Bài giảng Toán cao cấp GV. Trần Thị Xuyên

HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN
———————o0o——————–
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: Trần Thị Xuyến
HÀ NỘI - 2013
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
Lý thuyết 60 %
Bài tập 40 %
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm
Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến.
Chương 4: Tích phân
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 6: Phương trình sai phân
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
Điểm chuyên cần: 10 %
Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Thi hết học phần: 60%
Thang điểm 10.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên

một tập số X = ∅.
Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z và X gọi là miền biến thiên.
Các biến số kinh tế hay gặp
p: giá cả.
Q
S
: Lượng cung.
Q
D
: Lượng cầu.
π: Lợi nhuận
T C: Tổng chi phí
V C: Chi phí biến đổi
F C: Chi phí cố định
AT C: Tổng chi phí bình quân
AV C: Chi phí biến đổi bình quân
T R: Tổng doanh thu
K: Vốn
L: Lao động
C: Lượng tiêu dùng
S: Lượng tiết kiệm.
Y : Thu nhập.
B.Hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số f xác định trên X ⊂ R là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số thực y.
Kí hiệu: y = f(x)
2
x gọi là biến độc lập.
X gọi là miền xác định.
y gọi là biến phụ thuộc.

f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số.
Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X}
C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
Ví dụ 1.1.1. y =
√
5 − x
2
hay y =





x
3
− 1, x > 3
5 + x, x ≤ 3
3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0
thì y gọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.2. x
2
+ y
2
− 1 = 0 hay x
3
− y

3
+ 1 = 0
E. Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y = f(x) với miền xác định X, miền giá trị Y.
Nếu ∀y
0
∈ Y , phương trình f(x) = y
0
có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể
xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y
0
∈ Y một và chỉ một x
0
∈ X sao cho
f(x
0
) = y
0
.
Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y = f(x), kí hiệu là: f
−1
.
Cách tìm hàm ngược
• Viết f(x) = y và tìm x theo y
• Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f
−1
như là hàm của x.
Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau
y = (x −1)
2

, ∀x ≥ 1
3
Các hàm ngược của các hàm số cơ bản
1. Khi xét hàm số y = sin x xác định trên X =

−
π
2
,
π
2

và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là

−
π
2
,
π
2

.
2. Khi xét hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π].
3. Khi xét hàm số y = tan x xác định trên X =

−
π
2

,
π
2

và có MGT R có hàm
ngược là y = arctan x xác định trên R và có MGT là

−
π
2
,
π
2

.
4. Khi xét hàm số y = cot x xác định trên X = (0; π) và có MGT R có hàm ngược
là y = arccot x xác định trên R và có MGT là (0; π).
5. Khi xét hàm số y = a
x
xác định trên R và có MGT (0; +∞) có hàm ngược là
y = log
a
x xác định trên (0; +∞) và có MGT là R.
F. Một số đặc trưng của hàm số
Hàm số đơn điệu
• Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x
1
< x
2
thì f (x

1
) <
f(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X.
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x
1
> x
2
thì f (x
1
) <
f(x
2
); ∀x
1
, x
2
∈ X.
Hàm số bị chặn
• Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao
cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ X.
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao
cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ X.
• Hàm số f (x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a, ∀x ∈ X

Hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ X, ta có
−x ∈ X và f (−x) = f (x).
• Hàm số f(x) xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ X, ta có −x ∈ X
và f(−x) = −f (x).
4
Hàm số tuần hoàn
Hàm số f (x) xác định trên X được gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T nếu ∀x ∈ X,
ta có x + T ∈ X và f (x + T) = f (x).
Khi nói chu kì của hàm tuần hoàn ta thường lấy chu kì dương nhỏ nhất.
G. Các hàm số sơ cấp cơ bản và các phép toán sơ cấp
Các hàm số sơ cấp cơ bản
1. f (x) = C, C là hằng số.
2. Hàm lũy thừa f(x) = x
α
, α là hằng số.
• α ∈ N thì TXĐ D = R.
• α là số nguyên âm thì TXĐ D = R\{0}.
• α không là số nguyên thì TXĐ D = (0; +∞).
Chú ý: x
1
2
=
√
x khi x > 0.
3. Hàm số mũ f(x) = a
x
(a > 0, a = 1).
TXĐ: D = R.
4. Hàm số logarit f(x) = log

