Bài tập điều kiện môn: Xử lý tín hiệu số docx

BÀI TẬP ðIỀU KIỆN

Môn : XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ



CÂU HỎI


Câu 1: Trình bày sự hiểu biết của Anh/ Chị về phép chập (Convolution) và phép
tương quan (Conrrelation). Nêu cách xây dựng, ý nghĩa., phương pháp thực hiện, so sánh
giữa ghép chập và ghép tương quan.

Câu 2: Hãy trình bày về biến ñổi Z xuôi ngược. Nêu các xây dựng hàm truyền ñạt hệ
thố trong miền Z, tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z.

Câu 4: Trình bày các bộ lọc số lý tưởng, xác ñịnh ñáp ứng xung của các bộ lọc số lý
tưởng pha 0, cách tổng hợp bộ lọc số FIR pha tuyến tính bằng phương pháp cửa sổ, cho
một ví dụ minh họa.
Trang 2/22

BÀI GIẢI

CÂU I.
I. Khái niệm hệ thống tuyến tính bất biến
Một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn bởi tín hiệu xung ñơn vị như sau:
( ) ( ) ( )
k
x n x k n k
δ
+∞

=−∞
= −
∑
(1)
Hệ thống thời gian rời rạc là một thiết bị (device) hay là một toán thuật (algorithm)
mà nó tác ñộng lên một tín hiệu vào (dãy vào) ñể cung cấp một tín hiệu ra (dãy ra) theo một
qui luật hay một thủ tục (procedure) tính toán nào ñó. ðịnh nghĩa theo toán học, ñó là một
phép biến ñổi hay một toán tử (operator) mà nó biến một dãy vào x(n) thành dãy ra y(n).
Ký hiệu: y(n) = T{x(n)} (2)
Tín hiệu vào ñược gọi là tác ñộng hay kích thích (excitation), tín hiệu ra ñược gọi là
ñáp ứng (response). Biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa kích thích và ñáp ứng ñược gọi là
quan hệ vào ra của hệ thống.
Hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI: Linear Time-Invariant System) là
hệ thống thỏa mãn ñồng thời hai tính chất tuyến tính và bất biến. Một hệ tuyến tính là bất biến
theo thời gian nếu tín hiệu vào bị dịch ñi k mẫu thì tín hiệu ra cũng bị dịch ñi k mẫu.
Gọi T là một hệ thống LTI, sử dụng cách biểu diễn ở phương trình (1) và phương trình
(2), ta có thể viết:
( ) { ( )} ( ) ( )
k
y n T x n T x k n k
δ
+∞
=−∞
 
= = −
 
 
∑
(3)
với k là số nguyên.

Áp dụng tính chất tuyến tính, phương trình (3) có thể ñược viết lại:
( ) ( ) { ( )}
k
y n x k T n k
δ
+∞
=−∞
= −
∑
(4)
ðáp ứng xung của hệ thống là: h(n) = T{((n)}, vì hệ thống có tính bất biến, nên:
h(n - k) = T{δ(n - k)} (5)
Thay phương trình (5) vào phương trình (4) ta có:
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
= −
∑
(6)
Từ phương trình (6), ta thấy một hệ thống LTI hoàn toàn có thể ñược ñặc tả bởi ñáp
ứng xung của nó và ta có thể dùng phương trình (6) ñể tính ñáp ứng của hệ thống ứng với một
kích thích bất kỳ. Hệ thống LTI rất thuận lợi trong cách biểu diễn cũng như tính toán, ñây là
một hệ thống có nhiều ứng dụng quan trọng trong xử lý tín hiệu.
II. Phép chập
Phép chập của hai dãy x
1
(n) và x
2

(n) bất kỳ, ký hiệu: * (dấu hoa thị), ñược ñịnh nghĩa
bởi biểu thức sau:
1 2 1 2
( ) ( )* ( ) ( ) ( )
k
y n x n x n x k x n k
+∞
=−∞
= = −
∑
(7)
Trang 3/22


Phương trình (6) ñược viết lại: y(n) = x(n)*h(n) (8)

Vậy ñáp ứng ra của một hệ thống tuyến tính bất biến (TTBB) sẽ bằng dãy vào chập với
ñáp ứng xung.
a. Phương pháp tính phép chập
Về nguyên tắc chúng ta phải tính y(n) = x(n)*h(n) theo cách tìm từng giá trị y(n) ứng
với từng giá trị n cụ thể từ n = - ∞ ñến n = ∞
( ) ( ) ( )
k
y n x k h n k
+∞
=−∞
= −
∑
(n : - ∞ → ∞)
n = 0 =>

(0) ( ) (0 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
= −
∑

n = 1 =>
(1) ( ) (1 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
= −
∑

n = 2 …Cứ thay vào như vậy về nguyên tắc ta phải tính ñến giá trị n = ∞
ðối với các giá trị n < 0 ta cũng phải tính lần lượt
n = -1 =>
( 1) ( ) ( 1 )
k
y x k h k
+∞
=−∞
− = − −
∑

n = -2 …và ta phải tính ñến giá trị n = -∞
Tập hợp các giá trị tìm ñược ta có kết quả phép chập y(n) cần tìm

