[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 8 docx

CÁC TẬP HỢP SỐ


132
c) C(
123123
315315
) F C(
41
105
)
d) C(
123123
315315
) F C(
43
105
)
e) C(
343434
515151
) F C(
2
3
)
f) C(
363636
515151
) F C(
2
3

)
2. Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu trả lời đúng.
Cho hai số hữu tỉ r = C(
5
6
) và s = C(
5
7
) . Xen giữa hai số r và s:
A. Không có số hữu tỉ nào
B. Chỉ có một số hữu tỉ
C. Chỉ có năm số hữu tỉ
D. Có vô số số hữu tỉ
Hãy viết năm số hữu tỉ nằm giữa chúng.
3. Điền chữ thích hợp vào chỗ chấm
a) Khi cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thì bất đẳng thức không đổi chiều
b) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức nghiêm ngặt với cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . thì bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Khi cộng (hoặc nhân) hai vế của một bất đẳng thức với cùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . thì ta được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Cho 0 < r < s. Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống
1
r
F
1
s
.

CÁC TẬP HỢP SỐ


133
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4.
TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

THÔNG TIN CƠ BẢN
I. CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TIỂU HỌC (CTTTH) ĐƯỢC TẠO THÀNH TỪ NĂM
MẠCH KIẾN THỨC
+ Số học;
+ Đại lượng và các phép đo đại lượng;
+ Một số yếu tố hình học;
+ Một số yếu tố thống kê;
+ Giải toán có lời văn.
Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình. Mạch số học bao gồm bốn nội
dung lớn: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một s
ố yếu tố
đại số. Như vậy, số học các phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của môn Toán Tiểu học,
nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó
trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật.
II. NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC
Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung:
+ Hình thành khái niệm phân số;
+ So sánh các phân số;
+ Bốn phép toán về phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và
quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính toán về phân số;
+ Giải toán về phân số.

3.4.1. Hình thành khái niệm phân số
Thông qua thao tác chia một quả cam thành 4 phần bằng nhau, lấy đi ba phần, hình thành cho
học sinh khái niệm phân số
a
b
, trong đó mẫu số b (là số tự nhiên khác 0) chỉ số phần đơn vị
được chia ra và tử số a (là một số tự nhiên) chỉ số phần được lấy đi.
Bằng con đường này, chỉ hình thành khái niệm của những phân số nhỏ hơn 1. Bằng cách bổ sung
thêm bài toán: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của mỗi người”. Hình thành cho
học sinh khái niệm: phân số
a
b
còn được hiểu là thương của phép chia số tự nhiên a cho b.
CÁC TẬP HỢP SỐ


134
Cuối cùng ta cho học sinh rút ra nhận xét:
– Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành một phân số (mà bản thân nó không phải là phân số) có
mẫu số bằng 1.
– Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1.
– Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1.
3.4.2. So sánh phân số
Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống:
– Kết luận chúng bằng nhau. Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số.
– Kết luận phân số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn phân số kia. Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số.
Để đi đến kết luận trong tình huống thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc:
* Nếu ta nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một
phân số bằng phân số đã cho.
* Nếu ta chia cả tử và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một

phân số bằng phân số đã cho.
Khái niệm “hai phân số bằng nhau” được hình thành thông qua các mô hình trực quan. Trong
Tiểu chủ đề 3.1 ta xây dựng khái niệm hai phân số tương đương thay cho hai phân số bằng
nhau (tại sao vậy?)
Để đi đến kết luận trong tình huống thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc:
* Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn. (1)
* Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1)
3.4.3. Các phép toán về phân số
Khi dạy bốn phép toán về phân số, sách giáo khoa Toán 4 đều sử dụng cách lựa chọn thống
nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên
các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính.
Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có một băng giấy màu, bạn Nam lấy
3
8
băng giấy, bạn
Tùng lấy
2
8
băng giấy. Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy?”
Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số. Từ phân tích trong lời
giải bài toán, rút ra cho học sinh quy tắc:
“Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng
hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số”.
Hoặc xuất phát từ bài toán: “Hình chữ nhật ABCD có diện tích
7
15
m
2
, chiều rộng là
2

