Tài liệu học Toán Rời Rạc ( HAY )

TS. Trần Văn Hoài
Hàm
(Fu nction)
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Quan hệ hai tập hợp
Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào
biểu diễn quan hệ giữa tập
sinh viên và tập điểm ?
Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào
có thể
gán một phần tử của
tập người chơi game và một
phần tử của tập game ?
Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào
có thể
gán một số nguyên
với một số bìn h phương của
nó ?
B
A
a
b
c
d
e
x
y
z
w
Function (Hàm) 2007-2008

TS. Trần Văn Hoài
Hàm (function)
Cho A, B là các tập hợp. Một hàm từ A vào B là
một phép g án
duy nhất một phần tử của B vào một
phần tử của A.
Một số ký hiệu và định nghĩa:
☞ f(a) = b, b:
ảnh (image) của a,
a là
nghịch ảnh (pre-image) của b
☞ f : A → B
☞ A:
miền xác định (domain) của f,
B:
miền giá trị (codomain) của f
☞ f : A → B:
ánh xạ từ A vào B
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Cộng và Nhân hàm giá trị thực
Cho 2 h àm f
1
: A → , và f
2
: A → .
f
1
+ f
2

, f
1
f
2
: A → và
(f
1
+ f
2
)(x) = f
1
(x) + f
2
(x)
(f
1
f
2
)(x) = f
1
(x)f
2
(x)
Ví dụ: Cho f
1
(x) = x
2
và f
2
(x) = x + 1. Khi đó,

(f
1
+ f
2
)(x) = x
2
+ x + 1
(f
1
f
2
)(x) = x
2
(x + 1) = x
3
+ x
2
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Ảnh của tập con
Cho f : A → B, S ⊆ A. Ảnh của S
f(S) = {f (s)|s ∈ S}
Ví dụ: A = {a, b, c, d, e} và B = {1, 2, 3, 4} với
f(a) = 2 f(b) = 1 f(c) = 4 f(d) = 1 f(e) = 1
Khi đó f({b, c, d}) = {1, 4}
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Đơn ánh
Một hàm f là đơn ánh
(one-to-one) nếu và chỉ

nếu f(x) = f(y) → x = y
với mọi x, y thuộc miền
xác định củ a f.
B
A
a
b
c
d
e
x
y
z
w
Ví dụ:
Hàm f : → với f(x) = x
2
có là đơn ánh không ?
Hàm f :
→ với f(x) = x + 1 có là đ ơn ánh không ?
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Toàn ánh
f : A → B là toàn ánh
(onto, surjective) nếu và
chỉ nếu
∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f(a) = b
B
A
a

b
c
d
e
x
y
z
Ví dụ:
Hàm f(x) = x
2
từ vào có là toàn ánh khôn g ?
Hàm f(x) = x + 1 từ
vào có là toàn ánh khôn g ?
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Song ánh
f : A → B là toàn ánh
(one-to-one corespon-
dence, bijection) nếu và
chỉ nếu nó vừa
đơn ánh
vừa toàn ánh
B
A
a
b
c
x
y
z

Ví dụ:
Hàm f(x) = x + 1 từ vào có là song ánh không ?
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ dạng hàm
Đơn ánh, không toàn ánh
Toàn ánh, không đơn ánh
Đơn ánh, toàn ánh
Không đơn ánh, không
toàn ánh
Không phải hàm
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Hàm ngược
Cho f : A → B, song ánh. Hàm ngược của f là một
hàm gán cho mỗi b ∈ B một phần tử duy nhất a ∈ A
sao cho f (a) = b. Ký hiệu hàm ngược f
−1
A
B
a = f
−1
(b)
f
−1
f
−1
b = f(a)
f
f

Hàm song ánh còn
được gọi là
hàm
khả nghịch
vì có thể
xác định được hàm
ngược
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ hàm ngược
Ví dụ: A = {a, b, c} và B = {1, 2, 3} với
f(a) = 2 f(b) = 3 f(c) = 1
f là hàm khả nghịch và hàm ngược của nó là
f
−1
(1) = c f
−1
(2) = a f
−1
(3) = b
Ví dụ: f : → với f = x
2
không là hàm khả nghịch vì
f(−1) = f(1) = 1 (
không đơn ánh).
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Hợp thành
Cho g : A → B và f : B → C. Hợp thành (composi-
tion) f ◦ g của f và g được định nghĩa là

(f ◦ g)(a) = f(g(a))
A
B
a g(a)
g
g
C
f(g(a))
f
f
f ◦ g
f ◦ g
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Ví dụ hợp thành
Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và g : A → A với
g(a) = b g(b) = c f(c) = a
Cho B = {1, 2, 3} và f : A → B với
f(a) = 3 f(b) = 2 f(c) = 1
Khi đó,
(f ◦ g)(a) = 2 (f ◦ g)(b) = 1 (f ◦ g)(c) = 3
Ví dụ: Tính (f ◦ g) của f(x) = 2x + 3 và g(x) = 3x + 2.
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Đồ thị của hàm
Cho f : A → B. Đồ thị (graph) của f là tập các cặp
{(a, b)|a ∈ A ∧ f(a) = b}
☞ Đồ thị thường được biểu
diễn bằng
hình vẽ để dễ

thấy dáng điệu
(−3,9)
(0,0)
(1,1)
(2,4)
(3,9)
(−1,1)
(−2,4)
Function (Hàm) 2007-2008
TS. Trần Văn Hoài
Khái niệm bản số mở rộng
Hai tập A và B có cùng bản số nếu và chỉ nếu có
một hàm song ánh từ A đến B.
Các tập hoặc hữu hạn hoặc có cùng bản số với tập
được gọi là tập đếm được (countable). Các tập
còn lại được gọ i là không đếm được (uncountable).
Ví dụ: Tập số nguyên dương lẻ là tập vô hạn đếm được.
Function (Hàm) 2007-2008