[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 3 ppt

c¸c tËp hîp sè


39
4) Nếu A là một vành con của X thì f(A) là một vành con của Y.
5) Nếu B là một vành con của Y thì f
–1
(B) là một vành con của X.
Chứng minh:
Các tính chất 1), 2) và 3) có được do f là một đồng cấu từ nhóm cộng X đến nhóm cộng Y.
Bây giờ ta chứng minh tính chất 4) và 5).
4) Giả sử A là một vành con của vành X. Khi đó OX ∈ A và OY = f(OX) ∈ f(A). Nếu y
1

và
y
2
là hai phần tử thuộc f(A) thì tồn tại a
1
, a
2
thuộc A sao cho y
1
= f(a
1
), y

2
= f(a
2
). Suy ra
y
1
– y
2
= f(a
1
) – f(a
2

) = f(a
1
– a
2
) ∈ f(A).
và
y
1
y
2
= f(a
1

)f(a
2
) = f(a
1
a
2
) ∈ A.
Vậy f(A) là một vành con của Y.
5) Giả sử B là một vành con của vành Y. Khi đó f(OX) = OY ∈ B nên OX ∈ f
–1
(B). Giả sử
x

1
, x
2
là hai phần tử thuộc f
–1
(B) khi đó f(x
1
) ∈ B và f(x
2
) ∈ B. Từ đó suy ra f(x
1
– x

2
) = f(x
1
) –
f(x
2
) ∈ B và f(x
1
x
2
) = f(x
1

)f(x
2
) ∈ B. Nghĩa là x
1
– x
2
∈ f
–1
(B) và x
1
x
2

∈ f
–1
(B).
Vậy f
–1
(B) là một vành con của vành X.
Định lí 3.5. Cho f: X
→
Y và g: Y
→
Z là hai đồng cấu vành. Khi đó gf là một đồng cấu từ
vành X đến vành Z.

Chứng minh:
Giả sử f: X → Y và g: Y → Z là hai đồng cấu, với mọi a, b thuộc X ta có:
gf(a+b) = g(f(a+b)) = g(f(a) + f(b)) = g(f(a)) + g(f(b))
= gf(a) + gf(b).
gf(ab) = g(f(ab)) = g(f(a)f(b)) = g(f(a))g(f(b))
= gf(a)gf(b).
Nhận xét. Cũng như đối với đồng cấu nhóm. Nếu f, g là hai đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì
gf cũng là một đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu).

1.3.4. Vành, trường sắp thứ tự
1.3.4.1. Định nghĩa
Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị. Nếu trên X có một quan hệ thứ tự toàn phần ≤ sao cho:

(i) Với mọi a, b, c thuộc X, a ≤ b kéo theo a + c ≤ b + c;
(ii) Với mọi a, b, c thuộc X, nếu a ≤ b và 0 ≤ c thì ac ≤ bc
thì ta gọi X là vành sắp thứ tự.
c¸c tËp hîp sè


40
Cho (X, +, . , ≤) là một vành sắp thứ tự. Nếu x ≥ 0 và x
≠
0 thì ta nói x > 0.
Đặt P = {x ∈ X | x > 0}. P được gọi là tập các phần tử dương của X.
–P = {x ∈ X | – x ∈ P}. –P được gọi là tập các phần tử âm của X.

Khi đó ta có các tính chất sau:
1) Nếu a, b thuộc P thì a + b ∈ P.
2) ∀x ∈ X, x ∈ P ⇔ – x ∈ P.
3) P ∪ {0} ∪ (–P) = X; P ∩ (–P) =
∅
.
Định nghĩa 3.4. Vành X được gọi là một vành sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi a, b thuộc X,
a > 0, tồn tại số tự nhiên n sao cho na > b.
Đối với trường ta có định nghĩa tương tự.
Ví dụ 3.6:
1
0

) Vành số nguyên Z là một vành sắp thứ tự Acsimet.
Thật vậy. Trên
Z ta định nghĩa quan hệ
≤
như sau: Với mọi a, b thuộc Z, a ≤ b khi và chỉ khi
tồn tại số nguyên không âm c sao cho a + c = b. Rõ ràng
≤
là một quan hệ thứ tự toàn phần
trên
Z. Mặt khác, với mọi a, b, c
∈
Z ta có:

i) a ≤ b suy ra tồn tại d không âm sao cho a + d = b, cộng cả hai vế với c ta được
a + d + c = b + c hay (a + c) + d = b + c. Vậy a + c
≤
b + c.
ii) Giả sử 0 ≤ c và a ≤ b, suy ra a + d = b với d là số không âm. Nhân cả hai vế với c ta được
ac + dc = bc. Vì c và d đều là hai số không âm nên dc cũng không âm. Vậy ac ≤ bc.
Vậy
Z, với quan hệ ≤ là một vành sắp thứ tự.
Bây giờ ta chứng minh vành số nguyên
Z là một vành sắp thứ tự Acsimet.
Thật vậy, giả sử a, b thuộc
Z, 0 < a.