3
m.
Tính chiều dài hình đó”.
CÁC TẬP HỢP SỐ


135
Sách giáo khoa dẫn học sinh đến với phép chia phân số. Từ phân tích trong lời giải bài toán
rút ra cho học sinh quy tắc:
“Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân
số thứ hai đảo ngược”.
Vì trong tập số tự nhiên học sinh đã được học các tính chất và quy tắc thực hành 4 phép tính
(giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng, ) một cách hệ thống, cho
nên trong tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra những tính chất này thông
qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn:
– Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích
của hai phân số còn lại.
– Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng
với phân số thứ ba rồi cộng kết quả lại.
3.4.4. Giải toán về phân số
Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:
– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số
của phân số đó).
– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ
tự cho trước).
– Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng
cách hợp lí nh
ất, tìm thành phần chưa biết của phép tính, ).
– Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với các số liệu cho trong đề
bài là phân số).

Sau đây, ta sẽ đề cập tới một số bài toán:
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi
biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn. Ngoài ra, có thể bổ
sung thêm một số tính chất sau:
Tính chất 4.1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì
hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 4.2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa
tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 4.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu
số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó
không thay đổi.
Ví dụ 4.1:
CÁC TẬP HỢP SỐ


136
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10. Nếu chia cả tử và mẫu cho 2 ta
được phân số tối giản. Tìm phân số đó.
Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:
0 1 2 3 4 5
10
10 9 8 7 6 5
Các phân số nhỏ hơn 1 có tổng của tử và mẫu bằng 10 là:
0
10
;
1
9
;

2
8
;
3
7
;
4
6

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được hai phân số cần tìm là
2
8
và
4
6
.
Ví dụ 4.2:
Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315. Tử số lớn hơn mẫu số 6 đơn
vị. Tìm phân số đó.
Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau


Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là:
315
1
;
105
3
;
63

5
;
45
7
;
35
9
;
21
15

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được phân số cần tìm là
21
15
.
Ví dụ 4.3:
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút gọn ta được phân số
5
7
. Tìm
phân số đó.
Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ:
Tử số
Mẫu số
1 3 5 7 9 15
315
315 105 63 45 35 21
?
?
156

CÁC TẬP HỢP SỐ


137
Tử số của phân số cần tìm là
156 : (5 + 7)
× 5 = 65.
Mẫu số của phân số cần tìm là
156 – 65 = 91.
Phân số cần tìm là
65
.
91

Ví dụ 4.4:
Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số
3
7
với cùng một số tự nhiên, ta được một phân
số bằng
101
103
. Tìm số tự nhiên đó.
Giải: Hiệu giữa tử và mẫu của phân số
3
7
là: 7 – 3 = 4.
Theo tính chất 4.1 ta có sơ đồ sau:
Tử số mới
Mẫu số mới

Tử số của phân số mới là
4: (103 – 101)
× 101 = 202.
Số tự nhiên cần tìm là
202 – 3 = 199.
Ví dụ 4.5:
Khi bớt đi ở cả tử và mẫu của phân số
73
49
với cùng một số tự nhiên, ta nhận được một phân
số bằng
7
4
. Tìm số tự nhiên đó.
Giải: Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số
73
49
là: 73 – 49 = 24.
Theo tính chất 4.2 ta có sơ đồ:
Tử số mới
Mẫu số mới
4
103 phần
?
101 phần
24
CÁC TẬP HỢP SỐ


138

Mẫu số của phân số mới là
24: (7 – 4)
× 4 = 32.
Số tự nhiên cần tìm là
49 – 32 = 17.
Ví dụ 4.6:
Khi bớt đi ở tử đồng thời thêm vào mẫu số của phân số
139
61
với cùng một số tự nhiên, ta
được một phân số bằng
3
5
. Tìm số tự nhiên đó.
Giải: Tổng của tử và mẫu của phân số
139
61
là: 139 + 61 = 200.
Theo đề bài ta có sơ đồ:
Tử số mới
Mẫu số mới
Tử số mới là
200: (3 + 5)
× 3 = 75.
Số cần tìm là
139 – 75 = 64.

