Bài tập toán cao cấp tập 3 part 8 docx

14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 231
32. y

tgx − y =1,y

π
2

= 1. (D
S. y = 2 sinx − 1)
33. sin y cos xdy = cos y sin ydx, y(0) =
π
4
.(D
S. cos x =
√
2 cos y)
34. y

sin x = y ln y, y

π
2

= 1. (D

S. y =1)
35. xydx +(1+y
2
)
√
1+x
2
dy =0,y(
√
8) = 1.
(D
S. 2
√
1+x
2
+lny
2
+ y
2
=7)
14.1.2 Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p

1. Tru
.
´o
.
chˆe
´
tlu
.
u´yr˘a
`
ng h`am f(x, y)d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`ah`am d
˘a
’
ng cˆa
´
p cˆa
´
p m
d
ˆo
´
iv´o

.
i c´ac biˆe
´
ncu
’
an´onˆe
´
u n´o tho
’
a m˜an d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c f(tx, ty)=
t
m
f(x, y).
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
dy
dx
= f(x, y)d
u
.

o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng
cˆa
´
pd
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
n x v`a y nˆe
´
u h`am f(x, y) l`a h`am d
˘a
’
ng cˆa
´
pcˆa

´
p0
d
ˆo
´
iv´o
.
i c´ac biˆe
´
ncu
’
a n´o.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p luˆon luˆon c´o thˆe
’
biˆe
’
udiˆe
˜
ndu
.
´o

.
ida
.
ng
dy
dx
=
ϕ

y
x

.
Nh`o
.
ph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
n
u =
y
x
ta du
.
ad
u
.
o

.
.
cphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
pvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh t´ach biˆe
´
nd
˜abiˆe
´
t
c´ach gia
’
i:
x
du
dx
= ϕ(u) −u.

Nˆe
´
u u = u
0
l`a nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh ϕ(u) − u = 0 th`ı phu
.
o
.
ng
tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p c`on c´o nghiˆe
.
ml`ay = u
0
x.
2. C´ac phu
.
o

.
ng tr`ınh d
u
.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p
232 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.

ng tr`ınh vi phˆan
i) Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
y = f

a
1
x + b
1
y + c
1
a
2
x + b
2
y + c
2

,a
i
= const,b
i
= const,i=1, 2. (14.6)
c´o thˆe
’

d
u
.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
pnˆe
´
u





a
1

b
1
a
2
b
2





= a
1
b
2
− a
2
b
1
=0.
D
ˆe
’
l`am viˆe
.
cd´o, ta d˘a
.
t x = u+ α, y = v + β v`a cho
.
n α v`a β sao cho vˆe

´
pha
’
icu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.6) c´o da
.
ng f

a
1
u + b
1
v
a
2
u + b
2
v

. N´oi c´ach kh´ac
α v`a β l`a nghiˆe
.
mcu
’
ahˆe

.
phu
.
o
.
ng tr`ınh
a
1
α + b
1
β + c
1
=0,
(14.7)
a
2
α + b
2
β + c
2
=0.
T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o

.
ng tr`ınh
dv
du
= f

a
1
u + b
1
v
a
2
u + b
2
v

rˆo
`
i thay u bo
.
’
i x −α, thay v bo
.
’
i y − β ta thu d
u
.
o
.

.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
cu
’
a (14.6).
ii) Nˆe
´
u





a
1
b
1
a
2
b
2






= a
1
b
2
− a
2
b
1
=0th`ıa
1
x + b
1
y = λ(a
2
x + b
2
y),
λ = const. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.6) d
u

.
ad
u
.
o
.
.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh t´ach biˆe
´
nb˘a
`
ng c´ach d
˘a
.
t z = a
2
x + b
2
y.
C
´
AC V
´
IDU

.
V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh 2x
2
dy =(x
2
+ y
2
)dx.
Gia
’
i. Chia hai vˆe
´
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh cho x
2
dx ta thu du
.

o
.
.
c
2
dy
dx
=1+

y
x

2
.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 233
D˘a
.
t y = ux ⇒ y

= xu

+ u v`a thu du
.
o

.
.
c
2xu

+2u =1+u
2
⇒ 2x
dy
dx
= u
2
− 2u +1⇒
2du
(u − 1)
2
=
dx
x
·
T´ıch phˆan phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay ta c´o
−
2
u − 1
=ln|x|+lnC ⇒−
2

y
x
−1
=lnCx ⇒
Cx = e
−
2x
y−x
Khi thu
.
.
chiˆe
.
nviˆe
.
c chia cho x v`a u −1tacˆa
`
n xem x =0v`au =1.
Kiˆe
’
m tra tru
.
.
ctiˆe
´
p ta thˆa
´
y x =0v`au =1(t´u
.
cl`ay = x)c˜ung l`a

nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho. Vˆa
.
y
Cx = e
−
2x
y−x
,y= x, x =0. 
V´ı d u
.
2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
xy

= y


1+ln
y
x

,y(1) = e
−
1
2
.
Gia
’
i. Trong phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p y

=
y
x

1+ln
y
x


ta d
˘a
.
t u =
y
x
,
y

= u + xu

.Tathudu
.
o
.
.
cphu
.
o
.
ng tr`ınh t´ach biˆe
´
n
u + x
du
dx
= u(1 + ln u) ⇒ x
du
dx
= u ln u

⇒

du
u ln u
=

dx
x
+lnC ⇒ ln |ln u| =ln|x|+lnC
⇒ ln u = Cx.
Thay u bo
.
’
i
y
x
ta c´o
ln
y
x
= Cx ⇒ y = xe
Cx
.
D
´o l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at. Thay diˆe
`

ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u y(1) = e
−
1
2
ta c´o
C = −
1
2
v`a do d
´o nghiˆe
.
m riˆeng cˆa
`
n t`ım l`a y = xe
−
x
2
. 
234 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.

ng tr`ınh vi phˆan
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (x + y −2)dx +(x −y +4)dy =0.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n a
1
b
2
−a
2
b

