Đề tài " CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG " pdf

CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỆN TÍCH
TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG
Trong cơ học, nếu một hạt chuyển động tự do với vận tốc
, hàm Lagrange của nó là:
Xung lượng của hạt và lực tác dụng lên nó:
v c

2
1
2
L mv

L
p mv
v


 
 

L
F
r





(2)
(3)
(1)

Khi đó phương trình Lagrange :
Tương đương với phương trình chuyển động của hạt viết theo
định luật II Newton :
Đối với một hạt tích điện chuyển động trong điện từ trường thì :
d L L
dx
v r
 
 

 
(4)
d
p E
dx

 
2
1
2
v
L mv e e A

  

(5)
(6)
Nếu phương trình Lagrange (4) chứa hàm Lagrange (6), nó
tương đương với phương trình chuyển động của hạt trong điện
từ trường.

Thật vậy, ta tính xung lượng suy rộng của hạt :
trong đó là xung lượng thông thường của hạt
Lực suy rộng tác dụng lên hạt
L
mv eA p eA
v


   
   

p

( )
L
egrad egrad Av
r



  
 

(7)
(8)
Đưa (7) và (8) vào phương trình Lagrange (4):
Vì không phải là hàm của tọa độ, nên
và phương trình trên trở thành :
Vì thế là hàm của tọa độ và thời gian t, nên :
( ) ( )

d
p eA egrad egrad Av
dt

  
  
v

( ) ( )
grad Av vrotA v A
 
 
  
    
( ) [ ]
d p d A
e egrad e v A e vrotA
dt dt

     
 
   
A

r

( )
d A A r A
A v A
dt t t t

r
   
  

 
 
 
 
     
   
  

(9)
Do đó (9) trở thành :
Hay :
Đó chính là phương trình chuyển động của hạt trong
điện từ trường mà ta đã rút ra được từ phương trình
Lagrange
Thí dụ: Dùng hàm Lagrange khảo sát chuyển động của
electron
Xét một nguyên tử gồm hạt nhân và một electron, chọn
hệ tọa độ K có gốc tại hạt nhân và trục Oz song song
với từ trường ngoài. Đối với electron,
nên hàm Lagrange (6) của nó là:
dp A
e grad e vrotA
dt t




 
 
 
 
 
 
   
 
 


d p
e E vB
dt
 
 
 

 
0
e e
 
Gọi là bán kính vecto của electron, người ta chứng
minh được rằng giữa thế vecto và cảm ứng từ
có hệ thức :
Do đó (10) trở thành :
Chuyển sang hệ tọa độ là một hệ có trục
trùng với Oz, gốc trùng với O, nhưng toàn hệ
quay quanh Oz với vận tốc bằng
2

0 0
1
2
L m v e e A v

  
 
r

A

B

1
2
A Br
 

 
  
2
0 0
1
2
1
2
v Br
L mv e e

 

 
  
 
K

O z
 
O

0

(11)
(10)
Điện trường của hạt nhân có tính đối xứng xuyên tâm, do
đó trong hệ ta có . Từ trường song song
với trục quay, nên ta cũng có , Vận tốc dài
của electron trong hệ liên hệ với trong hệ K
bằng :
Do đó hàm Lagrange (11) của electron viết lại trong hệ
trở thành :
K

0
 

B B


 
v



v

v v r

 

 
 
  
K





2
0 0
1 1
2 2
L m v r e e v r Br
  
     
  
    
     
    



2
0 0
0
1
2 2 2
e B e B
m v r e mv r m r r
m m
  
   
   
   
   
   
   

    
 
     
K

Chọn vận tốc góc của hệ bằng :
Ta có :
Như ta đã biết tần số riêng của electron có độ lớn của tần số
ánh sáng, , và vận tốc dài của electron trong
nguyên tử có độ lớn :
K

0
2

L
e B
m
 
 
2 2
2
0
1
2 2
L L L L
m
L mv mv r r e mv r m r
    
       
  
     
       
     
15 1
0
10
s



0
v r




(12)
Mặt khác, đối với các từ trường đạt được trong kỹ thuật ta luôn
có . Do đó trong (12) ta có thể bỏ qua các số hạng tỉ
lệ với vì chúng rất nhỏ so với số hạng thứ nhất tỉ lệ với
. Ta viết được (12) thành :
Hàm Lagrange (13) ứng với trường hợp chỉ có điện trường của
hạt nhân, không có từ trường ngoài.
Ta có thể kết luận rằng nếu chưa có điện trường ngoài,
electron chuyển động theo một quỹ đạo nào đó biểu diễn được
bằng hàm Lagrange (13) , thì khi đặt nguyên tử vào từ trường
ngoài, quỹ đạo của nó sẽ quay quanh phương của từ trường
ngoài với vận tốc góc bằng tần số Lacmo .
0
L
 

2
L

2
0

2
0
1
2
L mv e

  

0
2
L
e B
m




(13)