NHỮNG LƯU Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ MÔN TOÁN doc

TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI LÀM BÀI THI ĐH&CĐ
MÔN TOÁN.
Kỳ thi ĐH&CĐ đang sắp đến gần, ngoài cuốn sách “Những điều cần biết” để
các em có thể chọn cho mình ngành học phù hợp thì còn có thêm “những điều cần biết” khác
đó chính là: Các kiến thức cần chú ý khi làm bài thi. Vì sự giảm tải chương trình, vì cấu trúc
đề thi ĐH&CĐ nên Bộ GD&ĐT sẽ hạn chế bớt một số kiến thức hay một số phương pháp
giải khác so với các năm đề thi riêng trước đây. Song còn rất nhiều tài liệu, nhiều giáo viên
vùng sâu vùng xa còn bị ảnh hưởng bởi các phương pháp này khi trình bày. Điều đáng chú ý
là chưa có một cuốn sách hay một tài liệu nào đáng tin cậy viết về những vấn đề này cho các
em học sinh. Chính vì những lí do đó sau đây đây tôi xin nêu lên một số điểm chú ý khi làm
bài thi môn Toán. Đó chính là các kiến thức các em không được áp dụng trong quá trình làm
bài, hay nếu được áp dụng các em sẽ áp dụng ra sao.
A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH:
1. Vấn đề hàm ngược của các hàm lượng giác:
Chúng ta thấy rằng khi giải các phương trình lượng giác, khi tính tích phân xác định
có những số chúng ta không đổi ngược lại thành các góc đặc biệt được nên người ta nghĩ ra
các đặt tên cho các số đó là:
arcsin ,arccos ,arctan ,ar cotc
α α α α
. Nhưng ngày nay chúng ta
sẽ không áp dụng cách viết đó nữa mà chúng ta sẽ đặt các góc đó là
α
hay β rồi biểu thị qua
các hàm lượng giác của chúng.
• Ví dụ 1: Khi giải PT lượng giác đến chỗ
3
sinx
4
=
thì ta suy ra ngay

2
;
2
x k
k
x k
α π
π α π
= +

∈

= − +

¢
trong đó
3
sin
4
α
=
.
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 1
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
• Ví dụ 2: Khi tính tích phân ta đổi cận và thấy trong tích phân
2
2
1
7
dx

I
x
=
+
∫
khi đặt
7 tan t arctan 7x t= ⇒ =
để đổi cận. Nhưng ta sẽ không dùng arctan mà ta sẽ đặt α và β
sao cho:
α
β

=




=


1
tan
7
2
tan
7
. Khi đó ta có kết quả là:
( )
7
;

7
I
β α
= −
với
α
β

=




=


1
tan
7
2
tan
7
2. Vấn đề sử dụng định lí đảo của “ ĐL về dấu tam thức bậc 2”:
Ta thấy có nhiều bài toán cần đến kiến thức này, nhất là các bài toán phụ về
khảo sát hàm số như: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên đoạn nào đó. Hay
hàm số đạt cực trị thõa mãn ràng buốc nào đó. Nếu áp dụng ĐL đảo của “ĐL về dấu của tam
thức bậc 2” sẽ rất thuận tiện. Nhưng Bộ GĐ đã không cho dùng. Song lại có những bài không
dùng định lí này thì mình không thể giải quyết được. Vậy chúng ta sẽ làm thế nào? Sau đây
sẽ là một giải pháp.
• Giải pháp: ( Tịnh tiến và áp dụng tổng và tích các nghiệm)

Nếu một bài toán sau khi chuyển về ngôn ngữ của PT bậc 2 là: Tìm tham số m để phương
trình có 2 nghiệm x
1
≤
x
2
thỏa mãn điều kiện: Hoặc
1 2
x x
α
≤ ≤
hoặc
1 2
x x
α
≤ ≤
hoặc
1 2
x x
α
≤ ≤
thông thường mình nghĩ ngay đến việc áp dụng
( )
;af ;
2
S
α
∆
để giải thì mình lại
chuyển các điều kiện

1 2
x x
α
≤ ≤
hoặc
1 2
x x
α
≤ ≤
hoặc
1 2
x x
α
≤ ≤
thành
α
α
= −


= −

1 1
2 2
y x
y x
.
Lúc này bài toán trở về đặt y = (x – α) sau đó biến đổi mình cũng đưa về PT bậc 2 biến y
tham số m thõa mãn điều kiện:
 Tương ứng với