Dạng 2: Các bài toán về so sánh phân số
Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc
so sánh phân số đã trình bày ở phần trên. Ngoài ra, ta có thể bổ sung một số phương pháp

khác. Chẳng hạn:
Tính chất 4.4: (quy tắc so sánh hai phân số có cùng tử số). Trong hai phân số có cùng tử số,
phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ nhỏ hơn.
Tính chất 4.5: (quy tắc so sánh bắc cầu)
Nếu
a
b
<
c
d
và
c
d
<
m
n
thì
a
b
<
m
n

(đôi khi còn gọi là phương pháp so sánh qua một phân số trung gian).
Tính chất 4.6: (quy tắc so sánh bằng phần bù so với 1)
Cho phân số
7
9
. Ta có 1 –
7

9
=
2
9
. Ta gọi
2
9
là phần bù so với 1 của phân số
7
9
.
?
200
CÁC TẬP HỢP SỐ


139
Ta có quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần bù so với 1 lớn hơn sẽ nhỏ hơn.
Tính chất 4.7: (quy tắc so sánh bằng phần hơn so với 1)
Cho phân số
5
4
. Ta có
5
4
– 1 =
1
4
. Ta gọi
1

4
là phần hơn so với 1 của phân số
5
4
.
Ta có quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn so với 1 lớn hơn sẽ lớn hơn.
Ví dụ 4.7:
Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau:
a)
17
29
và
14
31

b)
47
19
và
46
21
.
Giải: Ta có
a)
17
29
>
17
31
và

17
31
>
14
31
. Vậy
17
29
>
14
31

b)
47
19
>
46
19
và
46
19
>
46
21
. Vậy
47
19
>
46
21

.
Ví dụ 4.8:
Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau:
a)
11
13
và
65
67

b)
19
16
và
127
124
.
Giải: Ta có
a) 1 –
11
13
=
2
13
và 1 –
65
67
=
2
67

Vì
2
13
>
2
67
nên áp dụng quy tắc so sánh bằng phần bù so với 1 ta có
11
13
<
65
67

b) Ta có
19
16
– 1 =
3
16
và
127
124
– 1 =
3
124

Vì
3
16

>
3
124
nên áp dụng quy tắc so sánh bằng phần hơn so với 1
CÁC TẬP HỢP SỐ


140
ta có
19
16
>
127
124
.
Ví dụ 4.9:
Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

9
13
;
71
75
;
127
130
;
2000
2003
.

Giải: Ta có
1 –
9
13
=
4
13
và 1 –
71
75
=
4
75

1 –
127
130
=
3
130
và 1 –
2000
2003
=
3
2003

4
13
>

4
75
và
3
130
>
3
2003
. Mặt khác
4
75
>
4
130
>
3
130

Từ đó suy ra
4
13
>
4
75
>
3
130
>
3
2003

Áp dụng quy tắc so sánh bằng phần bù ta có

9
13
<
71
75
<
127
130
<
2000
2003

Vậy các phân số trên xếp theo thứ tự từ lớn đến bé là
2000
2003
;
127
130
;
71
75
;
9
13
.

HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ

NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc SGK Toán 4 và 5, thông tin cơ bản ở nhà. Trên lớp thảo luận theo nhóm 3, 4
người để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Sau đó đại diện nhóm trình bày và giáo viên tổng
kết theo từng nhiệm vụ:
NHIỆM VỤ 1:
Phân tích nội dung dạy phân số trong trường Tiểu học.
NHIỆM VỤ 2:
CÁC TẬP HỢP SỐ