1
= −2 =
0.
Ta t`ım c´ac sˆo
´
α v`a β b˘a
`
ng c´ach gia
’
ihˆe
.
x + y − 2=0
x − y +4=0

⇔ α = x
0
= −1,β = y
0
=3.
Thu
.
.
chiˆe
.
nph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
n x = u − 1, y = v + 3. Khi d´o p h u

.
o
.
ng
tr`ınh d
˜a cho tro
.
’
th`anh
(u + v)du +(u − v)dv =0. (14.8)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.8) l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p. D˘a
.
t v = zu ta thu
d
u
.
o

.
.
c
(u + uz)du +(u − uz)(udz + zdu)=0,
(1 + 2z − z
2
)du + u(1 − z)dz =0,
du
u
+
1 − z
1+2z − z
2
dz =0,
ln |u| +
1
2
ln |1+2z − z
2
| =lnC
hay l`a
u
2
(1 + 2z − z
2
)=C.
Tro
.
’
vˆe

`
biˆe
´
nc˜u x v`a y ta c´o
(x +1)
2

1+2
y −3
x +1
−
(y −3)
2
(x +1)
2

= C
1
hay l`a
x
2
+2xy − y
2
−4x +8y = C. (C = C
1
+ 14). 
14.1. Phu
.
o
.

ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 235
V´ı d u
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x + y +1)dx +(2x +2y −1)dy =0.
Gia
’
i. R˜o r`ang l`a d
ˆo
´
iv´o
.
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta c´o






11
22





=0,t´u
.
c
l`a hˆe
.
x + y +1 =0
2x +2y − 1=0

vˆo nghiˆe
.
m. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta d
˘a
.
t
z = x + y, dy = dz − dx

v`a
(2 − z)dx +(2z −1)dz =0⇒ dx −
2z − 1
z − 2
dz =0
⇒ x − 2z − 3ln|z −2| = C.
Tro
.
’
vˆe
`
biˆe
´
nc˜u ta c´o x +2y +3ln|x + y −2| = C. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau
1. (x −y)dx + xdy = 0. (D
S. y = x(C − ln x))

2. xy

= y(ln y − ln x). (DS. y = xe
1+Cx
)
3. (x
2
+ y
2
)dx − xydy = 0. (DS. y
2
= x
2
(ln x − C))
4. xy

cos
y
x
= y cos
y
x
− x.(D
S. sin
y
x
+lnx = C)
5. y

= e

y
x
+
y
x
.(D
S. ln Cx = −e
−
y
x
)
6. xy

= y ln
x
y
.(D
S. y = xe
Cx+1
)
236 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
7. x

2
dy =(y
2
− xy + x
2
)dx.(DS. ( x − y)lnCx = x)
8. xy

= y +

y
2
− x
2
.(DS. y +

y
2
− x
2
= Cx
2
, y = x)
9. (4x − 3y)dx +(2y −3x)dy = 0. (D
S. y
2
− 3xy +2x
2
= C)
10. (y −x)dx +(y + x)dy = 0. (D

S. x
2
+2xy − x
2
= C)
11. xy

= y(1 + ln y − ln x). (DS. y = xe
Cx
)
12. y −xy

= y ln
x
y
.(D
S. y = xe
Cx
)
13. y −xy

= x + yy

.(DS. arctg
y
x
+lnC

x
2

+ y
2
=0)
14. ydy +(x −2y)dx.(D
S. x =(y − x)lnC(y −x))
15. ydx +(2
√
xy −x)dy = 0. (DS.
√
x +
√
y ln Cy =0)
16. xy

cos
y
x
= y cos
y
x
− x.(D
S. sin
y
x
+lnx = C)
17. (y +

x
2
+ y

2
)dx − xdy = 0. (DS. y =
1
2C
(x
2
− C
2
))
18. (x + y)dx +(x − y)dy = 0. (D
S. x
2
+2xy − y
2
= C)
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
.
ng tr`ınh vi phˆan d
u
.
ad
u
.
o
.

.
cvˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p
sau
19. y

= −
x − 2y +5
2x − y +4
.(D
S.
y − x −3
(y + x +1)
3
= C)
20. (2x − y +1)dx +(2y −x − 1)dy =0.
(D
S. x
2
− xy + y

2
− x − y = C)
21. y

=
2x + y − 1
4x +2y +5
.
(D
S. 10y − 5x + 7 ln(10x +5y +9)=C)
22. (x + y +2)dx +(2x +2y −1)dy =0.
(D
S. x +2y +5ln|x + y − 3| = C)
23. (x −2y +3)dy +(2x + y −1)dx =0.
(D
S. x
2
+ xy − y
2
− x +3y = C)
24. (x −y +4)dy +(x + y −2)dx =0.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 237
(DS. x
2

+2xy − y
2
− 4x +8y = C)
T`ım nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
a c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˘a
’
ng cˆa
´
p ho˘a
.
cdu
.
ad
u
.
o
.
.
c
vˆe
`
d

˘a
’
ng cˆa
´
p sau
25. xdy −ydx = ydy, y(−1) = 1. (D
S. x = −y(1 + ln |y|))
26. xydx +(y
2
−x
2
)dy =0,y(1) = 1. (DS. x
2
+ y
2
(ln y
2
− 1) = 0)
27. xy

− y = xtg

y
x

, y(1) =
π
2
.(D
S. y = xarc sin x)

28. x
2
− y
2
+2xyy

=0,y(1) = 1. (DS. x
2
+2x + y
2
=0)
14.1.3 Phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
Phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng
dy
dx
+ P (x)y = Q(x) (14.9)
trong d
´o P (x)v`aQ(x) l`a nh˜u

.
ng h`am liˆen tu
.
c, d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng
tr`ınh vi phˆan tuyˆe
´
n t´ınh cˆa
´
p1.T´ınh chˆa
´
t tuyˆe
´
n t´ınh o
.
’
d
ˆay c´o ngh˜ıa
l `a ˆa

