 48,246 Loại
468 192 192,468 Chọn
420 0 0,420 Loại
642 48 48,642 Loại
864 192 192,864 Chọn
Vậy số thập phân cần tìm là 192,468 và 192,864.
Dạng 2: Các bài toán về so sánh số thập phân
888,3
10 phần
?
1 phần
CÁC TẬP HỢP SỐ


157
Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc về so sánh số thập phân đã nêu
ở phần trên.
Ví dụ 6.4:
Viết 5 số thập phân xen giữa hai số 1,2 và 1,3.
Giải: Ta có 1,2 = 1,20 và 1,3 = 1,30
Năm số thập phân cần tìm là:

1,20 < 1,21 < 1,22 < 1,23 < 1,24 < 1,25 < 1,30.
Ví dụ 6.5:
Thay a bởi chữ số thích hợp
2,36 < 2,3a8 < 2,375.
Giải:
Để 2,36 < 2,3a8 thì a phải bằng 6, 7, 8 hoặc 9
Để 2,3a8 < 2,375 thì a phải bằng 0, 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6
Vậy để 2,36 < 2,3a8 < 2,375 thì a phải bằng 6.
Thử lại: 2,36 < 2,368 < 2,375.
Ví dụ 6.6:
Viết tất cả các số thập phân có 4 chữ số (gồm cả phần nguyên và phần thập phân) mà các chữ
số của chúng đều bằng 9. Sau đó:
a) Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Từ lớn đến bé.
Giải:
Các số thiết lập được là: 9,999; 99,99; 999,9
a) Xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn
9,999; 99,99; 999,9
b) Xếp theo thứ tự từ lớn đến bé
999,9; 99,99; 9,999.
Dạng 3: Các bài toán rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số thập phân
Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc thực hành bốn phép tính, các
tính chất của bốn phép tính, quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính và các quy tắc
nhân, chia nhẩm,
Ngoài các quy tắc nhân, chia nhẩm với 10; 100; 1000; ta có thể bổ sung thêm:
CÁC TẬP HỢP SỐ


158
– Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5

– Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,25.
Ví dụ 6.7:
Tính giá trị biểu thức sau bằng cách nhanh nhất
×× + × + ×
+++ + −
3 5 40,5 0,3 1635 26,8 15
3 6 9 99 183

Tính giá trị của tử thức:
3
× 5 × 40,5 + 0,3 × 1635 + 26,8 × 15
= 15
× 40,5 + 0,3 × 5 × 327 + 26,8 × 15
= 1,5
× 405 + 1, 5 × 327 + 1,5 × 268
= 1,5
× (405 + 327 + 268) = 1,5 × 1000 = 1500
Tính giá trị của mẫu thức:
3 + 6 + 9 + . . . . . . . . . + 99 – 183
= (3 + 99)
× 33 : 2 – 183
= 1683 – 183 = 1500
Vậy
×× + × + ×
+++ + −
3 5 40,5 0,3 1635 26,8 15
3 6 9 99 183
=
1500
1500

= 1.
Ví dụ 6.8:
Tính giá trị biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất
×××××−
×××
(1250 : 0, 75 + 47,3 2004) 0,17 71, 3 47,3 (0,75 3 : 4)
2, 001 20, 02 200,3 2004

Giải: Ta nhận xét: 0,75 – 3 : 4 = 0,75 – 0,75 = 0
Vậy
×××××−
×××
(1250 : 0,75 + 47,3 2004) 0,17 71,3 47,3 (0,75 3 : 4)
2, 001 20, 02 200,3 2004
= 0.
Ví dụ 6.9:
Tìm số dư trong phép chia, nếu lấy hai chữ số thập phân ở thương 3,87 : 1,3
Giải: Thực hiện phép chia: 3,87 1, 3
1 27 2,97
100
9
CÁC TẬP HỢP SỐ


159
Vậy 3,87 : 1,3 = 2,97 dư 0,009.
Thử lại: 1,3
× 2,97 + 0,009 = 3,87.
Ví dụ 6.10. Tìm X sao cho:
X : 6 × 0,72 + 0,13 × X + X : 2 + 15 = 19,95

