Đề thi chọn học sinh giỏi môn toán lớp 12 trường THP Mai Anh Tuấn năm 2005 - 2006 ppsx

SỞ GD & ĐT
THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT
MAI ANH TUẤN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
LỚP 12
Năm học 2005-2006
Môn: Toán. Bảng A-B
(Thời gian làm bài 180 phút)

Câu I. (5 điểm). Cho hàm số
1
22
2



x
xx
y
1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
2, Chứng minh đường thẳng (d): 1
1
2



yx
có đúng hai
điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông
góc. Xác định toạ độ hai điểm đó.

Câu II. (4 điểm).
1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình





xyx
mmyx
22

Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
), (x
2
;y
2
) tìm m để
2
12
2
12
)()( yyxxP  lớn nhất.
2, Giải phương trình:
x
x
x
x

x
1
2
1
22
22
2
211



Câu III. (5 điểm)
1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P): 32
2
 xxy tại hai
điểm phân biệt A, B lần lượt có hoành độ x
1
; x
2
giả sử
x
1
<x
2
và AB=2. Tìm x
1
; x
2
để hình phẳng giới hạn bởi
đường thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất.

2, Tam giác ABC không có góc tù và CBA sinsinsin
22
 .
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Câu IV. (4 điểm)
1, Tính đạo hàm của hàm số:










0 0
0
1
3coscos
xneu
xneu
x
e
y
xx
tại
x=0
2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều
cạnh a. Mặt bên hợp với đáy góc ỏ,


 900

. Chứng minh
3
1

R
r
( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp, ngoại
tiếp hình chóp).
Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dựng
một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đường
thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc ỏ, õ, ó.
Chứng minh: 2
222


tgtgtg .