Đề thi thử đại học lần I Môn thi: Toán; Khối B, D - Trường THPT Phan Đăng Lưu potx

Sở GD & ĐT Nghệ An
Trờng THPT Phan Đăng Lu

Đề thi thử đại học lần I Năm học 2009 2010
Môn thi: Toán; Khối B, D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


Phần chung cho tất cả thí sinh (8 điểm):
Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = (1 - x)
3
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (1 -
x
)
3
, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5).
Câu II (2 điểm)
1. Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
4 8 4 15 0
2 2 5
x y x y
x y xy
+ + =


+ =

, với ẩn ,x y


.
2. Giải phơng trình
cos3 6sin 3
x x
+ =
, với ẩn
x


.
Câu III (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng cong: y = x x
2
và y = x
3
x.
2. Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c
a b c
+ + + + .
Câu IV (2 điểm)
1. Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao bằng nhau. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD
lần lợt là các dây cung của hai đờng tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đờng sinh của
hình trụ. Biết diện tích của hình vuông ABCD là 100 m
2

. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và
cosin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(-6; 0; 0). Viết phơng
trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với đờng thẳng BC và khoảng cách giữa đờng thẳng
BC và mặt phẳng (P) bằng
3 22
11
.
Phần riêng (2 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( A hoặc B)
A. Theo chơng trình Chuẩn
Câu Va (2 điểm)
1.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD, có giao điểm của AC và BD là I(2; 1). Các
điểm M(-1; 1), N(1; 0), P(3; -1), Q(-1; 2) lần lợt thuộc các đờng thẳng AB, BC, CD, DA. Viết
phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2.

Tìm số phức
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
1 3
1; 1
z z i
z i z i

= =
+

B. Theo chơng trình Nâng cao

Câu Vb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng d có phơng trình là
3 2 0
x y
=
và hai điểm
phân biệt A(1;
3
), B không thuộc đờng thẳng d. Lập phơng trình đờng thẳng AB; Biết rằng
khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đờng thẳng AB và đờng thẳng d bằng hai lần khoảng
cách từ điểm B đến đờng thẳng d.
2. Giải bất phơng trình
(
)
(
)
2
log log 4 6 1
x
x

, với ẩn x là số thực.
Hết
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh
.; Số báo danh



Sở GD & ĐT Nghệ An

Trờng THPT Phan Đăng Lu

đáp án và biểu điểm Đề thi thử đại học lần I
Năm học 2009 2010
Môn: Toán; Khối B,D

Nội dung Điểm

Câu I 2.0
1.
1.0
Hàm số có tập xác định là

; y = -3(1 x)
2
;
' 0, ; ' 0 1
y x y x
= =

. Do đó hàm số nghịch biến trên

.
0. 25

Hàm số không có cực trị;
;
x x
Lim y Lim y
+

= =+
.
0.25

x

1
+

y
- 0 -



y





0.25








0.25

2.
1.0
Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị số y = (1 -
x
)
3
, tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5).

Nếu x
0
> 0 thì phơng trình tiếp tuyến đó là y = -3(1 x
0
)
2
(x x
0
) + (1 x
0
)
3
.
0.25
Vì tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5) nên ta có 5 = -3(1 x
0
)

2
( x
0
) + (1 x
0
)
3
(1).
(1)

2x
0
3
3x
0
2
4 = 0

(x
0
2)(2x
0
2
+ x
0
+ 2) = 0

x
0
= 2 (thỏa mãn x

0
> 0). Vậy phơng
trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (1 -
x
)
3
tại điểm có hoàng độ dơng là y = -3x + 5
0.25
Vì đồ thị hàm số y = (1 -
x
)
3
đối xứng nhau qua trục tung và điểm A nằm trên trục tung nên tiếp tuyến có
x
0
< 0 đối xứng với tiếp tuyến có x
0
> 0 qua trục tung.
0.25
Tại x
0
= 0 hàm số y = (1 -
x
)
3
không có đạo hàm nên không có tiếp tuyến tại đó.
Vậy phơng trình tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là y = -3x + 5 và y = 3x + 5.
(Nếu thí sinh không nêu đợc trờng hợp x
0
= 0, thì vẫn cho điểm)

0.25
+



Câu II.
2.0
1. Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
4 8 4 15 0 (1)
2 2 5 (2)
x y x y
x y xy
+ + =