Giải: Áp dụng tính chất của số thập phân ta có:
X : 6 × 0,72 + 0,13 × X + X : 2 + 15
= (X
× 0,72) : 6 + X × 0,13 + X × 0,5 + 15
= X
× (0,72 : 6) + X × 0,13 + X × 0,5 + 15
= X
× 0,12 + X × 0,13 + X × 0,5 + 15
= X
× (0,12 + 0,13 + 0,5) + 15
= X
× 0,75 + 15.
Vậy ta có: X
× 0,75 + 15 = 19, 95
X
× 0, 75 = 19, 95 – 15
X
× 0, 75 = 4, 95
X = 4, 95 : 0,75
X = 6,6.
Dạng 4: Các bài toán về điền số vào phép tính
Các bài toán dạng này thường gặp hai loại:
– Vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính để giải.
– Dùng phân tích cấu tạo số để giải.
Ví dụ 6.11:
Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp
bdd, bc – ab, cd = a, bc
Giải: Ta lần lượt biến đổi

−=

bddbc abcd abc
100 100 100


−
=
bddbc abcd abc
100 100

Suy ra:
−=bddbc abcd abc
CÁC TẬP HỢP SỐ


160
Ta viết lại phép tính như sau:
abcd
+ abc
bddbc
Theo cách đặt phép tính thỡ phộp cộng hàng trăm có nhớ (nhớ 1). Vậy phép cộng ở hàng
nghỡn là: a + 1 =
bd .
Suy ra a = 9, b = 1 và d = 0.
Thay vào ta có: 91c0
+ 91c
1001c
Xột phộp cộng ở hàng chục: c + 1 = 1. Suy ra c = 0.
Vậy phộp tớnh cần tỡm là:
100,10 – 91,00 = 9,10.
Ví dụ 6.12:

Thay mỗi chữ trong phộp tớnh sau bởi chữ số thớch hợp:
98,697 – 0,0abc =
ab ,cabc
Giải: Tương tự ví dụ trên, ta đưa phép tính về dạng
986970 –
abc = abcabc
Biến đổi ta được:

×abc 1002 = 986970

abc = 985.
Vậy phộp tớnh cần tỡm là
98,697 – 0,0985 = 98,5985.
Ví dụ 6.13:
Thay mỗi chữ trong phộp tớnh sau bởi chữ số thớch hợp:

×× =0,ab c, c ab,c ab, cabc

Giải: Tương tự, ta đưa phép tính về dạng

×× =ab cc abc abcabc
×× = ×ab cc abc 1001 abc

×ab cc = 1001
CÁC TẬP HỢP SỐ


161
Từ đó suy ra =ab 91 thỡ ==cc 11; ab 13 thỡ
=

cc 77.
Cỏc phộp tớnh cần tỡm là
0,91
× 1,1 × 91,1 = 91,1911
0,13
× 7,7 × 13,7 = 13,7137.
Dạng 5: Toán về tỉ số phần trăm
Các bài toán dạng này ta thường gặp mấy loại sau:
– Cho hai số a và b. Tỉm tỉ số phần trăm của a và b.
– Cho b và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm a.
– Cho a và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm b.
– Một số nội dung phối hợp.
Ví dụ 6.14:
Trường Tiểu học Điện Biên có 1040 học sinh trong đó có 546 học sinh nam. Hỏi số học sinh
nam chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của toàn trường?
Giải:
Số phần trăm học sinh nam chiếm so với tổng số học sinh của toàn trường là:
546 : 1040 = 52,5%
Đáp số: 52,5%
Ví dụ 6.15:
Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Cô Thuỷ gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng. Hỏi sau một
tháng cô có tất cả bao nhiêu tiền lãi và tiền gửi?
Giải:
Số tiền lãi cô Thuỷ có sau một tháng là:
12 000 000 : 100
× 0,65 = 78 000(đ)
Số tiền gửi và tiền lãi cô Thuỷ có là:
12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đ)
Đáp số: 12 078 000 đồng.
Ví dụ 6.16:

Tỉ lệ muối trong nước muối chiếm 0,5%. Hỏi khi pha 12kg muối thì ta sẽ nhận được bao
nhiêu kilôgam nước muối?

CÁC TẬP HỢP SỐ


162

Giải:
Số nước muối nhận được là:
12 : 0,5
× 100 = 2400(kg)
Đáp số: 2400kg.
Ví dụ 6.17:
Một bình đựng 120g nước muối chứa 15% muối. Hỏi phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu
gam nước để nhận được một bình nước muối chứa 10% muối?
Giải:
Số muối có trong 120g nước muối là: 120 × 15 : 100 = 18(g)
Số nước muối loại 10% muối pha được từ 18g muối là: 18
× 100 : 10 = 180(g)
Số nước cần đổ thêm là: 180 – 120 = 60(g)
Đáp số: 60g nước.

HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU NỘI DUNG DẠY SỐ THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC
NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc SGK Toán 5 và thông tin cơ bản ở nhà để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây.
Trên lớp giáo viên cử đại diện trình bày rồi tổng kết theo từng nhiệm vụ:
NHIỆM VỤ 1:
Phân tích nội dung dạy số thập phân ở Tiểu học.
NHIỆM VỤ 2:

Phân tích những yêu cầu cần đạt tới khi dạy mỗi nội dung: hình thành khái niệm số thập phân,
so sánh số thập phân và các phép toán về số thập phân ở Tiểu học.
NHIỆM VỤ 3:
So sánh các quy tắc thực hành so sánh và thực hành bốn phép tính về số thập phân ở Tiểu học
và ở Cao đẳng.
NHIỆM VỤ 4:
Xây dựng các ví dụ để minh hoạ phương pháp giải năm dạng toán về số thập phân ở Tiểu học
CÁC TẬP HỢP SỐ


163
ĐÁNH GIÁ
1. Điền vào chỗ chấm:
a) Số 18,403 có phần nguyên là và phần thập phân là
b) Số 0,90 có phần nguyên là và phần thập phân là
c) Số 140,0041 có phần nguyên là và phần thập phân là
2. Điền vào chỗ chấm theo mẫu:
a) Số 30,42 có hàng chục là 3, hàng đơn vị là 0, hàng phần mười là 4 và phần trăm là 2
b) Số 102,408 có
c) Số 0,0024 có
d) Số 7,200 có
e) Số 0,007 có
3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống:
a) 17 là số thập phân
F
b) 0,17 là số thập phân
F
c)
0,17
100

là số thập phân F
d)
132
100
là số thập phân F
e)
3
4
là số thập phân F
f) 0,75 là số thập phân
F
4. Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3. Hãy viết các số thập phân lớn hơn 12, sao cho mỗi chữ số đã cho
xuất hiện trong cách viết đúng một lần.
Sau đó xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
5. Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, 9. Hãy viết các số thập phân nhỏ hơn 50, sao cho mỗi chữ số đã
cho xuất hiện trong cách viết đúng một lần.
Sau đó xếp chúng theo thứ tự từ lớn đến bé.
6. Khi lùi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một hàng thì số đó giảm đi 11,07 đơn
vị. Tìm số thập phân đó.
7. Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân thì số đó tăng lên
537,57 đơn vị. Tìm số thập phân đó.
CÁC TẬP HỢP SỐ


164
8. Các chữ số phần mười và phần trăm của một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân
theo thứ tự là hai số lẻ liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần. Tích các chữ số ở phần thập phân
bằng phần nguyên của số đó. Các chữ số ở phần thập phân và phần nguyên đều khác nhau.
Tìm số thập phân đó.
9. Phần nguyên của một số thập phân là số có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 9. Bớt phần

nguyên đi 1 ta được số có hai chữ số giống nhau. Đọc các chữ số của số thập phân theo thứ tự
ngược lại (từ phải sang trái) thì số đó không thay đổi. Tìm số thập phân đó.
10. Điền chữ số thích hợp thay cho *
0,06 < 0,0*9 < 0,071.
11. Tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí:
a)
×+×+×
+++ + +
250 1,80 25 12,8 292 2, 5
1 5 9 97 225

b)
×− ×+
××+ ×
20, 2 5,1 30,3 3,4 14,58
7,29 540 2 14,58 460
.
12. Tìm số dư trong phép chia:
a) 2,43 : 7 nếu lấy đến ba chữ số ở phần thập phân
b) 14,23 : 0,6 nếu lấy đến hai chữ số thập phân.
13. Tìm X biết rằng:
a) 4,25
× (X + 41,53) – 125 = 53,5
b) 2
× 1,58 : (X × 0,4) = 7,9
14. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp:
a)
−=8ab, a d41, c c14, d
b)
−=a,bcaa b, dbc c, baba

c) 4,896 –
=a, bab 0, 0ab
d)
41, ab a, b 2, 6.=×
15. Có một bình đựng 80g nước muối loại 8% muối. Phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu gam
nước để được một bình nước muối chứa 5% muối?
16. Có một bình đựng 150g nước muối loại 10% muối. Phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu gam
muối để được một bình nước muối chứa 20% muối?
CÁC TẬP HỢP SỐ


165
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.7. TẬP SỐ HỮU TỈ
THÔNG TIN CƠ BẢN
3.7.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ
Trong các chủ đề trước, chúng ta đã mở rộng tập số tự nhiên N để được tập số hữu tỉ không
âm
Q
+
. Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ không âm:
– Nhiều phép trừ không thực hiện được, chẳng hạn 3 – 5,
1
4
– 4,
– Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều nhau sẽ gặp khó khăn, chẳng hạn,
độ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ trên 0
0
C và dưới 0
0
C,