’
n h`am y v`a d
a
.
o h`am y

cu
’
a n´o tham gia trong phu
.
o
.
ng tr`ınh l`a
tuyˆe
´
n t´ınh, t´u
.
c l`a c´o bˆa
.
cb˘a
`
ng 1.
Nˆe
´
u Q(x) ≡ 0 th`ı (14.9) d
u
.
o
.
.

cgo
.
il`aphu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n
nhˆa
´
t cˆa
´
p1.Nˆe
´
u Q(x) ≡ 0 th`ı (14.9) d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe

´
n
t´ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
t.
Phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Hai phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
csu
.
’

du
.
ng l`a
1
+
Phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
.
D
ˆa
`
utiˆent`ım nghiˆe
.
mcu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa

´
t
dy
dx
+ P (x)y =0. (14.10)
Sau d
´o trong cˆong th´u
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.10) ta xem h˘a
`
ng
sˆo
´
C l`a h`am kha
’
vi cu
’
a x: C = C(x). Ta thu d
u
.
o
.
.
c h`am C = C(x)

t`u
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan t´ach biˆe
´
n sau khi thˆe
´
nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
238 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
cu
’
a (14.10) v`ao (14.9). Phu
.
o
.

ng ph´ap v`u
.
a nˆeu go
.
i l`a phu
.
o
.
ng ph´ap
Lagrange.
2
+
Phu
.
o
.
ng ph´ap d
ˆo
’
ibiˆe
´
n c`on go
.
il`aphu
.
o
.
ng ph´ap Bernoulli.
D
ˆe

’
gia
’
i (14.9) ta t`ım h`am y du
.
´o
.
ida
.
ng t´ıch cu
’
a hai h`am chu
.
abiˆe
´
t
cu
’
a x: y = u(x)v(x). Thˆe
´
y v`ao (14.9) ta c´o
v[u

+ P (x)u]+v

u = Q(x). (14.11)
V`ı y l`a t´ıch cu
’
a hai h`am nˆen mˆo
.

t trong hai c´o thˆe
’
cho
.
nt`uy ´y, c`on
h`am kia d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
i (14.11). Thˆong thu
.
`o
.
ng ta cho
.
n u(x) sao
cho biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´

u ngo˘a
.
c vuˆong b˘a
`
ng 0, t´u
.
cl`au

+ P (x)u =0.
D
ˆe
’
c´o diˆe
`
ud´o ta chı
’
cˆa
`
nlˆa
´
y u(x) l`a nghiˆe
.
m riˆeng cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
u


+ P (x)u = 0. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay ta thu d
u
.
o
.
.
c u(x). Thˆe
´
u(x)
v`ao (14.11) ta c´o
v

u = Q(x)
v`a thu d
u
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’

ng qu´at v = v(x, C). Nhu
.
vˆa
.
y y = u(x)v(x, C)
l`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.9).
Trong nhiˆe
`
u tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pphu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p 1 khˆong tuyˆe
´
n

t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i y m`a l`a tuyˆe
´
nt´ınhd
ˆo
´
iv´o
.
i x,t´u
.
c l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh c´o thˆe
’
d
u
.
avˆe
`
da
.
ng
dx
dy

+ F (y)x = R(y). (14.12)
Viˆe
.
c gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.12) tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.9)
v´o
.
ich´u´yl`a:y l`a d
ˆo
´

isˆo
´
, x = x(y) l `a ˆa
’
n h`am.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 239
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

+3y = e
2x

.
Gia
’
i. Ta s˜e gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen
h˘a
`
ng sˆo
´
.
D
ˆa
`
u tiˆen gia
’
iphu

.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t
y

+3y =0⇒
dy
y
= −3dx.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c:
ln |y| = −3x +ln|C
1
|⇒y = ±C
1
e
−3x
= Ce

−3x
.
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
td
˜a cho s˜e
d
u
.
o
.
.
c t`ım du
.
´o
.
ida
.

ng y = C(x)e
−3x
.Lˆa
´
yda
.
o h`am y

rˆo
`
ithˆe
´
c´ac biˆe
’
u
th ´u
.
ccu
’
a y v`a y

v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta c´o
C

(x)e

−3x
= e
2x
⇒ C

(x)=e
5x
⇒ C(x)=
1
5
e
5x
+ C
2
trong d´o C
2
l`a h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c nghiˆe
.

mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜acho
y = C(x)e
−3x
=

1
5
e
5x
+ C
2

=
1
5
e
5x
+ C
2
e

−3x
. 
V´ı d u
.
2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh trong v´ıdu
.
1b˘a
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap d
ˆo
’
i
biˆe
´
n.
Gia
’
i. D
˘a
.

t y = uv. Khi d´o y

= u

v + v

u. Thay v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh
ta thu d
u
.
o
.
.
c
u

v + uv

+3uv = e
2x
⇒ u[v

+3v]+u

v = e
2x

. (14.13)
T`u
.
d
´o ta c´o hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
t`ım u v`a v:
v

+3v =0, (14.14)
vu

= e
2x
. (14.15)
240 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
T`u

.
(14.14) suy ra
dv
3v
= −dx ⇒ v = e
−3x
.
Thˆe
´
v = e
−3x
v`ao (14.15) ta du
.
o
.
.
c
e
−3x
u

= e
2x
→ u

= e
5x
⇒ u =
1
5

e
5x
+ C
v`a do d
´o
y = e
−3x

1
5
e
5x
+ C

=
1
5
e
2x
+ Ce
−3x
.
R˜o r`ang l`a ca
’
hai c´ach gia
’
id
ˆe
`
uchomˆo

.
tkˆe
´
t qua
’
. 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
dy
dx
=
1
x cos y + a sin 2y
· (14.16)
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho khˆong pha
’

i l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh
d
ˆo
´
iv´o
.
i y. Tuy nhiˆen, b˘a
`
ng ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
ido
.
n gia
’
n ta biˆe
´
nd
ˆo
’
in´ovˆe
`

phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i x v`a x

:
dx
dy
− x cos y = a sin 2y.
D
˘a
.
t x = u(y)v(y) ⇒
dx
dy
= u
dv
dy
+ v
du
dy
.Thˆe