+ =


1.0
( )( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 3 0
( )
2 2 5

2 3 2 5 0
4 8 4 15 0
2 2 5
2 5 0
2 2 5
( )
2 2 5
x y
I
x y xy
x y x y
x y x y
x y xy
x y
x y xy
II
x y xy
=




+ =
+ =

+ + =

+ =
+ =
+ =






+ =




(HD: Để đa phơng trình (1) về PT tích nh vậy TS có thể bin ủi thnh hiu hai bỡnh phng
hoc thêm bớt rồi đặt nhân tử chung hoặc xem (1) là phơng trình bậc hai theo x, giải x theo y rồi
phân tích thành nhân tử hoc nhõn (2) vi 3 ri cng vi (1) ri ủa v nhõn t)
0.5
2 2 2
2 3 2 3
1, 1
( )
1, 2
2 2 5 2 6 4 0
x y x y
x y
I
x y

x y xy y y
= + = +
= =





= =
+ = + + =



0.25

2 2 2
5 2 5 2
3, 1
( )
1, 2
2 2 5 10 30 20 0
x y x y
x y
II
x y
x y xy y y
= =
= =

= =
+ = + =


.
Vậy nghiệm của hệ là
1 1 3 1
, , ,
1 2 1 2
x x x x
y y y y
= = = =


= = = =


0.25
2. Gải phơng trình
cos3 6sin 3
x x
+ =
(1). 1.0

3 2
(1) 4cos 3cos 3(2sin 1) 0 cos (4cos 3) 3(2sinx 1)
0

x x x x x
+ = + =

0.25
(
)
(
)
2
cos (1 4sin ) 3(2sinx 1) 0 1 2sin cos 2sin cos 3 0
1 2sin 0 ( )
cos 2sin cos 3 0 ( )
x x x x x x
x a
x x x b
+ = + =
=



+ =


0.25

2
1
6
( ) sin ( )
5

2
2
6
x k
a x k
x k





= +

=


= +




0.25
( ) cos sin 2 3 0
b x x
+ =
Vì cosx

1 và sinx

1 nên PT (b) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của PT đã cho là
2
6
( )
5
2
6
x k
k
x k





= +




= +



.
0.25
Câu III.
2.0
1. 1.0
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT x - x

2
= x
3
- x

x
3
+ x
2
2x = 0


0
1
2
x
x
x
=


=


=



0.25
1

3 2
2
2
S x x x dx

= +


0.25

( ) ( )
0 1 0 1
3 2 3 2 3 2 3 2
2 0 2 0
2 2 2 2
x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx

= + + + = + + +


0.25
=
4 3 4 3
0 1
2 2
2 0
8 5 37
4 3 4 3 3 12 12
x x x x
x x

+ + + = + =


. Vậy
37
12
S =
(đvdt).
0.25
2. Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng
1.0
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c
a b c
+ + + + (1)
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 1 2
2 ; 2 ; 2 .
c a b
ab bc ac
a b b c c a
+ = + = + =
Suy ra
2 2 2
1 1 1
a b c

a b c
+ + + +
(2)
0.5
Tơng tự cho a, b, c ta có a + b + c


1 1 1
ab bc ca
a b c
+ + = + +
(3). Từ (2) và (3) Ta có (1).

0.5
Câu IV. 2.0
1.
1.0
Gọi E
là hình chiếu của B trên mặt đáy dới suy ra DE là đờng kính
(Vì DC

CB nên DC

CE)
Gọi bán kính đáy của hình trụ là r suy ra BE = r và DE = 2r. Vì
ABCD là hình vuông có diện tích bằng 100m
2
nên DC = CB = 10 m.

0.25

Từ tam giác DCE vuông tại C và tam giác BCE vuông tại E suy ra
DE
2
DC
2
= BC
2
BE
2
, suy ra 4r
2
100 = 100 r
2
. Vậy r =
2 10

0.25
S
xq
= 2

rh = 2

r
2
= 80

(m
2
)

0.25












Vì EC

DC, BC

DC nên góc((EDC); (ABCD)) = góc(EC; BD) =
góc BCE. Ta có
60 15
cos
10 5
CE
BCE
BC
= = =

0.25
2. 1.0
Gọi d là đờng thẳng đi qua A và song song với BC, suy ra PT đờng thẳng d là