Do nhu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học kĩ thuật khác, người ta mở rộng tập
số hữu tỉ không âm
Q
+
thêm những số mới để khắc phục hạn chế nêu trên.
3.7.2. Xây dựng tập số hữu tỉ
Trên tích Đê-các Q
+
× Q
+
ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau:
Với (r; s) và (r'; s')
∈ Q
+
× Q
+
ta định nghĩa (r; s) ~ (r'; s'), nếu r + s' = r' + s.
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra "~" là một quan hệ tương đương xác định trên tập
Q
+
× Q
+
.
Áp dụng định lí về tập thương, ta có thể phân chia tập
Q
+
× Q
+
theo quan hệ tương đương "~"
và nhận được tập thương

Q
+
× Q
+
/ ~.
Ta sẽ gọi tập thương
Q
+
× Q
+
/ ~ là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là Q. Mỗi phần tử của tập Q ta
gọi là một
số hữu tỉ.
Giả sử
α ∈ Q. Như vậy α được xác định bởi một lớp tương đương có phần tử đại diện là
(r; s)
∈ Q
+
× Q
+
.
Hay
α = (r; s) ∈ Q = Q
+
× Q
+
/ ~.
Ta dễ dàng chỉ ra rằng mỗi số hữu tỉ
(r; s) được xác định một cách duy nhất bởi một phần tử
đại diện thuộc một trong ba dạng sau: (p; 0) hoặc (0; p) (với p

∈ Q
+
) hoặc (0; 0).
Để cho tiện, ta quy ước:
a) Nếu số hữu tỉ
α xác định bởi lớp tương đương dạng α =
(r; 0)
trong đó r ≠ 0 thì ta sẽ viết
α = +r hay α = r và gọi là số hữu tỉ dương.
b) Nếu số hữu tỉ α xác định bởi lớp tương đương dạng α = (0; r) với r ≠ 0 thì ta sẽ viết α = –r
và gọi là
số hữu tỉ âm.
c) Nếu số hữu tỉ
α xác định bởi lớp tương đương dạng α = (0; 0) thì ta sẽ viết α = 0 và gọi là
số hữu tỉ không hay số 0.
CÁC TẬP HỢP SỐ


166
d) Số –r gọi là số đối của số r.
e) Đặc biệt, ta viết 1 =
(1; 0)
.
Như vậy, tập số hữu tỉ
Q được phân tích thành ba tập rời nhau:
Q = Q
+
∪ Q
–
∪ {0}, trong đó Q

+
là tập các số hữu tỉ dương, Q
–
là tập các số hữu tỉ âm.
3.7.3. Các phép toán trong tập số hữu tỉ
Giả sử α và β là hai số hữu tỉ, trong đó α = (r; s) và β = (r'; s'). Ta định nghĩa:
a) Tổng của hai số hữu tỉ
α và β là một số hữu tỉ γ, kí hiệu γ = α + β, được xác định bởi quy tắc:
γ = ++(r r'; s s').
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ
α, β với một số hữu tỉ γ nói trên ta gọi là phép cộng
các số hữu tỉ.
b) Tích của hai số hữu tỉ α và β là một số hữu tỉ δ, kí hiệu δ = αβ, được xác định bởi quy tắc:
δ =
()
++rr ' ss'; rs' r's .
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ
α, β với một số hữu tỉ δ nói trên ta gọi là phép nhân
các số hữu tỉ.
c) Ta gọi hiệu của hai số hữu tỉ
α và β là một số hữu tỉ ρ, kí hiệu là ρ = α – β, được xác định
bởi quy tắc:

ρ = α + (–β), trong đó –β là số đối của β.
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ
α, β với một số hữu tỉ ρ nói trên ta gọi là phép trừ
các số hữu tỉ.
d) Ta nói
β là số hữu tỉ nghịch đảo của số hữu tỉ α, kí hiệu là β = α
–1

, nếu:
αβ = 1.
Với hai số hữu tỉ
α và β, trong đó β ≠ 0, ta định nghĩa: thương của α chia cho β là số hữu tỉ ε,
kí hiệu
ε = α : β hay ε =
α
β
; trong đó:
ε = αβ
–1
.
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ
α, β (β ≠ 0), với một số hữu tỉ ε nói trên ta gọi là
phép chia các số hữu tỉ.