+) Nếu b ≤ 0 thì ta có b < a = 1.a. Trong trường hợp này n = 1.
+) Nếu 0 < b thì ta có
b
+ 1 > b và do đó b < (
b
+ 1)a. Trong trường hợp này n =
b
+ 1.
2
0
) Trường số hữu tỉ Q là một trường sắp thứ tự Acsimet.
Hoạt động. Tìm hiểu vành, miền nguyên và trường

Nhiệm vụ
Giáo viên tổ chức cho sinh viên đọc phần thông tin cơ bản và thực hiện các nhiệm vụ sau.
Nhiệm vụ 1:
c¸c tËp hîp sè


41
Định nghĩa vành, miền nguyên và trường. Xõy d?ng cỏc vớ d? minh h?a.
Nhiệm vụ 2:
Phát biểu và chứng minh các tính chất của vành, miền nguyên và trường.
Nhiệm vụ 3:
Định nghĩa vành con, trường con. Các điều kiện tương đương với vành con, trường con.

Nhiệm vụ 4:
Định nghĩa đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu. Các tính chất của đồng cấu, đẳng cấu.
Nhiệm vụ 5:
Th?c hành ch?ng minh một tập hợp với phép toán đã cho là một vành, một miền nguyên, một
trường, một vành con, trường con.
Nhiệm vụ 6:
Cách chứng minh một ánh x
ạ đã cho là một đồng cấu, đơn cấu, đẳng cấu.
Nhiệm vụ 7:
Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự Acsimet. Xõy d?ng
cỏc vớ d? minh h?a.
Đánh giá

Hãy trả lời các câu hỏi sau đây:
1. Định nghĩa vành, miền nguyên. Cho ví dụ về vành và miền nguyên.
2. Phát biểu và chứng minh các tính chất của vành và miền nguyên.
3. Định nghĩa và cho ví dụ về trường.
4. Phát biểu và chứng minh các tính chất của trường.
5. Định nghĩa vành con, trường con. Cho ví dụ về vành con.
6. Phát biểu và chứng minh các tính chất đặc trưng của vành con và trường con.
7. Định nghĩa đồng cấu vành, cho ví dụ về đồng cấu vành.
8. Phát biểu và chứng minh các tính chất của đồng cấu vành.
9. Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự. Cho ví dụ về vành, trường sắp thứ tự.
10. Định nghĩa vành, trường sắp thứ tự Acsimet. Cho ví dụ về vành, trường sắp thứ tự Acsimet.
Giải các bài tập sau đây:

c¸c tËp hîp sè


42
1. Gọi X và Y là tập các số nguyên chia hết cho 3 và 5. Chứng minh rằng X và Y cùng với phép
cộng và phép nhân thông thường đều là những vành giao hoán. Các vành này có đơn vị
không?
2. Đặt C
100
=
{
a ∈Z: a chẵn,

}
100a ≤ và B
100
=
{
a
∈
Z:
}
100a ≤ . Các tập C
100
và B

100
cùng với
phép cộng và phép nhân thông thường có lập thành một vành không? Giải thích tại sao?
3. Cho (R, +, . ) là một vành, với a, b
∈
R ta định nghĩa
a × a = ab – ba.
Chứng minh rằng phép toán × thoả mãn tính chất sau:
i) a × a = 0
ii) a × b = (–b) × a
iii) [(a
×

b)
×
c] + [(b
×
c)
×
a] + [(c
×
a)
×
b] = 0
4. Chứng minh rằng nếu vành R thoả mãn a

2
= 0 với mọi a ∈ R thì ab = – ba với mọi a, b ∈ R.
5. Cho k là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng (Zk,,
⊕
⊗) là một vành giao hoán có
đơn vị, trong đó
Zk và các phép toán ⊕, ⊗ được cho bởi các quy tắc sau:
Zk = { 0,1, ,k 1− } và abc⊕= với c là dư của phép chia a + b cho k; abd⊗= với d là dư
của phép chia ab cho k.
6. a) Cho (R, +, . ) là một vành giao hoán. Chứng minh rằng phần tử a ∈ R khác 0 là ước của 0
khi và chỉ khi a không phải là phần tử chính quy đối với phép nhân.
b) Tìm các ước của 0 trong vành (

Z
6
,,
⊕
⊗) và trong vành (Z
15
,,
⊕
⊗).
7. Chứng minh rằng ánh xạ f: Z
→
Z là tự đồng cấu vành

⇔
f(a) = 0 hoặc f(a) = a với
mọi a∈
Z.
8. Chứng minh rằng 0 và 1 là phần tử trung lập và đơn vị của vành sắp thứ tự thì 0 < 1.
9. Chứng tỏ rằng vành (Zk, ,⊕⊗) với k ≥ 2 không thể sắp thứ tự.
10. Chứng minh rằng (Zk, ,⊕⊗) là một trường khi và chỉ khi k là một số nguyên tố.
11. Cho: X = { ab2+
a,b∈
Q}. Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và phép nhân thông
thường là một trường.
12. Hãy tìm các tự đồng cấu của trường số hữu tỉ Q.