´
x v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh v`u
.
a
thu d
u
.
o
.
.
c ta c´o hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
x´ac di
.
nh u v`a v
du
dy
− u cos y =0, (14.17)
u
dv
dy

= a sin 2y. (14.18)
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.17) ta thu d
u
.
o
.
.
c u = e
sin y
.Thˆe
´
kˆe
´
t qua
’
n`ay v`ao
(14.18) d
ˆe
’
t`ım v.Tac´o
e
siny
dv
dy

= a sin 2y
v(y)=2a

sin y cos ye
−siny
dy + C
= −2a(sin y +1)e
−sin y
+ C.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 241
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
x(y)=u · v = e

sin y

− 2a(sin y +1)e
−sin y
+ C

= −2a(sin y +1)+Ce
siny
. 
V´ı d u
.
4. Gia
’
i b`ai to´an Cauchy
x(x −1)y + y = x
2
(2x −1),y(2) = 4.
Gia
’
i. T`ım nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at du
.
´o
.
ida
.
ng

y = u(x)v(x) ⇒ y

= u

v + v

u.
Thˆe
´
y v`a y

v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta s˜e c´o hai phu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆe
’
x´ac
d
i
.
nh u(x)v`av(x):
x(x −1)v


+ v =0, (14.19)
x(x −1)vu

= x
2
(2x − 1). (14.20)
Gia
’
i (14.19) ta thu d
u
.
o
.
.
c v =
x
x −1
.Thˆe
´
v`ao (14.20) ta c´o
u

=2x − 1 ⇒ u(x)=x
2
− x + C.
Do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’

ng qu´at c´o da
.
ng
y = uv =(x
2
− x + C)
x
x −1
⇒ y =
Cx
x −1
+ x
2
.
v`a su
.
’
du
.
ng d
iˆe
`
ukiˆe
.
n ban dˆa
`
u ta thu du
.
o
.

.
c
4=C ·
2
2 − 1
+2
2
⇒ C =0⇒ y = x
2
.
Nhu
.
vˆa
.
y nghiˆe
.
mcu
’
a b`ai to´an Cauchy l`a y = x
2
. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
242 Chu
.

o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau
1. y

− y = e
x
.(DS. y =(x + C)e
x
)
2. y

+2y = e
−x
.(DS. y = Ce
−2x
+ e
−x
)

3. y

= x + y.(DS. y = Ce
x
− x −1)
4. y

+ x
2
y = x
2
.(DS. y =1+Ce
−
x
3
3
)
5. xy

+ y = 3. (DS. y =3+
C
x
)
6. xy

+ y = e
x
.(DS. y =
e
x

+ C
x
)
7. y

+2xy =2xe
−x
2
.(DS. y =(x
2
+ C)e
−x
2
)
8. y

− 2xy =2xe
x
2
.(DS. y =(x + C)e
x
2
)
9. y

+2xy = e
−x
2
.(DS. y =(x + C)e
−x

2
)
10. y

+ y = cos x.(DS. y = Ce
−x
+
1
2
(cos x + sin x))
11. y

cos x −y sin x = sin 2x.(DS. y =
C −cos 2x
2 cos x
)
12. xy

−2y = x
3
cos x.(DS. y = Cx
2
+ x
2
sin x)
13. xy

+ y =lnx + 1. (DS. y =lnx +
C
x

)
14. y

+
2y
x
=
e
−x
2
x
.(D
S. y =
C − e
−x
2
2x
2
)
15. y

− ytgx = cotgx.(DS. y =1+
ln Ctg
x
2
cos x
)
16. y

x ln x −y =3x

3
ln
2
x.(DS. y =(C + x
3
)lnx)
17. y

+ y cos x = sin 2x.(DS. y = 2(sin x − 1) + Ce
−sinx
)
18. y

−
2
x
y =
e
x
(x − 2)
x
.(D
S. y = Cx
2
+ e
x
)
19. y

+2xy =2x

2
e
−x
2
.(DS. y = e
−x
2

2x
3
3
+ C))
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 243
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınhd
ˆo
´

iv´o
.
i x sau d
ˆay
20. y

=
y
2y ln y + y − x
.(D
S. x =
C
y
+ y ln y)
21. (e
−
y
2
2
− xy)dy − dx = 0. (DS. x =(C + y)e
−
y
2
2
)
22. (sin
2
y + xcotgy)y

= 1. (DS. x =(−cos y + C) sin y)

23. (x + y
2
)dy = ydx.(DS. x = Cy+ y
2
, y =0)
24. (2e
y
−x)y

= 1. (DS. x = Ce
−y
+ e
y
)
25. (y
2
− 6x)y

+2y = 0. (DS. x =
1
2
y
2
+ Cy
3
)
26. y = xy

+ y


ln y.(DS. x = Cy − 1 − ln y)
27. (x
2
ln y − x)y

= y.(DS. x =
1
ln y +1− Cy
)
28. (2xy +3)dy − y
2
dx = 0. (DS. x = Cy
2
−
1
y
)
29. (y
4
+2x)y

= y.(DS. x = Cy
2
+
y
4
2
)
30. ydx +(x + x
2

y
2
)dy = 0. (DS. x =
1
y(y + C)
)
31. e
−x
dy
dx
− e
−x
= e
y
.(DS. e
−y
= Ce
−x
−
1
2
e
x
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a

.
t z(x)=e
−y
.
32. 3dy +(1+e
x+3y
)dx = 0. (DS. y = −
1
3
ln(C + x) −
x
3
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z(x)=e
−3y
.
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau
33. ydx −(3x +1+lny)dy =0. y

−
1

3

=1.
(D
S. x =
y
3
− 4
9
−
1
3
ln y)
Chı
’
dˆa
˜
n. Xem x l `a ˆa
’
n h`am.
34. x
2
+ xy

