[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 4 potx

các tập hợp số


59
3) Tập các điểm trên đoạn thẳng AB (A ≠ B) là một tập vô hạn. Thật vậy, gọi C là trung điểm
của AB khi đó [AC] ⊂ [AB] và [AC] ≠ [AB], đồng thời có thể chỉ ra rằng [AC] ~ [AB].
Định lí 1.2. Tập hợp tương đương với tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
Chứng minh:
Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và tập hợp B tương đương với tập hợp A. Nếu B không là
tập hữu hạn thì B tương đương với một tập con thực sự B' của B.
Vì A ~ B nên có song ánh f: B → A. Khi đó f(B') là tập con thực sự của A. Thật vậy, vì B'
≠
B
nên tồn tại b
∈
B và b ∉ B'. Khi đó f(b)
∈
A và f(b)
∉
f(B'). Vì A và B tương đương với nhau, B
và B' tương đương với nhau, B' và f(B') tương đương với nhau nên A và f(B') tương đương với
nhau. Vậy ta có A tương đương với tập con thực sự f(B') của A. Trái với giả thiết A là tập hợp
hữu hạn.
Vậy B là tập hữu hạn.
Định lí 1.3. Tập con của một tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.
Chứng minh:
Giả sử A là một tập hợp hữu hạn và B là một tập con của A. Nếu B không là tập hợp hữu hạn
thì có tập con thực sự B' của B, tương đương với B. Khi đó ta có song ánh g: B → B'.
Đặt A' = (A \ B) ∪ B'. Vì B' là tập con thực sự của B nên A' là tập con thực sự của A.
Ta có ánh xạ f được xác định như sau:
f: A → A'

a, a A\B
af(a)
g(a), a B
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∈
=
∈
a
Do g là song ánh nên f cũng là song ánh. Suy ra A ~ A', trái với giả thiết A là tập hữu hạn.
Vậy B là tập hữu hạn.
2.1.2. Bản số
2.1.2.1. Khái niệm về bản số
Để mở rộng khái niệm "số" phần tử của một tập hữu hạn, Cantor đã đưa ra khái niệm bản số
của một tập hợp để đặc trưng cho “số lượng” các phần tử của tập hợp đó.
Mỗi tập hợp có một bản số. Bản số của tập hợp A kí hiệu là |A| hoặc cardA; bản số của hai tập
hợp A và B là bằng nhau, |A| = |B|, khi và chỉ khi A và B tương đương với nhau, nghĩa là có
một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
Ví dụ 1.3:
|
∅
| ≠ |{x}|;
các tập hợp số


60

|{x, y}| ≠ |{x, y, z}|.
Ta đặt |
∅
| = 0 và |{x}| = 1.
Rõ ràng 0 ≠ 1 vì tập rỗng (∅) và tập gồm một phần tử {x} không tương đương với nhau.
2.1.2.2. Quan hệ thứ tự giữa các bản số
Giả sử a và b là hai bản số. Khi đó, tồn tại các tập hợp A và B sao cho a = |A| và b = |B|.
Định nghĩa 1.2. Bản số a được gọi là bé hơn hay bằng bản số b, kí hiệu là a ≤ b, nếu và chỉ
nếu tồn tại một đơn ánh f từ A đến B.
Điều này nghĩa là A tương đương với một tập con của B.
Định nghĩa trên đây không phụ thuộc vào việc chọn các tập A, B sao cho a = |A| và b = |B|.
Thật vậy, nếu |A| = |A'| = a và |B| = |B'| = b
thì tồn tại các song ánh g: A → A' và h: B → B'.
Nếu f là đơn ánh từ A đến B thì f' = hfg
–1
cũng là một đơn ánh từ A' đến B' và ngược lại.
BA
f
⎯
→
⎯

g h



'B'A
'f
⎯
→

⎯

Tính chất 1.2:
Rõ ràng quan hệ ≤ có các tính chất sau:
1) Với mọi bản số a, a ≤ a.
2) Với mọi bản số a, b, c nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c (do hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh).
3) Với hai bản số a và b khi đó hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a. Nếu đồng thời có a ≤ b và b ≤ a thì a = b
(dựa vào định lí Cantor).
Như vậy, quan hệ ≤ giữa các bản số có các tính chất phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng.
2.1.2.3. Phép cộng các bản số
Định lí 1.4. Cho A, A', B và B' là những tập hợp sao cho A ~ A', B ~ B', A
∩
B = ∅ và A'
∩
B' =
∅

khi đó A
∪
B ~ A'
∪
B'.
Chứng minh:
Giả sử f: A → A' và g: B → B' là hai song ánh, khi đó ta có ánh xạ h: A ∪ B → A' ∪ B' được
xác định bởi
các tập hợp số


61
f(x), x A

h(x)
g(x), x B
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∈
=
∈

là một song ánh. Vì vậy, nếu A ~ A', B ~ B', A ∩ B =
∅
và A' ∩ B' = ∅ thì A ∪ B ~ A' ∪
B'.
Định lí 1.5. Nếu a và b là hai bản số thì tồn tại hai tập A' và B' sao cho a = |A'|, b = |B'| mà
A'
∩
B' = ∅.
Chứng minh:
Giả sử A và B là hai tập hợp sao cho a = |A| và b = |B|. Đặt A' = A × {x} và B' = B × {y} với x ≠
y. Rõ ràng A' ~ A và B' ~ B đồng thời A' ∩ B' =
∅
. Vì A' ~ A, B’ ~ B nên |A'| = |A| = a và |B'| = |B|
= b.
Định nghĩa 1.3. Cho a và b là hai bản số, a = |A| và b = |B| sao cho A ∩ B =∅. Khi đó |A ∪ B|
được gọi là tổng của hai bản số a và b, kí hiệu là a + b.
Như vậy a + b = |A ∪ B|.
Phép toán này được gọi là phép cộng.
Tính chất 1.3:

Phép cộng các bản số có các tính chất sau:
– Giao hoán: với mọi bản số a và b ta có a + b = b + a. Điều này được suy ra từ tính chất giao
hoán của phép hợp các tập hợp, cụ thể là với mọi tập hợp A và B ta có: A ∪ B = B ∪ A.
– Kết hợp: Với mọi bản số a, b và c ta có (a + b) + c = a + (b + c). Điều này được suy ra từ
tính chất kết hợp của phép hợp các tập hợp, cụ thể là với mọi tập hợp A, B, C, ta có:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
– Với mọi bản số a ta có a + 0 = a.
Điều này được suy ra từ tính chất là với mọi tập hợp A ta có: A ∪ ∅ = A.
– Với mọi bản số a và b, nếu a + b = 0 thì a = b = 0. Điều này được suy ra từ tính chất là: nếu
hai tập hợp A và B mà A ∪ B =
∅
thì A =
∅
và B =
∅
.
Định lí 1.6. Giả sử a và b là hai bản số. Khi đó, a
≤
b nếu và chỉ nếu tồn tại bản số c sao cho
a + c = b.
Chứng minh:
Giả sử a = |A|, b = |B|. Nếu a ≤ b thì tồn tại đơn ánh f: A → B và a = |A| = |f(A)|.
Đặt C = B \ f(A), ta có f(A) ∪ C = B, f(A) ∩ C =
∅
. Gọi c = |C|, ta có b = |B| = |f(A) ∪ C| = a + c.
Đảo lại, giả sử tồn tại bản số c = |C| sao cho a + c = b.
các tập hợp số


62

Như vậy, C ∩ A = ∅ và |A ∪ C| = |B|. Do |A ∪ C| = |B| nên tồn tại song ánh f: A ∪ C → B.
Cái thu hẹp f' =
A
f : A →B là một đơn ánh. Vậy a ≤ b.
Định lí 1.7. Với hai bản số a và b, a + 1 = b + 1 khi và chỉ khi a = b.
Chứng minh:
Nếu a = b thì hiển nhiên a + 1 = b + 1.
Đảo lại, giả sử a và b là hai bản số sao cho a + 1 = b + 1. Giả sử a = |A| và b = |B|, x và y là
hai phần tử khác nhau không thuộc A ∪ B.
Đặt A' = A ∪ {x}, B' = B ∪ {y}.
Khi đó |A'| = a + 1 và |B'| = b + 1. Do a + 1 = b + 1 nên ta có song ánh f: A' → B'.
+) Nếu f(x) = y thì ánh xạ cảm sinh f' của f từ A đến B sẽ là một song ánh và ta có a = |A| = |B| =
b.
+) Nếu f(x) = y' ≠ y và x' = f
–1
(y) ≠ x.
Đặt A'' = A \ {x'} và B" = B \ {y'}. ánh xạ cảm sinh f' của f từ A" đến B" là một song ánh và
ta có ánh xạ
g: A → B, x a g(x) =
f'(x) x A
y' x x'
∈
⎧
⎨
=
⎩
là một song ánh.
Vậy ta cũng có a = |A| = |B| = b.
2.1.2.4. Phép nhân các bản số
Định lí 1.8. Cho A, A', B và B' là những tập hợp sao cho A ~ A' và B ~ B'. Khi đó A

×
B ~ A'
×

B'.
Chứng minh:
Giả sử f: A → A' và g: B → B' là hai song ánh.
Khi đó ánh xạ f × g: A × B → A' × B', (x; y)a (f(x); f(y)) là một song ánh từ A × B đến A' × B'.
Vậy A × B ~ A' × B'.
Từ tính chất này ta có định nghĩa sau là đúng đắn.
Định nghĩa 1.4. Cho a và b là những bản số, a = |A|, b = |B|. Bản số của tích đề-các A × B
được gọi là tích của hai bản số a và b, kí hiệu là a.b hay ab. Như vậy ab = |A × B|.
Phép toán trên được gọi là phép nhân các bản số.
Tính chất 1.4:
Dựa vào tính chất của tích Đề-các của các tập hợp, ta có các tính chất sau đây của phép nhân
các bản số:
các tập hợp số


63
– Tính chất giao hoán: với mọi bản số a và b ta có ab = ba.
– Tính chất kết hợp: với mọi bản số a, b và c ta có (ab)c = a(bc).
– Với mọi bản số a ta có: 0a = 0; a0 = 0.
1a = a; a1 = a.
– Với mọi bản số a và b nếu ab = 0 thì hoặc a = 0 hoặc b = 0.
– Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với mọi bản số a, b và c ta có:
a(b + c) = ab + ac.
(b + c)a = ba + ca.
Hoạt động. Tìm hiểu tập hợp tương đương
Nhiệm vụ

Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau.
Sau khi trình bày, giáo viên tổng kết theo từng nhiệm vụ.
Nhiệm vụ 1:
Định nghĩa tập hợp tương đương.
Nhiệm vụ 2:
Bản số của tập hợp, quan hệ thứ tự giữa các bản số, phép cộng và phép nhân các bản số.
Nhiệm vụ 3:
Tập hữu hạn, tập vô hạn. Các tính chất của tập hữu hạn. Phân biệt sự khác nhau cơ bản giữa
tập hữu hạn và tập vô hạn.
Đánh giá
Hãy trả lời các câu hỏi sau đây:
1. Định nghĩa hai tập hợp tương đương. Cho ví dụ về hai tập hợp tương đương.
2. Khi nào thì hai tập hợp có bản số bằng nhau. Tập rỗng (
∅
) và tập có một phần tử có bản số
bằng nhau không? Tại sao?
3. Phát biểu định lí Canto về bản số của hai tập hợp.
4. Định nghĩa quan hệ ≤ giữa các bản số. Nêu các tính chất của quan hệ này.
5. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các bản số. Phát biểu và chứng minh các tính chất của hai
phép toán trên.
các tập hợp số


64
6. Định nghĩa tập hữu hạn, tập vô hạn. Cho ví dụ về tập hữu hạn, tập vô hạn.
Hãy giải các bài tập sau đây:
1. Cho A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d}. Hãy chỉ ra hai song ánh từ A đến B. Có bao nhiêu song
ánh từ A đến B?
2. Cho ba tập hợp A, B và C. Chứng minh:
a) A × B ~ B × A

b) (A × B) × C ~ A × (B × C)
3. Cho hai tập hợp A và B với B ?
∅
. Chứng minh rằng |A| ≤ |A × B|
4. Cho tập hợp A. Chứng minh rằng A là một tập hữu hạn khi và chỉ khi mọi đơn ánh từ A đến
A đều là song ánh.
5. Cho A là một tập hữu hạn, f: A → A là một ánh xạ. Chứng minh rằng các khẳng định sau
tương đương với nhau.
a) f là đơn ánh;
b) f là toàn ánh;
c) f là song ánh.
6. Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Chứng minh:
a) A ∪ B là một tập hợp hữu hạn.
b) A ∩ B là một tập hợp hữu hạn.
c) A × B là một tập hợp hữu hạn.
7. Chứng minh rằng tập A = {1, 2, 3, 4} là một tập hợp hữu hạn.
8. Chứng minh rằng tập các số nguyên Z là một tập hợp vô hạn.
các tập hợp số


65
Tiểu chủ đề 2.2. Số tự nhiên
Thông tin cơ bản
2.2.1. Tập các số tự nhiên
2.2.1.1. Định nghĩa
Bản số của một tập hữu hạn được gọi là một số tự nhiên hay còn gọi là một bản số hữu hạn.
Tập tất cả các số tự nhiên ta kí hiệu là N.
Ví dụ 2.1:
0 là một số tự nhiên vì 0 = |
∅ |,

∅
là tập hữu hạn.
1 là một số tự nhiên vì 1 = |{x}|, {x} là tập hữu hạn.
Nhận xét. a là một số tự nhiên khi và chỉ khi a ≠ a + 1.
2.2.1.2. Số tự nhiên kề sau
Định lí 2.1. Nếu a là một số tự nhiên thì a + 1 cũng là một số tự nhiên.
Chứng minh:
Giả sử a là một số tự nhiên. Nếu a + 1 không phải là số tự nhiên thì a là một bản số vô hạn và
khi đó ta có a + 1 = (a + 1) + 1.
Theo định lí 1.7 suy ra a = a + 1. Nên a không là số tự nhiên, trái với giả thiết a là một số tự
nhiên. Vậy a + 1 cũng là số tự nhiên.
Định nghĩa 2.1. Với mỗi số tự nhiên a, số tự nhiên a + 1 được gọi là số kề sau của a (ta còn
nói a là số kề trước a + 1).
Định lí 2.2. ánh xạ f: N → N
*
(N
*
= N \ {0}), a a a + 1, là một song ánh từ N lên N
*
.
Chứng minh:
Rõ ràng f là một ánh xạ từ N vào N
*
. Giả sử a, b ∈ N sao cho f(a) = f(b), tức là a + 1 = b + 1.
Theo định lí 1.7 suy ra a = b. Vậy f là một đơn ánh.
Giả sử b ∈ N
*
, khi đó b ≠ 0, đặt b = |B| với B là tập hữu hạn và B ≠ ∅ . Vì B ≠ ∅ nên tồn tại
y ∈ B. Đặt B' = B \ {y}.
Khi đó B' là một tập hữu hạn và b' = |B'| là một số tự nhiên thỏa mãn b = b' + 1 suy ra f(b') =

b.
Vậy f là một toàn ánh và do đó nó là một song ánh.
các tập hợp số


66
Hệ quả 1. Mỗi số tự nhiên a đều có duy nhất một số kề sau. Hai số khác nhau có những số kề
sau khác nhau. Số 0 không kề sau bất kì số nào.
Chứng minh:
Suy trực tiếp từ định lí.
Hệ quả 2. Tập N các số tự nhiên là một tập hợp vô hạn.
Chứng minh:
Ta có N
*
= N \ {0} là một tập con thực sự của N. ánh xạ f là một song ánh từ N đến N
*
, do
vậy N là một tập hợp vô hạn.
2.2.1.3. Tiên đề quy nạp
Ta thừa nhận tính chất sau đây và coi như một tiên đề, gọi là tiên đề quy nạp.
Tiên đề. Nếu A là một tập con của N sao cho: 0 ∈ A và a
∈
A kéo theo a + 1 ∈ A thì A = N.
2.2.1.4. Phép chứng minh quy nạp
Định lí 2.3. Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề xác định trên tập các số tự nhiên N. Nếu P(0)
đúng và P(n) đúng kéo theo P(n +1) đúng thì mệnh đề P(n) đúng
∀
n ∈ N.
Chứng minh:
Đặt A = {a ∈ N | P(a) là mệnh đề đúng} là miền đúng của hàm mệnh đề P(n).