13. Cho (R, +, . ) là một vành. Tìm giá trị chân lí của các mệnh đề sau (có giải thích):
i) Phép cộng có tính chất giao hoán.
ii) Phép nhân có tính chất giao hoán.
iii) Phép cộng có phần tử trung hòa và phép nhân có phần tử đơn vị.
c¸c tËp hîp sè


43
iv) Tập R có nhiều hơn một phần tử.
v) Tập R có vô số phần tử.
14. Cho T = {a, b, c}. Hãy xây dựng hai phép toán để với hai phép toán đó T là một trường.
Trường T có thể sắp thứ tự được không? Tại sao?

c¸c tËp hîp sè


44
Thông tin phản hồi cho chủ đề 1

Tiểu chủ đề 1.1
1. a) – Phép cộng và phép nhân là phép toán hai ngôi trên cả 4 tập N, Z, Q, Q
+
.
– Phép trừ là phép toán hai ngôi trên tập

Z và Q.
– Phép chia là phép toán hai ngôi trên
Q
+
.
b) – Đối với phép cộng: các tập
N, Z, Q có phần tử trung lập là số không (0). Phép cộng có
tính chất giao hoán.
– Đối với phép nhân: các tập
N, Z, Q, Q
+
có phần tử trung lập là 1, phép nhân có tính chất giao

hoán.
– Đối với phép trừ: các tập
Z, Q không có phần tử trung lập và phép trừ không có tính chất giao hoán.
– Phép chia các số hữu tỉ dương không có tính chất giao hoán và không có phần tử trung lập.
2. Phép ⊕ có tính chất giao hoán và kết hợp, có phần tử trung lập là 0; phần tử đối xứng của 0 là 0;
phần tử đối xứng của 1 là 2; phần tử đối xứng của 2 là 1.
3. Phép toán ∗ chỉ có tính chất kết hợp. Y không có phần tử trung lập.
4. Phép toán T: aTb = ab trên tập các số tự nhiên N
*
không có tính chất kết hợp, cũng không có
tính chất giao hoán.
N

*
không có phần tử trung lập.
5. a) Phép toán ∗ có tính chất giao hoán và kết hợp.
b) Phép toán ⊗ không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp.
c) Phép ⊕ có các tính chất giao hoán và kết hợp.
6. a) Tập các số chẵn A ổn định đối với phép cộng các số nguyên.
b) Tập các số nguyên chẵn A và tập các số nguyên lẻ đều ổn định đối với phép nhân các số nguyên.
7. Đặt mZ = { mk ⎜k ∈ Z} là tập các số nguyên là bội của m. Khi đó với mọi a = mk, b = ml
thuộc mZ,
ta có: a + b = mk + ml = m(k + l) ∈ mZ.
8. a) Tập A = {–1, 1} không ổn định đối với phép cộng vì –1 + 1 = 0 ∉A.
b) Tập B = {

a
b
⎢a, b ∈ Z, a lẻ, b ≠ 0} không ổn định đối với phép cộng vì
1
5

∈ B nhưng
1
5
+
1
5

=
2
5

∉ B.
c) Tập C = {
a
b
⎢
a
b
là phân số thập phân} ổn định đối với phép cộng vì:

c¸c tËp hîp sè


45
Nếu u =
m
a
10
, v =
n
b
10

là hai phân số thập phân (m
≤ n) thì u + v =
()
nm
n
10 a b
10
−
+
∈ C.
9. a) Tập A = {–1, 1} ổn định đối với phép nhân thể hiện trong bảng sau:
⋅

1 –1
1 1 –1
–1 –1 1
b) Tập B ổn định đối với phép nhân vì:
a
b
∈ B,
c
d
∈ B, a và c là số lẻ nên ac là số lẻ do đó
a
b

c
d
=
ac
b
d
∈ B.
c) Tập C các phân số thập phân ổn định đối với phép nhân vì
m
a
10
,

n
b
10
∈ C ta có:
m
a
10
n
b
10
=
mn

ab
10
+
∈ C.

Tiểu chủ đề 1.2
1. a) Đặt 5Z = {5k ⎢k ∈ Z} là tập các số nguyên chia hết cho 5. Khi đó: a = 5k, b = 5l ∈ 5Z ta có
a + b = 5k + 5
l = 5(k + l) ∈ 5Z.
Vậy phép cộng là một phép toán hai ngôi trên 5
Z.
Vì phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp nên phép cộng trong 5

Z cũng có tính chất kết hợp.
Ta có: 0 = 5.0 ∈ 5
Z.
Vậy 5
Z là một vị nhóm đối với phép cộng.
b) 5
Z là một nửa nhóm với phép nhân vì: với mọi a = 5k, b = 5l ∈ 5Z ta có: ab = (5k)(5l) =
5(5kl) ∈ 5
Z. Hơn nữa phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp. Nhưng 5Z không là một
vị nhóm vì 1 ∉ 5
Z.
2. a) 2 ⊗ 1 = 2 + 1 – 1 = 2; 4 ⊗ 5 = 4 + 5 – 1 = 8; 5 ⊗ 5 = 5 + 5 – 1 = 9.

b) Rõ ràng nếu a, b ∈
N
*
thì a ⊗ b = a + b – 1 ∈ N
*
vậy ⊗ là một phép toán hai ngôi trên N
*
.
Phép ⊗ có tính chất kết hợp vì với mọi a, b, c ∈
N
*