3
2
2
x t
y t
z
=


=


=

và mp(P) chứa
đờng thẳng d. Do đó mp(P) đi qua điểm A và A(3; 2; 2).
0.25

Gọi phơng trình mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0 (ĐK A
2
+ B
2
+C
2
> 0). Vì (P) đi qua A, A nên
2 0
3 2 2 0
C D
A B C D
+ =

+ + + =


0.25
( )
2 2 2
4
3 22
,( ) ( ;( ))
11
B D
d BC P d B P
A B C
+
= = =
+ +
.
0.25
Từ đó ta có hệ
2 2
2 0
3 2 0
75 13 44 0
C D
A B
B C BD

+ =

+ =


+ + =

Nếu B=0 thì A=0 và C=0 nên không thỏa mãn điều kiện. Do đó
B khác 0 vì vậy chọn B = 3 suya A = -2, C = 3, D = -6 hoặc A = -2, C = 225/13, D = -
450/13. Vậy
phơng trình mặt phẳng (P) là 2x 3y 3z + 6 = 0 hoặc 2x 3y (225/13)z + 450/13 = 0.
(TS cú th gii bng cỏch gi PT mp (P) ủi qua A l , ri gii h
. 0
P
n BC
=

v d(B, (P)) =
3 22
11
)
0.25
Câu Va (Theo chơng trình Chuẩn) 2.0
1.
1.0
Gọi M là điểm đối xứng của M qua I, suy ra M(5; 1) và M thuộc đờng thẳng CD. Do đó phơng trình
của đờng thẳng CD là x y 4 = 0. Gọi Q là điểm đối xứng với Q qua I, suy ra Q(5; 0) và Q thuộc
đờng thẳng BC. Do đó phơng trình của đờng thẳng BC là y = 0. Suy ra điểm C(4; 0).
0.5
Điểm A đối xứng với C qua I nên A(0; 2). Do đó phơng trình của đờng thẳng AB là x y + 2 = 0. Do
đó tọa độ điểm B(-2; 0).

0.25
Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phơng trình là x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 (ĐK A
2
+ B
2
- C > 0)

0.25
A
B
C
D
E
F
Vì đờng tròn đi qua A, B, C nên ta có hệ
4 4 0 1
8 16 0 1
4 4 0 8
B C A
A C B
A C C
+ + = =


+ + = =

+ + = =

. Vậy phơng trình đờng tròn
cần tìm là x
2
+ y
2
2x + 2y 8 = 0.
2. 1.0
Gọi z = a + bi (a, b là số thực). Khi đó
( )
( )
2
2
2
2
1
1
1 1
1 1 1 1
( 1) ( 1)
1
a b
a bi
z a bi
a b
z i a b i a b i
a b
+

+
+
= = = = =
+ +
+

0.5
2 2
2 2
( 3)
( 3)
3 ( 3)
1 1 1 1 1
( 1) ( 1)
( 1)
a b i
a b
z i a b i
b
z i a b i a b i
a b
+
+
+
= = = = =
+ + + + +
+ +
.
Vậy số phức càn tìm là z = 1 + i.
0.5

Câu Vb (Theo chơng trình Nâng cao) 2.0
1. 1.0
Gọi M là giao điểm của đờng thẳng AB và đờng thẳng d, H là hình chiếu vuông góc của B trên d.
Vì BM = 2 BH nên góc giữa đờng thẳng AB và đờng thẳng d bằng 30
0
.
0.25
Đờng thẳng AB đi qua điểm A(1;
3
) nên PT đờng thẳng AB: m (x - 1) + n (y -
3
) = 0 (m
2
+ n
2
> 0)
Vì góc giữa đt AB và đt d bằng 30
0
nên
0
2 2
3
cos30
2
m n
m n

=
+

0.5
Giải
2 2
3
3
2
2
m n
m n

=
+
đợc m = 0, n = 1 hoặc m =
3
, n = -1.
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y =
3
hoặc
3
x - y = 0.
0.25
2.
1.0
Điều kiện xác định của BPT là
4
0, 1
log 7 1
4 6 1
x
x x

x
>

> >

>


0.25
Khi đó
(
)
(
)
(
)
2 2
log log 4 6 1 log 4 6 4 6 2
x x x x
x
x

(*)
0.25
Đặt t = 2
x
, Bpt (*) trở thành t
2
t 6

0. Giải đợc -2

t

3, hay -2

2
x


3 suy ra x

log
2
3. 0.25
Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của Bpt là log
4
7 < x

log
2
3.
0.25
Hết