141
Phân tích các dạng toán về phân số ở Tiểu học. Xây dựng hai ví dụ để minh hoạ phương pháp
giải mỗi dạng toán đó.
ĐÁNH GIÁ
1. Đúng ghi là Đ, sai ghi là S vào ô trống:
a)
5
0,1
là phân số F b)
6
1
là phân số F
c)
+
×
4 3
2 7
là phân số F d)
0,3
0, 7

là phân số F
e)
0
7
là phân số F f)
1
1
là phân số F
g) 0 là phân số
F h) 1 là phân số F
2. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu cho 5 ta
được phân số tối giản. Tìm phân số đó.
3. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 4 ta được một phân số có tổng của tử và
mẫu bằng 12. Tìm phân số tối giản đó.
4. Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 5 ta được một phân số có tích của tử và
mẫu bằng 100. Tìm phân số tối giản đó.
5. Tìm một phân số bằng
5
3
, biết rằng phân số đó có tổng của tử và mẫu bằng 184.
6. Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 210. Tổng của tử số và mẫu số bằng 29.
Tìm phân số đó.
7. Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số
11
5
với cùng một số tự nhiên, ta được một phân
số bằng
21
19
. Tìm số tự nhiên đó.

8. Điền dấu > ; < ; = vào ô trống:

23
49
F
24
47


181818
454545
F
2
5


4
91
F
3
97

CÁC TẬP HỢP SỐ


142
9. Điền các phân số
7
8
và

61
62
vào ô trống thích hợp:

99
100
> F >
11
12
> F
CÁC TẬP HỢP SỐ


143
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. TẬP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM
THÔNG TIN CƠ BẢN
3.5.1. Phân số thập phân
Các phân số
7
10
;
124
100
;
12
1000
. . . . . . . . . . . . . . đều có mẫu số là luỹ thừa của 10 với số mũ tự
nhiên. Các phân số dạng này ta thường gặp trong các phép đo đại lượng. Chẳng hạn:
+ Chiều dài cạnh bàn là 1m25cm hay 1m
25

100
m
+ Gói hàng nặng 560g hay
560
1000
kg
Để tiện lợi trong tính toán và sử dụng, người ta đưa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân
số loại này.
Định nghĩa 5.1: Phân số
a
b
gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là luỹ thừa của 10 với số
mũ tự nhiên (b = 10
n
, n ∈ N).
Ví dụ 5.1:
Các phân số
17
10
;
8
100
;
6
1
. . . . . . . . là phân số thập phân.
Phân số
3
4
không phải là phân số thập phân nhưng

3
4
=
75
100
là phân số thập phân.
Ta gọi
3
4
là phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân.
Vậy phân số
a
b
gọi là biểu diễn được dưới dạng thập phân nếu nó bằng một phân số thập
phân nào đấy.
Chẳng hạn,
1
2
;
8
25
;
3
20
. . . . . . . là những phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân. Các
phân số
1
3
;
5

7
;
2
11
. . . . . . . không biểu diễn được dưới dạng thập phân.
3.5.2. Số thập phân không âm
Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, nếu nó có một đại diện là phân số thập phân (hay
nói cách khác, phân số đại diện của nó biểu diễn được dưới dạng thập phân). Tập tất cả các số
thập phân không âm ta kí hiệu là
Q
+10
.

CÁC TẬP HỢP SỐ


144
Từ các ví dụ trên ta rút ra nhận xét: Các số thập phân
3
10
;
1
2
;
8
25
;
147
100
. . . . đều tối giản và

mẫu số của chúng chỉ chứa ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Các phân số
1
3
;
5
7
;
2
11
. . . . đều tối
giản và mẫu số của chúng có những ước nguyên tố khác 2 và 5. Liệu điều này sẽ đúng cho
trường hợp tổng quát?

Giả sử mẫu số phân số tối giản
a
b
chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5. Vậy b = 2
n
5
k
.
Giả sử n
≥ k. Ta có
a
b
=
nk
a
25
=

−nk
nn
a5
25
=
−
nk
n
a5
10

Vậy nó biểu diễn được dưới dạng thập phân.
Đảo lại, giả sử phân số tối giản
a
b
biểu diễn được dưới dạng thập phân, tức là
a
b
=
n
m
10
.
Suy ra a10
n
= mb.
Giả sử p là ước nguyên tố khác 2 và 5 của b. Suy ra p | a10
n
hay p | a.2
n