= y, y(1) = 0. (DS. y = x − x
2
)
244 Chu
.
o

.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
35. y

cos x −y sin x =2x, y(0) = 0. (DS. y =
x
2
cos x
)
36. y

− ytgx =
1
cos
3
x
, y(0) = 0. (D
S. y =
sin x
cos
2
x
)
37. y

+ y cos x = cos x, y(0) = 1. (DS. y =1)

38. (1 − x)(y

+ y)=e
−x
, y(2) = 0. (DS. −e
−x
ln |1 − x|)
39. y

+3ytg3x = sin 6x, y(0) =
1
3
.(D
S. y = cos 3x[1 −
2
3
cos 3x])
40. y

sin x − y cos x =1;y

π
2

= 0. (D
S. y = −cos x)
41. y

− ytgx =
1

cos x
, y(0) = 1. (D
S. y =
x
cos x
+1)
42. y

+ x
2
y = x
2
, y(2) = 1. (DS. y =1)
43. y

− y
1
sin x cos x
= −
1
sin x
− sin x, y

π
4

=1+
√
2
2

.
(D
S. tg x + cos x)
44. y

+ y cos x = sin x cos x, y(0) = 1. (DS. y =2e
−sin x
+ sin x − 1)
14.1.4 Phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli
Phu
.
o
.
ng tr`ınh da
.
ng
y

+ P (x)y = Q(x)y
α
,α= const,α=0,α=1, (14.21)
trong d
´o P (x)v`aQ(x) l`a nh˜u
.
ng h`am liˆen tu
.

c, d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu
.
o
.
ng
tr`ınh Bernoolli.
C˜ung giˆo
´
ng nhu
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh, phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli
d

u
.
o
.
.
c gia
’
i nh`o
.
phu
.
o
.
ng ph´ap
a) d
ˆo
’
ibiˆe
´
n y = u(x)v(x),
b) biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y.
Phu
.
o

.
ng tr`ınh (14.21) c´o thˆe
’
d
u
.
avˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
nt´ınhbo
.
’
i
ph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
n
z = y
1−α
14.1. Phu
.
o
.

ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 245
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh x
2
y
2
y

+ xy
3
=1.
Gia
’
i. Chia hai vˆe
´

cho x
2
y
2
:
y

+
y
x
= y
−2
·
1
x
2
· (14.22)
D
´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernolli. Thay y = uv v`ao (14.22) ta c´o:
u

v + v

u +
uv
x

=
1
x
2
u
2
v
2
,
⇒u

v + u

v

+
v
x

=
1
x
2
u
2
v
2
·
T`u
.

d
´odˆe
’
t`ım u v`a v ta c´o hai phu
.
o
.
ng tr`ınh
1) v

+
v
x
= 0; 2) vu

=
1
x
2
u
2
v
2
·
Phu
.
o
.
ng tr`ınh 1) cho ta nghiˆe
.

m v =
1
x
v`a t`u
.
d
´o
u

x
=
1
u
2
⇒ u
2
u

= x ⇒ u
2
du = xdx
⇒
u
3
3
=
x
2
2
+

C
3
⇒ u =
3

3x
2
2
+ C.
Do vˆa
.
y nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o da
.
ng
y = uv =
3

3
2x

+
C
x
3
. 
V´ı d u
.
2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh y

−2xy =3x
3
y
2
.
Gia
’
i. D
´o l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernolli. Chia hai vˆe
´
cu

’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh
cho y
2
:
y
−2
y

− 2xy
−1
=2x
3
.
D
˘a
.
t z = y
−1
→−y
−2
y

= z

.Dod´o

z

+2xz = −2x
3
.
246 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay ta thu d
u
.
o
.
.
c
z = Ce
−x
2

+1− x
2
v`a do d´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a
y =
1
Ce
−x
2
+1− x
2
· 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.

ng tr`ınh xy

+ y = y
2
ln x.
Gia
’
i. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh Bertnoulli. Ta s˜e b˘a
`
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap biˆe
´
n thiˆen h˘a
`
ng sˆo
´
.

1
+
Nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
y =
C
x
.
2
+
Nghiˆe

.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh khˆong thuˆa
`
n nhˆa
´
ts˜ed
u
.
o
.
.
c
t`ım du
.
´o
.
ida
.
ng y =
C(x)
x
, trong d

´o C(x) l`a h`am m´o
.
i chu
.
abiˆe
´
t. Thay
y =
C(x)
x
v`ao phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
C

(x)=C
2
(x)
ln x
x
2
⇒

dC
C
2
=
ln x
x
2
dx
⇒
1
C(x)
=
ln x
x
+
1
x
+ C ⇒ C(x)=
x
1+Cx+lnx
v`a do d
´o nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a n´o l`a
y =
1

1+Cx +lnx
· 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli sau
1. y

+2xy =2xy
2
.(DS. y =
1
1+Ce
x
2
)
2. 3xy
2
y


− 2y
3
= x
3
.(DS. y
3
= x
3
+ Cx
2
)
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 247
3. (x
3
+ e
y
)y

=3x
2
.(DS. x
3
e
−y

= C + y)
4. y

+2xy = y
2
e
x
2
.(DS. y =
e
−x
2
C − x
)
5. y

− y cos x = y
2
cos x.(DS. y =
1
Ce
−sinx
− 1
)
6. 2y

sin x + y cos x = y
3
sin
2

x.(DS. y
2
(C −x) sin x =1)
Su
.
’
du
.
ng ph´ep d
ˆo
’
ibiˆe
´
ndu
.
a c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh phi tuyˆe
´
n sau d
ˆay
vˆe
`
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe

´
n t´ınh ho˘a
.
cphu
.
o
.
ng tr`ınh Bernoulli. Gia
’
i c´ac
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
´o.
7. y