ðể dễ dàng trong việc tính toán người ta ñưa ra nhiều phương pháp tính phép chập,
trong ñó có phương pháp ñồ thị.
Trước tiên, ñể dễ dàng tìm dãy x
2
(n–k), ta có thể viết lại:
x
2
(n–k) = x
2
[–(k – n)] (9)
Từ phương trình (9), ta thấy, nếu n>0, ñể có x
2
(n–k) ta dịch x
2
(-k) sang phải n mẫu,
ngược lại, nếu n<0 ta dịch x
2
(-k) sang trái |n| mẫu. Từ nhận xét này, ta có thể ñề ra một qui
trình tính phép chập của hai dãy, với từng giá trị của n, bằng ñồ thị như sau:
Các bước tính phép chập bằng ñồ thị:
Bước 1: ðổi biến n thành biến k, x(n) -> x(k), h(n) -> h(k), cố ñịnh h(k)
Bước 2: Quay h(k) ñối xứng qua trục tung ñể thu ñược h(–k), tức h(0–k) ứng với n=0.
Bước 3: Dịch chuyển h(–k) theo từng giá trị n, nếu n>0 dịch chuyển về bên phải, nếu
n<0 dịch chuyển về phía trái, ta thu ñược h(n - k).
Bước 4: Thực hiện phép nhân x(k).h(n - k) theo từng mẫu ñối với tất cả các giá trị của k.
Bước 5: Cộng các giá trị thu ñược ta có một giá trị của y(n), tổng hợp các kết quả ta có
dãy y(n) cần tìm.
Lưu ý
: Ta có thể cố ñịnh h(k) rồi lấy ñối xứng x(k) qua trục tung rồi tiến hành các
bước như trên, kết quả sẽ không thay ñổi do phép chập có tính chất giao hoán.

b. Các tính chất của phép chập
Trang 4/22

- Tính giao hoán
( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( ) ( )
k
y n x n h n h n x n h k x n k
+∞
=−∞
= = = −
∑

Ý nghĩa :

Trong một hệ thống, ta có thể hoán vị ñầu vào x(n) và ñáp ứng xung h(n) cho nhau thì
ñáp ứng ra y(n) không thay ñổi
- Tính kết hợp
[
]
[
]
1 2 1 2
( ) ( )* ( )* ( ) ( )* ( ) * ( )
y n x n h n h n x n h n h n
= =

Ý nghĩa :

Nếu ta có hai hệ thống ghép nối tiếp với nhau thì ñáp ứng xung của hệ thống tổng quát
sẽ là chập của ñáp ứng xung của các hệ thống thành phần.

- Tính phân phối (chập và cộng)
[
]
[
]
[
]
1 2 1 2
( ) ( )* ( ) ( ) ( )* ( ) ( )* ( )
y n x n h n h n x n h n x n h n
= + = +

Ý nghĩa :

Nếu ta có hai hệ thống ghép song song với nhau thì ñáp ứng xung của hệ thống tổng
quát sẽ là tổng ñáp ứng xung của các hệ thống thành phần.
III. Tương quan tín hiệu:
Tương quan của hai tín hiệu là một thuật toán ño lường mức ñộ giống nhau giữa hai tín
hiệu ñó. Phép tương quan thường dùng ñể so sánh nhận biết các tín hiệu, phân biệt tín hiệu với
nhiễu, phát hiện vật thể Nó ñược ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như radar,
sonar, thông tin số, …
Trang 5/22

Ví dụ như trong lĩnh vực radar, radar phát ra tín hiệu ñể tìm mục tiêu là x(n), tín hiệu
này sau khi va ñập vào mục tiêu (như máy bay chẳng hạn) sẽ phản xạ trở lại. Radar thu lại tín
hiệu phản xạ nhưng bị trễ một thời gian là D = n
0
T
s
(T

s
là chu kỳ lấy mẫu), tín hiệu thu ñược
sẽ bị suy giảm với hệ số suy giảm là a, tức là radar ñã thu lại ñược tín hiệu ax(n – n
0
). Ngoài
tín hiệu phản xạ này còn có nhiễu cộng γ(n). Vậy tín hiệu radar thu ñược khi có mục tiêu là:
y(n) = ax(n – n
0
) + γ(n)
Còn nếu không có mục tiêu trong không gian hoặc radar không phát hiện ñược mục
tiêu thì radar chỉ thu ñược nhiễu cộng, khi ñó:
y(n) = γ(n)
So sánh hai tín hiệu x(n) và y(n) ta sẽ phát hiện ñược có mục tiêu hay không, và xác
ñịnh ñược thời gian trễ D = n
0
T
s
, từ ñó ta xác ñịnh ñược khoảng cách từ mục tiêu ñến radar.
Có hai loại tương quan:
- Tương quan chéo (cross – correlation):
Xét 2 dãy x(n) và y(n), giả sử rằng ít nhất một trong hai dãy có năng lượng hữu hạn,
khi ñó tương quan chéo của x(n) và y(n) ñược ñịnh nghĩa như sau:
( ) ( ). ( ), 0, 1, 2, 3,
xy
m
R n x m y m n n
+∞
=−∞
= − = ± ± ±
∑

(10)
- Tự tương quan (auto – correlation):
Trong phép tương quan chéo khi x(n) ≡ y(n) ta có phép tự tương quan của tín hiệu
x(n) với chính nó và ñược ñịnh nghĩa như sau:
( ) ( ). ( )
xx
m
R n x m x m n
+∞
=−∞
= −
∑
(11)
Ta thấy, tự tương quan của một dãy luôn luôn có giá trị cực ñại tại n = 0, bởi vì một
dãy bao giờ cũng giống chính nó.
Ta sẽ tìm hiểu cách thực hiện phép tương quan thông qua ví dụ sau:
Ví dụ : Hãy xác ñịnh chuỗi tương quan chéo
( )
xy
R n
của các chuỗi
( ) ,0,0,2, 1,3,7,1,2, 3,0,0,
0
x n
 