(a ⊗ b) ⊗ c = (a + b – 1) ⊗ c = [ a + (b –1 + c)] –1
= a + [(b + c) – 1] – 1 = a ⊗ (b + c –1)
= a ⊗ (b ⊗ c).
Trong
N
*
có phần tử trung lập là 1 vì a ⊗ 1 = a + 1 – 1 = a với mọi a ∈ N
*
. Hơn nữa phép
toán ⊗ còn có tính chất giao hoán vì với mọi a, b ∈
N
*

c¸c tËp hîp sè


46
a ⊗ b = a + b – 1 = b + a –1 = b ⊗ a.
Vậy (
N
*
, ⊗) là một vị nhóm giao hoán.
3. Đặt X là tập các số lẻ. Khi đó: X = {2k + 1 ⎢k ∈ Z}
Rõ ràng 1 ∈ X. Hơn nữa nếu a = 2k + 1, b = 2

l + 1 ∈ X thì
ab = (2k + 1)(2
l + 1) = 2(2kl + k + l) + 1 ∈ X.
Vậy X là vị nhóm con của vị nhóm nhân các số nguyên.
X không là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng các số nguyên vì X không ổn định đối với phép
cộng. Ta có 3 và 5 là hai số thuộc X nhưng 3 + 5 = 8 ∉ X
4. Rõ ràng phép toán ∗: a ∗ b = a có tính chất kết hợp vì với mọi a, b, c thuộc X ta có:
(a ∗ b) ∗ c = a ∗ c = a; a ∗ (b ∗ c) = a ∗ b = a
Vậy a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
Nếu X có nhiều hơn một phần tử thì phép toán ∗ không giao hoán vì giả sử a, b là hai phần tử
khác nhau thuộc X, ta có a ∗ b = a; b ∗ a = b.
Như vậy a ∗ b ≠ b ∗ a.

X cũng không có đơn vị vì giả sử e ∈ X là đơn vị của X, và a
∈ X, a ≠ e ta có
a ∗ e = a; e ∗ a = e.
Như vậy a ∗ e ≠ e ∗ a. Mâu thuẫn.
5. Cho X = {a, b} để X là một nhóm, trước hết ta chọn một phần tử làm phần tử trung lập. Vì
trong một nhóm có luật giản ước cho nên các kết quả tính trong mỗi dòng và mỗi cột phải
khác nhau. Cuối cùng ta có:
∗
a b
a a b
b b a
Tương tự, Y = {a, b, c} ta có

∗
a b c
a a b c
b b c a
c c a b
Chú ý: Các kết quả tính, trong mỗi dòng, mỗi cột phải khác nhau chỉ là điều kiện cần để ta có
một nhóm. Vì vậy sau khi lập xong bảng toán cần chỉ rõ phần tử đối xứng của mỗi phần tử
của tập đang xét là gì. Cần chứng minh tính chất kết hợp của phép toán vừa nêu.
c¸c tËp hîp sè


47

6. i) – iv) Các kết quả này được suy ra từ các tính chất của phép cộng thông thường các số.
v) Đặt mZ = {mk ⎢k ∈
Z} là tập các số nguyên là bội của m. Ta có thể chỉ cần chứng minh
mZ là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên
Z. Rõ ràng 0 = m0 ∈ Z.
Giả sử a = mk, b = ml ∈ mZ. Khi đó:
a – b = mk – ml = m(k – l) ∈ mZ.
Vậy mZ là một nhóm con của
Z.
viii) Đặt X = {a + b
3 ⎜a, b ∈ Z}. Khi đó X là tập con của tập các số thực R. Để chứng
minh X là một nhóm với phép cộng, ta chỉ cần chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng

các số thực.
Rõ ràng với mọi a ∈
Z, a = a + 0 3 ∈ X.
Giả sử α = a + b
3 và β = c + d 3 là hai phần tử bất kì thuộc X. Khi đó a, b, c, d là những
số nguyên, do đó a – c và b – d cũng là những số nguyên. Vậy
α – β = (a + b
3) – (c + d 3 ) = (a – c) + (b – d) 3 ∈ X
ix) Đặt Y = {a + b
3 ⎢a, b ∈ Q, a
2
+ b

2
≠ 0}.
Khi đó Y là tập con của tập các số thực khác 0. Ta sẽ chứng minh Y là nhóm con của nhóm
nhân các số thực khác 0.
Ta có 1 = 1 + 0
3 ∈ Y.
Giả sử α = a + b
3 ∈ Y, β = c + d 3 ∈ Y như vậy α và β là hai số thực khác 0 và ta có:
α . β
–1
=
a + b 3

c + d 3
=
()
(
)
22
a + b 3 c - d 3
c - 3d

=
22
ac - 3bd

c3d
−
+
22
bc - ad
3
c3d
−
∈ Y.
Vậy Y là nhóm nhân các số thực khác 0. Do đó nó là một nhóm với phép nhân.
7. Nhìn vào bảng toán ta thấy:
– Phép

⊕ có tính chất giao hoán (nó đối xứng qua đường chéo chính).
– Phần tử trung lập là 0.
– Phần tử đối xứng của 0 là 0.
– Phần tử đối xứng của 1 là 2.
– Phần tử đối xứng của 2 là 1.
Theo quy tắc phép toán
⊕ ta thấy ∀a, b ∈ A, a ⊕ b = c với c là dư của phép chia a + b cho 3.
Vì phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp nên suy ra phép
⊕ ở đây cũng có tính chất
kết hợp.
c¸c tËp hîp sè