− tgy = e
x
1
cos y
.(D
S. sin y =(x + C)e
x
.
Chı
’
dˆa
˜

n. D
˘a
.
t z = sin y.
8. y

= y(e
x
+lny). (DS. ln y =(x + C)e
x
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z =lny.
9. y

cos y + sin y = x + 1. (DS. sin y = x + Ce
−x
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a

.
t z = sin y.
10. yy

+1=(x −1)e
−
y
2
2
.(DS. x − 2+Ce
−x
= e
y
2
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z = e
y
2
2
11. y

+ x sin 2y =2xe

−x
2
cos
2
y.(DS. tgy =(C + x
2
)e
−x
2
)
Chı
’
dˆa
˜
n. D
˘a
.
t z =tgy.
14.1.5 Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa
`
n
I. Nˆe
´
u trong phu
.
o

.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (14.23)
c´ac hˆe
.
sˆo
´
P v`a Q tho
’
am˜and
iˆe
`
ukiˆe
.
n
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
(14.24)
248 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o

.
ng tr`ınh vi phˆan
th`ı vˆe
´
tr´ai cu
’
a n´o l`a vi phˆan to`an phˆa
`
ncu
’
a h`am V (x, y) n`ao d´o v `a
trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.23) d
u
.
o
.
.
cgo
.

il`aphu
.
o
.
ng tr`ınh
vi phˆan to`an phˆa
`
n (ptvptp) v`a
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dV (x, y) = 0 (14.25)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (14.23) l`a ptvptp khi v`a chı
’
khi c´ac h`am P, Q,
∂Q
∂x
,
∂P
∂y
liˆen tu
.
c trong miˆe
`
nd
o
.
nliˆen D ⊂ R
2

v`a tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n
(14.24).
Nˆe
´
u dV (x, y) = 0 th`ı nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a (14.25) c´o da
.
ng
V (x, y)=C,
trong d
´o C l`a h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y v`a du
.
o
.
.

c t`ım theo c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap sau.
1
+
T´ıch phˆan biˆe
’
uth´u
.
c dV (x, y) theo d
u
.
`o
.
ng L(A, M) ⊂ D bˆa
´
tk`y
gi˜u
.
a hai d
iˆe
’
m A(x
0
,y
0
)v`aM(x, y) v`a thu du
.

o
.
.
c nghiˆe
.
mcu
’
a ptvptp:
V (x, y)=
(x,y)

(x
0
,y
0
)
Pdx+ Qdy = C.
Thˆong thu
.
`o
.
ng lˆa
´
y L(A, M)l`ad
u
.
`o
.
ng gˆa
´

pkh´uc v´o
.
i c´ac ca
.
nh song song
v´o
.
i tru
.
cto
.
ad
ˆo
.
A(x
0
,y
0
), B(x, y
0
), M(x, y)):
V (x, y)=
x

x
0
P (t, y
0
)dt +
y


y
0
Q(x, t)dt = C.
2
+
V`ı dV (x, y)=d
x
V (x, y)+d
y
V (x, y), trong d´o d
x
V v`a d
y
V l`a
c´ac vi phˆan riˆeng cu
’
a V (x, y)nˆen b˘a
`
ng c´ach t´ıch phˆan riˆeng biˆe
.
tmˆo
˜
i
biˆe
’
uth´u
.
cd
´o, ta c´o V (x, y)biˆe

’
udiˆe
˜
nbo
.
’
i hai da
.
ng sau
1) V (x, y)=

Pdx+ ϕ(y), xem y l`a khˆong d
ˆo
’
i,
2) V (x, y)=

Qdy + ψ(x), xem x khˆong d
ˆo
’
i.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 249
Dˆe
´

ndˆay, ho˘a
.
c xuˆa
´
t ph´at t`u
.
1) ta t`ım ϕ(y)du
.
.
a v`ao d
iˆe
`
ukiˆe
.
nl`a
∂V
∂y
= Q(x, y) ⇒


Pdx


y
+ ϕ

(y)=Q(x, y)
v`a t`u
.
d

´othudu
.
o
.
.
c ϕ(y).
Ho˘a
.
ct`ımψ(x)du
.
.
a v`ao d
iˆe
`
ukiˆe
.
nl`a
∂V
∂x
= P (x, y) ⇒


Qdy


x
+ ψ

(x)=P(x, y)
v`a t`u

.
d
´othudu
.
o
.
.
c ψ(x).
II. Th `u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan
Nˆe
´
uphu
.
o
.
ng tr`ınh (14.23) khˆong l`a ptvptp nhu
.
ng tˆo
`
nta
.
i h`am
µ = µ(x, y) ≡ 0 sao cho sau khi nhˆan hai vˆe
´
cu
’

a (14.23) v´o
.
i µ m`a
phu
.
o
.
ng tr`ınh thu d
u
.
o
.
.
c trong kˆe
´
t qua
’
l`a ptvptp th`ı h`am µ(x, y)d
u
.
o
.
.
c
go
.
il`ath`u
.
asˆo
´

t´ıch phˆan.Tachı
’
ha
.
nchˆe
´
x´et hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p sau.
1
+
Nˆe
´
u

∂P
∂y
−
∂Q
∂x

/Q l`a h`am chı
’
cu
’

abiˆe
´
n x th`ı phu
.
o
.
ng tr`ınh
(14.23) c´o th`u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan µ = µ(x)chı
’
phu
.
thuˆo
.
c x v`a d
u
.
o
.
.
c x´ac
d
i
.
nh bo
.
’

iphu
.
o
.
ng tr`ınh
d ln µ
dx
=
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
Q
· (14.26)
2
+
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nˆe
´
u

∂Q
∂x

−
∂P
∂y

/P l`a h`am chı
’
cu
’
abiˆe
´
n y th`ı (14.23)
c´o th`u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan µ = µ(y)chı
’
phu
.
thuˆo
.
c y v`a d
u
.
o
.
.
ct`ımt`u
.
phu

.
o
.
ng
tr`ınh
d ln µ
dy
=
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
P
· (14.27)
C
´
AC V
´
IDU
.
250 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan

V´ı d u
.
1. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x + y +1)dx +(x − y
2
+3)dy =0.
Gia
’
i. O
.
’
d
ˆa y P = x + y +1,Q = x − y
2
+3. V`ı
∂P
∂y
=1=
∂Q
∂x
nˆen vˆe
´
tr´ai cu
’

aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a vi phˆan to`an phˆa
`
ncu
’
a h`am
V (x, y) n`ao d
´o v `a
1)
∂V
∂x
= x + y +1,
2)
∂V
∂y
= x − y
2
+3.
T`u
.
1) thu d
u
.
o
.
.

c
V =

P (x, y)dx + ϕ(y)=

(x + y +1)dx + ϕ(y)
=
x
2
2
+ yx + x + ϕ(y). (*)
D
ˆe
’
t`ım ϕ(y) ta cˆa
`
nsu
.
’
du
.
ng 2) v`a kˆe
´
t qua
’
v`u
.
athud
u
.

o
.
.
c
∂
∂y

x
2
2
+ yx + x + ϕ(y)

= x − y
2
+3⇒ ϕ

(y)=−y
2
+3
⇒ ϕ(y)=

(−y
2
+3)dy ⇒ ϕ(y)=−
y
3
3
+3y + C
1
.

Thˆe
´
biˆe
’
uth´u
.
c ϕ(y) v`ao (*) ta thu d
u
.
o
.
.
c
V (x, y)=
x
2
2
+ xy + x −
y
3
3
+3y + C
1
.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho c´o da

.
ng dV (x., y) = 0 v`a nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a
n´o d
u
.
o
.
.
c x´ac d
i
.
nh bo
.
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
V (x, y)=C
2
hay
x
2

2
+ xy + x −
y
3
3
+3y + C
1
= C
2
.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 251
D˘a
.
t6(C
2
− C
1
)=C -h˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y v`a thu du
.
o

.
.
c nghiˆe
.
mtˆo
’
ng qu´at
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a
3x
2
+6xy +6x −2y
3
+18y = C. 
V´ı d u
.
2. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(1 + x


x
2
+ y
2
)dx +(−1+

x
2
+ y
2
)ydy =0.
Gia
’
i. Dˆe
˜
kiˆe
’
m tra r˘a
`
ng phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a ptvptp. Thˆa
.
tvˆa
.
y

v`ı
∂P
∂y
≡
∂Q
∂x
=
xy

x
2
+ y
2
liˆen tu
.
c kh˘a
´
pno
.
i trong m˘a
.
t ph˘a
’
ng nˆen
phu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho l`a ptvptp. Nghiˆe

.
mtˆo
’
ng qu´at cu
’
a n´o c´o thˆe
’
viˆe
´
t
du
.
´o
.
ida
.
ng t´ıch phˆan d
u
.
`o
.
ng
(x,y)

(x
0
,y
0
)
[Pdx+ Qdy]=C.

Cho
.
nd
u
.
`o
.
ng t´ıch phˆan l`a d
u
.
`o
.
ng gˆa
´
pkh´uc c´o c´ac ca
.
nh song song v´o
.
i
tru
.
cto
.
ad
ˆo
.
MNK, trong d´o M(x
0
,y
0

), K(x, y
0
), N(x, y) v`a thu du
.
o
.
.
c
x

x
0
P (t, y
0
)dt +
y

y
0
Q(x, t)dt = C.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay ta cho
.
n M(0; 1) v`a c´o

P (x, 1) = 1 + x
√
x
2
+1; Q(x, y)=(−1+

x
2
+ y
2
)y.
Do d
´o t´ıch phˆan tˆo
’
ng qu´at c´o da
.
ng
x

0
[1 + t
√
t
2
+1]dt +
y

1
[−1+
√

x
2
+ t
2
]tdt = C
hay l`a
x +
1
3
(x
2
+ y
2
)
3/2
−
y
2
2
= C.
252 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
Nˆe

´
u ta cho
.
n M l`a diˆe
’
m kh´ac cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng th`ı thu du
.
o
.
.
ckˆe
´
t qua
’
kh´ac
kˆe
´
t qua
’
trˆen bo
.
’
ida
.

ng cu
’
ah˘a
`
ng sˆo
´
t`uy ´y. 
V´ı d u
.
3. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
(x + y
2
)dx − 2xydy =0.
Gia
’
i. O
.
’
d
ˆay P = x + y
2
, Q = −2xy. Ta thˆa
´
y ngay phu

.
o
.
ng tr`ınh
d
˜a cho khˆong l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa
`
n. Ta c´o
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
Q
=
2y +2y
−2xy
= −
2
x
v`a do vˆa
.
y
d ln µ
dx
= −

2
x
⇒ ln µ = −2ln|x|⇒µ =
1
x
2
·
Phu
.
o
.
ng tr`ınh
x + y
2
x
2
dx − 2
xy
x
2
dy =0
l`a phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆa
`
n. Vˆe
´
tr´ai cu

’
a n´o c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
i
da
.
ng
dx
x
−
2xydy − y
2
dx
x
2
=0⇒ d

ln |x|−
y
2
x

=0.
T`u

.
d
´othudu
.
o
.
.
c t´ıch phˆan tˆo
’
ng qu´at
x = Ce
y
2
/x
. 
V´ı d u
.
4. Gia
’
iphu
.
o
.
ng tr`ınh
2xy ln ydx +(x
2
+ y
2

y

2
+1)dy =0.
Gia
’
i. O
.
’
d
ˆa y P =2xy ln y, Q = x
2
+ y
2

y
2
+ 1. Ta c´o
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
P
=
2x − 2x(ln y +1)
2xy ln y
= −
1
y
⇒
d ln µ

dy
= −
1
y
⇒ µ =
1
y
·
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 253
Nhˆan µ =
1
y
v´o
.
i hai vˆe
´
cu
’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh d
˜a cho ta thu du