 
= − −
 
 
 

r

( ) ,0,0,1, 1,2, 2,4,1, 2,5,0,0,
0
y n
 
 
= − − −
 
 
 
r

Giải :
Ta dùng ñịnh nghĩa (10) ñể tính R
xy
(n) .
- ðối với n = 0, ta có

(0) ( ). ( )
xy
m
R x m y m
∞
=−∞
=
∑


(0) 0*0+0*0+2*1+(-1)*(-1)+3*2+7*(-2)+1*4+

2*1+(-3)*(-2)+0*5+0*0=7
xy
R =

- ðối với n>0, ta dịch y(n) sang phải n ñơn vị so với x(m), sau ñó tính tích
x(m)y(m–n)và lấy tổng theo tất cả giá trị của tích.
Trang 6/22

Kết quả ta có
(1) ( ). ( 1)
xy
m
R x m y m
∞
=−∞
= −
∑

(1)
xy
R
=
0*0+0*0+2*0+(-1)*1+3(-1)+7*2+1*(-2)+2*4+(-3)*1+0*2+0*5
(1) 13
xy
R
=

Bằng các tính tương tự, ta có kết quả
(2) 18

xy
R
= −
,
(3) 16
xy
R
=
,
(4) 7
xy
R
= −

(5) 5
xy
R
=
,
(6) 3
xy
R
= −
,
( ) 0
xy
R n
=
n
≥

7
- ðối với n<0, ta dịch y(n) sang trái n ñơn vị so với x(m), tính tích x(m)y(m–n) và
lấy tổng theo tất cả giá trị của tích.
Kết quả ta có:
( 1) 0
xy
R
− =

( 2) 33
xy
R
− =

( 3) 14
xy
R
− = −

( 4) 36
xy
R
− =

( 5) 19
xy
R
− =

( 6) 9

xy
R
− = −

( 7) 10
xy
R
− =

( ) 0, 8
xy
R n n
= ≤ −

Bởi vậy, chuỗi tương quan chéo của x(n) và y(n) là
( ) 10, 9,19,36, 14,33,0,7,13, 18,16, 7,5, 3
0
xy
R n
 
 
= − − − − −
 
 
 
r

Một số tính chất của tương quan chéo và tự tương quan:
Xét 2 dãy có năng lượng hữu hạn x(n) và y(n), nghĩa là:
2

( ) ( )
x
n
E n x n
∞
=−∞
= < ∞
∑
và
2
( ) ( )
y
n
E n y n
∞
=−∞
= < ∞
∑

Ta dễ dàng chứng minh ñược các tính chất sau ñây
(1) E
x
= r
xx
(0) và E
y
= r
yy
(0)
(2) r

xy
(n) = r
yx
(–n)
(3) r
xx
(n) = r
xx
(–n) (r
xx
là một hàm chẳn)
(4)
( ) (0) (0)
xy xx yy x y
R n R R E E
≤ =
suy ra
( ) (0)
xx xx x
R n R E
≤ =

(5) Nếu y(n) = ±c
x
(n–n
0
), c là một hằng số bất kỳ và n
0
là số nguyên, thì
R

xy
(n) = ±cr
xx
(n–n
0
) và r
yy
(0) = c2r
xx
(0) và –cr
xx
(0) ≤ r
xy
(n) ≤ cr
xx
(0)

CÂU II.
I. Biến ñổi Z (ZT: Z TRANSFORM)
ðịnh nghĩa: Biến ñổi z của một dãy x(n) ñược ñịnh nghĩa như sau:
( ) ( )
n
n
X z x n z
∞
−
=−∞
=
∑

ðịnh nghĩa trên còn ñược gọi là biến ñổi z 2 phía.
Ta sẽ có biến ñổi Z một phía nếu thay ñổi cận n chạy từ 0 ñến +∞:
0
( ) ( )
n
n
X z x n z
∞
−
=
=
∑

Ký hiệu bởi
toán tử:
Trang 7/22

[
]
( ) ( )
( ) ( )
ZT
ZT x n X z
x n X z
=
→

Ở ñây ta phải thấy ñược z là một biến phức và ñược biểu diễn theo hai dạng:
+ Biểu diễn theo phần thực, phần ảo Re[z], Im[z]
z = Re[z] + j.Im[z]

+ Biểu diễn theo tọa ñộ cực
(
)
[
]
[
]
cos sin cos sin Re Im
ω
ω ω ω ω
= = + = + = +
j
z re r j r j z z


Hình: Biểu diễn z trên mặt phẳng phức
- Trường hợp ñặc biệt:
1
= =
z r
, ta có vòng tròn ñơn vị

Hình: Vòng tròn ñơn vị
II. Biến ñổi Z ngược (IZT: INVERSE Z TRANSFORM)
ðịnh nghĩa:
[
]
( ) ( )
( ) ( )

IZT
IZT X z x n
X z x n
=
→

Biến ñổi z ngược ñược ñịnh nghĩa như sau:
1
1
( ) ( )
2
n
C
x n X z z dz
j
π
−
=
∫


Ta hoàn toàn có thể chứng minh bằng ñịnh lý cosin
C
∫

- ðường cong chính ñi qua gốc tọa ñộ. Tích phân ñường ñi theo chiều dương.
Trang 8/22

Biến ñổi Z ngược còn ñược ñịnh nghĩa là một thủ tục ñể biến ñổi từ miền z sang
miền thời gian. Về mặt toán học, biến ñổi Z ngược là một toán tử mà nó biến một hàm

X(z) thành dãy x(n).