1 2
x x
α
≤ ≤
sẽ là:
1 2
0 y y≤ ≤ ⇒
∆ ≥


= + ≥


= ≥

1 2
1 2
0
0
0
y
S y y
P y y
 Tương ứng với
1 2
x x
α
≤ ≤
sẽ là:
1 2

0y y≤ ≤ ⇒
∆ ≥



= ≥


1 2
0
0
y
P y y
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 2
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
 Tương ứng với
1 2
x x
α
≤ ≤
sẽ là:
1 2
0y y≤ ≤ ⇒
∆ ≥


= + ≤


= ≥


1 2
1 2
0
0
0
y
S y y
P y y
• Ví dụ: Tìm a để hàm số:
= − + + + +
3 2
3( 1) 3( 1) 1y x m x m
nghịch biến trên
( )
−∞;1
Giải:
Ta có:
= − + + +
2
' 3 6( 1) 3( 1)y x m x m
. Để hàm số nghịch biến trên
( )
−∞;1
thì BPT
− + + + <
2
3 6( 1) 3( 1) 0x m x m
luôn đúng với mọi x ∈
( )

−∞;1
. Đến đây tất nhiên các em có
thể sử dụng PP hàm số là cô lập m sang 1 vế và tìm Min, Max của hàm số ở vế kia. Song
chúng ta có thể làm như sau:
Ta thấy nếu PT:
( )
− + + + =
2
3 6( 1) 3( 1) 0 *x m x m
vô nghiệm sẽ không thõa mãn vì
a =3 > 0 nên (*) phải có 2 nghiệm x
1
≤
x
2
thỏa mãn điều kiện: x
1
≤
x
2

≤
1
Đặt y = x – 1
( ) ( ) ( )
⇔ + − + + + + = ⇔ + + + + =
2
2
3 1 6( 1) 1 3( 1) 0 2 2 3 4 0y m y m y m y m
(**)

Khi đó PT
( )
**
có 2 ngiệm thõa mãn
1 2
0y y≤ ≤ ⇒
∆ ≥


= + ≤


= ≥

1 2
1 2
0
0
0
y
S y y
P y y
( ) ( )
( )
Δ


= + − + = + ≥

≤ − ≥




⇔ − + ≤ ⇔ ≥ − ⇔ − ≤ ≤ −
 
 
+ ≥
 
≥ −


2
' 1 ( 1) 1 0
1; 0
4
2 4 0 4 4
3
4
3 4 0
3
m m m m
m m
m m m
m
m
3. Vấn đề sử dụng định lí Viet cho phương trình bậc 3:
Ta thấy trong bài toán về tương giao của hàm bậc 3 hay bài toán về cực trị của hàm
bậc 4 sẽ có những bài toán dẫn chúng ta đến việc tính theo tham số m giá trị của biểu thức
chứa x
1

; x
2
; x
3
. Chúng ta sẽ nghĩ ngay đến ĐL Viet cho PT bậc 3, song Bộ GD&ĐT không
cho chúng ta nói là áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3. Vậy chúng ta giải quyết thế nào đây?
• Giải pháp: Chúng ta vẫn áp dụng ĐL Viet cho PT bậc 3, song chúng ta lại đi chứng
minh lại ĐL này. Như vậy chúng ta sẽ làm bài toán ấy dựa theo phương pháp chứng minh ĐL
Viet cho PT bậc 3. Sau đây sẽ là ví dụ tôi xin trích ngay từ đề thi ĐH năm 2010 vừa qua như
sau:
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 3
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
• Ví dụ: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
.
Giải:
Sau khi tìm điều kiện để PT x

3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
thì
ta có: x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)
=
( ) ( )
1 2 3
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 2 3 3 1
1 2 3
2
1
x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x m
x x x m
+ + = −


+ + + + + + + ⇒ + + = −


=

⇒
( ) ( )
( )
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
2 4 2 1 4 1x x x x x x x x x x x x m m+ + = + + − + + = + − < ⇔ <
.
Kết hợp với điều kiện của m để PT có 3 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
ta có kết quả cuối cùng
là:

− ≤ ≤




≠

1
1
4
0
m
m
. Bài toán này chúng ta nhẩm được nghiệm trước là x = 1 nên đưa về PT bậc
2 nên nó đơn giản hơn ( Cách này các bạn xem đáp án của Bộ GD nhé).
4. Vấn đề sử dụng điều kiện nghiệm kép:
Trong nhiều bài toán về tiếp xúc Bộ GD đã không cho chúng ta sử dụng điều kiện
nghiệm kép để giải quyết các bài toán. Vấn đề chuyển hướng giải quyết của vấn đề này đã
được nói khá nhiều cách đây 6, 7 năm rồi và nhiều tài liệu bắt đầu chuyển dần sang hướng
mới rồi. Tôi chỉ xin nhắc lại cho các bạn như sau:
• Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp
xúc với nhau. Trước đây người ta đi tìm điều kiện của tham số m để PT hoành độ:
f(x) = g(x) có nghiệm kép. Nhưng người ta đã chuyển điều kiện thành:
Tìm m để hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )

=


=


' '

f x g x
f x g x
có nghiệm. Khi g(x) là hàm bậc nhất ta có nó là
tiếp tuyến, còn khi cả f(x) và g(x) là các hàm khác thì nó là sự tiếp xúc của các đường cong.
Cùng xem xét ví dụ nhé!
• Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
( )
3 2
: 3 2C y x x= − +
biết tiếp tuyến đó
vuông góc với đường thẳng:
5 3 4 0y x− + =
Giải:
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 4
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho có phương trình dạng:
5
( ):
3
d y x a= − +
Điều kiện để (d) và (C) tiếp xúc nhau là: hệ
3 2
2
5
3 2 x a
3
5
3 6
3
x x

x x

− + = − +




− = −


có nghiệm
Từ
2 2
5 29
5
3 27
3 6 9 18 5 0
1 61
3
3 27
x a
x x x x
x a

= → =

− = − ⇒ − + = ⇒


= → =



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán:
1
5 29
( ): x
3 27
d y = − +
và
2
5 61
( ) : x
3 27
d y = − +
• Ví dụ 2: : Tìm m để đường cong y = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 2m
2
+ m và
y = 2x
3
–10x
2
+10x+1 tiếp xúc với nhau.
Giải:
Gọi

0
x
là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có hệ sau:





4 3 2 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
3 2 2
0 0 0 0 0
x - 6x +12x - 14x + 2m + m=2x - 10x + 10x + 1(1)
4x - 18x + 24x -14=6x - 20x + 10(2)
Ta thấy (2)
⇔

+ + − =
3 2
0 0 0
4x 24x 44x 24 0

⇔

− + − =
3 2
0 0 0
x 6x 11x 6 0
⇔
(

0
x
- 1)(
0
x
- 2)(
0
x
- 3) = 0
⇔

0
x
= 1 hoặc
0
x
= 2 hoặc
0
x
= 3
- Nếu
0
x
= 1. Thay vào (1) và ta có: 2m
2
+ m – 7 = 3
⇔
2m
2
+ m – 10 = 0

⇔
=



= −

m 2
5
m
2
- Nếu
0
x
= 2. Thay vào (1) và ta có: 2m
2
+ m – 7 = 0
⇔
m =
− ±
1 57
4
- Nếu
0
x
= 3. Thay vào (1) ta có: 2m
2
+ m – 10 = 0 (Quay về trường hợp
0
x

= 1)
Vậy các giá trị cần tìm của m là : m = 2 , m =
−
5
2
, hoặc m =
− ±
1 57
4
5. Vấn đề sử dụng phương pháp tính nhanh cực trị hàm phân thức và đa thức:
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 5
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
Chúng ta biết rằng khi tính các trực trị của hàm số tại các điểm đạt cực trị bằng số
nguyên cụ thể thì tính đơn giản. Nhưng khi là số vô tỷ phức tạp, thậm chí có cả tham số hay
viết PT đường thẳng đi qua CĐ và CT thì mình sẽ đi áp dụng “ Bổ đề” sau. Và chúng ta cần
chứng minh lại các bổ đề này khi áp dụng trong bài thi. Việc nhớ cách chứng minh không hề
khó khăn gì đâu các bạn à, nó chỉ áp dụng cách tính đạo hàm thôi, mà đạo hàm ai chẳng biết
tính.
• Bổ đề 1: ( Với hàm đa thức)
 Hàm bậc 3:
-

Bước 1:

Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:
( )
(
)
( )
( )

(
)
2
1 2
3 9 3 3 9
b b bc
f x x f x c x d
a a a
′
= + + − + −
hay
( ) ( ) ( ) ( )
.f x f x q x r x
′
= +

với bậc
( )
1r x =
- Bước 2: Do
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
( ) ( )
( )
(
)

2
1 1 1 1
1
2
2
2 2 2 2
2
0
3 3 9
nên
0
2
3 3 9
b bc
y f x r x c x d
f x
a a
f x
b bc
y f x r x c x d
a a