.5
n
. Vì p ≠ 2 và p ≠ 5
nên p | a. Suy ra p là ước chung của a và b, mà (a, b) = 1 nên p = 1. Thành thử b chỉ có ước
nguyên tố là 2 hoặc 5.
Từ các kết quả trên ta có:
Phân số tối giản
a
b
biểu diễn được dưới dạng thập phân khi và chỉ khi mẫu số b của nó không
có ước nguyên tố khác 2 và 5.
Vận dụng dấu hiệu trên, khi muốn kiểm tra một phân số
a
b
có phải là số thập phân hay không,
ta tiến hành như sau:
– Rút gọn phân số đó (để nhận được phân số tối giản
a'
b'
).
– Kiểm tra mẫu số b’ có chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 hay không, nếu có thì
a
b
∉ Q
+10
,
ngược lại
a
b
∈ Q

+10
Ví dụ 5.2:
8
125
∈
Q
+10
vì 125 = 5
3
;
7
40
∈
Q
+10
vì 40 = 2
3
.5
CÁC TẬP HỢP SỐ


145

8
21
∉
Q
+10
vì 21 = 3.7;
8

75
∉
Q
+10
vì 75 = 3.5
2


15
24
∈ Q
+10
vì
15
24
=
5
8
∈ Q
+10
;
28
35
∈ Q
+10
vì
28
35
=
4

5
∈ Q
+10

(mặc dù 24 = 2
3
.3 và 35 = 5.7).
3.5.3. Dạng thu gọn của phân số thập phân
Như chúng ta đã biết: mỗi số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân. Cách biểu
diễn này có nhược điểm là cồng kềnh, không tiện lợi trong thực hành tính toán. Vì vậy, ta
thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn:
+)
351
100
= 3,51 (đọc là ba đơn vị nguyên, năm mươi mốt phần một trăm của đơn vị hoặc ba
phẩy năm mươi mốt).
+)
8
10
= 0,8 (đọc là không đơn vị nguyên, tám phần mười của đơn vị hay không phẩy tám).
+)
49
1000
= 0,049 (đọc là không phẩy không bốn chín).
Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết không có mẫu số của phân số thập phân theo
quy tắc:
– Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm
thứ nhất đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số bằng số chữ số 0 ở mẫu số; nhóm thứ hai
gồm các chữ
số còn lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy.

– Nếu số chữ số của tử số ít hơn hay bằng số chữ số 0 ở mẫu số thì ta viết thêm những chữ số
0 vào trước tử số trước khi dùng dấu phẩy phân chia.
Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi
là phần thập phân của số thập phân đó.
Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048.
Như vậy, mỗi số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn.
3.5.4. Các phép toán trên số thập phân
Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ. Vì vậy, xây dựng các phép toán về số thập phân bằng cách
ta đưa về phép toán tương ứng với số hữu tỉ. Chẳng hạn:
Ví dụ 5.3:
Cho r = 1,78; s = 1,5. Tìm tổng của r + s.
CÁC TẬP HỢP SỐ


146
Ta có 1,78 =
178
100
và 1,5 =
15
10
;
178
100
+
15
10
=
+
178 150

100
=
328
100
= 3,28
Vậy 1,78 + 1,5 = 3,28.
Nhận xét: Xây dựng phép cộng các số thập phân theo quy trình trên đây có ưu điểm là đảm
bảo tính hệ thống và chặt chẽ về phương diện lí thuyết, nhưng có nhược điểm là cồng kềnh và
dài dòng trong thực hành tính toán. Vì vậy, khi thực hành phép cộng các số thập phân ta
thường áp dụng quy tắc dưới đây.
Quy tắc: Muốn cộng một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:
1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0
vào hàng còn thiếu);
2) Viết số nọ dưới số kia sao cho các dấu phẩy thẳng cột;
3) Cộng như cộng hai số tự nhiên;
4) Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy củ
a các số hạng.
Ta trở lại ví dụ 1,78 + 1,5
Bước 1: Ta viết 1,5 = 1,50
Bước 2: Đặt phép tính
1,78
+
1,50
Bước 3: Bỏ dấu phẩy ta được phép cộng hai số tự nhiên, thực hiện phép cộng hai số tự nhiên
ta được kết quả 328.
Bước 4: Đặt dấu phẩy ở tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng ta được kết quả 3,28.
Cũng tương tự như trên ta có quy tắc thực hành phép trừ
Muốn trừ một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:
1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0
vào hàng còn thiếu);

2) Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các dấu phẩy thẳng cột;
3) Trừ như trừ hai số tự nhiên;
4) Đặt dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với dấ
u phẩy của số bị trừ và số trừ.
Quy tắc thực hành phép nhân
Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:
1) Nhân như nhân hai số tự nhiên;
CÁC TẬP HỢP SỐ


147
2) Ta đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu
phẩy tách ra ở tích bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Ví dụ 5.4:
Tính 4,15 × 3,8
Ta làm như sau: 4,15

× 3,8
3320
1245
15,770
Trước hết ta thực hiện phép nhân:
415
× 38 = 15770
Vì cả hai thừa số có tất cả ba chữ số ở phần thập phân nên ta dùng dấu phẩy tách ra ở tích ba
chữ số kể từ bên phải.
Quy tắc thực hành phép chia
Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:
1) Bỏ dấu phẩy ở số chia đồng thời dời dấu phẩy ở số bị chia từ trái qua phải số chữ số bằng

số chữ số ở phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số ở phần thập phân của số chia
nhiều hơn số bị
chia thì ta viết thêm chữ số 0 vào hàng còn thiếu);
2) Chia như chia hai số tự nhiên, khi chia hết chữ số ở phần nguyên của số bị chia, đặt dấu
phẩy ở thương rồi tiếp tục chia;
3) Khi chia hết các chữ số ở phần thập phân của số bị chia, nếu còn dư, ta viết thêm chữ số 0
vào bên phải số dư rồi tiếp tục chia.
Ví dụ 5.5:
Tính 4,025 : 1,25 4†02, 5
1, 25

275 3,22
250
0
Số chia 1,25 có hai chữ số ở phần thập phân nên khi bỏ dấu phẩy ta được số 125. Lùi dấu
phẩy của số bị chia hai chữ số ta được 402,5.

Thực hiện phép chia 402 cho 125 được 3 dư 27. Trước khi hạ tiếp 5 ở phần thập phân của số
bị chia, ta đặt dấu phẩy ở thương rồi thực hiện phép chia 275 cho 125 được kết quả ở phần
CÁC TẬP HỢP SỐ


148
thập phân là 2 (dư 25). Muốn tìm thêm chữ số ở phần thập phân của thương ta thêm 0 vào bên
phải 25 được số 250, đem chia cho 125 được 2.
Vậy 4,025 : 1,25 = 3,22

Ví dụ 5.6:
Tính 3,7 : 0,03
Ta đặt phép tính 3,70

0, 03
07 123,3
10
10
1
Vậy 3,7 : 0,03 = 123,3 dư 0,001.
3.5.5. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân
Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm. Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự trên tập Q
+10
ta
đưa về so sánh các số hữu tỉ không âm. Chẳng hạn:
Ví dụ 5.7:
Cho r = 9,63 ; s = 12,1. Hãy so sánh r và s.
Ta có 9,63 =
963
100
và 12,1 =
121
10
. Vì
963
100
<
121
10
nên 9,63 < 12,1.
Tương tự như đối với phép cộng, xây dựng quan hệ thứ tự trong tập số thập phân theo cách
trên có ưu điểm về phương diện lí thuyết nhưng có nhược điểm trong thực hành so sánh. Vì
vậy, khi so sánh các số thập phân người ta thường vận dụng một trong hai quy tắc sau:
Quy tắc 1: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

1) Làm cho số chữ số ở phần thập phân của chúng bằng nhau (bằng cách viết thêm chữ số 0
vào hàng còn thiếu);
2) Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên;
3) So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn hơn thì số thập phân ứng với nó sẽ lớn
hơn. Nếu hai số tự nhiên đ
ó bằng nhau thì hai số thập phân cũng bằng nhau.
Quy tắc 2: Muốn so sánh hai số thập phân ta làm như sau:
1) So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn sẽ lớn hơn;
2) Nếu phần nguyên của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần mười, số nào có chữ số
phần mười lớn hơn sẽ lớn hơn;
CÁC TẬP HỢP SỐ