a
x (a > 0, a = 1).
Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx.
TXĐ: D = (0; +∞).
5. Các hàm lượng giác:
y = sin x có tập xác định là R
y = cos x có tập xác định là R
y = tan x có tập xác định là x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
y = cot x có tập xác định là x = kπ, k ∈ Z
6. Các hàm lượng giác ngược:
y = arcsin x có tập xác định là [−1, 1]
y = arccos x có tập xác định là [−1, 1]
y = arctan x có tập xác định là R
y = arccot x có tập xác định là R
Các phép toán sơ cấp
1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số.
5
2. Phép hợp hàm
Giả sử khi x thay đổi trong X, các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc
miền xác định của hàm số y = f(u).
Khi đó, ta có quy tắc: x → u = ϕ(x) → y = f[ϕ(x)].
Hàm y = f [ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f(u), u = ϕ(x).
Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán
số học và phép lấy hàm hợp.
Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x
2

+ sin x),
x
3
−1
x+1
, cos
3
5x
Một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế
1. Hàm cung Q
s
= S(p)
2. Hàm cầu Q
d
= D(p)
3. Hàm sản xuất Q = f(L)
4. Hàm doanh thu T R = TR(Q)
5. Hàm tổng chi phí TC = T C(Q) = V C(Q) + F C
6. Hàm tổng chi phí bình quân ATC =
T C(Q)
Q
7. Hàm chi phí biến đổi bình quân AV C =
V C(Q)
Q
8. Hàm lợi nhuận π = T R − T C
9. Hàm tiêu dùng C = C(Y )
10. Hàm tiết kiệm S = S(Y )
1.1.2 DÃY SỐ
Định nghĩa 1.1.5. Hàm số
f : N

∗
→ R
n → f (n)
6
được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (x
n
)
x
n
được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Ví dụ: x
n
= 100(1 + 0.14)
n
có các số hạng là 114; 129.96;
1.2 GIỚI HẠN
1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số x
n
có giới hạn là a (hay x
n
hội tụ đến a) nếu
∀ > 0, ∃n
0
: ∀n > n
0
, |x
n
− a| < .

(Nói cách khác: ta làm cho các số hạng của dãy gần a bao nhiêu cũng được bằng
cách chọn chỉ số n đủ lớn )
Kí hiệu:
lim
n→+∞
x
n
= a
Dãy số x
n
gọi là phân kì nếu không có giới hạn hữu hạn.
Các định lí cơ bản về giới hạn của dãy số
Định lí 1.2.1. 1. Giới hạn của một dãy số hội tụ là một số thực duy nhất.
2. Nếu dãy số x
n
hội tụ thì nó bị chặn.
3. Nếu x
n
≥ y
n
và cả hai dãy x
n
, y
n
đều hội tụ thì
lim
n→+∞
x
n
≥ lim

n→+∞
y
n
Giới hạn của dãy số đơn điệu
Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
7
2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2.1. Dãy số sau có giới hạn hữu hạn
x
n
=

1 +
1
n

n
số e và logarit tự nhiên
e = lim
n→+∞

1 +
1
n

n
Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe.
ln x = log
e
x

1.2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Khái niệm giới hạn của hàm số
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x) xác định trên D.
f(x) có giới hạn là L khi x → x
0
nếu ∀x
n
∈ D\{x
0
} : x
n
→ x
0
thì
lim
n→+∞
f(x
n
) = L.
Kí hiệu:
lim
x→x
0
f(x) = L
Giới hạn một phía
Định nghĩa 1.2.3. 1. Giới hạn bên trái
lim
x→x
−
0

f(x) = lim
x → x
0
x < x
0
f(x)
8
2. Giới hạn bên phải
lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x → x
0
x > x
0
f(x)
Định lí 1.2.3. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x
0
⇔ lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = L
Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản

Giới hạn của hàm sơ cấp cơ bản f(x) tại điểm a ∈ MXĐ là:
lim
x→a
f(x) = f (a)
Giới hạn của hàm lượng giác ngược tại các điểm đầu mút
lim
x→+∞
arctan x =
π
2
, lim
x→−∞
arctan x = −
π
2
lim
x→+∞
arccotx = 0, lim
x→−∞
arccotx = π
Các định lí cơ bản về giới hạn hàm số
Định lí 1.2.4. Nếu khi x → a, hàm số f (x), g(x) có giới hạn là các số thực b
1
, b
2
thì
1. lim
x→a
[f(x) ± g(x)] = b
1

± b
2
2. lim
x→a
[kf(x)] = kb
1
3. lim
x→a
[f(x).g(x)] = b
1
.b
2
4. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
b
1
b
2
, (b
2
= 0)
5. lim
x→a
[f(x)]
g(x)
= b
b