Chú ý rằng, ta chỉ có thể xác ñịnh biến ñổi Z ngược của X(z) khi miền hội tụ của
X(z) ñược xác ñịnh

Có 3 phương pháp ñể tìm tích phân ñường này:
1. Phương pháp thặng dư ñể tìm trực tiếp tích phân, cho chúng ta cách tìm cơ bản
2. Khai triển thành chuỗi lũy thừa, tìm biến ñổi z ngược cơ bản.
3. Khai triển thành các phân thức tối giản.
a. Phương pháp thặng dư:
Trong phương pháp này ta tính trực tiếp tích phân theo công thức sau:
1
( ) ( )
n
z zpk
k
x n Res X z z
−
=
 
=
 
∑

z
pk
: Cực của X(z) nhân với z
n-1
Viết
dưới dạng

( )
1
( )
( )
k
n
S
pk
z
X z z
z z
ψ
−
=
−

z
pk
: Cực bội bậc s
k

(
)
1
( ) ( ).
k
S
n
pk
z z z X z z

ψ
−
= −

Thặng dư tìm ñược bằng công thức sau ñây:
0
1
0
1 ( )
( ) ( )
0!
pk pk
n
z z z z pk
d z
Res X z z z
dz
ψ
ψ
−
= =
 
= =
 

b. Phương pháp triển khai thành chuỗi lũy thừa:
Trong phương pháp này, ta khai triển biến ñổi z thành một chuỗi lũy thừa có dạng:
( )
n
n

n
X z z
α
∞
−
=−∞
=
∑
, trong ñó α
n
là hệ số của chuỗi lũy thừa
So sánh với ñịnh nghĩa:
( ) ( ) ( )
n
n
n
X z x n z x n
α
∞
−
=−∞
=
⇒
≡
∑
: nhận thấy rằng, hệ số của chuỗi chính là các mẫu của
tín hiệu x(n).
c. Phương pháp triển khai thành các phân thức tối giản:
( )
( )

( )
N z
X z
D z
=
; Bậc của N(z) là M, bậc của D(z) là N
*
M N
≥
: ðể phân thức tối giản thì:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
N z P z
X z S z
D z Q z
= = +
, với S(z) là phần nguyên

( ) ( )
D z Q z
≡

Bậc của S(z): M – N
1 1
1 1 0
( )
M N M N
M N M N
S z B z B z B z B

− − −
− − −
= + + + +

[
]
[
]
[
]
1 1 0
( ) ( ) ( 1) 1
M N M N
s x B n M N B n M N B n B
δ δ δ
− − −
= + − + + − − + + + +

*
M N
<
:
Trang 9/22

( ) ( )
( )
( ) ( )
N z P z
X z
D z Q z

= ≡

Xét
( )
( ) ,
( )
P z
X z M N
Q z
= <

- Trường hợp 1: X(z) chỉ có các cực ñơn

- Trường hợp 2: X(z) có một cực bội, còn lại là cực ñơn
Giả sử X(z) có một cực bội là z
pl
bậc s

- Trường hợp 3: X(z) có L cực bội.
Giả sử X(z) có L cực bội bậc s
1
, s
2
, …, s
L
. Các cực còn lại là cực ñơn


Ta lưu ý:
Trang 10/22

( )
1
( 1) ( 1)
( )
!
−
−
 
− − +
 
=
 
−
 
n m
pk
n
pk
z n n n m
IZT z u n
m
z z

Bảng: Các tính chất biến ñổi Z

III. Hàm truyền ñạt hệ thống trong miền Z
Trong miền thời gian rời rạc n, ta có quan hệ vào ra của hệ thống ñược thể hiện qua
phép chập.
y(n) = x(n) * h(n)

Chúng ta cũng thấy ñược các khó khăn khi xác ñịnh ñáp ứng của hệ thống trực tiếp
bằng phép chập.
Gọi X(z) và H(z) lần lượt là biến ñổi z của x(n) và h(n), áp dụng tính chất chập
của biến ñổi Z, ta ñược biến ñổi Z của y(n) như sau:
Y(z) = X(z).H(z) , với một miền hội tụ thích hợp.
Vậy, thông qua phép biến ñổi Z, phép chập của hai dãy ñã biến thành phép nhân
ñơn giản. Sau khi có ñược Y(z), ta dùng phép biến ñổi Z ngược ñể tính ñáp ứng y(n). ðây
chính là một trong những ưu ñiểm của biến ñổi Z. Cách làm này rõ ràng là dễ dàng hơn
cách tính trực tiếp từ phép chập.
Có thể ñược viết lại:
( )
( )
( )
=
Y z
H z
X z

h(n) = IZT [H(z)]

Trong miền z quan hệ vào ra của hệ thống ñược thực hiện nhờ phép nhân ñại số
thông thường thay thế cho phép chập, ñiều này dẫn ñến hiệu năng tính tóan cao.
Trang 11/22

H(z) ñược gọi là hàm hệ thống (System function) hay hàm truyền ñạt (Transfer
function), (là biến ñổi z
của ñáp ứng xung. hay nó còn ñựơc xác ñịnh bằng tỷ số giữa biến ñổi
z của tín hiệu ra trên biến ñổi z của tín hiệu vào.
H(z) là hàm truyền ñạt của hệ thống ñặc trưng hoàn toàn cho hệ thống trong miền z có
vai trò tương tự như ñáp ứng xung h(n) trong miền thời gian rời rạc.

