ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 - TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (547.94 KB, 5 trang )
0
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
ĐỀ DỰ BỊ
ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010)
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
3 3 1 1 3
y x x m x m
(1)
1) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
1
m
.
2) Tìm t
ất cả các giá trị của tham số thực
m
để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc toạ độ
O
tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 4.
Câu II (2 điểm) 1) Giải bất phương trình
2
2 6 7
4
x x
x
x
x x
.
2) Gi
ải phương trình
5
5cos 2 4sin 9
3 6
x x
.
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
1
0
1
1
x
I dx
x
.
Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ đứng
' ' '
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông với
AB BC a
, cạnh bên
'
2
AA a
,
M
là điểm sao cho
'
1
3
AM AA
. Tính thể tích của khối
tứ diện
' '
MA BC
Câu V (1 điểm) Cho các số thực không âm
,
a b
. Chứng minh rằng:
2 2
3 3 1 1
2 2
4 4 2 2
a b b a a b
PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
A
, biết
phương tr
ình đường thẳng
,
AB BC
lần lượt là
2 5 0
x y
và
3 7 0
x y
. Viết phương
trình đường thẳng
AC
, biết rằng đường thẳng
AC
đi qua điểm
1; 3
F
.
2) Trong không gian v
ới hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
0;1;1
M và các đường thẳng
1 2
:
3 1 1
x y z
;
1
:
1
x
d y t
z t
. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
điểm
M
vuông góc với đường thẳng
và cắt đường thẳng
d
.
Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức
z
thoả mãn
2
2
z z
và
2
z
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b
(2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vuông tại
B
và
n
ội tiếp đường tròn (C). Biết rằng (C)
2 2
: 1 2 5
x y
,
2;0
A và diện tích tam giác
ABC
bằng 4. Tìm toạ độ các đỉnh
,
B C
2) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
: 2 2 1 0
P x y z
và hai đường
thẳng
1 2
1 3 3 4 3
: , :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
. Xác định toạ độ điểm
M
thuộc đường
thẳng
1
sao cho khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2
và khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
P
bằng nhau.
Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực
m
để đường thẳng
2
y x m
cắt đồ
thị hàm số
2
4 3
2
x x
y
x
tại hai điểm
,
A B
sao cho
3
AB
.
Hết
1
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I
Năm học 2009-2010
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN KHỐI 12
(Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
I
1) Khi
1
m
, hàm số (1) trở thành:
3 2
3 4
y x x
Tập xác định
Sự biến thiên:
' 2 '
3 6 , 0 0 2
y x x y x x
0.25
y
CĐ
=y(0)=4, y
CT
=y(2)=0 0.25
Bảng biến thiên
x
0
2
'
y
0
0
y
4
0
0.25
Đồ thị
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-5
5
10
f x
= x
3
-3
x
2
+4
0.25
2)
' 2 2
3 6 3 1 3 2 1
y x x m x x m
Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu
phương trình
'
0
y
có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,
x x
và
'
y
đổi dấu khi
x
đi qua các nghiệm đó
0
m
0.25
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
. Ta có
2
1 2 1 2 2 2
y x x x m mx m
;
1 1
2 2 2
y mx m
2 2
2 2 2
y mx m
. Vậy phương trình đường thẳng
AB
là
2 2 2 2 2 2 0
y mx m mx y m
.
0.25
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
4 4 1 4 4 1
AB x x m x x x x m x x x x m
Theo định lí Viet ta có
1 2 1 2
2, . 1
x x x x m
. Suy ra
2
2 4 1
AB m m
;
2
2 1
,
4 1
m
d O AB
m
;
0.25
2
2
2 1
1 1
. , .2 4 1 . 4
2 2
4 1
ABC
m
S AB d O AB m m
m
3 2 2
1 2 2 4 0 1 3 4 0 1
m m m m m m m m m
0.25
II
1) Điều kiện
2
0
0
1
7
6 7 0
1
x
x
x
x
x x
x
0.25
Bpt đã cho tương đương với bpt:
2 2
2 6 7 4 2 6 7 4 2
x x x x x x x
0.25
Nếu
2
x
thì bpt được thoả mãn vì vế trái dương, vế phải âm, 0.25
Nếu
1 2
x
thì hai vế của bpt không âm. Bình phương hai vế ta được:
2
2 2
2 6 7 4 2 4 15 0 7 34 7 34
x x x x x x . Kết hợp với
điều kiện
1 2
x
, ta có
7 34 2
x
.
V
ậy bpt đã cho có tập nghiệm là
7 34;
0.25
2) Pt
2
5
5 1 2sin 4sin 9
6 6
x x
0.25
2
10sin 4sin 14 0
6 6
x x
0.25
sin 1 2 2
6 6 2 3
x x k x k k
0.50
III
Đặt
2
2 ; 0 0; 1 1
t x x t dx tdt x t x t
1 1
2 3
0 0
1
.2 2
1 1
t t t
I tdt
t t
0.25
1
1 1
3 2
2 1
0
0 0
0
2 2 4 2 2 4(ln 1 )
1 3 2
dt t t
I t t dt t t
t
0.50
11
4ln 2
3
I
0.25
IV Từ giả thiết suy ra tam giác
ABC
vuông cân tại
B
. Gọi
H
là trung điểm của
đoạn
AC
thì
BH AC
và
' '
BH mp ACC A
. Do
BH
là đường cao của hình
chóp
' '
.
B MAC
nên
2
2
a
BH
. Từ giả thiết suy ra
' ' '
2 2
; 2
3
MA a AC a
0.50
Ta có
' ' ' '
' ' '
.
1 1 1
. . . .
3 3 2
B MAC MAC
V BH S BH MA AC
0.25
Vậy
' ' ' '
3
.
1 2 2 2 2
. . . 2
3 2 3 9
MA BC B MAC
a a a
V V a
0.25
3
V
Ta có
2
2 2
3 1 1 1 1 1
4 4 2 2 2 2
a b a a b a a a b a b
.
Tương tự ta cũng có
2
3 1
4 2
b a a b
.
0.50
Ta sẽ chứng minh
2
1 1 1
2 2
2 2 2
a b a b
0.25
2
2 2
1 1
2 4 0
4 4
a b ab a b ab a b a b
(luôn đúng)
0.25
VII.a
1) Gọi vectơ pháp tuyến của
AB
là
1
1;2
n
, của
BC
là
2
3; 1
n
và của
AC
là
2 2
3
; , 0
n a b a b
. Do tam giác
ABC
cân tại
A
nên các góc
ˆ
ˆ
,
B C
nhọn và
bằng nhau. 0.25
Suy ra
1 2 3 2
2 2
2 2
1 2 3 2
. .
3
1
ˆ
ˆ
cos cos 22 15 2 0
5
. .
n n n n
a b
B C a ab b
n n n n
a b
2 11 2 0 2
a b a b a b
hoặc
11 2
a b
0.50
Với
2
a b
, ta có thể chọn
1, 2
a b
thì
3
1;2
n
. Do
AC
đi qua
1; 3
F
nên
có pt:
1 1 2 3 0 2 5 0
x y x y
. Trường hợp này bị loại vì
/ /
AC AB
Với
11 2
a b
, chọn
2, 11
a b
thì
3
2;11
n
. Suy ra
: 2 11 31 0
AC x y
Vậy có một đường thẳng thoả mãn bài toán là:
2 11 31 0
x y
.
0.25
2) Gọi
a
là đường thẳng cần tìm. Gọi
N d a
;
1; ;1
N d N t t
.
có vectơ chỉ phương
3;1;1
u
;
1; 1;
MN t t
.
0.50
. 0 3 1 0 2
a MN u MN u t t t
;
1;1;2
MN
.
V
ậy : 1
1 2
x t
a y t
z t
t
0.50
VII.a
Gọi số phức
( , )
z x yi x y
. Ta có
2 2 2
2 ,
z x y xyi z x yi
0.25
Từ giả thiết ta có hệ pt:
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 4 4 2 1 4
4
2
x y x xy y
x x x x
y x
x y
0.25
2
3
2 2
2 2
1
1 2 0
3 2 0 2
0
3
4
4
x
x x x
x x x
y
y
y x
y x
0.25
Vậy có ba số phức cần tìm là
1 3 ; 1 3 ; 2
z i z i z
0.25
VI.b
1) (C) có tâm
1; 2 ,
I
bán kính
5
R . Do
90
ABC
nên
C
đối xứng với
A
qua
I
. Suy ra
0; 4
C
.
0.25
: 2 4 0
AC x y
;
2
2.4 4
,
2 5 5
ABC
S
d B AC
AC
.
B
thuộc đt
song song với
AC
,
B
cách
AC
một khoảng bằng
4
5
.
: 2 0
x y m
. Vì
/ /
AC
nên
4
,
5
d A . Suy ra
0
4
4
8
5 5
m
m
m
0.25
4
Với
0 :2 0
m x y
. Toạ độ điểm
B
là nghiệm của hệ
2 2
6
2 0
0
5
0 12
1 2 5
5
x
x y
x
y
x y
y
0.25
Với
8 : 2 8 0
m x y
. Toạ độ điểm
B
là nghiệm của hệ
2 2
16
2 8 0
2
5
4 8
1 2 5
5
x
x y
x
y
x y
y
Vậy
0; 4
C
; toạ độ điểm
B
là
6 12 16 8
0;0 , ; , 2; 4 , ;
5 5 5 5
0.25
2)
2
qua
3;4; 3
A
và có vectơ chỉ phương
2;1; 2
u
.
1
;1 ; 3 6 ; 3 ;3 ; 6
M M t t t MA t t t
;
2
, 8 6;6 14 ; 3 , 3 29 30 9
MA u t t t MA u t t
0.25
2
2
,
, 29 30 9
MA u
d M t t
u
;
2
2 2
2 2 6 12 1 11 9
,
3
1 2 2
t t t t
d M P
0.25
2 2
11 9
29 30 9 140 72 0 0
3
t
t t t t t
hoặc
18
35
t
0.25
18 18 53 3
0 0;1; 3 ; ; ;
35 35 35 35
t M t M
0.25
VII.b
To
ạ độ các điểm
,
A B
thoả mãn:
2
2
4 3
2 8 2 7 0; 2 1
2
2
2
2
x x
x m x m x
x m
x
y x m
y x m
0.25
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt
1 2
,
x x
khác 2 với mọi
m
.
G
ọi
1 1 2 2
; , ;
A x y B x y
. Ta có
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2
2
AB x x y y x x
0.25
Áp dụng định lí Viet đối với (1) ta được:
2
2
2
1 2 1 2
8
2 4
2
m
AB x x x x
0.25
2
2 2
8
3 9 9 10 10
2
m
AB AB m m
0.25
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần
như đáp án quy định.
Hết
Thạch Thành, ngày 8 tháng 4 năm 2010
Người ra đề và làm đáp án
: BÙI TRÍ TUẤN