2
1
, (b
1
> 0)
9
Định lí 1.2.5. (Định lí kẹp) Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) khi x gần a và
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L thì lim
x→a
g(x) = L
Ví dụ 1.2.2. Tính giới hạn sau
lim
x→0
x
2
sin
1
x
Lời giải:
Ta có:
−1 ≤ sin
1
x
≤ 1
⇔ −x
2

≤ x
2
sin
1
x
≤ x
2
Mà
lim
x→0
(−x
2
) = lim
x→0
x
2
= 0
Do đó:
lim
x→0
x
2
sin
1
x
= 0
Định lí 1.2.6. Nếu f (x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn lim
x→a
g(x) = 0 thì
lim

x→a
f(x).g(x) = 0
Ví dụ 1.2.3. Tính giới hạn sau
lim
x→+∞
(sin
√
x + 1 − sin
√
x)
Lời giải:
lim
x→+∞
(sin
√
x + 1 − sin
√
x) = lim
x→+∞
2 cos
√
x + 1 +
√
x
2
sin
√
x + 1 −
√
x

2
= lim
x→+∞
2 cos
√
x + 1 +
√
x
2
sin
1
2(
√
x + 1 +
√
x)
Ta có




cos
√
x + 1 +
√
x
2





≤ 1∀x ∈ R
lim
x→+∞
sin
1
2(
√
x + 1 +
√
x)
= 0
10
Vậy
lim
x→+∞
(sin
√
x + 1 − sin
√
x) = 0
Các dạng vô định của hàm số
Dạng
0
0
: Tính lim
x→x
0
f(x)
g(x)

với f(x), g(x) → 0 khi x → x
0
Ví dụ 1.2.4. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1
x
2. lim
x→1
x −
√
2x − 1
x
2
− 12x + 11
Dạng
∞
∞
: Tính lim
x→x
0
f(x)
g(x)
với f(x), g(x) → ∞ khi x → x
0
Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞

x +


x +
√
x
√
x + 1
2. lim
x→−∞
√
x
6
− 3x
2x
2
+ 1
Dạng 0.∞: Tính lim
x→x
0
f(x).g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → x
0
Ví dụ 1.2.6. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→1
+
(x
3
− 1)

x
x

2
− 1
2. lim
x→+∞
(x + 2)

x − 1
x
3
+ x
Dạng ∞−∞: Tính lim
x→x
0
[f(x) − g(x)] với f (x), g(x) → ∞ khi x → x
0
Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞
(
√
x + 1 −
√
x)
2. lim
x→+∞
(

x
2
+ 1 − x)

11
Dạng 1
∞
Công thức hay dùng:
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e; lim
x→±∞
(1 +
1
x
)
x
= e
Mở rộng: Nếu ta có lim
x→a
α(x) = 0 thì
lim
x→a
(1 + α(x))
1
α(x)
= e
Ví dụ 1.2.8. Tính giới hạn sau
lim
x→1
(1 + sin πx)

cot πx
Dạng vô định chứa hàm lượng giác
Chú ý:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Mở rộng: Nếu ta có lim
x→a
α(x) = 0 thì
lim
x→a
sin α(x)
α(x)
= 1
Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau
lim
x→π
sin mx
sin nx
Các công thức giới hạn quan trọng khác
1. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a

e (0 < a = 1)
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
2. lim
x→0
a
x
− 1
x
= ln a
lim
x→0
e
x
− 1
x
= 1
3. lim
x→0
(1 + x)
α
− 1
x
= α (α ∈ R)
Mở rộng: Nếu ta có lim
x→a
α(x) = 0 thì

1. lim
x→a
log
a
(1 + α(x))
α(x)
= log
a
e (0 < a = 1)
12
lim
x→a
ln(1 + α(x))
α(x)
= 1
2. lim
x→a
a
α(x)
− 1
α(x)
= ln a
lim
x→a
e
α(x)
− 1
α(x)
= 1
3. lim

x→a
(1 + α(x))
β
− 1
α(x)
= β (β ∈ R)
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.3.1 Định nghĩa hàm số liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số f(x) xác định trong(a; b) và x
0
∈ (a; b). f(x) gọi là
liên tục tại x
0
nếu
lim
x→x
0
f(x) = f (x
0
)
Nếu f(x) không liên tục tại x
0
thì nói f(x) gián đoạn tại x
0
.
Tính liên tục một phía
1. f (x) gọi là liên tục trái tại x
0
nếu
lim

x→x
−
0
f(x) = f (x
0
)
2. f (x) gọi là liên tục phải tại x
0
nếu
lim
x→x
+
0
f(x) = f (x
0
)
Định lí 1.3.1. f(x) liên tục tại x
0
⇔ lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = f (x
0
)
13