= = = − + −
′
 
=
 
 
′
=

 

= = = − + −



- Hệ quả : Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y = r(x)
Đối với hàm số tổng quát : y = f (x)
( )
3 2
0ax bx cx d a= + + + ≠
thì đường thẳng đi qua cực
đại, cực tiểu có phương trình:
( )
(
)
2
2
3 3 9
b bc
y c x d
a a
= − + −
 Hàm bậc 4:
Giả sử f ′(x) triệt tiêu và đổi dấu tại x = x
0
, khi đó f (x) đạt cực trị tại x
0
với số cực trị là
( )

4 3 2
0 0 0 0 0
f x ax bx cx dx e
= + + + +
. Trong trường hợp x
0
là số vô tỉ thì cực trị f (x
0
) được tính
theo thuật toán:
- Bước 1 : Thực hiện phép chia f (x) cho f ′(x) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
.
4 3 2
f x q x f x r x
′
= +
↓ ↓ ↓
BËc BËc BËc
- Bước 2: Do f ′(x
0
) = 0 nên f (x
0
) = r(x
0
)
- Hệ quả : Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y = f (x) nằm trên y = r(x)
• Bổ đề 2: ( Với hàm phân thức)
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 6
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)

Nếu hàm số y =
( )
( )
( )
; 0
u x
v x
v x
≠
đạt cực trị tại x = x
0
và , thì y(x
0
) =
( )
( )
0
0
'
'
u x
v x
Chứng minh: Ta có: y =
2
' 'u v v u
v
−
để hàm số đạt cực trị tại x = x
0
thì

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
' '
y' x 0 ' ' 0
'
u x v x v x u x
u x v x v x u x
v x
−
= = ⇔ − =
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0 0
'
'
u x u x
y x
v x v x
⇔ = = ⇒
ĐPCM

Áp dụng: Nếu hàm số y =
( )
( )
u x
v x
đạt cực trị tại x
1
; x
2
thì giá trị cực trị tại đó lần lượt là:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1 1
1
2
2 2
2
'
'
'
'
u x
y f x
v x
u x

y f x
v x

= =




= =


và đường thẳng đi qua CĐ và CT có phương trình là: y =
( )
( )
'
'
u x
v x
Vấn đề này các em tự tìm cho mình các ví dụ nhé!
6. Vấn đề sử dụng quy tắc L’Hopital và tích phân để tính giới hạn:
Về vấn đề này mang tính chất nâng cao một chút vì nó hoàn toàn là các kiến thức của
chương trình ĐH nhưng nó liên quan đến giới hạn – một nội dung nằm trong cấu trúc đề thi
ĐH&CĐ. Xin cảnh báo các bạn học chuyên Toán và các bạn từng đi thi đội tuyến HSG môn
Toán rằng: Trong quá trình ôn thi đội tuyển các bạn đương trang bị thêm 2 phương pháp tính
giới hạn ngoài các PP phổ thông nói ra đó là: Dùng quy tắc L’ Hopital và dùng tích phân. Tôi
xin nêu lại 2 phương pháp này như sau:
• Quy tắc L’ Hopital:
Khi
0x hay x→ ∞ →
thì giới hạn:

( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'
x x
u x u x
v x v x
→∞ →∞
=
hoặc
( )
( )
( )
( )
0 0
'
lim lim
'
x x
u x u x
v x v x
→ →
=
• Quy tắc tích phân:
Xét bài toán: Cho
1 2
.

n n
S u u u= + + +
Tính
lim
n
x
S
→∞
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 7
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
Giải quyết: Giả sử f(x) liên tục trên [a;b] khi đó với mọi phép phân hoạch π của đoạn [a;b] và
mọi cách chọn các điểm
[ ]
( )
1
; , 1;
i i i
x x i n
ξ
−
∈ =
. Đặt:
( )
1
1
ax
i i
i n
d M x x
−