149
3) Nếu phần mười của chúng bằng nhau thì ta so sánh chữ số phần trăm và cứ tiếp tục như
trên cho đến khi gặp hàng lớn hơn;
4) Nếu phần nguyên và các chữ số ở phần thập phân của chúng đều bằng nhau thì hai số đó
bằng nhau.

Ví dụ 5.8:
So sánh hai số 9,63 và 12,1.
Cách 1: Vì 12,1 = 12,10 và 963 < 1210 nên 9,63 < 12,1
Cách 2: Vì 9 < 12 nên 9,63 < 12,1.
3.5.6. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Trong các mục trước, chúng ta đã biết rằng với mỗi số hữu tỉ r =
a
b
(
a
b

tối giản) có hai khả năng:
- Nếu mẫu số b không chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì r là một số thập phân.
- Nếu mẫu số b chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 thì r không phải là số thập phân. Trong
trường hợp này, ta có thể xấp xỉ r bởi một số thập phân với sai số nhỏ tuỳ ý.
Trong mục này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng số hữu tỉ như vậy có thể biểu diễn bởi m
ột số thập
phân theo nghĩa rộng.
Trước hết ta bắt đầu bằng bài toán cụ thể. Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ r =
13
11
.
Ta có:
– Nếu sai số không vượt quá
1
100
thì ta được số 1,18
– Nếu sai số không vượt quá
1
1000
thì ta được số 1,181
Nếu sai số không vượt quá 10
–6
thì ta được số 1,181818
Cứ tiếp tục quá trình trên đây ta đi đến kết quả sau:
– Không bao giờ được một số thập phân “xấp xỉ” mà lại bằng
13
11
.
Thành thử, cứ tiếp tục mãi ta nhận được số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân.
- Các chữ số ở phần thập phân lặp lại một cách tuần hoàn, trong đó mỗi chu kì gồm hai chữ số

“18”. Trong trường hợp này ta viết:

13
11
= 1,181818
CÁC TẬP HỢP SỐ


150
hay
13
11
= 1,(18)
và gọi là
số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì bằng 18 (số viết trong dấu ngoặc để
chỉ chu kì của số thập phân đó).
Tiếp theo ta xét bài toán tương tự đối với số hữu tỉ
285
22
. Ta nhận được kết quả sau:
- Nếu sai số không vượt quá 10
–3
thì ta được số 12,954
- Nếu sai số không vượt quá 10
–5
thì ta được số 12,95454
Vậy:

285
22

= 12,95454
Ta nhận được số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhưng chu kì (là 54) không bắt đầu ngay từ chữ
số thập phân thứ nhất (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai. Những số như thế ta
gọi là
số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp. Trong trường hợp này ta viết:

285
22
= 12,9(54)
Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ
a
b
không phải là số thập phân.
Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số 0 vào bên phải số dư sau mỗi
phép chia và lại tiếp tục chia). Ta sẽ thấy rằng sau một số bước (tối đa là b bước) ta sẽ gặp lại
số dư r nào đó mà ta đã gặp ở bước trước đó. Khi đó quá trình sẽ lặp lại. Các thương bộ phận
sẽ lặp lại một cách tu
ần hoàn. Số thập phân nhận được có vô số chữ số ở phần thập phân,
trong đó có một nhóm chữ số ở phần thập phân lặp đi lặp lại một cách tuần hoàn. Nhóm chữ
số lặp lại đó được gọi là
chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn.


HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN
NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc SGK Toán 5 và thông tin cơ bản ở nhà. Trên lớp thảo luận theo nhóm 3, 4
người để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây. Sau đó, đại diện nhóm trình bày và giáo viên tổng
kết theo từng nhiệm vụ:
NHIỆM VỤ 1: