Giáo trình bản đồ học part 2 ppt

23

xxxxxxxxxxxxxxxxx Đã duyệt ngày 29/11/09xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
CHƯƠNG 2:
LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÉP CHIẾU BẢN ĐỒ
2.1. Lý thuyết chung về phép chiếu bản đồ
2.1.1. Những khái niệm cơ bản về sự biểu thị bề mặt quả đất lên mặt
phẳng
Nhiệm vụ chủ yếu của toán bản đồ là nghiên cứu những vấn đề biểu thị bề
mặt thực dụng của trái đất được nhận là mặt elipxôit quay và trục ngắn trùng với
trục quay của trái đất. Trong một số trường hợp, bề mặt thực dụng được nhận là
mặt cầu.
Phép chiếu bản đồ là sự ánh xạ bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất trên
mặt phẳng theo một quy luật xác định.
Quy luật toán học đó xác định sự phụ thuộc hàm số giữa toạ độ địa lý


,
(hoặc toạ độ khác) của điểm trên mặt elipxôit hay mặt cầu trái đất và toạ độ
vuông góc x, y (hoặc toạ độ khác) của điểm tương ứng trên mặt phẳng.
Phương trình chung của phép chiếu bản đồ có dạng sau


 


,
,
2
1
fy

fx


(1)
Các hàm f
1
, f
2
phải thoả mãn các điều kiện: đơn vị, liên tục hữu hạn
trong phạm vi của bề mặt cần biểu thị.
Tính chất của phép chiếu thì phụ thuộc vào tính chất và đặc trưng của các hàm
f
1
và f
2
. Có vô số các hàm khác nhau, do đó tồn tại vô số các phép chiếu khác nhau.
Mỗi phép chiếu thì tương ứng với một mạng lưới bản đồ xác định (các
đường kinh tuyến và vĩ tuyến được vẽ trên mặt phẳng), đó chính là mạng lưới
cơ sở của các bản đồ cần thành lập.
24
Từ (1) nếu khử


sẽ nhận được các phương trình của đường kinh tuyến
trên mặt phẳng (bản đồ):



0,,
1



yxF
Tương tự, từ (1) nếu khử

nhận được phương trình của vĩ tuyến:



0,,
2


yxF
Bề mặt elipxôit và mặt cầu đều không triển khai thành mặt phẳng được,
cho nên biểu thị các bề mặt đó lên mặt phẳng trong bất kỳ phép chiếu nào thì
cũng đều có biến dạng: biến dạng diện tích, biến dạng góc và biến dạng độ dài.
Nhưng có những phép chiếu mà không có biến dạng diện tích (gọi là phép chiếu
đồng diện tích) trên đó chỉ có biến dạng góc và biến dạng độ dài. Trên mọi phép
chiếu đều có biến dạng độ dài, biến dạng độ dài chỉ không tồn tại trên một số
điểm hoặc một số đường nào đó của mỗi phép chiếu. Những phép chiếu không
có biến dạng góc gọi là phương pháp đồng góc.
Để tìm hiểu và nghiên cứu về biến dạng của phép chiếu bản đồ trước hết
cần giới thiệu một số khái niệm cơ bản sau đây:
- Tỷ lệ chính: Mỗi bản đồ đều có tỷ lệ chính. Tỷ lệ chính đó là mức độ
thu nhỏ của bề mặt elipxôit hoặc mặt cầu trái đất khi biểu thị lên mặt phẳng. Tỷ
lệ chính thường được ghi trên bản đồ. Tỷ lệ chính chỉ được đảm bảo ở tại
những điểm và những đường không có biến dạng độ dài. Khi nghiên cứu biến
dạng của phép chiếu bản đồ thì tỷ lệ chính ta coi là 1:1
- Tỷ lệ độ dài cục bộ: là tỷ lệ giữa độ dài

'
s
d
của đoạn vô cùng bé trên
mặt phẳng và độ dài
s
d
của đoạn vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit
hoặc mặt cầu trái đất.

ds
ds'


(2)
- Biến dạng độ dài (


) được đánh giá bằng hiệu số giữa tỷ lệ độ dài


và 1, thường được biểu đạt bằng số phần trăm:

1



hay là



1001


%
25
Rõ ràng là khi
1


, tức là
ss
dd '
thì
0


, tại đó không có biến dạng độ
dài.
- Tỷ lệ diện tích cục bộ: Đó là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé dF’ trên
bản đồ và diện tích vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu:

dF
dF
P
'

(3)
- Biến dạng diện tích: Là hiệu số của tỷ lệ diện tích P và 1, tức là:
v
p

= P -1; hay là v
p
= (P – 1)100%
- Biến dạng góc (
U

) được tính bằng hiệu số giữa đại lượng góc (u’)
trên phép chiếu và đại lượng góc (u) trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu:

2.1.2. Tỷ lệ bản đồ và độ chính xác của bản đồ
Bản đồ là hình vẽ thu nhỏ toàn bộ hoặc một phần mặt đất lên giấy phẳng
theo một tỷ lệ nhất định. Để sử dụng bản đồ có hiệu quả cần phải nắm rõ tỷ lệ
bản đồ và độ chính xác của nó.
1- Tỷ lệ bản đồ:
Tỷ lệ bản đồ là tỷ số giữa độ dài một đoạn thẳng trên bản đồ với hình
chiếu nằm ngang tương ứng của nó ở ngoài thực điạ và được ký hiệu dưới dạng
phân số có tử số là 1, M được gọi là mẫu số tỷ lệ bản đồ: 1/M.
Nếu mẫu số tỷ lệ bản đồ càng nhỏ thì số tỷ lệ càng lớn và các yếu tố trên
mặt đất được biểu thị càng chi tiết hơn. Ngược lại M càng lớn thì tỷ lệ bản đồ
càng nhỏ và mức độ biểu thị các đối tượng càng khái quát.
Để tiện sử dụng, nội suy và tính toán, người ta thường chọn mẫu số tỷ lệ
bản đồ là một số chẵn. Ví dụ: 1/100.000, 1/50.000, 1/25.000, 1/10.000, 1/5000,
Điều đó có nghĩa là: cứ 1 cm trên bản đồ sẽ tương ứng với độ dài nằm ngang là
M cm ngoài thực địa. Như vậy, khi biết tỷ lệ của bản đồ, biết chiều dài đoạn
thẳng trên bản đồ sẽ tính được độ dài nằm ngang tương ứng ngoài thực địa. Ví
dụ: có đoạn thẳng trên bản đồ tỷ lệ 1/10.000 là 4,75 cm, thì độ dài nằm ngang
tương ứng ở thực địa là: 4,75cm x 10000 = 47500 cm = 475m.
26
Ngược lại, biết độ dài đoạn thẳng ở thực địa, biết tỷ lệ bản đồ sẽ tính
được độ dài đoạn thẳng tương ứng trên bản đồ.

Ví dụ, có đoạn thẳng nằm ngang ở thực địa là 175,5m, khi biểu thị lên
bản đồ 1/5000 sẽ có độ dài tương ứng là: 175,5m/5000 = 0,0351m =3,51 cm
2- Độ chính xác của bản đồ:
Độ chính xác của bản đồ chủ yếu phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ và thời gian đo vẽ
xây dựng bản đồ. Ngoài ra còn phụ thuộc vào các chất liệu làm bản đồ và phép chiếu
bản đồ Ở đây chỉ đề cập đến độ chính xác của bản đồ phụ thuộc vào tỷ lệ bản đồ.
Qua nghiên cứu thấy rằng: Mắt người chỉ có khả năng phân biệt được
một độ dài > 0,1mm, còn đối với độ dài  0,1mm thì mắt thường chỉ nhìn thấy
một điểm. Vì vậy, độ dài 0,1mm được chọn làm chỉ tiêu đánh giá độ chính xác
của bản đồ địa hình. Ví dụ, trên bản đồ địa hình 1/10.000 thì độ chính xác, xác
định vị trí điểm là 0,1mm x 10000 = 1000mm =1m . tương ứng trên bản đồ
1/25.000, 1/50.000, 1/100.000 sẽ có độ chính xác, xác định vị trí điểm là 2,5m;
5m; 10m.
2.1.3. Hình Elip biến dạng
Trong tiết này chúng ta sẽ tìm hiểu những vòng tròn vô cùng bé trên mặt
elipxôit được biểu thị như thế nào trên mặt phẳng.
Giả thiết trên mặt elipxôit có vòng tròn vô cùng
bé tâm A.Tâm A được biểu thị trên mặt phẳng là
điểm A’. Tại mỗi điểm A có các hướng với các góc
phương vị là , ,,
321

tại điểm A’ trên mặt
phẳng thì các hướng đó được biểu thị thành các
hướng ,,
321

Gọi tỷ lệ độ dài trên các hướng
nói trên là ,,
321


(hình 2.1).
Từ điểm A’ ta vẽ các hướng tạo với hướng kinh

tuyến các góc
,,
321

và trên các hướng đó ta lấy các đoạn có độ dài bằng trị số tỷ
lệ
,,
321


Hình 2.1
Hình Elip biến dạng
27
Nối các điểm cuối của các đoạn đó bằng đường cong, chúng ta được đường
cong đặc trưng cho sự thay đổi của tỷ lệ độ dài phụ thuộc vào phương hướng tại
điểm đã cho. Lấy A’ làm gốc tọa độ vuông góc (x,y) và gốc toạ độ cực



, ta có
các quan hệ:

;cos




x



sin

y
Hay là:




yx
 sin;cos
(4)
Thay các giá trị của

cos
và

sin
từ (4) vào công thức tỷ lệ độ dài:



sin
2sin
s
2
1

1
2
1
2
1
R
Q
coP


chúng ta nhận được phương trình đường cong bậc hai:

12
2
11
2
2
1
 yRxyQxP
(5)
Thay các giá trị của P
1
, Q
1
, R
1
với:

e
M

P
2
1

;
eh
f
M
Q
2
1

;
eh
re
f
M
2
2
2
2
2
1
R










Ta tìm được biệt thức của phương trình này là:

0
.
2
22
2
111

h
rM
QRQ
(6)
Biệt thức là số dương, chứng tỏ rằng đường cong mà chúng ta đang xét chính là
đường elíp.
Như vậy, hình tròn vô cùng bé tại mỗi điểm trên mặt elípxốit hoặc mặt
cầu được biểu thị thành hình elip tại điểm tương ứng trên mặt phẳng. Hình elíp
đó được gọi là hình elíp biến dạng. Các trục của hình elíp biến dạng thì trùng
với các phương hướng chính tại điểm đã cho, bán trục lớn có trị số độ dài bằng
tỷ lệ độ dài lớn nhất a và bán trục bé bằng tỷ lệ độ dài nhỏ nhất b.
Tại A’ lấy các hướng trục chính làm trục toạ độ vuông góc (x’, y’) (Hình
2.2) thì phương trình của hình elíp biến dạng được viết là:
1
''
2
2
2

2

b
y
a
x
(7)
Tọa độ x’, y’ của giao điểm B của
đường elíp biến dạng với đường kinh tuyến
là:

Hình 2.2
28
0
0
sin.'
cos.'


ny
mx


(8)
Thay các giá trị x’, y’ từ (8) vào (7) ta có:

1
sincos
2
0

22
2
0
22

b
m
a
m


Vì:
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
sin;
1
1
cos






tg
tg
tg 




Từ đó ta có:




222
0
2222
mabtgbma 


Vậy:
22
22
0
bm
ma
a
b
tg





(9)
Để ứng dụng các hình elíp biến dạng tại một điểm đã cho của phép chiếu,
chúng ta cần phải biết 6 đại lượng:
0
,,,,,

banm
với:
m: Tỷ lệ độ dài theo hướng kinh tuyến
n: Tỷ lệ độ dài trên vĩ tuyến
a: Tỷ lệ độ dài cực đại; b: Tỷ lệ độ dài cực tiểu.
θ: góc giữa hướng kinh tuyến và hướng vĩ tuyến trên phép chiếu
β
0
: Góc phương vị
Thông qua các hình elíp biến dạng đã dựng tại các điểm khác nhau của
phép chiếu chúng ta có thể nhận xét bằng trực quan về biến dạng của phép
chiếu đó (hình 2.3).




Hình 2.3 ( Hình 5 trang 25 _BG bản đồ học)
2.1.4. Khái niệm về tỷ lệ diện tích
29
Tỷ lệ diện tích là tỷ số giữa diện tích vô cùng bé trên mặt phẳng (bản đồ)
và diện tích vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit hoặc mặt cầu:

dF
dF
P
'

Trong đó:
dF’- Diện tích vô cùng bé trên mặt phẳng
dF - Diện tích vô cùng bé trên mặt elipxôit
hoặc mặt cầu.
Trên mặt elipxôit ta lấy một hình thang
ABCD được giới hạn bởi các đoạn vô cùng bé
của kinh tuyến và vĩ tuyến (hình 2.4a)
Diện tích của nó sẽ là:

nm
dsdsdF .

Hình thang vô cùng bé đó được biểu thị trên
mặtphẳng là hình tứ giác vô cùng bé A’B’C’D’
(Hình 2.4b). Diện tích của nó là:


sin'.''
nm
dsdsdF 


Do đó tỷ lệ diện tích P sẽ là:



sin
'.'
sin.'.'
nm
dsds
dsds
P
nm
nm

(10)
Hay là

cos nmP

. Đối chiếu với:







cossin
2222
mnmnab
nmba


ta có: P=a.b
Thay

sin,,nm
với:
eg
h
r
g
n
M
e
m 





sin;;
0
90
0

Ta có:
Mr
h
e
h
r

g
M
e
P 

(11)
Như vậy: banmnm
Mr
h
P .cos.sin. 


2.1.5. Sự biểu thị đồng góc và đồng diện tích mặt Elipxoit trên mặt phẳng
Hình 2.4
30
Chúng ta đã biết rằng sự biểu thị mặt elipxôit hoặc mặt cầu trên mặt
phẳng trong bất kỳ mọi phép chiếu thì đều có biến dạng diện tích và biến dạng
độ dài, các phép chiếu đó gọi là phép chiếu đồng góc.
Ngược lại, cũng có những phép chiếu không có biến dạng diện tích mà
chỉ có biến dạng góc và độ dài. Các phép chiếu như vậy được gọi là phép chiếu
đồng diện tích. Không có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài hoàn toàn
không có biến dạng, mà chỉ có những phép chiếu đảm bảo cho độ dài theo một
hướng nhất định nào đó tại mỗi điểm thì không có biến dạng mà thôi.
Dưới đây sẽ giới thiệu những nét cơ bản về các phép chiếu này, sự trình
bày cụ thể xem thêm ở “Bài giảng Bản đồ học” - Trường ĐH Mỏ - Địa chất.
1- Các phép chiếu đồng góc
Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có biến dạng, tức là
0



tại
mọi điểm; điều đó cũng có nghĩa tỷ lệ độ dài lớn nhất bằng tỷ lệ độ dài nhỏ
nhất tức là tỷ lệ độ dài không phụ thuộc vào phương hướng; các hình elíp biến
dạng là hình tròn; phép chiếu đồng góc đảm bảo sự đồng dạng của các phần tử
vô cùng bé tương ứng trên mặt elipxôit và trên mặt phẳng.
Hệ phương trình vi phân của phép chiếu đồng góc là:













x
M
ry
y
M
rx
(12)
Khi coi trái đất là mặt cầu bán kính R thì (12) sẽ trở thành:


















xy
yx
cos
cos
(13)
2- Các phép chiếu đồng diện tích
Trên các phép chiếu đồng diện tích thì diện tích không có biến dạng, tức
là tại mọi điểm thì tỷ lệ diện tích P là một hằng số, hằng số đó thường chọn là 1
31

1
Mr
h
P

Hay là:

Mr
yxyx
h 











(14)
Đối với mặt cầu, ta có:


cos
2
R
yxyx











(15)
2.1.6. Tính chuyển từ toạ độ địa lý ),(


sang toạ độ cực mặt cầu (Z, a)
Trong nhiều trường hợp, bề mặt toán học của trái đất được nhận là mặt bán
kính R. Trên mặt cầu cũng thể hiện hệ toạ độ địa lý được tạo bởi các đường kinh
tuyến const


và các đường vĩ tuyến
const


. Mạng lưới kinh, vĩ tuyến là
mạng lưới cơ sở.
Để thiết lập và tính toán phép chiếu bản đồ, trong nhiều trường hợp,
ngoài
toạ độ địa lý, người ta còn dùng hệ toạ độ
cực mặt cầu được tạo từ các vòng thẳng đứng
và các vòng đồng cao, mà vị trí của điện cực
Q của hệ thì được lựa chọn một cách thích
hợp đối với trường hợp cụ thể. Các vòng
thẳng đứng và các vòng đồng cao thì tương
tự như các kinh tuyến và các vĩ tuyến của hệ
toạ độ điạ lý ( hình2.5).

Toạ độ địa lý của điểm cực Q của hệ toạ độ điểm cực cầu là



, . Tuỳ
thuộc vào vĩ độ
0

mà có các trường hợp khác nhau:
1- Nếu
0
0
0
900 

thì là hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng.
2- Nếu
0
0


thì là hệ toạ độ cực mặt cầu ngang.
3- Nếu
0
0
90

thì là hệ tọa độ địa lý. Khi đó cực Q trùng với cực P của trái
đất.
Hình 2.5:
Toạ độ cực mặt cầu (z,a) của
hệ nghiêng

32
Vị trí của điểm trong hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng hoặc ngang thì được xác
định bởi các toạ độ z và a, trong đó: z là khoảng thiên đỉnh, a là góc phương vị (
hình 2.5), hoặc cũng có thể được xác định theo toạ độ
''
,

tương tự như toạ độ địa
lý (
a
'0'
;90

).
Giả thiết trên mặt cầu có điểm A với toạ độ địa lý của nó là


, , chúng
ta hãy tìm công thức tính toạ độ cực mặt cầu (z, a) của điểm A khi đã biết toạ
độ
00
,

của điểm cực Q. Từ tam giác cân PQA với các cạnh
0
0
90

PQ
;

zQAPA  ;90
0

và các góc
aPQAlQPA






;
0


, ta có các
quan hệ:

)cos(sincoscossinsincos
)sin(cossinsin
)cos(coscossinsincos
000
0
000














za
az
z
(16)
Sau khi tính z theo công thức đầu, góc phương vị a nên tính theo công
thức dưới đây:

)(sin)(cos
0000

 ctgecctgctga

Đối với hệ ngang )0(
0


thì có các công thức sau đây:

)sin(
)cos(coscos
0
0








ctgtga
z
(17)
Mạng lưới toạ độ nào được biểu thị đơn giản nhất trên phép chiếu bản đồ
thì được gọi là mạng lưới chuẩn. Nếu mạng lưới này trùng với mạng lưới cơ sở
(tức là mạng lưới kinh, vĩ tuyến là phép chiếu thẳng, nếu trùng với mạng lưới của
hệ nghiêng thì là phép chiếu nghiêng, nếu trùng với mạng lưới của hệ toạ độ
ngang thì là phép chiếu ngang.
2.2. Phân loại phép chiếu bản đồ
2.2.1. Khái niệm
Bản đồ học đã tìm ra rất nhiều phép chiếu bản đồ. Việc phân loại các
phép chiếu là rất quan trong đối việc học tập, nghiên cứu và sử dụng chúng. Có
33
nhiếu cách phân loại, ở đây chỉ trình bày 2 phương pháp phân loại thông dụng
nhất: phân loại theo tính chất biến dạng và phân loại theo mạng lưới kinh, vĩ
tuyến của phép chiếu thẳng (hay còn gọi là phép chiếu đứng).
A- Phân loại phép chiếu theo tính chất biến dạng:
Theo tính chất biến dạng thì các phép chiếu được phân thành 3 loại: các
phép chiếu đồng góc, các phép chiếu đồng diện tích và các phép chiếu tự do.
1- Các phép chiếu đồng góc: Trên phép chiếu đồng góc thì góc không có
biến dạng ),0(


tỉ lệ độ dài tại mỗi điểm không phụ thuộc vào phương hướng

)(





banm
. Trên các phép chiếu đồng góc thì tỷ lệ diện tích là:

22
.

 abaP

Hệ phương trình vi phân của các phép chiếu đồng góc là hệ (12) ở mục 2.1.5.
2- Các phép chiếu đồng diện tích: Trong phép chiếu đồng diện tích thì
đảm bảo P là một trị số cố định tại mọi điểm, tức là:

constnmba
Mr
h
P 

cos

thường lấy: P=1, Khi đó:
a
b
b
a

1
;
1


Điều kiện biểu thị đồng diện tích được biểu đạt bởi phương trình (14).
Khi tính các trị số biến dạng góc lớn nhất

đối với các phép chiếu đồng
diện tích thì dùng một trong hai công thức sau đây là tiện lợi nhất:

atg  )
4
45(
0

hoặc là
2
2
ba
tg




Trên các phép chiếu đồng diện tích, do biến dạng góc lớn cho nên các
hình dạng bị biến dạng nhiều.
3- Các phép chiếu tự do: Các phép chiếu không thuộc nhóm đồng góc và
nhóm đồng diện tích thì gọi là phép chiếu tự do.
Trong số các phép chiếu tự do thì đáng chú ý các phép chiếu đồng khoảng

cách. Phép chiếu đồng khoảng cách là những phép chiếu giữ cho tỷ lệ độ dài không
đổi trên một trong các hướng chính tức là a = 1 hoặc b = 1. Khi đó, tỷ lệ diện tích là
P = b hoặc P = a.
34
Để tính trị số biến dạng góc

trong các phép chiếu tự do thường dùng công
thức:

b
a
ba



2
sin


Các phép chiếu tự do rất đa dạng. Phép chiếu đồng khoảng cách thì có tính
chất trung gian giữa phép chiếu đồng góc và phép chiếu đồng diện tích về
phương diện trị số biến dạng. Có những phép chiếu tự do gầm với đồng diện
tích, có những phép chiếu gần với đồng góc… Vì vậy cách phân loại trên đây tuy
đơn giản, dễ hiểu nhưng không thuận lợi cho việc nghiên cứu các phép chiếu tự
do. Để khắc phục nhược điểm đó, theo tính chất biến dạng người ta ghép các
phép chiếu thành 7 nhóm theo sơ đồ sau đây:
(1)
(2) Các phép chiếu đồng diện tích
(3)
(4) Các phép chiếu đồng khoảng cách

(5)
(6) Các phép chiếu đồng góc
(7)
B- Phân loại các phép chiếu bản đồ theo hình dạng của các đường kinh
tuyến và vĩ tuyến trong mạng lưới chuẩn:
Như ở phần trước đã chỉ rõ, trên một phép chiếu bản đồ mạng lưới toạ độ
nào đó (lưới toạ độ địa lý hoặc một số mạng lưới toạ độ cực mặt cầu) được biểu
thị đơn giản nhất thì được gọi là mạng lưới chuẩn. Những phép chiếu mà mạng
lưới các đường kinh, vĩ tuyến địa lý được biểu thị trong mạng lưới chuẩn thì
gọi là phép chiếu thẳng (hay gọi là phép chiếu đứng).
Theo hình dạng của mạng lưới kinh vĩ tuyến trong mạng lưới chuẩn (tức là
của phép chiếu thẳng) thì các phép chiếu bản đồ được phân ra các loại sau đây:
1- Các phép chiếu hình nón:
Trên các phép chiếu hình nón thẳng thì các kinh tuyến được biểu thị
thành những đường thẳng giao nhau tại một điểm dưới các góc tỷ lệ thuận với
35
hiệu số kinh độ tương ứng; các vĩ tuyến là những cung tròn có cùng tâm tại
giao điểm
của các kinh tuyến (hình 2.6).
Công thức toạ độ vuông góc của phép chiếu hình nón là:

 



f


Trong đó:
const




Trong tính toán các phép chiếu thì kinh độ


được xác định theo kinh tuyến gốc là kinh tuyến trùng
với trục tung x.
Hàm



f được xác định dựa trên điều kiện cho trước (điều kiện đồng
góc, điều kiện đồng diện tích hoặc điều kiện khác).
2- Các phép chiếu hình trụ
Trên các phép chiếu hình trụ thẳng thì các kinh tuyến là những đường
thẳng song song, khoảng cách giữa các kinh tuyến tỷ lệ thuận với hiệu số kinh
độ tương ứng; các vĩ tuyến là những đường thẳng song song vuông góc với các
kinh tuyến (Hình 2.7).
Công thức toạ độ vuông góc của phép
chiếu hình trụ thẳng có dạng là:






y
fx )(

Trong đó:
const


, Hàm
)(

f
được xác định
theo những điều kiện cho trước.

3- Các phép chiếu phương vị:
Trên các phép chiếu phương vị thẳng thì các kinh tuyến là những đường
thẳng giao nhau tại 1 điểm dưới các góc bằng hiệu số kinh độ tương ứng; các
điểm kinh tuyến là những vòng tròn có cùng tâm tại giao điểm của các kinh
tuyến (hình 2.8). Công thức toạ độ cực của phép chiếu phương vị thẳng là:
Hình 2.6: Phép chiếu hình nón
Hình 2.7:
Phép chiếu hình trụ
36

)(



f


Hàm số )(


f được xác định dựa trên những điều
kiện cho trước về tính chất biến dạng. Hàm
)(


f

cũng được xác định bằng phương pháp
hình học, đó là những trường hợp phép chiếu
phương vị phối cảnh.


4- Các phép chiếu hình nón giả:
Trên các phép chiếu hình nón giả thì các vĩ
tuyến là những cung tròn đồng tâm, kinh tuyến
giữa là đường thẳng đi qua tâm của các kinh
tuyến; các kinh tuyến khác là những đường
cong đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa
(hình 2.9).

Công thức toạ độ cực của phép chiếu hình nón giả có dạng:

)(
)(
2
1


f
f




Mạng lưới của phép chiếu hình nón giả không trực giao nên đối với các
phép chiều này không có trường hợp đồng góc.
5- Phép chiếu hình trụ giả:
Trên các phép chiếu hình trụ giả thì các vĩ tuyến là những đường thẳng
song song, kinh tuyến giữa là đường thẳng vuông góc với các vĩ tuyến; các kinh
tuyến khác là những đường cong đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa (hình
2.10).
Các công thức tọa độ vuông góc của phép chiếu
Hình 2.8:
Phép chiếu phương vị
Hình 2.9 Tr
35_BG B
ản đồ

37
hình trụ giả là :

),(
)(
2
1


fy
fx



Mạng lưới kinh, vĩ tuyến của các phép
chiếu hình trụ giả thì không trực giao cho nên loại
phép chiếu này không có trường hợp đồng góc.

6- Các phép chiếu nhiều hình nón:
Trong các phép chiếu nhiều hình nón thì các vĩ tuyến là những đường
cung tròn không cùng tâm, tâm của các vĩ tuyến ở trên kinh tuyến giữa là
đường thẳng; các kinh tuyến khác là những đường cong đối xứng với nhau qua
kinh tuyến giữa (hình 2.11).
Nếu lấy đường thẳng đi qua các tâm vĩ tuyến
làm trục tung thì các công thức cơ bản của
phép chiếu nhiều hình nón có dạng là:

),(
)(
)(
2
1



f
f
fx
c




Trong đó )(
1

fx
c
 chính là tung độ của tâm vĩ tuyến.
7- Các phép chiếu cung tròn:
Trên các phép chiếu này, các vĩ tuyến là những cung tròn không cùng
tâm, tâm các vĩ tuyến ở trên kinh tuyến giữa là đường thẳng, các kinh tuyến
khác là những cung tròn đối xứng với nhau qua kinh tuyến giữa. Các công thức
toạ độ vuông góc của phép chiếu này có dạng:

),(
),(
2
1


fy
fx



Trước hết công thức trên phải thoả màn điều kiện là khi
const


ta được
phương trình của đường tròn và khi

const


thì cũng là phương trình của cung tròn.
Hình 2.10
~H.13 Tr 36_BG BĐH
Hình 2.11

~ h.14 Tr 36_BG
38
Thực ra phép chiếu cung tròn là một dạng riêng của phép chiếu nhiều hình nón.
8- Phép chiếu phương vị giả:
Trên phép chiếu phương vị giả thì các vĩ
tuyến là các vòng tròn đồng tâm, các kinh tuyến
là những đường cong, trừ hai kinh tuyến là
đường thẳng vuông góc với nhau và là hai trục
đối xứng của phép chiếu (hình 2.12)

Các công thức của tọa độ cực của phép chiếu phương vị giả có dạng là:

),(
)(
2
1


f
f



9- Các phép chiếu khác:
Ngoài 8 loại phép chiếu nói trên, còn có nhiều phép chiếu khác. Các
phép chiếu này thu nhận được trên cơ sở biến đổi các phép chiếu đã có hoặc là
bằng cách giải những điều kiện đã cho.
C- Phân loại các phép chiếu theo vị trí của mạng lưới chuẩn so với mạng lưới cơ sở:
Theo vị trí của mạng lưới chuẩn, phân ra 3 nhóm phép chiếu:
1- Các phép chiếu thẳng: Trên các phép chiếu thẳng thì mạng lưới chuẩn
trùng với mạng lưới cơ sở, khi đó vĩ độ điểm cực Q của mạng lưới chuẩn là
0
0
90

.
2- Các phép chiếu ngang: Trên các phép chiếu này thì mạng lưới chuẩn
có điểm cực ở trên xích đạo địa lý
0
0


.
3- Các phép chiếu nghiêng: Trên các phép chiếu nghiêng thì vị trí điểm cực
của Q mạng lưới chuẩn là một điểm nào đó không thuộc hai trường hợp trên, tức là
0
0
0
900 

.
Như vậy đối với mỗi loại phép chiếu đã trình bày ở mục II thì đều bao

gồm các phép chiếu thẳng, các phép chiếu ngang và các phép chiếu nghiêng. Ví
Hình 2.12 ~ H.15 Tr
37 _BG BĐH

39
dụ, đối với loại phép chiếu hình trụ được phân ra: các phép chiếu trụ thẳng, các
phép chiếu trụ ngang và các phép chiếu trụ nghiêng.
Trên các phép chiếu nghiêng hoặc ngang thì mạng lưới các vòng thẳng
đứng và các vòng đồng cao của hệ toạ độ cực mặt cầu nghiêng hoặc ngang mà
ta chọn sẽ được biểu thị trong mạng lưới chuẩn, tức là tương tự như các đường
kinh tuyến và các vĩ tuyến trên phép chiếu thẳng tương ứng.
2.2.2. Các phép chiếu hình nón
a. Công thức chung của phép chiếu hình nón
Trên các phép chiếu hình nón thẳng thì các kinh tuyến được biểu thị
thành những đường thẳng giao nhau tại một điểm dưới các góc tỷ lệ thuận với
hiệu số kinh độ tương ứng, các vĩ tuyến là những cung tròn có cùng tâm tại
giao điểm của các kinh tuyến.
Lấy tâm của các vĩ tuyến làm gốc toạ độ
cực, lấy đường thẳng trùng với kinh tuyến giữa
làmtrục toạ độ cực và đồng thời làm trục tung
x của hệ toạ độ vuông góc (hình 2.13).
Công thức toạ độ cực có dạng:


 



f


(18)
Trong đó: 10,





const


- góc ở cực


- bán kính véctơ, đồng thời cũng là bán kính của vĩ tuyến vĩ độ


trên phép chiếu
Công thức toạ độ vuông góc có dạng:




sin
cos



y
qx
(19)

Hình 2.13
40
Trong đó
s
q


là bán kính của vĩ tuyến giới hạn phía nam của lãnh thổ lập bản
đồ.
Từ (19), có các đạo hàm riêng:











cos;sin
;sin;cos













y
d
dy
x
d
dx

Và các đại lượng e và g là:

 
2
22
222



























































yx
g
yx
e

Từ đó, ta xác định được các công thức chung tính tỷ lệ độ dài theo các
hướng kinh tuyến và theo các hướng vĩ tuyến sẽ là:



Md
d
M
e
m 

và
r
r
g
n



Trên phép chiếu hình nón thẳng thì mạng lưới kinh vĩ tuyến trực giao
(
0
90

) do đó các hướng kinh tuyến và vĩ tuyến đòng thời cũng là phương
hướng chính. Tại mỗi điểm, các tỷ lệ độ dài m trên kinh tuyến và n trên vĩ
tuyến là các tỷ lệ độ dài cực trị.
Công thức tính tỷ lệ diện tích:
P= m.n
Công thức tính biến dạng góc:
n
m
nm
b
a
ba







2
sin


Hay là:
b
a
tg  )
4
15(
0


Từ các công thức trên chúng ta nhận thấy, các đại lượng m, P và

thay
đổi chỉ phụ thuộc vào vĩ độ

. Điều đó chứng tỏ rằng các đường đồng biến
dạng trùng với các vĩ tuyến trên phép chiếu.
41
Các phép chiếu hình nón thẳng được sử dụng rộng rãi để làm các bản đồ
tỷ lệ trung bình và nhỏ đối với những lãnh thổ dạng kéo dài theo hướng vĩ
tuyến.
b. Các phép chiếu hình nón đồng góc
Ta đã biết rằng, trên các phép chiếu đồng góc (
0



) thì tỷ lệ độ dài tại
mọi điểm không phụ thuộc vào phương hướng, tức là: nmba





. Hàm
)(

f
của phép chiếu hình nón đồng góc được xác định từ điều kiện m = n tức
là:

rMd
d




Hay là:
r
Mdd





Tích phân 2 vế của phương trình trên:



r
Md


ln
Thay


 
2
3
22
2
sin1
1

e
ea
M



và
 
2
3
22
sin1

cos
cos



e
a
r


, ta có:



 
 
 




















2222
22
22
2
sin1
cos
cossin1
sin1
ln
cossin1
1
ln
e
de
e
de
e
de

Đặt ký hiệu:


sinsin


e
Khi đó :







 





coscos
ln
d
e
d

Sau khi tích phân ta có: Ktgetg ln
2
45ln
2
45lnln
00

























Do đó:
U
K



Trong đó: K là hằng số tích phân, nó cũng chính là bằng bán kính o



của xích đạo trên phép chiếu.
42
Và:















2
45
2
45
0
0


tg
tg
U

Đến đây có thể viết được toàn bộ các công thức của phép chiếu hình nón
thẳng đồng góc như sau:

o
mP
rU
K
r
nm
y
qx
U
K
const



















)7
)6
)5
sin)4
cos)3
)2
;)1
2
(20)
Đối với mặt cầu thì:

)
2
45(
0

 tgU
và do đó







2
45.

0



tgK
Trong các công thức trên có 2 thông số

và K. Các thông số này ảnh
hưởng đến trị số biến dạng và phân bố biến dạng của phép chiếu. Để lựa chọn
được các thông số thích hợp thì phải dựa trên cơ sở quy luật biến thiên của hàm
r
n

 .
Từ hàm trên ta có:
2
r
d
dr
d
d
r
d
dn

















Mà:









sin
cos
; M
d
Nd
d
dr
r
M
d

d


Vậy:
 



 sin.
r
M
rd
dn

Gọi
0

là vĩ độ mà tại giá trị đó thì đạo hàm 0

d
dn
, tức là:

 
0sin.
0
0
0
0
0

0












r
M
rd
dn

43
Từ đó ta có:
0
sin

 (21)
Từ đạo hàm cấp hai

 
N
M
rr

M
rd
d
d
nd
.sin.
2
2



















Thay
0


 ta có:

0.
0
0
0
0
0
2
0









N
M
r
d
nd



Do đó, tại vĩ độ
0


thì tỷ lệ độ dài n
o
là nhỏ nhất.
Có nhiều phương pháp xác định các hằng số

và K. Dưới đây giới thiệu
3 phương án:
Phương án1: Xác định các thông số

và K sao cho trên vĩ độ
o

cho
trước thì tỷ lệ độ dài là n
o
= 1 và là nhỏ nhất.
Vì theo điều kiện đã cho,
o

là vĩ độ mà tại đó tỷ lệ độ dài là nhỏ nhất, từ
công thức (21) ta có:

0
sin



Từ điều kiện n
0
= 1, tức là

1
.
00
0



Ur
K
n
ta có:

00
Ur
K 

Theo phương án này thì trên phép chiếu hình nón đồng góc có một vĩ tuyến
chuẩn, tại mọi điểm trên đó hoàn toàn không có biến dạng, đó là vĩ tuyến có vĩ độ
0

cho trước. Càng xa vĩ tuyến chuẩn, về cả 2 phía, thì biến dạng càng tăng.
Phương án 2: Xác định các thông số

và K sao cho trên các vĩ tuyến có
vĩ độ
1

và
2


cho trước thì có tỷ lệ độ dài là: n
1
= n
2
= 1.
Từ điều kiện
21
nn  , tức là:

2211
2211
UrUr
Ur
K
Ur
K






Do đó:
12
21
lglg
lglg
UU
rr






44
Lại từ điều kiện
1
21
 nn
ta rút ra:




2211
UrUr
K 

Theo phương án này thì trên phép chiếu hình nón đồng góc có hai vĩ
tuyến chuẩn, đó là các vĩ tuyến
1

và
2

đã cho. Trên vĩ tuyến chuẩn không có
biến dạng, càng xa vĩ tuyến chuẩn thì biến dạng càng lớn. Trong phạm vi giữa
hai vĩ tuyến
1


và
2

thì trên vĩ tuyến có vĩ độ
0

(mà



0
sin
) có tỷ lệ độ
dài nhỏ nhất nhưng đồng thời cũng là biến dạng lớn nhất trong phạm vi đó.
Phương án 3: Xác định các thông số

và K sao cho trên các vĩ tuyến
biên
S

và
N

của lãnh thổ bản đồ thì có hai tỷ lệ độ dài bằng nhau và trị số
nghịch đảo tỷ lệ độ dài nhỏ nhất, tức là
0
1
n
nn
NS



Từ điều kiện
NS
nn 
tức là:

NNSS
Ur
K
Ur
K





Ta rút ra :
SN
NS
UU
rr
lglg
lglg





Từ điều kiện

0
1
n
n
S

và
0
1
n
n
N

, ta có:
1
0
nn
S
và
1
0
nn
N

Do đó:
000
11
UUrrUUrrK
NNSNS




Theo phương án này thì trên phép chiếu cũng có 2 vĩ tuyến chuẩn. Vị trí
của các vĩ tuyến chuẩn phụ thuộc vào vị trí của các vĩ tuyến biên
S

và
N

.
Sự phân bố biến dạng trong phương án này thì cũng tương tự như ở phương án
2.
Phép chiếu hình nón thẳng đồng góc thường được dùng để thành lập các
bản đồ tỷ lệ trung bình và nhỏ. Nó thích hợp nhất đối với những lãnh thổ có vĩ
độ trung bình và có dạng kéo dài theo hướng vĩ tuyến.
c. Các phép chiếu hình nón thẳng đồng diện tích