.
o
.
.
cphu
.
o
.
ng
tr`ınh vi phˆan to`an phˆa
`
n
2xy ln ydx
y
+
x
2
+ y
2

y
2
+1
y
dy =0
hay l`a
d(x
2
ln y)+y


y
2
+1dy =0⇒ x
2
ln y +
1
3
(y
2
+1)
3/2
= C. 
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
Gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh sau
1. (3x
2
+6xy
2

)dx +(6x
2
y +4y
3
)dy = 0. (DS. x
3
+3x
2
y
2
+ y
4
= C)
2. 3xe
y
dx +(x
3
e
y
− 1)dy = 0. (DS. x
3
e
y
− y = C)
3. e
−y
dx +(1− xe
−y
)dy = 0. (DS. y + xe
−y

= C)
4. 2x cos
2
ydx +(2y − x
2
sin 2y)dy = 0. (DS. x
2
cos
2
y + y
2
= C)
5. (3x
2
+2y)dx +(2x −3)dy = 0. (DS. x
3
+2xy − 3y = C)
6. (3x
2
y − 4xy
2
)dx +(x
3
− 4x
2
y +12y
3
)dy =0.
(D
S. x

3
y −2x
2
y
2
+3y
4
= C)
7. (x cos 2y +1)dx −x
2
sin 2ydy = 0. (DS.
x
2
cos 2y
2
+ x = C)
8. (3x
2
e
y
)dx +(x
3
e
y
− 1)dy = 0. (DS. x
3
e
y
− y = C)
9. (2y −3)dx +(2x +3y

2
)dy = 0. (DS. 2xy −3x + y
3
= C)
10. (x +ln|y|)dx +

1+
x
y
+ sin y)dy =0.
(D
S.
x
2
2
+ x ln |y|+ y −cos y = C)
11. (3x
2
y
2
+7)dx +2x
3
ydy = 0. (DS. x
3
y
2
+7x = C)
12. (e
y
+ ye

x
+3)dx =(2−xe
y
− e
x
)dy.
254 Chu
.
o
.
ng 14. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan
(DS. xe
y
+ ye
x
+3x − 2y = C)
13. sin(x + y)dx + x cos(x + y)(dx + dy)=0.
(D
S. x sin(x + y)=C)
14. e
−y
dx +(1− xe
−y
)dy = 0. (DS. xe
−y
+ y = C)

15. (12x +5y − 9)dx +(5x +2y − 4)dy =0.
(D
S. 6x
2
+5xy + y
2
− 9x − 4y = C)
16. (3xy
2
− x
2
)dx +(3x
2
y − 6y
2
− 1)dy =0.
(D
S. 6y +12y
3
−9x
2
y
2
+2x
3
= C)
17. (ln y − 2x)dx +

x
y

− 2y

dy =0.
(D
S. x ln y − x
2
− y
2
= C)
18.

sin 2x
y
+ x

dx +

y −
sin
2
x
y
2

dy =0.
(D
S.
sin
2
x

y
+
x
2
+ y
2
2
= C)
19. (3x
2
−2x −y)dx +(2y − x +3y
2
)dy =0.
(D
S. x
3
+ y
3
− x
2
−xy + y
2
= C)
20.

sin y + y sin x +
1
x

dx +


x cos y − cos x +
1
y

dy =0.
(D
S. x sin y −y cos x +ln|xy| = C)
T`ım th`u
.
asˆo
´
t´ıch phˆan d
ˆe
’
gia
’
i c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh
21. (1 − x
2
y)dx + x
2
(y − x)dy =0.
(D
S. xy
2

− 2x
2
y − 2=Cx, µ =
1
x
2
)
22. (x
2
+ y)dx − xdy =0,µ = µ(x).
(D
S. x −
y
x
= C, µ = −
1
x
2
)
23. (x + y
2
) − 2xydy =0,µ = µ(x).
(D
S. x ln |x|−y
2
= Cx, µ =
1
x
2
)

24. (2x
2
y +2y +5)dx +(2x
3
+2x)dy =0.
14.1. Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan cˆa
´
p1 255
(DS. 5arctgx +2xy = C, x =0,µ =
1
1+x
2
)
25. (x
4
ln x − 2xy
3
)dx +3x
2
y
2
dy =0.
(D
S. y
3
+ x

3
(ln x − 1) = C, x =0,µ =
1
x
4
)
26. (x + sin x + siny)dx + cos ydy =0.
(D
S. 2e
x
sin y +2e
x
(x − 1) + e
x
(sin x − cos x)=C, µ = e
x
)
27. (2xy
2
− 3y
3
)dx +(7− 3xy
2
)dy =0.
(D
S. x
2
−
7
y

− 3xy = C, µ =
1
y
2
)
Gia
’
i c´ac b`ai to´an Cauchy sau
28. (2x + ye
xy
)dx +(1+xe
xy
)dy =0,y(0) = 1.
(D
S. x
2
+ y + e
xy
=2)
29. 2x cos
2
ydx +(2y − x
2
sin 2y)dy =0,y(0) = 0.
(D
S. 2y
2
+ x
2
cos 2y + x

2
=0)
30. 3x
2
e
y
+(x
3
e
y
− 1)y

=0,y(0) = 1. (DS. x
3
e
y
− y = −1)
31.
2xdx
y
3
+
y
2
− 3x
2
y
4
dy =0,y(1) = 1. (DS. y = x)
14.1.6 Phu

.
o
.
ng tr`ınh Lagrange v`a phu
.
o
.
ng tr`ınh
Clairaut
Phu
.
o
.
ng tr`ınh vi phˆan da
.
ng
y = xϕ(y

)+ψ(y

) (14.28)
d
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a phu

.
o
.
ng tr`ınh Lagrange, trong d
´o ϕ(y

)v`aψ(y

) l`a c´ac h`am
d
˜a b i ˆe
´
tcu
’
a y

.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p khi ϕ(y

)=y

th`ı (14.28) c´o da
.

ng
y = xy

+ ψ(y

) (14.29)