≤ ≤
= −
ta luôn có:
( ) ( )
( )
1
0
1
lim
b
n
i i i
d
i
a
f x x f x dx
ξ
−
→
=
− =
∑
∫
. Từ đó ta có thể tính giới hạn của một tổng nhờ tích phân
theo quy trình sau đây:
- Bước 1: Biến đổi tổng giới hạn về biểu thức:
1
n
n
i

b a b a
S f a i
n n
=
− −
 
= +
 ÷
 
∑

- Bước 2: Xây dựng hàm f(x) khả tích trong đoạn [a;b]
- Bước 3: Tính tích phân
( ) ( )
lim
b b
n
x
a a
f x dx S f x dx
→∞
⇒ =
∫ ∫
7. Vấn đề sử dụng các Bất Đẳng Thức:
Bất đẳng thức đã trở thành vấn đề nan giải đối với nhiều bạn. Tất nhiên nó luôn có
trong cấu trúc đề thi ĐH&CĐ thậm chí có thể ẩn trong một số bài toán khác. Song chúng ta
cần phải biết rằng kể từ nay chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy (Côsi) trong quá trình
làm bài thi của mình, các bất đẳng thức quen thuộc khác như: Bunhiacôpxki , BĐT Trebưsep,
BĐT Svacxơ, BĐT Becnuli, BĐT Mincopxki, BĐT Jensen… đều không được áp dụng ngay
cả khi chúng ta chứng minh lại các BĐT đó rồi mới vận dụng. Về BĐT chúng ta chỉ được áp

dụng các phương pháp: PP tam thức bậc 2, PP biến đổi tương đương, PP phản chứng, PP hàm
số, PP hình học, PP lượng giác hóa và áp dụng BĐT Côsi cùng với hệ quả của nó mà ta
chứng minh luôn trong bài làm đó là các hệ quả:
• Các hệ quả của BĐT Côsi:
- Hệ quả 1: Cho các số thực dương x; y khi đó:
( )
1 1
4x y
x y
 
+ + ≥
 ÷
 
- Hệ quả 2: Cho các số thực dương x; y; z khi đó:
( )
1 1 1
9x y z
x y z
 
+ + + + ≥
 ÷
 
8. Vấn đề sử dụng BĐT tích phân và BPT lượng giác:
Về vấn đề này Bộ SGK mới đã không hề đề cập đến ngay cả các bài đọc thêm. Song
còn rất nhiều tài liệu còn viết về loại toán này. Chính vì lí do chúng ta không học nên không
thi vào. Song nếu đọc được tài liệu nào có các loại này thì xin các bạn cũng đừng dùng vào
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 8
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
trong quá trình làm bài thi của mình. Tôi xin nhắc lại đôi chút các dạng toán này để các bạn
đề phòng nhé!

• Bất đẳng thức tích phân:
Định lí: Nếu f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a,b] và
( ) ( )
, [ , ]f x g x x a b≤ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x≤
∫ ∫
. Dấu “=” xảy ra
( ) ( )
, [ , ]f x g x x a b⇔ ≡ ∀ ∈
• Bất phương trình lượng giác:
Có nhiều bài tìm điều kiện của ẩn mới sau khi đặt ẩn phụ mình dẫn đến một bất phương trình
lượng giác. Trước đây SGK cũ có dạy cách giải BPT lượng giác. Song ngày nay không còn
nữa. Vậy gặp trường hợp này mình phải làm thế nào?
• Hướng giải quyết: Chẳng hạn bài toán là: Tìm điều kiện của tham số m để PT nào đó có
nghiệm mà mình đặt t = sinα ta đi đến 1 BPT sinα > a (a
[ ]
1;1∈ −
). Ví dụ a =
1
2
.Ta sẽ đi gải
BPT:
1
sin
2
α

>
khi đó các bạn đi dựng đường trong lượng giác trên đó xác định rõ trục sin,
cos, tan và cot. Sau đó xác định miền nghiệm:Lúc đó miền nghiệm chính là cung bé đi từ
5
6 6
π π
→

Vậy
5
2 ; 2
6 6
k k
π π
α π π
 
∈ + +
 
 
B. PHẦN HÌNH HỌC:
1. Vấn đề sử dụng PHƯƠNG TRÌNH CHÙM:
Vấn đề này cũng khá hay, trước đây SGK dành
riêng 1 bài nói về phương pháp làm này. Liên quan đến
chùm ta có: Chùm đường thẳng cùng đi qua một điểm
trong hình học giải tích phẳng, chùm mặt phẳng cùng nhận
1 đường thẳng cho trước làm giao tuyến, chùm đường tròn
cùng đi qua 1 điểm… Sau đây tôi xin nói lại chùm mặt
phẳng. cái này hay dùng trong các bài toán hình giải tích
không gian. Nhưng Bộ GD&ĐT hạn chế. Chúng ta sẽ làm
thế nào?