Do P(0) đúng nên 0 ∈ A. Giả sử a ∈ A, tức là P(a) đúng, khi đó P(a + 1) cũng là mệnh đề
đúng (theo giả thiết). Suy ra a + 1 ∈ A. Vậy theo tiên đề quy nạp A = N, tức là mệnh đề P(n)
đúng ∀n ∈ N.
Từ định lí này ta có phép chứng minh quy nạp như sau:
Để chứng minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n, ta tiến hành hai bước:
Bước 1. (Bước cơ sở) chứng minh rằng P(0) là đúng.
Bước 2. Giả sử rằng P(n) là đúng (gọi là giả thiết quy nạp) suy ra P(n + 1) là đúng.
Chú ý. Phép chứng minh quy nạp có thể bắt đầu từ một số tự nhiên a. Để chứng minh P(n)
đúng với mọi số tự nhiên n ≥ a, ta tiến hành hai bước:
Bước 1. Chứng minh rằng P(a) là đúng.
Bước 2. Giả sử rằng P(n) đúng với n ≥ a, suy ra P(n + 1) là đúng.
2.2.2. Phép cộng và nhân các số tự nhiên
Trong Tiểu chủ đề 2.1. Ta đã định nghĩa tổng và tích của hai bản số a và b. Khi a và b là
những số tự nhiên, ta còn chứng minh được rằng a + b và ab cũng là những số tự nhiên.
các tập hợp số


67
2.2.2.1. Phép cộng các số tự nhiên
Định lí 2.4. Tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
Chứng minh:
Cho m và n là hai số tự nhiên, k = m + n là tổng của hai bản số m và n. Ta sẽ chứng minh quy
nạp theo n rằng k là một số tự nhiên.
Thật vậy, với n = 0 ta có m + 0 = m ∈ N. Vậy điều này đúng với n = 0.
Giả sử n ∈ N ta có m + n ∈ N. Khi đó m + (n + 1) = (m + n) + 1. Theo giả thiết quy nạp m + n ∈ N
và theo định lí 2.1: (m + n) + 1 ∈ N. Vậy m + (n + 1) ∈ N. Suy ra điều này đúng với n + 1, do
đó nó đúng với mọi n ∈ N.
Do phép cộng các bản số có tính chất kết hợp và tính chất giao hoán nên phép cộng các số tự
nhiên cũng có tính chất kết hợp, giao hoán. Mặt khác 0 là một số tự nhiên thỏa mãn 0 + a = a
với mọi số tự nhiên a. Từ đó ta có hệ quả sau đây.

Hệ quả. Tập N các số tự nhiên cùng với phép cộng là một vị nhóm giao hoán.
Ngoài ra, trong vị nhóm cộng N ta còn có:
Định lí 2.5. Phép cộng các số tự nhiên thỏa mãn luật giản ước, tức là với mọi số tự nhiên a, b và c nếu
a + b = a + c thì b = c.
Chứng minh:
Cho a, b và c là ba số tự nhiên tùy ý, ta sẽ chứng minh quy nạp theo a.
Với a = 0 ta có a + b = a + c suy ra 0 + b = 0 + c, suy ra b = c.
Vậy tính chất này đúng với a = 0.
Giả sử tính chất này đúng với a, tức là nếu a + b = a + c thì b = c. Cần chứng minh tính chất
này đúng với a + 1.
Thật vậy, nếu (a + 1) + b = (a + 1) + c
⇒ a + (1 + b) = a + (1 + c) (phép cộng có tính chất kết hợp)
⇒ a + (b + 1) = a + (c + 1) (phép cộng có tính chất giao hoán)
⇒ (a + b) + 1 = (a + c) + 1 (phép cộng có tính chất kết hợp)
⇒ a + b = a + c (theo định lí 1.7)
⇒ b = c (theo giả thiết quy nạp).
Vậy tính chất này đúng với mọi số tự nhiên a.
Nhận xét. Từ định lí 2.5 ta suy ra vị nhóm cộng các số tự nhiên là một vị nhóm giao hoán,
chính quy.
các tập hợp số