Vì H(z) và h(n) là một cặp duy nhất, nên một hệ thống LTI bất kỳ hoàn toàn có thể
ñược ñặc tả bởi hàm hệ thống của nó.
IV. Tiêu chuẩn nhận biết một hệ thống ổn ñịnh trong miền Z
- ðiều kiện ổn ñịnh trong miền z
Trong mi
ề
n
z một hệ thống ổn ñịnh sẽ phải thỏa mãn ñịnh lý sau:
ðịnh lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn ñịnh nếu và chỉ nếu tất cả các
ñiểm cực của hàm truyền ñạt H(z) nằm bên trong vòng tròn ñơn vị (tức là chỉ cần một ñiểm
cực nằm trên hoặc nằm ngoài vòng tròn ñơn vị là hệ thống mất ổn ñịnh).
- Tiêu chuẩn ổn ñịnh Jury:
Theo tiêu chuẩn này việc xác ñịnh ổn ñịnh sẽ ñơn giản hơn vì ñối với hệ thống có bậc
cao, tức là số ñiểm cực nhiều thì việc xác ñịnh các ñiểm cực gặp nhiều khó khăn. Sau ñây
chúng ta sẽ xem xét tiêu chuẩn Jury:
Ta biết hàm truyền ñạt của hệ thống ñược biểu diễn như sau:
0
1
( )
1
−
=
−
=
=
+
∑
∑
M
r

r
r
N
k
k
k
b z
H z
a z

Từ công thức này, gọi
1
( ) 1
−
=
= +
∑
N
k
k
k
D z a z

Từ các hệ số của D(z) chúng ta lập bảng Jury có 2N – 3 hàng bằng cách sau:

Công thức tính:


Sau khi lập xong 2N – 3 hàng như vậy, ta có tiêu chuẩn
Một hệ thống là ổn ñịnh nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây ñược thỏa mãn:

Trang 12/22


Chỉ cần một trong ba ñiều kiện trong không thỏa mãn là hệ thống không ổn ñịnh.

CÂU IV.
Một hệ thống dùng làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của một tín
hiệu theo các chỉ tiêu ñã cho ñược gọi là bộ lọc số.
Các thao tác của xử lý dùng ñể biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của
một tín hiệu theo các chỉ tiêu ñã cho nhờ một hệ thống số ñược gọi là sự lọc số.
I. Các bộ lọc số lý tưởng
Các bộ lọc số lý tưởng bao gồm bộ lọc số thông thấp, bộ lọc số thông cao, bộ lọc số
thông dải, bộ lọc số chắn dải. Việc ñịnh nghĩa các bộ lọc số lý tưởng sẽ dựa vào ñáp ứng biên
ñộ tần số
( )
jw
H e
mà không cần quan tâm ñến pha.
a. Bộ lọc thông thấp lý tưởng (Low pass Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc thông thấp lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤

=


1

( )
0
c c
j
H e
coøn laïi

π ω π
− ≤ ≤
( )

Sau ñây ta sẽ xác ñịnh ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc thông thấp pha 0.
Ví dụ: Cho ñáp ứng tần số của bộ lọc thông thấp lý tưởng pha không
θ ω
=
( ( ) 0)
:
ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤

=


1
( )
0
c c
j

H e
coøn laïi

Hãy tìm h(n) và vẽ h(n) với
ω π
=
/ 3
c

Giải:
Ta thấy rằng
ω ω
=
( ) ( )
j j
H e H e
ñây là bộ lọc pha 0 (tức
θ ω
=
( ) 0
)
Sử dụng biến ñổi Fourier ngược ta có:
Trang 13/22

( )
ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω

ω ω
π π π π
−
−
−
= = = − =
∫
1 1 1 1
( ) sin
2 2 2
c
c c c
c
c
j n j n
j n j n
c
h n e d e e e n
jn jn n

Dạng
0
0
nên biến ñổi tiếp thành dạng
ω ω
π ω
=
sin
( )
c c

c
n
h n
n

Vẽ với
ω π
=
/ 3
c
, ta có :
π
π
=
sin
1
3
( )
3
3
n
h n
n
, lần lượt thay thế giá trị của n, ta có:
* với n = 0:
=
(0) 1/ 3
h

* với n = 1:

π
= = −
3
(1) ( 1)
2
h h
* với n = 2:
π
= = −
3
(2) ( 2)
4
h h

* với n = 3:
= = −
(3) 0 ( 3)
h h
* với n = 4:
π
= = −
3
(4) ( 4)
8
h h

* với n = 5:
π
= = −
3

(5) ( 5)
10
h h
* với n = 6:
= = −
(6) 0 ( 6)
h h


Nhận xét:
Tất cả các bộ lọc có tần số cắt
π
ω
=
c
M
(M: nguyên dương) gọi là bộ lọc Nyquist vì tại
các ñiểm là bội của M các mẫu ñều bằng 0.
Nhưng bộ lọc này không thực hiện ñược trên thực tế vì ñáp ứng xung h(n) không nhân
quả và có chiều dài vô hạn.
Khi thiết kế bộ lọc thực tế, người ta phải rời ñáp ứng xung h(n) của bộ lọc số lý tưởng
theo tâm ñối xứng sang bên phải sau ñó cắt ñi phần âm (phần không nhân quả) ñể h(n) lúc này
thành nhân quả và có chiều dài hữu hạn. Lưu ý, khi cắt ñi sẽ gây hiện tượng gợn sóng trong
miền tần số, gây nên hiện tượng Gibbs.
b. Bộ lọc thông cao lý tưởng (High pass Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc thông cao lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

Trang 14/22

ω

π ω ω
ω ω π
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

1
( )
0
c
j
c
H e

π ω π
− ≤ ≤
( )

Ví dụ: Cho ñáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không
θ ω
=
( ( ) 0)
:
ω
π ω ω

ω ω π
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

1
( )
0
c
j
c
H e

Hãy xác ñịnh h(n)
Giải:
Áp dụng biến ñổi ngược Fourier ta có:
( )
ω
π π
ω ω ω ω
π π ω
ω ω
π
ω ω ω
π π π π π ω

− − −
= = − = −
∫ ∫ ∫
sin
1 1 1 sin
( )
2 2 2
c
c
j j n j n j n
c c
c
n
n
h n H e e d e d e d
n n