Ví dụ 7.1:
CÁC TẬP HỢP SỐ


167
Cho α =
3
4
, β =
1
5
. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β.
Ta có:
α + β =

⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+=+
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
31 31
; 0 ; 0 ; 0
45 45

=
+
⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
15 4 19 19
;0 ;0
20 20 20

α – β = α + (–β) =
⎛⎞⎛⎞
+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
31
; 0 0;
45

=
⎛⎞⎛ ⎞
==

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
3 1 11 11
; ; 0
4 5 20 20

αβ =
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
=
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
31 31
; 0 . ; 0 . ; 0
45 45

=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
33
; 0
20 20

α : β = αβ
–1
=
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

35
; 0 . ; 0
41

=
⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
3 5 15 15
. ; 0 ; 0
41 4 4
.
Ví dụ 7.2:
Cho α =
5
2
; β =
−
11
3
. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β.
α + β =
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
+=
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
511511
; 0 0; ;
2323

=
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
77
0;
66

α – β = α + (–β) =
⎛⎞⎛ ⎞
+
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
511
; 0 ; 0
23

=
⎛⎞⎛⎞
+= =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
511 37 37
; 0 ; 0
23 6 6

CÁC TẬP HỢP SỐ

168
αβ =
⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
=
⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
511511
; 0 . 0; 0; .
2323

=
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
55 55
0;
66

α : β = αβ
–1
=
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
53
; 0 . 0;
211

=
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
15 15
0;
22 22
.
Ví dụ 7.3:
Cho α = –
4
7
; β = –
5
3
. Tìm tổng, hiệu, tích và thương của α và β.
Ta có:

α + β =
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+=+
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
45 45
0; 0; 0;
73 73

=
⎛⎞

=−
⎜⎟
⎝⎠
47 47
0; .
21 21


α – β =
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+=
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
45 54
0; ; 0 ;
73 37

=
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
23 23
;0
21 21


α: β = αβ
–1
=

⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
43
0; . 0;
75

=
⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
4 3 12 12
. ; 0 ; 0
7 5 35 35
.
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra tập
Q cùng với hai phép toán cộng và nhân nói trên là một
trường. Ta gọi là
trường các số hữu tỉ.
3.7.4. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ
Cho α, β ∈ Q. Ta nói:
a)
α nhỏ hơn β, kí hiệu là α < β, nếu β – α là một số hữu tỉ dương.
b)
α nhỏ hơn hoặc bằng β, kí hiệu là α ≤ β, nếu α < β hoặc α = β.
CÁC TẬP HỢP SỐ


169

c) α lớn hơn β, kí hiệu là α > β, nếu β < α.
d)
α lớn hơn hoặc bằng β, kí hiệu là α ≥ β, nếu β ≤ α.
Các quan hệ
α < β, α ≤ β, α > β, α ≥ β ta gọi chung là các bất đẳng thức, trong đó α < β và
α > β ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng thức chặt.
Ví dụ 7.4:
Cho α =
6
7
và β =
8
9
. Hãy so sánh α và β:
Ta có:
β – α =
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−=+
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
868 6
;0 ;0 ;0 0;
979 7

=
⎛⎞⎛ ⎞
==
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
86 2 2

; ;0
9 7 63 63
∈ Q
+
.
Vậy
α < β.
3.7.5. Xây dựng tập số nguyên trong Q
Ta gọi:
a) Mỗi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương:
α =
()
n; 0 , trong đó n là số tự nhiên khác 0, là một số nguyên dương, viết là α = n.
b) Mỗi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương:
α =
()
0; n , trong đó n là số tự nhiên khác 0, là một số nguyên âm, viết là α = –n.
Các số nguyên dương, nguyên âm hoặc số 0 ta gọi chung là số nguyên.
Tập tất cả các số nguyên ta kí hiệu là
Z.
Như vậy:

Z = {n ∈ Q ⏐ n ∈ N hoặc –n ∈ N}.
3.7.6. Số thập phân (trong Q)
Trong các tiểu chủ đề trước chúng ta đã xây dựng tập số thập phân không âm Q
+10
(là tập con của Q
+
).
Như vậy, mỗi số thập phân không âm r cũng là một số hữu tỉ, ta có r ∈ Q hay Q

+10
⊂ Q.
Từ đó ta mở rộng khái niệm số thập phân trong tập số hữu tỉ
Q như sau:
Số hữu tỉ
α gọi là số thập phân, nếu α ∈ Q
+10
hoặc –a ∈ Q
+10
. Tập tất cả các số thập phân ta
kí hiệu là
Q
10
.
Chẳng hạn: 4,017 và –4,017 là các số thập phân.