68
2.2.2.2. Phép nhân các số tự nhiên
Định lí 2.6. Tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên.
Chứng minh:
Cho m và n là hai số tự nhiên. Ta chứng minh quy nạp theo n rằng m.n là một số tự nhiên.
Với n = 0 ta có m.n = m.0 = 0 là một số tự nhiên. Giả sử mn = k là một số tự nhiên. Ta cần
chứng minh rằng m(n + 1) cũng là một số tự nhiên. Thật vậy, m(n + 1) = mn + m.1 = k + m,
k và m là hai số tự nhiên nên k + m là một số tự nhiên. Vậy với mọi số tự nhiên m và n, ta có

m + n là một số tự nhiên.
Do phép nhân các bản số có tính chất giao hoán và kết hợp, đồng thời với mọi bản số a ta có
a.1 = a nên tập các số tự nhiên với phép nhân là một vị nhóm giao hoán.
Ngoài ra vị nhóm này còn có các tính chất sau:
+) ∀a ∈ N, a0 = 0 = 0a
+) ∀a, b ∈ N, ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0.
+)∀ a, b, c ∈ N, a(b + c) = ab + ac; (b + c)a = ba + ca.
Các tính chất này được suy ra từ tính chất của các phép toán trên các bản số.
2.2.3. Quan hệ thứ tự trong N
2.2.3.1. Định nghĩa
Trong Tiểu chủ đề 2.1, ta đã định nghĩa quan hệ thứ tự giữa các bản số và chứng minh rằng
nếu a và b là hai bản số thì a ≤ b khi và chỉ khi tồn tại bản số c sao cho a + c = b.
Trong trường hợp a và b là hai số tự nhiên ta cũng có c là một số tự nhiên. Thật vậy, nếu c
không là số tự nhiên thì c = c + 1 do đó
a + c = a + (c + 1) = (a + c) + 1.
Suy ra b = b + 1 và b không là số tự nhiên.
Như vậy trong tập hợp N, quan hệ thứ tự ≤ được xác định như sau:
Cho a, b thuộc N, a ≤ b ⇔ ∃c ∈ N sao cho a + c = b. Nếu a ≤ b và a ≠ b thì ta nói rằng a nghiêm
ngặt bé hơn b và kí hiệu là a < b.
2.2.3.2. Tính chất
1) Với mọi số tự nhiên a, 0 ≤ a.
2) Với mọi số tự nhiên a, a ≤ a.
Hai tính chất trên được suy ra từ đẳng thức a = 0 + a.
các tập hợp số


69
3) Quan hệ ≤ có tính chất bắc cầu, nghĩa là nếu a, b, c là ba số tự nhiên sao cho a ≤ b và b ≤ c
thì a ≤ c.
Thật vậy, do a ≤ b nên ∃a

1

∈

N sao cho a + a
1
= b. Do b ≤ c nên ∃b
1
∈ N sao cho b + b
1
= c. Từ hai
đẳng thức trên suy ra a + (a
1
+ b
1
) = c. Vậy a ≤ c.
4) Quan hệ ≤ có tính chất phản đối xứng, nghĩa là nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b.
Thật vậy, vì a ≤ b nên ∃a
1
∈ N sao cho a + a
1
= b. Vì b ≤ a nên ∃b
1
∈ N sao cho b + b
1
= a. Từ
đó suy ra a + (a
1
+ b
1

) = a. Do có luật giản ước của phép cộng trong N nên a
1
+ b
1
= 0 suy ra
a
1
= b
1
= 0. Tức là ta có a = b.
5) Với mọi phần tử a, b thuộc N hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a.
Điều này được suy ra từ định lí Cantor, hay ta có thể chứng minh trực tiếp bằng cách dựa vào
tiên đề quy nạp như sau:
Giả sử a ∈ N. Gọi A là tập các số tự nhiên so sánh được với a. Tức là:
A = {n ∈ N | hoặc a ≤ n hoặc n < a}.
Ta có 0 ≤ a nên 0 ∈ A. Giả sử n ∈ A tức là hoặc a ≤ n hoặc n < a.
Nếu a ≤ n thì a ≤ n + 1 nên n + 1 ∈ A.
Nếu n < a thì n + 1 ≤ a nên n + 1 ∈ A.
Trong cả hai trường hợp ta đều có n ∈ A suy ra n + 1 ∈ A, vậy A = N.
Từ các tính chất 2), 3), 4) và 5) suy ra rằng quan hệ ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần trong tập N.
Định lí 2.7. Mọi tập con khác rỗng của N đều có số bé nhất. Tức là (N, ≤) là một tập sắp
thứ tự tốt.
Chứng minh:
Giả sử M là một tập con khác rỗng của N.
Đặt A = {n ∈ N | n ≤ m, ∀m ∈ M}. Ta có 0 ∈ A vì 0 ≤ a ∀a ∈ M. Lại có A ≠ N, vì nếu m ∈ M
thì m < m + 1 cho nên m + 1 ∉ A. Như vậy A phải chứa một số tự nhiên a sao cho a + 1 ∉ A,
bởi vì trong trường hợp trái lại, theo tiên đề quy nạp, suy ra A = N.
Ta sẽ chứng minh rằng a là phần tử bé nhất của M.
Thật vậy, vì a ∈ A nên a ≤ m ∀m ∈ M. Hơn nữa a ∈ M, vì nếu a ∉ M thì a < m ∀m ∈ M, suy
ra a + 1 ≤ m ∀m ∈ M và do đó a + 1 ∈ A, trái với giả thiết về a. Vậy a ∈ M và là phần tử bé

nhất của M.
Định nghĩa 2.2. Cho A là một tập con khác rỗng của N. Ta nói rằng A bị chặn trên bởi số tự
nhiên c nếu ∀a ∈ A, a ≤ c.
Định lí 2.8. Mọi tập con khác rỗng, bị chặn trên của N đều có số lớn nhất.
các tập hợp số