Ta thấy:
π
δ
π
=
sin
( )
n
n
n
vì giá trị tại n = 0 thì bằng 1, còn với các giá trị n khác thì bằng
0. Do vậy ta xác ñịnh ñược:
ω ω

δ
π ω
= −
sin
( ) ( )
c c
c
n
h n n
n

Ở ñây,
δ
( )
n
là ñáp ứng xung của bộ lọc thông tất (All pass Filter) pha 0 vì chúng cho
tín hiệu ñi qua với mọi tần số. Lưu ý rằng
δ
( )
n
chập với một tín hiệu nào thì cũng chính bằng
tín hiệu ñó
δ
( )
n
* x(n) = x(n).
Như vậy, ñáp ứng xung của bộ lọc thông cao lý tưởng pha 0 bằng ñáp ứng xung của bộ
lọc thông tất trừ ñi ñáp ứng xung bộ lọc thông thấp với ñiều kiện pha 0.

h

Hp
(n) = h
Ap
(n) – h
Lp
(n)
High pass = All pass – Low pass (Thông cao = Thông tất – Thông thấp)
c. Bộ lọc thông dải lý tưởng (Band pass Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc thông dải lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

ω
ω ω ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

2 1
1 2
1
( )
0
c c
j
c c

H e

π ω π
− ≤ ≤
( )


Ví dụ: Cho ñáp ứng tần số của bộ lọc thông dải lý tưởng pha không :
Trang 15/22

ω
ω ω ω
ω ω ω
ω
− ≤ ≤ −


= ≤ ≤


≠

2 1
1 2
1
( )
0
c c
j
c c

H e

π ω π
− ≤ ≤
( )

Hãy xác ñịnh h(n)
Giải:
Ta có:
( )
ω ω
π
ω ω ω ω
π ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
π π π π ω π ω
− − −
= = − = −
∫ ∫ ∫
2 1
2 1
2 2 1 1
2 1
sin sin
1 1 1
( )
2 2 2
c c
c c

j j n j n j n
c c c c
c c
n n
h n H e e d e d e d
n n

Ta thấy: h
Bp
(n) = h
Ap
(n) – h
Lp
(n) – h
Hp
(n)
(Thông dải = Thông tất – Thông thấp – Thông cao)
d. Bộ lọc thông chắn dải lý tưởng (Band stop Filter)
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng ñược ñịnh nghĩa như sau:

ω
π ω ω
ω ω ω
ω ω π
ω
− ≤ ≤ −


− ≤ ≤


=

≤ ≤


≠

2
1 1
2
1
( )
0
c
c c
j
c
H e

π ω π
− ≤ ≤
( )

Ví dụ: Cho :
ω
π ω ω
ω ω ω
ω ω π
ω
− ≤ ≤ −



− ≤ ≤

=

≤ ≤


≠

2
1 1
2
1
( )
0
c
c c
j
c
H e

π ω π
− ≤ ≤
( )

Hãy xác ñịnh h(n)
Giải:
Áp dụng các kết quả ñã tính của các bộ lọc lý tưởng trên ñây, ta có:

ω ω ω ω
δ
π ω π ω
= − +
2 2 1 1
2 1
sin sin
( ) ( )
c c c c
c c
n n
h n n
n n

Ta thấy: h
Bs
(n) = h
Lp
(n) + h
Hp
(n) (Chắn dải = Thông thấp + Thông cao)
II. Các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thực tế
ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc số thực tế ñược thể hiện như hình sau:
Trang 16/22


Hình: ðáp ứng biên ñộ của bộ lọc số thực tế thông thấp và các tham số

Lưu ý, ở ñây ta lấy bộ lọc thông thấp làm ví dụ (các bộ lọc khác cũng tương tự) và thể
hiện ñáp ứng biên ñộ của nó trong dải từ 0 ñến π, dải từ -π ñến 0 lấy ñối xứng tương tự sang.

Có 4 tham số quyết ñịnh chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số là:
+ Tần số giới hạn dải thông ω
P
+ ðộ gợn sóng dải thông δ
1

+ Tần số giới hạn dải chắn ω
S
+ ðộ gợn sóng dải chắn δ
2

Về mặt lý tưởng các ñộ gợn sóng dải thông, dải chắn càng nhỏ càng tốt, tần số giới hạn
dải thông và dải chắn càng gần nhau ñể cho dải quá ñộ càng nhỏ càng tốt. Tuy nhiên trên thực
tế ñây là các tham số nghịch nhau (ñộ gợn sóng nhỏ thì dải quá ñộ phải lớn và ngược lại) nên
việc giải quyết bài toán cho các tham số cùng nhỏ gặp nhiều khó khăn, ta phải áp dụng tính tối
ưu với từng yêu cầu cụ thể của bài toán thiết kế bộ lọc.
III. Tổng hợp bộ lọc số FIR theo phương pháp cửa sổ
Mục tiêu chính của phương pháp này là dùng các hàm cửa sổ cho sẵn ñể tổng hợp bộ
lọc số FIR sao cho thực hiện ñược về mặt vật lý, nghĩa là các ñáp ứng xung phải có chiều dài
hữu hạn và nhân quả.
Các thủ tục thiết kế bộ lọc số FIR ñược thực hiện qua các bước sau:
- ðưa ra chỉ tiêu kỹ thuật δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
trong miền tần số ω .