Ví dụ 1.3.1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0.
f(x) =





1 − cos x
x
2
, x = 0
a, x = 0
Định lí 1.3.2. Mọi hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó.
14
CHƯƠNG 2
ĐẠO HÀM
2.1 ĐẠO HÀM
2.1.1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
A. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 2.1.1. Xét hàm số f(x) xác định trên (a; b) chứa x
0
. Cho x
0
số gia
∆x và ∆y = f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số
∆x tại điểm x

0
.
Nếu tỉ số
∆y
∆x
=
f(x
0
+∆x)−f(x
0
)
∆x
có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được
gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x
0
. Kí hiệu: f

(x
0
)
f

(x
0
) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Định nghĩa 2.1.2.
f


(x
0
) = lim
x→x
0
f(x) − f (x
0
)
x − x
0
nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn.
Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2.1.3. + Đạo hàm bên phải của f tại x
0
: f

+
(x
0
) = lim
∆x→0+
∆y
∆x
nếu
giới hạn đó tồn tại hữu hạn.
+ Đạo hàm bên trái của f tại x
0
: f


−
(x
0
) = lim
∆x→0−
∆y
∆x
nếu giới hạn đó tồn tại hữu
hạn.
Định lí 2.1.1. Hàm số f (x) có đạo hàm tại x
0
khi và chỉ khi tồn tại f

+
(x
0
), f

−
(x
0
)
và f

+
(x
0
) = f

−

(x
0
) .
15
Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa
1. Cách 1
B1 Cho x
0
số gia ∆x
B2 Tính ∆y = f(x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
B3 Tính giới hạn tỉ số
∆y
∆x
khi ∆x → 0
2. Cách 2
• Tính lim
x→x
0
f(x)−f(x
0
)
x−x
0
• Nếu giới hạn trên bằng số hữu hạn k thì kết luận f

(x

0
) = k, ngược lại kết
luận hàm số không có đạo hàm tại x
0
.
Ví dụ 2.1.1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0
f(x) =





1 − cos x
x
, x = 0
0, x = 0
Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số y = |x| tại x = 0 (nếu có)
Lời giải
Cho x = 0 số gia ∆x
∆y
∆x
=
|0 + ∆x| − |0|
∆x
=
|∆x|
∆x
lim
∆x→0+
∆y

∆x
= lim
∆x→0+
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0+
∆x
∆x
= 1 = f

+
(0)
lim
∆x→0−
∆y
∆x
= lim
∆x→0−
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0−
−∆x
∆x
= −1 = f

−
(0)
Vì f


+
(0) = f

−
(0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0
Định lí 2.1.2. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó liên tục tại điểm
đó
Chú ý 2.1.3. Điều ngược lại của định lí 2 là sai.
Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
16
2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
1.(C)

= 0 2.(x
α
)

= αx
α−1
, (x)

= 1
3.(a
x
)


= a
x
ln a; (e
x
)

= e
x
4.(log
a
x)

=
1
x ln a
, (ln x)

=
1
x
3.(sinx)

= cosx 6.(cosx)

= −sinx
7.(tanx)

=
1
cos

2
x
8.(cotx)

= −
1
sin
2
x
9.(arcsinx)

=
1
√
1 − x
2
10.(arccosx)

= −
1
√
1 − x
2
11.(arctanx)

=
1
1 + x
2
12.(arccotx)


= −
1
1 + x
2
2.1.3 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 2.1.4. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì:
1. (u + v)

(x
0
) = u

(x
0
) + v

(x
0
);
2. (ku)

(x
0
) = ku

(x

0
) (k là hằng số bất kỳ);
3. (uv)

(x
0
) = u

(x
0
)v(x
0
) + u(x
0
)v

(x
0
);
4. (
u
v
)

(x
0
) =
u

(x

0
)v(x
0
) − u(x
0
)v

(x
0
)
v
2
(x
0
)
(v(x
0
) = 0).
B. Đạo hàm của hàm hợp
Định lí 2.1.5. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x
0
và hàm số y = f(u) có đạo
hàm tại điểm tương ứng u
0
= u(x
0
) thì hàm hợp y = f[u(x)] có đạo hàm tại x
0
được
tính theo công thức:

y

(x
0
) = f

(u
0
).u

(x
0
)
hoặc
y

x
= y

u
.u

x
17
Ví dụ 2.1.3. Tính đạo hàm của hàm số y = 2
sin 2x
Lời giải:
y

= 2

sin 2x
(ln 2)(sin 2x)