70
Chứng minh:
Giả sử A ⊂ N, A ≠ ∅ và A bị chặn trên bởi số tự nhiên c, tức là ∀a ∈ A, a ≤ c.
Đặt M = {m ∈ N | a ≤ m, ∀a ∈ A}. Khi đó c ∈ M nên M ≠
∅
. Theo định lí 2.7, M có số bé
nhất là m
0
, m
0
∈ M và m
0
≤ m ∀m ∈ M. Vì m
0
∈ M nên a ≤ m
0
∀a ∈A.
Nếu m
0
= 0 thì A = {0} và 0 là số lớn nhất của A.
Nếu m
0
≠ 0 mà m

0
∉ A thì m
0
= m
1
+ 1 với m
1
≥ 0 thuộc N. m
0
∉ A nên m
0
> a ∀a ∈ A, do đó
m
1
≥ a ∀a ∈ A suy ra m
1
∈ M, trái với giả thiết m
0
là số bé nhất của M.
Vậy m
0
∈ A và do đó nó là số lớn nhất của A.
Tính tương thích của phép cộng và phép nhân đối với quan hệ
≤
.
Định lí 2.9. Với mọi a, b, c thuộc N, nếu a
≤
b thì a + c
≤
b + c. Từ đó suy ra rằng nửa nhóm

cộng (N, +) cùng với quan hệ
≤
là một nửa nhóm sắp thứ tự.
Chứng minh:
Giả sử a ≤ b, như vậy tồn tại số tự nhiên d sao cho a + d = b.
Từ đẳng thức này suy ra:
(a + d) + c = b + c hay (a + c) + d = b + c.
Điều này chứng tỏ a + c ≤ b + c.
Định lí 2.10. Với mọi a, b, c thuộc N, nếu a ≤ b thì ac ≤ bc. Như vậy nửa nhóm nhân (N, . )
cùng với quan hệ ≤ cũng là một nửa nhóm sắp thứ tự.
Chứng minh:
Giả sử a ≤ b.
Khi đó tồn tại số tự nhiên d sao cho a + d = b. Suy ra (a + d)c = bc hay ac + dc = bc, vì d và c
thuộc N nên dc ∈ N, do vậy ac ≤ bc.
2.2.3.3. Phép trừ các số tự nhiên
Định nghĩa 2.3. Cho hai số tự nhiên a và b, a ≤ b. Khi đó tồn tại số tự nhiên c sao cho a + c = b.
Số c được gọi là hiệu của a và b, kí hiệu là c = b – a.
Phép toán trên đây được gọi là phép trừ các số tự nhiên. Chú ý rằng hiệu b – a chỉ được thực
hiện khi a ≤ b.
Định lí 2.11. Giả sử a, b, c
∈
N sao cho a ≤ b. Khi đó c(b – a) = cb – ca. (Tính chất phân
phối của phép nhân đối với phép trừ).
Chứng minh:
Vì a ≤ b nên ta có a + (b – a) = b
các tập hợp số


71
⇒ c[a + (b – a)] = cb

⇒ ca + c(b – a) = cb

⇒ c(b – a) = cb – ca.
Định lí 2.12. Có luật giản ước của phép nhân đối với các số tự nhiên khác 0. Nghĩa là nếu
a, b, c là ba số tự nhiên, a ≠ 0 sao cho ab = ac thì b = c.
Chứng minh:
ab = ac ⇒ ab – ac = 0 ⇒ a(b – c) = 0, do a ≠ 0 nên b – c = 0 hay b = c.

Hoạt động. Tìm hiểu về số tự nhiên

Nhiệm vụ
Giáo viên tổ chức cho học sinh đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau:
Nhiệm vụ 1:
Định nghĩa số tự nhiên, tập các số tự nhiên.
Nhiệm vụ 2:
Định nghĩa số kề sau, số kề trước.
Nhiệm vụ 3:
Chứng minh tập các số tự nhiên là một tập hợp vô hạn.
Nhiệm vụ 4:
Xây dựng ví dụ về phép chøng minh quy nạp.
Nhiệm vụ 5:
Định nghĩa các phép toán cộng, trừ và nhân các số tự nhiên. Nêu và chứng minh các tính chất
của các phép toán trong tập số tự nhiên.
Nhiệm vụ 6:
Định nghĩa, nêu tính chất và chứng minh các tính chất của quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên.
Đánh giá
Hãy trả lời các câu hỏi sau đây:
1. Định nghĩa và cho ví dụ về số tự nhiên, số tự nhiên kề sau.
các tập hợp số

72
2. Chứng minh rằng, tập các số tự nhiên N và tập các số tự nhiên khác 0 tương đương nhau. Từ
đó suy ra rằng tập hợp các số tự nhiên là vô hạn.
3. Phát biểu tiên đề quy nạp và trình bày phương pháp chứng minh quy nạp.
4. Chứng minh rằng tổng của hai số tự nhiên là một số tự nhiên, và tập các số tự nhiên với phép
cộng là một vị nhóm giao hoán chính quy.
5. Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên, tập các số tự nhiên với phép
nhân là một vị nhóm giao hoán.
6. Định nghĩa quan hệ thứ tự trong tập các số tự nhiên. Phát biểu và chứng minh các tính chất
của quan hệ thứ tự này.
7. Định nghĩa phép trừ các số tự nhiên.
8. Chứng minh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và của phép nhân đối với
phép trừ các số tự nhiên.
Hãy giải các bài tập sau:
1. Cho hai số tự nhiên a và b. Chứng minh:
a) a + b = 0 khi và chỉ khi a = b = 0;
b) ab = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0;
c) ab = 1 khi và chỉ khi a = b = 1.
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, b, c, d ta có:
a) a ≤ a + b;
b) Nếu b ≠ 0 thì a ≤ ab;
c) Nếu a ≤ b và c ≤ d thì a + c
≤
b + d và ac
≤
bd;
d) Nếu a < b và c < d thì a + c < b + d và ac < bd.
3. Cho a, b, c là ba số tự nhiên và giả thiết thêm rằng phép trừ trong các biểu thức dưới đây thực
hiện được. Chứng minh:

a) (a + b) – c = a + (b – c) = (a – c) + b;
b) a – (b + c) = (a – b) – c = (a – c) – b;
c) a – (b – c) = (a – b) + c = (a + c) – b;
d) (a + c) – (b + c) = a – b;
e) (a – c) – (b – c) = a – b.
4. Cho a, b, c, d là những số tự nhiên và a ≥ b; c ≥ d. Chứng minh rằng a – b = c – d khi và chỉ
khi a + d = b + c.
5. Chứng minh rằng ba khẳng định sau đây tương đương với nhau:
các tập hợp số


73
(a) Nếu A là tập con của tập các số tự nhiên N, 0
∈
A và a
∈
A kéo theo a + 1 ∈ A thì A = N
(tiên đề quy nạp).
(b) Mọi tập con khác rỗng của N đều có số bé nhất.
(c) Mọi tập con khác rỗng bị chặn trên của N đều có số lớn nhất.
các tập hợp số


74
Tiểu chủ đề 2.3.
Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên
Thông tin cơ bản
2.3.1. Phép chia hết và phép chia có dư
2.3.1.1. Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên a và b, ta nói rằng a chia hết b (hay b chia hết cho a) nếu tồn tại số tự

nhiên c sao cho ac = b.
Kí hiệu a | b (đọc là a chia hết b, hay a là ước của b), hoặc b
M
a (đọc là b chia hết cho a, hay b
là bội của a).
Tính chất 3.1:
1) ∀a ∈ N a | 0; a | a và 1 | a.
Vì ta có 0 = a0; a = a1.
2) ∀a, b, c ∈ N, a | b và a | c ⇒ a | (b + c).
Thật vậy: a | b ⇒ ∃b
1
∈ N sao cho ab
1
= b.
a | c ⇒ ∃c
1
∈ N sao cho ac
1
= c.
⇒ ab
1
+ ac
1
= b + c ⇒ a(b
1
+ c
1
) = b + c ⇒ a | (b + c).
3) ∀a, b, c ∈ N, a | b ⇒ a | bc.
Hiển nhiên.

4) ∀a, b, c ∈ N, a | b và b | c ⇒ a | c.
Thật vậy, a | b ⇒ ∃b
1
∈ N sao cho ab
1
= b.
b | c ⇒ ∃c
1
∈ N sao cho bc
1
= c.
⇒ a(b
1
c
1
) = c ⇒ a | c.
2.3.1.2. Định lí về phép chia có dư
Định lí 3.1. Cho hai số tự nhiên a và b, b
≠
0. Khi đó, tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r
sao cho a = bq + r với 0
≤
r < b.
Chứng minh:
Đặt M = {x ∈ N bx ≤ a}. Rõ ràng 0 ∈ M vì b.0 = 0 ≤ a, suy ra M ≠ ∅ và M bị chặn trên
bởi a + 1. Gọi q là số lớn nhất của M, ta có bq ≤ a.
Đặt r = a – bq, khi đó a = bq + r. Ta sẽ chứng minh rằng r < b.
các tập hợp số

75
Thật vậy, nếu r ≥ b thì r = b + r
1
với r
1
∈ N. Từ đó suy ra a = b(q + 1) + r
1
. Như vậy b(q +1) ≤
a kéo theo q + 1 ∈ M. Trái với giả thiết về q. Vậy r < b.
Bây giờ giả sử ta có a = bq + r, q, r ∈ N, 0 ≤ r < b
và a = bq' + r', q', r' ∈ N, 0 ≤ r' < b.
Từ hai đẳng thức trên suy ra
bq + r = bq' + r'.
Nếu q ≠ q', chẳng hạn q > q', thì q = q' + s, với s ∈ N
*
. Ta có b(q' + s) + r = bq' + r' hay
bq' + bs + r = bq' + r'. Suy ra bs ≤ r' < b, bất đẳng thức này chỉ xảy ra khi s = 0, trái với giả
thiết là s > 0. Vậy q = q' và do đó r = r'.
Nếu tìm được q, r ∈ N sao cho a = bq + r, 0 ≤ r < b thì ta nói rằng ta đã thực hiện phép chia a
cho b được thương là q và dư là r.
+) Khi r = 0, q còn được gọi là thương đúng, tức là khi đó a chia hết cho b.
+) Khi r ≠ 0, q còn được gọi là thương hụt của phép chia a cho b.
2.3.1.3. Bội và luỹ thừa
Ta biết rằng (N, +) là một vị nhóm giao hoán nên ta có khái niệm bội n (n ≥ 0) của một số tự
nhiên a.
na =
n
a a a++ +
144424443
được định nghĩa bởi na = (n – 1)a + a.