- Chọn loại cửa sổ và chiều dài cửa sổ N, nghĩa là xác ñịnh w(n)
N
.
- Chọn loại bộ lọc số lý tưởng (thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải) tức là chọn
h(n).
- ðể hạn chế chiều dài thì nhân cửa sổ với h(n): w(n)
N
. h(n)

= h
d
(n)
Chiều dài
[
]
[
]
( ) , ( )
N
L w n N L h n
= = ∞
, nên
[
]
( )
d
L h n N
=

Sau bước này tìm ñược h

d
(n) tức là hệ số của bộ lọc số thực tế, nhưng hệ số này có ñáp
ứng ñược các chỉ tiêu kỹ thuật ñặt ra hay không thì phải thử lại.
- Thử lại xem có thỏa mãn δ
1
, δ
2
, ω
p
, ω
s
hay không bằng cách chuyển sang miền tần số
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
j j j j j
d N
H e W e H e W e H e
π
ω ω ω ω ω
π
π
−
= =
∫

Nếu không thoả mãn ta sẽ tăng chiều dài N của cửa sổ.
Lưu ý:
- Trong miền tần số ω, cửa sổ và bộ lọc phải có pha trùng nhau, tâm ñối xứng của cửa
Trang 17/22

sổ và bộ lọc cũng phải trùng nhau.
- Khi dùng cửa sổ thao tác vào bộ lọc số lý tưởng, do vậy ñáp ứng xung h(n) bị cắt bớt
chiều dài cho nên ở miền tần số ω, ñáp ứng của bộ lọc số FIR
( )
j
H e
ω
vừa thiết kế sẽ có hiện
tượng gợn sóng, tức là hiện tượng Gibbs, làm cho chất lượng của bộ lọc bị ảnh hưởng.
Sau ñây chúng ta sẽ nghiên cứu các loại cửa sổ và các bước thiết kế.
1. Phương pháp cửa sổ chữ nhật:
ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ chữ nhật ñược ñịnh nghĩa như sau:
1 0 1
( )
0
R N
n N
w n
n
≤ ≤ −

=

≠


Nhận xét:
( ) ( )
R N N

w n rect n
=

Xét cửa sổ chữ nhật trong miền tần số ta có:

Vì có dạng
0
0
nên ta biến ñổi tiếp:

Hình dưới ñây biểu diễn
( )
j
R
A e
ω


Có hai tham số ñánh giá cửa sổ là:
- Bề rộng ñỉnh trung tâm ∆ω .
- Tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên ñộ ñỉnh trung tâm:
0
( )
20lg
( )
s
j
j
W e
W e

ω
λ
=

ðây là hai chỉ tiêu ñánh giá chất lượng cửa sổ.
Trang 18/22

ðối với cửa sổ chữ nhật ta có:
- Bề rộng ñỉnh trung tâm
4
R
N
π
ω
∆ =
.
- Tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên biên ñộ ñỉnh trung tâm:
0
( )
20lg ( ) 13
( )
s
j
R
j
R
W e
dB dB
W e
ω

λ
= ≈ −

Lưu ý:
- Chất lượng của cửa sổ sẽ ñược ñánh giá là tốt nếu 2 tham số bề rộng ñỉnh trung tâm
∆ω và tỷ số biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên ñỉnh trung tâm λ cùng nhỏ.
- Bề rộng ñỉnh trung tâm ∆ω nhỏ thì dải quá ñộ giữa dải thông và dải chắn của bộ lọc
sẽ nhỏ, nghĩa là tần số ω
p
và ω
s
gần nhau.
- Tỷ số biên ñộ ñỉnh thứ cấp thứ nhất trên ñỉnh trung tâm λ nhỏ dẫn ñến ñộ gợn sóng δ
1
,
δ
2
nhỏ.
- Nhưng ñây là 2 tham số nghịch nhau, bề rộng ñỉnh trung tâm muốn nhỏ thì tỷ số λ sẽ
lớn và ngược lại. Do vậy tuỳ từng ñiều kiện bài toán chúng ta sẽ ñưa ra các tiêu chuẩn kỹ
thuật riêng ñể chọn loại cửa sổ.
ðể ñánh giá cửa sổ có tính ñến thông số chiều dài N của cửa sổ thì người ta còn dùng
tham số sau:
0
( )
( ) 20lg ( )
( )
s
j
N

j
j
N
W e
G e dB
W e
ω
ω
=

Ví dụ: Vẽ cửa sổ chữ nhật với N = 7
Giải: Ta có
7
1 0 6
( )
0
R
n
w n
n
≤ ≤

=

≠

. Từ ñó ta có cửa sổ chữ nhật với N=7 như sau:

Sau ñây ta sẽ xem xét ñồ thị biểu diễn
0

( )
( ) 20lg ( )
( )
s
j
N
j
j
N
W e
G e dB
W e
ω
ω
=
của cửa sổ chữ
nhật với các chiều dài N khác nhau:
ðồ thị
( )
j
R
G e
ω
với N=31

Trang 19/22

ðồ thị
( )
j

R
G e
ω
với N=61

ðồ thị
( )
j
R
G e
ω
với N=101


Nhận xét: Khi chiều dài cửa sổ N tăng lên thì tham số tỷ số giữa biên ñộ ñỉnh thứ cấp
thứ nhất trên biên ñộ ñỉnh trung tâm λ là không ñổi ñều bằng -13db, chỉ có các búp là hẹp ñi,
tức là bề rộng ñỉnh trung tâm sẽ nhỏ ñi khi ta tăng chiều dài N của cửa sổ, ñiều này dẫn ñến
chất lượng của cửa sổ sẽ tăng lên.
2. Phương pháp cửa sổ Bartlett (tam giác):
ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Bartlett ñược ñịnh nghĩa như sau:
2 2
0
1 1
2 1
( ) 2 1
1 2
0
T N
n n
n