48
Vậy (A, ⊕) là một nhóm Aben.
8. Rõ ràng nếu a, b ∈ Z thì a ⊗ b = a + b – 1 ∈ Z
Vậy ⊗ là một phép toán hai ngôi trên Z.
Phép toán
⊗ có tính chất kết hợp vì:
∀a, b, c ∈ Z,
(a ⊗ b) ⊗ c = (a + b – 1) ⊗ c = a + b –1 + c – 1 = a + b + c – 2;
a
⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ (b + c – 1) = a + b + c – 1 – 1 = a + b + c – 2
hay (a

⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
Phép toán
⊗ có tính chất giao hoán vì: a ⊗ b = a + b – 1 = b + a – 1 = b ⊗ a.
Phần tử trung lập đối với phép
⊗ là 1 vì a ⊗ 1 = a + 1 – 1 = a ∀a ∈ Z.
Với mỗi a
∈ Z ta có –a + 2 ∈ Z và a ⊗ (–a + 2) = a + (–a + 2) – 1 = 1.
Vậy (
Z, ⊗) là một nhóm Aben.
9. Hiển nhiên.
10. Với mọi x, y thuộc X ta có:
(xy)

2
= x
2
y
2
suy ra (xy)(xy) = x
2
y
2

hay
x(yx)y = x(xy)y

Giản ước bên phải cho y và bên trái cho x từ đẳng thức trên suy ra yx = xy. Vậy X là một
nhóm Aben.
11. Giả sử ab = ba khi đó ta chứng minh quy nạp theo n rằng
(ab)
n
= an

bn với n ≥ 2.
Với n = 2 ta có (ab)
2
= (ab)(ab) = a(ba)b = a(ab)b = (aa)(bb) = a
2

b
2
. Vậy tính chất này đúng với n = 2.
Giả sử tính chất này đúng với n = k
≥ 2, tức là (ab)
k
= akbk. Ta cần chứng minh tính chất này
đúng với n = k + 1. Thật vậy
(ab)
k + 1
= (ab)
k

(ab) = (akbk)(ab) (theo giả thiết quy nạp)
= ak(bka)b
= ak(abk)b
= (aka)(bk b)
= ak
+ 1
bk
+ 1
.
12. Giả sử A = mZ. Khi đó theo bài 6.v), A là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên Z.
Bây giờ giả sử A là một nhóm con của Z.
c¸c tËp hîp sè

49
– Nếu A = {0} thì A = 0Z.
– Nếu A
≠ 0 thì tồn tại a ∈ A, a ≠ 0.
Trong các số khác 0 thuộc A, gọi m là số có giá trị tuyệt đối bé nhất. Ta sẽ chứng minh A = mZ.
Thật vậy, vì m
∈ A và A là nhóm con của Z nên với mọi k ∈ Z, mk ∈ A hay mZ ⊂ A.
Đảo lại, giả sử a
∈ A. Chia a cho m ta được:
a = mq + r, q, r

∈ Z, 0 ≤ r < ⎜m⎟
Từ đó suy ra r = a – mq
∈ mZ. Điều này chứng tỏ r = 0.
Do đó a = mq
∈ mZ. Vậy A = mZ.
13. Ta có bảng toán cho ∆
3
như sau:

1
∆
R R

2
D
1
D
2
D
3

1
∆
1
∆

R R
2
D
1
D
2
D
3

R R R
2

1
∆

D
3
D
1
D
2

R

2
R
2

1
∆

R D
2
D
3
D

1

D
1
D
1
D
2
D
3

1

∆

R R
2

D
2
D
2
D
3
D

1
R
2

1
∆

R
D
3
D
3

D
1
D
2
R R
2

1
∆

Nếu đặt tương ứng

ϕ: ∆
3
→ S
3

1
∆
a (1);
R
a (1 2 3);
R
2

a (1 3 2);
D
1
a (2 3);
D
2

a
(1 3);
D
3
a (1 2)

thì
ϕ là một ánh xạ đẳng cấu.
14. a) ánh xạ f: N → N, n a 5n
là một tự đồng cấu của nửa nhóm cộng (
N, +) vì với mọi m, n ∈ N ta có
f(m + n) = 5(m + n) = 5m + 5n = f(m) + f(n).
b) f(
N) = 5N = { 5n ⎢n ∈ N}, f
– 1
(0) = {0}.
15. ánh xạ ϕ: X → X, a a ak là một đồng cấu vì với mọi a, b thuộc X ta có
ϕ(ab) = (ab)

k
= akbk (vì X là nhóm Aben)
c¸c tËp hîp sè


50
= ϕ(a)ϕ(b).
– Nếu k = 0 thì Ker
ϕ = X vì ∀a ∈ X
ϕ(a) = a
0
= e.

– Nếu k
≠ 0 thì Kerϕ = {a ∈ X ⎢ak = e}
16. Nếu X là một nhóm Aben thì theo bài 15, ϕ là một đồng cấu.
Hơn nữa ϕ còn là một song ánh vì:
Giả sử a, b
∈ X sao cho ϕ(a) = ϕ(b) suy ra a
– 1
= b
– 1
hay a = b.
Mặt khác với mỗi a
∈ X, ta có a

– 1
∈ X và ϕ(a
– 1
) = (a
– 1
)
– 1
= a.
Vậy
ϕ là một ánh xạ đẳng cấu.
Đảo lại, nếu
ϕ là một ánh xạ đẳng cấu thì với mọi a, b ∈ X ta có

ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) hay (ab)
– 1
= a
– 1
b
– 1
kéo theo b
– 1
a
– 1
= a
– 1

b
– 1

Suy ra ab = ba.
Tức là X là một nhóm Aben.