Khi đó ta có
∀m, n, a ∈ N, (m + n)a = ma + na.
Tương tự, do (N, .) là một vị nhóm giao hoán nên ta có khái niệm lũy thừa bậc n (n ≥ 0) của
một số tự nhiên a.
an =
n
a. a .a
1442443
được định nghĩa bởi an = an
–1
. a.
Khi đó ta có:
∀m, n ∈ N, ∀a, b ∈ N, an . an = an
+ m
, (ab)
n
= anbn.
Các tính chất trên được chứng minh bởi tính chất của một vị nhóm giao hoán.
2.3.2. Ước chung lớn nhất
2.3.2.1. Định nghĩa
Số tự nhiên d được gọi là ước chung của các số tự nhiên a và b nếu d là ước của a và của b.
Với mỗi số tự nhiên a, kí hiệu U(a) là tập các ước của a. Ta luôn có 1∈ U(a) và nếu a
≠
0 thì
U(a) là một tập hợp hữu hạn.
các tập hợp số


76
Cho hai số tự nhiên a, b khác 0, khi đó tập các ước chung của a và b là U(a)

∩
U(b)
≠
∅
và
bị chặn trên bởi a và b, tập này có số lớn nhất, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1. Số lớn nhất trong tập các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn
nhất của a và b, kí hiệu là UCLN(a, b) hoặc (a, b).
Ví dụ 3.1:
UCLN(6, 21) = 3; UCLN(14, 5) = 1.
2.3.2.2. Cách tìm ước chung lớn nhất: Thuật toán Ơclit
Bổ đề. Giả sử a, b, r, q là những số tự nhiên thỏa mãn a = bq + r.
Khi đó UCLN(a, b) = UCLN(b, r).
Chứng minh:
Đặt U là tập các ước chung của a và b. V là tập các ước chung của b và r. u∈U ⇒ u | a và u | b
⇒ u | bq ⇒ u | a – bq hay u | r. Vậy u | b và u | r do đó u
∈
V. v
∈
V ⇒ v | b và v | r ⇒ v | bq
và v | r ⇒ v | bq + r hay v | a. Vậy v | a và v | b do đó v
∈
U.
Từ đó suy ra U = V và do đó UCLN(a, b) = UCLN(b, r).
Nhận xét. Nếu a, b ∈ N sao cho b | a thì UCLN(a, b) = b.
Ta có thể tìm được UCLN của hai số tự nhiên bằng thuật toán sau đây, gọi là thuật toán Ơclit.
Cho a và b là hai số tự nhiên a > b > 0. Thực hiện phép chia có dư a cho b ta được: a
= bq
1
+ r

1
.
Nếu r
1
= 0 thì UCLN(a, b) = b.
Nếu r
1
≠ 0 thì r
1
< b và UCLN(a, b) = UCLN(b, r
1
).
Tiếp tục thực hiện phép chia b cho r
1
, b = r
1
q
2
+ r
2
.
Nếu r
2

≠
0 thì 0 < r
2
< r
1
và UCLN(a, b) = UCLN(b, r

1
) = UCLN(r
1
, r
2
)
Tiếp tục chia r
1
cho r
2
ta được: r
1
= r
2
q
3
+ r
3
.
32
0r r
≤
< .
Quá trình này cho ta một dãy giảm nghiêm ngặt những số tự nhiên, dãy này dừng. Tức là sau
một số hữu hạn bước, cuối cùng ta có
n2 n1 n n
rrqr
−−
=+
nn1

0r r
−
<
<
và
n1 n n1
rrq
−+
= .
Khi đó
n
r= UCLN(
n1
r
−
,
n
r) = UCLN(
n2
r
−
,
n1
r
−
) = … = UCLN(a, b).
Tóm lại ta có: a = bq
1
+ r
1

, 0 ≤ r
1
< b;
b = r
1
q
2
+ r
2
, 0 ≤ r
2
< r
1
;
….
các tập hợp số


77
n2 n1 n n n n1
rrqr0rr
−− −
=+ <<
n1 n n1
rrq.
−+
=
Và
n
r = UCLN(a, b), đó là số dư khác 0 cuối cùng trong quá trình thực hiện liên tiếp các phép

chia mà ta gọi là thuật toán Ơclit.
Ví dụ 3.2:
Tìm UCLN(804, 144)
Ta thực hiện bảng chia như sau:
804 144

144 84 5

84 60 1

60 24 1

24 12 2

0 12
⇒ 840 = 144
× 5 + 84; 144 = 84
×
1 + 60;
84 = 60 ×1 + 24; 60 = 24
×
2 + 12;
24 = 12 ×2.
Vậy UCLN(804, 144) = 12
Chú ý. Thuật toán Ơclit không những cho ta biết cách tìm UCLN của hai số tự nhiên mà còn
chứng tỏ UCLN của hai số tự nhiên khác 0 bao giờ cũng tồn tại.
2.3.2.3. Tính chất của UCLN
Định lí 3.2. Cho d là ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b. Nếu c là ước chung của a
và b thì c là ước của d.
Chứng minh:

Theo thuật toán Ơclit, nếu d là ước chung lớn nhất của a và b thì d = rn, rn là số dư khác 0 cuối
cùng trong thuật toán Ơclit; nhìn vào thuật toán này theo bổ đề 1 suy ra rằng tập các ước chung
của a và b là tập các ước chung của rn
–1
và rn, do đó mỗi ước chung của a và b đều là ước của d.
Định lí 3.3. Cho a, b
∈
N
*
. d = UCLN(a, b). Khi đó:
(1) Với mọi số tự nhiên k thì UCLN(ka, kb) = kd.