= (ln 2)2
sin 2x
.2. cos 2x = (ln 2)2
sin 2x+1
cos 2x
2.2 VI PHÂN
2.2.1 KHÁI NIỆM VI PHÂN VÀ LIÊN HỆ ĐẠO HÀM
A. Khái niệm hàm khả vi và vi phân
Định nghĩa 2.2.1. Hàm f(x) được gọi là hàm khả vi tại điểm x
0
nếu tồn tại số
thực k sao cho:
∆f(x
0
) = k∆x + o(∆x)
Tích k∆x gọi là vi phân của hàm số f (x) tại điểm x
0
và được kí hiệu là df (x
0
)
df(x
0
) = k∆x
Ví dụ 2.2.1. Chứng minh hàm số f(x) = x
3
khả vi tại điểm x bất kỳ.
B. Liên hệ giữa vi phân và đạo hàm

Định lí 2.2.1. Hàm số f (x) khả vi tại điểm x
0
⇔ ∃f

(x
0
).
Khi đó,
df(x
0
) = f

(x
0
).∆x.
Biểu thức vi phân
1. Khi f(x) = x thì dx = ∆x
2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là:
df(x) = f

(x)dx
Ví dụ 2.2.2. 1. y = ln(3x
2
− 2x
3
). Tìm dy
18
2. y = arctan x
2
. Tìm dy

Lời giải:
1. dy = (ln(3x
2
− 2x
3
))

dx =
(3x
2
−2x
3
)

3x
2
−2x
3
dx =
6x(1−x)
3x
2
−2x
3
dx
2. dy = (arctan x
2
)

dx =

(x
2
)

1+x
4
dx =
2x
1+x
4
dx
2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN
A. Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 2.2.2. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm
đó ta có:
1. d(u ± v) = du ± dv;
2. d(ku) = kdu (k là hằng số);
3. d(uv) = vdu + udv;
4. d(
u
v
) =
vdu −udv
v
2
(v(x) = 0).
B. Tính bất biến của biểu thức vi phân
Định lí 2.2.3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số khả vi theo biến x, x = ϕ(t) là hàm
số khả vi theo biến t. Khi đó, dy = y


t
.dt = y

x
dx.
2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
2.3.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO
Định nghĩa 2.3.1. Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là đạo hàm của đạo hàm
cấp n −1 của hàm số đó.
f
(n)
(x) = [f
(n−1)
(x)]

19
Ví dụ 2.3.1.
y = e
2x
y

= 2e
2x
y

= 2
2
e
2x
y

(n)
(x) = 2
n
e
2x
2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO
Định nghĩa 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp
n − 1 của hàm số đó.
d
(n)
(y) = d(d
(n−1)
(y))
Nhận xét:
d
(n)
(y) = y
(n)
(dx)
n
Chú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập.
Ví dụ 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là:
d
(n)
(y) = (sin x)
(n)
(dx)
n
= sin(x +
nπ

2
)(dx)
n
2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.4.1 Tính các dạng vô định
Quy tắc L’Hospital
Định lí 2.4.1. Giả sử các hàm u(x) và v(x) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. lim
x→a
u(x)
v(x)
có dạng
0
0
hoặc
∞
∞
.
20
2. ∃ lim
x→a
u

(x)
v

(x)
(hữu hạn hoặc vô hạn).
Khi đó
lim

x→a
u(x)
v(x)
= lim
x→a
u

(x)
v

(x)
Chú ý:
1. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
2. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía
Ví dụ 2.4.1. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
x
3
x − sin x
2. lim
x→+∞
ln 3x
x
Khử các dạng vô định khác
Dạng 0.∞:Tìm lim
x→a
f(x)g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a
Ta biến đổi để đưa về dạng vô định
0

0
hoặc
∞
∞
như sau:
lim
x→a
f(x)g(x) = lim
x→a
f(x)
1
g(x)
hoặc lim
x→a
f(x)g(x) = lim
x→a
g(x)
1
f(x)
Ví dụ 2.4.2. Tính giới hạn sau
lim
x→
π
2
tan x. tan(
π
4
−
x
2