N N
n N
w n n N
N
n

≤ ≤

− −

−

= − ≤ ≤ −

−

≠




Ví dụ: Hãy vẽ cửa sổ Bartlett với N = 7
7
0 3
3
( ) 2 3 6
3
0
T
n

n
n
w n n
n

≤ ≤



= − ≤ ≤


≠




Trang 20/22


Lưu ý:
- ðối với cửa sổ tam giác thiết kế giống cửa sổ chữ nhật nhưng dạng hàm khác nhau
+ Ở miền n:
( ) ( ) ( )
d T N
h n w n h n
=

+ Ở miền ω:
( ) ( )* ( )

j j j
d T
H e W e H e
ω ω ω
=

- Các tham số của cửa sổ tam giác:
+
8
T
N
π
ω
∆ =

+
26
T
dB
λ
≈ −

Khi dùng cửa sổ tam giác hiện tượng Gibbs giảm ñi rất nhiều so với dùng cửa sổ chữ
nhật vì λ
T
< λ
R
, nhưng dải quá ñộ lại lớn hơn cửa sổ chữ nhật ∆
T
ω > ∆

R
ω.
3. Cửa sổ Hanning và Hamming:
ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Hanning và Hamming ñược ñịnh nghĩa như sau:
2
(1 )cos 0 1
( )
1
0
H N
n n N
w n
N
n
π
α α

− − ≤ ≤ −

=
−


≠


Phân loại khác nhau theo hệ số α ta ñược:
- với α = 0,5: cửa sổ Hanning :
2
0,5 0,5cos 0 1

( )
1
0
Han N
n n N
w n
N
n
π

− ≤ ≤ −

=
−


≠


- với α = 0,54: cửa sổ Hamming:
2
0,54 0,46cos 0 1
( )
1
0
Ham N
n n N
w n
N
n

π

− ≤ ≤ −

=
−


≠


Ta có các tham số :
Bộ lọc Hanning Bộ lọc Hamming
+
8
Han
N
π
ω
∆ =

+
32
Han
dB
λ
≈ −

+
8

Ham
N
π
ω
∆ =

+
43
Ham
dB
λ
≈ −

Như vậy, ta thấy
8
T Han Ham
N
π
ω ω ω
∆ = ∆ = ∆ =
, λ
T
> λ
Han
> λ
Ham
vậy trong 3 cửa sổ bề
rộng ñỉnh trung tâm là như nhau nhưng biên ñộ của ñộ gợn sóng dải thông và dải chắn sẽ nhỏ
nhất khi thiết kế bằng cửa sổ Hamming.
4. Phương pháp cửa sổ Blackman:

ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Blackman ñược ñịnh nghĩa như sau:
Trang 21/22

1
2
0
2
( 1) cos 0 1
( )
1
0
N
m
m
B N
m
a mn n N
w n
N
n
π
−
=


− ≤ ≤ −
=

−


≠

∑

Với ñiều kiện
1
2
0
1
N
m
m
a
−
=
=
∑

Các tham số của cửa sổ Blackman:
+
12
B
N
π
ω
∆ =

+
57
B

dB
λ
≈ −

Ví dụ:
Hãy tìm c
ử
a s
ổ
Blackman trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau
ñ
ây:
1.

a
0
= 0,5; a
1
= 0,5; a
m
= 0
2.

a
0
= 0,5; a

1
= 0,46; a
m
= 0; m
≠
0,1
3.

a
0
= 0,42; a
1
= 0,5; a
3
= 0,08; a
m
= 0; m
≠
0,1,2
Giải:
1.

V
ớ
i các h
ệ
s
ố
trên
ñ

ây chính là c
ử
a s
ổ
Hanning
( )
Han N
w n

2.

V
ớ
i các h
ệ
s
ố
trên
ñ
ây chính là c
ử
a s
ổ
Hamming
( )
Ham N
w n

3.

Ta có
ñ
ây là b
ộ
tham s
ố
thông d
ụ
ng nh
ấ
t c
ủ
a c
ử
a s
ổ
Blackman
2 4
0,42 0,5cos 0,08cos 0 1
1 1
0
B
n n n N
w
N N
n
π π

− + ≤ ≤ −


=
− −


≠


5. Phương pháp cửa sổ Kaiser:
ðịnh nghĩa: Trong miền n, cửa sổ Kaiser ñược ñịnh nghĩa như sau:
2
0
0
1 2
1 1
2 1
0 1
( )
1
2
0
K N
n n
I
N
n N
w n
n
I
n
β

β

 
−
   

 
− −
   
−

   
 
 

≤ ≤ −
=

 − 
 

 
 
 
 


≠


0
( )
I x
là hàm Bessel biến dạng loại 1 bậc 0 :
2
0
1
1
( ) 1
! 2
k
k
x
I x
k
∞
=
 
 
= +
 
 
 
 
 
∑

Trong ñịnh nghĩa của cửa sổ Kaiser, tham số β ñặc trưng cho việc trao ñổi năng lượng
giữa ñỉnh trung tâm và các ñỉnh thứ cấp, ñể ñạt hiệu quả cao khi thiết kế, người ta thường
chọn:

4 9
β
≤ ≤
.
Trong cửa sổ Kaiser ta có thể thay ñổi tham số β ñể thay ñổi tỷ lệ giữa λ
K
và ∆ω
K
.
Cửa sổ Kaiser là một cửa sổ gần tối ưu, tuy nhiên vì biểu thức ñại số của cửa sổ này
khác phức tạp, không thân thiện với người dùng, nên việc sử dụng nó cũng có hạn chế.
Các tham số quan trọng của một số hàm cửa sổ
Trang 22/22



Một số hàm cửa sổ ñể tổng hợp bộ lọc FIR