Tiểu chủ đề 1.3
1. Ta có X = {3n ⎢n ∈ Z}. Khi đó X là một tập con của tập các số nguyên Z. Để chứng minh X
là một vành ta chỉ cần chứng minh X là vành con của vành số nguyên
Z.
Thật vậy, ta có 0 = 3.0
∈ 3Z. Giả sử a = 3m, b = 3n, khi đó a – b = 3(m – n) ∈ 3Z, ab = 3(3mn) ∈ 3Z.

Đối với tập Y = {5n
⎢n ∈ Z} làm tương tự.
Ta có thể thay các số 3 hoặc 5 bởi một số nguyên m bất kì cũng được kết quả là mZ = {mk
⎢k ∈ Z}
là một vành với phép cộng và nhân thông thường các số.
2. Các tập B
100
và C
100
đều không là những vành với phép cộng và nhân thông thường vì chẳng hạn ta
có:
a = 98, b = 4, a + b = 102 > 100, ab = 392 > 100

các tập này không ổn định đối với phép cộng và nhân.
3. Chỉ cần thử trực tiếp.
(i) a
× a = aa – aa = 0
(ii) a
× b = ab – ba
(– b)
× a = (– b)a – a(– b) = – ba + ab = ab – ba.
(iii) (a
× b) × c = (ab – ba) × c = (ab – ba)c – c(ab – ba)
c¸c tËp hîp sè

51
= abc – bca – cab + cba.
(b
× c) × a = (bc – cb) × a = (bc – cb)a – a(bc – cb)
= bca – cba – abc + acb.
(c
× a) × b = (ca – ac) × b
= (ca – ac)b – b(ca – ac)
= cab – acb – bca + bac
Cộng vế với vế ta được:
VT = [(a

× b) × c] + [(b × c) × a] + [(c × a) × b]; VP = 0.
4. Vì a
2
= 0 nên ta có:
0 = (a + b)
2
= (a + b)(a + b) = a
2
+ ab + ba + b
2
= 0 + ab + ba + 0.
Suy ra ab + ba = 0 hay ab = – ba.

5. Chứng minh dựa vào các tính chất của các phép toán cộng và nhân trong vành số nguyên Z.
6. a) Giả sử a là một ước của 0 trong vành R. Khi đó ta có a ≠ 0 và ∃b ∈ R, b ≠ 0 sao cho ab = 0.
Mặt khác, a0 = 0 suy ra ab = a0 nhưng không suy ra b = 0. Vậy a không là phần tử chính quy.
Đảo lại, nếu a không là phần tử chính quy thì ta cần chứng minh a là ước của 0.
Giả sử tồn tại b, c thuộc R mà b
≠ c nhưng ab = ac, từ đó suy ra ab – ac = 0 hay a(b – c) = 0.
Chứng tỏ a là ước của 0.
b) Trong vành
Z
6
có các ước của không là 2,
3

, 4 vì 2 ⊗
3
=
0
;
3
⊗ 4 =
0.

Trong vành
Z
15

có các ước của không là 3, 5, 6 , 9, 10,
12
vì:
3
⊗
5
=
0
;
5
⊗
6

=
0
;
5
⊗
9
=
0
;
3
⊗
10

=
0
;
5
⊗ 12 =
0.

7. Rõ ràng nếu f là một ánh xạ từ Z đến Z, sao cho f(a) = 0 ∀a ∈ Z hoặc f(a) = a ∀a ∈ Z thì f là
một đồng cấu vành.
Đảo lại, giả sử f:
Z → Z là một đồng cấu vành và f khác ánh xạ không, tức là tồn tại a ∈ Z
sao cho f(a)

≠ 0. Ta sẽ chứng minh f là ánh xạ đồng nhất của Z. Thật vậy, a = a.1 nên
f(a) = f(a)f(1), vì f(a)
≠ 0 nên suy ra f(1) = 1; với mọi n ∈ Z, f(n) = f(n.1) = nf(1) = n.1 = n.
Tức là f(n) = n
∀n ∈ Z.
8. Trước hết ta thấy rằng nếu R là một vành sắp thứ tự thì với mọi
a
∈ R, 0 ≤ a
2
.
Thật vậy, nếu 0 < a thì 0
≤ a.a = a

2
. Nếu a < 0 thì 0 < – a suy ra 0 ≤ (– a)
2
= a
2
.
Ta có 1 = 1
2
nên 0 ≤ 1, nhưng vì 1 ≠ 0 nên 0 < 1.
c¸c tËp hîp sè

52
9. Khi k ≥ 2 thì vành Zk chỉ có k phần tử, do đó nó không thể là một vành sắp thứ tự. (Một vành
sắp thứ tự có vô số phần tử).
10. Giả sử k là một số nguyên tố. Khi đó k ≥ 2, do đó vành Zk có k ≥ 2 phần tử. Nó là vành giao
hoán, có đơn vị
1 ≠ 0 . Giả sử a ∈ Zk, a ≠ 0 . Khi đó a không chia hết cho k. Vì k là số
nguyên tố nên a và k nguyên tố cùng nhau.
Từ đó suy ra tồn tại u, v
∈ Z sao cho au + kv = 1. Điều này kéo theo a .u = 1. Vậy a có
nghịch đảo là
u . Vậy Zk là một trường.
Đảo lại, giả sử

Zk là một trường. Khi đó k ≥ 2, nếu k không là số nguyên tố thì k = pq với
1 < p, q < k; suy ra
0 = k =
p.q
mà
p

≠ 0 ,
q
≠ 0 chứng tỏ
p
,

q
là những ước của
0 . Do
vậy
Zk không là một trường, trái với giả thiết. Vậy k phải là một số nguyên tố.
11. X = {a + b 2 ⎢a, b ∈ Q} là một tập con của tập các số thực R, nên để chứng minh X là một
trường ta chỉ cần chứng minh nó là trường con của trường số thực.
Ta có 1 = 1 + 0
2
∈ X và 0 = 0 + 0
2
∈ X.

Giả sử u = a + b
2

∈ X và v = c + d
2

∈ X; a, b, c, d là những số hữu tỉ và vì vậy a – c, b – d
cũng là những số hữu tỉ nên u – v = (a – c) + (b – d)
2 ∈ X.
Giả sử v
≠ 0 khi đó:
uv

– 1
=
a + b 2
c d 2
+
=
()
(
)
22
a + b 2 c d 2
c 2d

−
−
=
2
ac 2bd
c 2d
−
−
+
22
bc ad
2

c2d
−
−
∈ X.
12. Trước hết ta có các ánh xạ
0:
Q → Q, a a 0 và 1
Q
: Q → Q, a a a
là hai tự đồng cấu của trường số hữu tỉ
Q.
Giả sử f:

Q → Q là một tự đồng cấu của Q và f ≠ 0. Khi đó ∃a
0
∈ Q, f(a
0
) ≠ 0. Suy ra
f(a
0
) = f(a
0
.1) = f(a
0
)f(1) kéo theo f(1) = 1.

∀n ∈ Z, f(n) = f(n.1) = nf(1) = n.1 = n.
Nếu n
≠ 0, 1 = f(1) = f(n.
1
n
) = nf(
1
n
) suy ra f(
1
n
) =

1
n

Với mọi
m
n

∈ Q, f(
m
n
) = mf(
1

n
) = m .
1
n
=
m
n
.
Tức là f = 1
Q
.
Vậy chỉ có hai tự đồng cấu của trường số hữu tỉ

Q là ánh xạ đồng nhất và ánh xạ không.

c¸c tËp hîp sè


53
13. Mệnh đề (i) có giá trị chân lí là 1.
Các mệnh đề còn lại đều có giá trị chân lí là 0.
14. Ta có bảng cộng và bảng nhân sau đây để T là một trường:
Bảng cộng: Bảng nhân:
+ a b c
⋅

a b c
a a b c a a a a
b b c a b a b c
c c a b c a c b
Có phần tử không là a, đơn vị là b, nghịch đảo của c là c.
Không có quan hệ thứ tự nào để cho T trở thành một trường sắp thứ tự vì một trường sắp thứ
tự phải có vô số phần tử.


các tập hợp số

55
Chủ đề 2
Số tự nhiên

Mục tiêu
A. Kiến thức
Trang bị cho người học những kiến thức về:
– Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp.
– Xây dựng tập các số tự nhiên bằng lí thuyết tập hợp.
– Xây dựng các phép toán cộng và nhân trên tập các số tự nhiên bằng phép toán trên các bản số.
– Xây dựng quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên.
– Nguyên lí quy nạp và phương pháp chứng minh quy nạp.

– Biểu diễn số tự nhiên và các dấu hiệu chia hết.
B. Kĩ năng
– Giải toán trong tập các số tự nhiên.
– Vận dụng vào việc giảng dạy Toán ở các lớp bậc Tiểu học.
C. Thái độ
Đây là một chủ đề mang tính chất lí thuyết nhiều do vậy người học cần "thoát li" khỏi những
định hình có sẵn về các số thông thường. Đồng thời người học cần thấy được ý nghĩa c
ủa việc
"xây dựng lại" tập số tự nhiên, trên cơ sở đó giúp cho họ giảng dạy tốt hơn môn Toán ở các
lớp dưới của bậc Tiểu học.
D. Giới thiệu chủ đề 2
STT Tên tiểu chủ đề Trang

1 Bản số của tập hợp 57
2 Số tự nhiên 65
3 Lí thuyết chia hết trong tập các số tự nhiên 73
4 Hệ ghi số 87
5
Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học một số
vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học
99
Mối liên hệ giữa các tiểu chủ đề
Toàn bộ 4 tiểu chủ đề đầu tiên cung cấp đầy đủ và trọn vẹn các kiến thức cơ bản về số tự nhiên.
các tập hợp số