)
Dạng ∞−∞: Tìm lim
x→a
(f(x) − g(x)) với f (x), g(x) → ∞ khi x → a
Ta biến đổi để đưa về dạng vô định
0
0
hoặc
∞
∞
như sau:
lim
x→a
[f(x) − g(x)] = lim
x→a
1
g(x)
−
1
f(x)
1
f(x)g(x)
Ví dụ 2.4.3. Tính giới hạn sau
lim
x→1
[
1
ln x
−
1

x − 1
]
21
Dạng 1
∞
, ∞
0
: Xét lim
x→a
f(x)
g(x)
, f(x) > 0
Đưa giới hạn về dạng vô định 0.∞ bằng cách viết
f(x)
g(x)
= e
g(x) ln f (x)
hoặc ln f (x)
g(x)
= g(x) ln f(x)
Nếu ta tìm được:
lim
x→a
[g(x) ln f(x)] = K
thì lim
x→a
f(x)
g(x)
= e
K

Ví dụ 2.4.4. Tính giới hạn sau
lim
x→0+
x
x
2.4.2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lí 2.4.2. (Định lí Fermat) Giả sử
1. f (x) đạt cực trị tại điểm x
0
∈ (a; b);
2. f (x) có đạo hàm tại điểm x
0
.
Khi đó f

(x
0
) = 0.
Nhận xét:
1. Điểm x
0
mà tại đó f

(x
0
) = 0 gọi là điểm dừng.
2. Điểm x
0
mà tại đó f


(x
0
) = 0 hoặc f

(x
0
) không tồn tại thì gọi là điểm tới hạn.
3. Nếu hàm f khả vi trên miền xác định thì những điểm cực trị của f phải nằm
trong số các điểm dừng.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số
Bước 1 (Điều kiện cần): Tìm các điểm dừng của hàm số
Giải phương trình f

(x) = 0
Bước 2 (Điều kiện đủ )
Với x
0
là một điểm dừng của f(x) và ∃n ≥ 2, n ∈ N sao cho f

(x
0
) = f

(x
0
) = =
f
(n−1)
(x
0

) = 0, f
(n)
(x
0
) = 0
22
1. Nếu n là số chẵn thì x
0
là điểm cực trị .
• x
0
là cực đại nếu f
(n)
(x
0
) < 0
• x
0
là cực tiểu nếu f
(n)
(x
0
) > 0
2. Nếu n là số lẻ thì x
0
không là điểm cực trị .
Ví dụ 2.4.5. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:
π = −
1
3

Q
3
+ 14Q
2
+ 60Q − 54
Tìm mức sản lượng để lợi nhuận đạt tối ưu.
2.4.3 Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số
A. Điều kiện cần
Nếu hàm số f (x) không giảm trên (a; b) và f(x) khả vi thì f

(x) ≥ 0.
Nếu hàm số f (x) không tăng trên (a; b) và f(x) khả vi thì f

(x) ≤ 0.
B. Điều kiện đủ
Cho f(x) khả vi trên (a; b). Nếu tại x
0
∈ (a; b) mà
• f

(x) > 0 thì f(x) tăng trên (a; b).
• f

(x) < 0 thì f(x) giảm trên (a; b).
• f

(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trên (a; b).
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
Công thức
Nếu f(x) khả vi tại x

0
và f

(x
0
) = 0 thì
f(x
0
+ ∆x) ≈ f (x
0
) + f

(x
0
)∆x
Ví dụ: Tính gần đúng
3
√
28
23
CHƯƠNG 3
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
3.1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
3.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa 3.1.1. Hàm hai biến f có tập xác định trên D ⊂ R
2
là một quy tắc
cho tương ứng mỗi cặp điểm (x, y) ∈ D một và chỉ một số thực z ∈ R
Kí hiệu: z = f(x, y)

Số thực z gọi là giá trị hàm số f tại điểm M(x, y)
Miền xác định của hàm số hai biến
MXĐ của hàm số hai biến f (x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x
0
, y
0
) mà biểu
thức có nghĩa khi ta gán x = x
0
, y = y
0
.
Miền giá trị của hàm số hai biến
MGT của hàm số z = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi M(x, y)
thay đổi trong MXĐ.
Ví dụ 3.1.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số: z =

9 − x
2
− y
2
Đồ thị của hàm hai biến
Đồ thị hàm số z = f (x, y) là tập hợp tất cả các điểm P (x, y, z) trong không
gian, trong đó M (x, y) ∈ D . G = {(x, y, z) ∈ R
3
|z = f(x, y), (x, y) ∈ D}
24