56
Trên cơ sở nắm vững được các tiểu chủ đề 1– 4, tiểu chủ đề 5 hướng dẫn cho người học biết
vận dụng các kiến thức vào giảng dạy số tự nhiên ở các lớp Tiểu học.
Lí thuyết số tự nhiên đóng một vai trò cơ bản trong Toán học. Khi chưa có lí thuyết tập hợp
thì nó được coi là điểm xuất phát của toàn bộ Toán học.
Ta có thể xây dựng số tự nhiên bằng việc đưa ra một hệ tiêu đề (Hệ tiêu đề Peano). Song cũng
có thể xuất phát từ lí thuyết tập hợp.
Ngày nay, xuất phát từ lí thuyết tập hợp ta có thể dựng được toàn bộ lí thuyết số tự nhiên. ý
cơ bản mà từ xưa đến nay người ta vẫn thường dạy cho các trẻ em là: số tự nhiên dùng để
"đếm" các tập hợp "hữu hạn"; và hai tập hợp hữu hạn có cùng một số phần tử, nếu tồn tại một
song ánh từ tập này lên tập kia. Vì vậy, ta hãy bắt đầu bằng việc nghiên cứu những tập hợp

sao cho tồn tại một song ánh từ tập hợp này lên tập hợp kia. Điều này sẽ đưa ta tới khái niệm
bản số, và từ đó tới khái niệm số tự nhiên.
Để xây dựng lí thuyết số tự nhiên, ta phải vận dụng một số định lí mà cách chứng minh vượt
ra khỏi yêu cầu của giáo trình này. Vì vậy, ta sẽ công nhận chúng (định lí Căngto –
Becxtainơ) hoặc phát biểu chúng dưới dạng tiên đề (tiên đề về tập hợp số tự nhiên, tiên đề quy
nạp).



các tập hợp số

57
B C
x x'
A
Tiểu chủ đề 2.1. Bản số của tập hợp

Thông tin cơ bản
2.1.1. Tập hợp tương đương
2.1.1.1. Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng A tương đương với B, kí hiệu là A ~ B, nếu tồn tại một
song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
Ví dụ 1.1:

1) Cho A = {a, b, c}; B = {α, β, γ}.
Khi đó A ~ B vì có song ánh
f: A → B, a
a
α; b
a
β; c
a
γ.
2) Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm của cạnh
AB tương đương với tập các điểm của cạnh AC.
Thật vậy:

Đặt [AB] là tập các điểm của cạnh AB;
[AC] là tập các điểm của cạnh AC.
Ta có song ánh f: [AB] → [AC]
xác định bởi f(A) = A; f(B) = C và nếu x ∈ [AB] mà
x ≠ A, x ≠ B thì f(x) = x', trong đó x' ∈ [AC] mà xx' //
BC.
3) Tập các điểm của đoạn thẳng AB tương đương với tập các điểm của nửa đường tròn đường
kính AB.
Đặt AB là tập các điểm của nửa đường tròn đường kính AB. [AB] là tập hợp các điểm của
đoạn thẳng AB.
ánh xạ g: AB → [AB] xác định bởi với mọi x ∈ AB, g(x) = x' là hình chiếu vuông góc của x
trên cạnh AB, là một song ánh.

Tính chất 1.1:
1) Với mỗi tập hợp A ánh xạ đồng nhất idA: A → A là một song ánh, nên ta có A ~ A.
2) Cho hai tập hợp A và B, nếu A ~ B tức là có một song ánh f: A → B. Khi đó, ánh xạ ngược
f
–1
: B → A cũng là một song ánh nên suy ra B ~ A.
các tập hợp số


58
3) Cho ba tập hợp A, B, C, nếu A ~ B và B ~ C, tức là ta có các song ánh f: A → B và g: B → C.
Khi đó, gf: A → C cũng là một song ánh, suy ra A ~ C.

Vậy quan hệ ~ có ba tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Do tính chất đối xứng của quan
hệ ~ nên nếu A ~ B (hoặc B ~ A) thì ta cũng nói hai tập A và B tương đương với nhau.
2.1.1.2. Định lí Cantor
Định lí 1.1. Với hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) Có một đơn ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
2) Có một đơn ánh từ tập hợp B đến tập hợp A.
Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì có một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.
Định lí này được Cantor dự đoán ngay từ những nghiên cứu đầu tiên của ông về tập hợp,
nhưng ông không chứng minh được. Phần thứ hai được Bestanh chứng minh vào năm 1897.
Mãi đến năm 1904, Zermelo mới chứng minh được phần thứ nhất.
Nhận xét. Cho hai tập hợp A và B. Nếu có một đơn ánh f từ tập A đến tập B thì ta có một song
ánh từ A đến f(A) và khi đó A tương đương với f(A) là một bộ phận của B. Và ngược lại, nếu

A tương đương với một bộ phận B' của B thì ta có một song ánh g: A → B' và g có thể kéo
dài thành một đơn ánh g' từ A đến B:
g': A → B
a a g(a).
Vì vậy, định lí Cantor còn có thể phát biểu cách khác là:
Với hai tập hợp A và B bất kì, bao giờ cũng xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1) A tương đương với một tập con của B.
2) B tương đương với một tập con của A.
Nếu cả hai trường hợp trên cùng xảy ra thì A tương đương với B.
2.1.1.3. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn
Định nghĩa 1.1. Tập hợp A được gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không tương đương với bất kì
tập con thực sự nào của A.

Một tập không phải là tập hợp hữu hạn được gọi là tập hợp vô hạn. Nói cách khác, tập hợp A
được gọi là một tập hợp vô hạn nếu có một tập con thực sự của A mà tương đương với A.
Ví dụ 1.2:
1) Tập rỗng (∅) là một tập hợp hữu hạn, vì
∅
không có một tập con thực sự nào.
2) Tập {x} là một tập hữu hạn, vì {x} chỉ có một tập con thực sự là tập rỗng ∅, mà
∅
không
tương đương với {x}.