10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 9
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
• PP chùm mặt phẳng: Cho đường thẳng d có PT:
Ax 0
A'x ' ' ' 0
By Cz D
B y C z D
+ + + =



+ + + =


.
Khi đó PT của chùm mặt phẳng chứa đường thẳng d có dạng:
( ) ( )
Ax A'x ' ' ' 0By Cz D B y C z Dα + + + + β + + + =
, trong đó
2 2
0α + β >
(α và β không đồng
thời bằng 0).Ta thường dùng công thức trên để viết PT mặt phẳng xác định bởi đường thẳng d
và điểm A (Tham số m trong PT chùm sẽ được tìm bằng cách thế điểm A và PT)
• Cách giải quyết: Nếu đang cần lập PT của mặt phẳng ta cứ coi như mặt phẳng đó có vectơ
pháp tuyến là: (a;b;c) trong đó (a;b;c) khác (0;0;0). Khi ấy ta luôn chọn được 1 số lớn nhất
trong bộ {a,b,c}. Giả sử a là số lớn nhất ta chia cả 3 số cho a, điều này làm được vì nó là
vectơ chứ không phải điểm. Ta chỉ còn lại vectơ pháp tuyến có dạng (1;m;n) thôi. Đến đây
khai thác các dữ kiện ta sẽ có m và n và lập được PT mặt phẳng cần tìm. Sau đây sẽ là ví dụ
so sánh giữa 2 cách giải này:

• Ví dụ: Cho điểm A(- 1; 2; 3). Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
d:
2 1 0
1 0
x y
z
− − =



− =


và khoảng cách từ A đến (P) bằng 3.
• Cách 1: (Dùng chùm)
Do d thuộc mp (P) nên (P) có dạng:
( ) ( )
2x - y - 1 1 0 2 0z x y zα + β − = ⇔ α − α + β −β =
, trong đó
2 2
0α + β >
Vì d(A,(P)) = 3 nên:
( )
( )
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 3
3 2 5 9 5 20 20 5 0
4

− α − α + β −β
= ⇔ β − α = α + β ⇔ α + αβ + β =
α + α + β
( )
2
1
2 0
2
α
⇔ α +β = ⇔ = −
β
. Chọn α = 1; β = - 2. Ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0
• Cách 2: (PP khác)
Gọi vtpt của (P) là:
( )
( ) ( )
; ; 0;0;0
P
n a b c= ≠ ⇒
r
Giả sử
{ } ( )
( )
; ; 1; ; 1; ;
P
a c
a Min a b c n m n
b b
 
= ⇒ ↑↑ =

 ÷
 
r
Do
( )
2 1 0
d P
u n m⊥ ⇒ + =
r r
với
( )
1; 2;0
d
u = − −
r
1
2
m⇒ = −
Do điểm M(1;1;1) thuộc d nên M thuộc (P) lúc này (P) có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 0 2 2 2 1 0
2
x y n z x y nz n− − − + − = ⇔ − + − + =
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 10
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
Do d(A,(P)) = 3 nên:
( )
2
2

4 5
3 1 0 1
4 5
n
n n
n
−
= ⇔ + = ⇔ = −
+
Vậy ta có (P): 2x – y – 2z + 1 = 0.
2. Vấn đề sử dụng TÍCH HỐN TẠP:
Trong hình học giải tích phẳng đôi khi ta gặp bài toán xác định vị trí tương đối của 2
đường thẳng hay thể tích, khoảng cách… mình sử dụng công thức tích hỗn tạp. Có rất nhiều
tài liệu viết cách tính tích hỗn tạp này. Song tôi xin khẳng định rằng: Chương trình của các
bạn chỉ mới làm quen với “ Định thức cấp II” thôi, chưa học đến cấp III nên trong bài thi các
bạn vẫn không được dùng cách tính định thức cấp III. Mà các bạn phải tính dần dần: Tích có
hướng tìm ra vectơ tích trước, sau đó nhân vô hướng rồi mới có kết quả:
• Ví dụ: Chứng minh rằng 3 vectơ sau đây đồng phẳng:
( )
( )
( )
1;2;3
1;1;1
2;3;4
a
b
c

=



=


=


r
r
r
- Nếu áp dụng cách tính định thức cấp 3 các bạn chỉ cần đi chứng minh cho định thức:
( ) ( )
1 2 3
1 1 1 1.1.4 1.3.3 2.1.2 3.1.2 1.2.4 1.3.1 17 17 0
2 3 4
= + + − + + = − =
=> ĐPCM
Thay vì việc làm đó ta đi tìm tích có hướng của
( )
2 3 3 1 1 2
; ; 1;2; 1
1 1 1 1 1 1
a b
 
 
∧ = = − −
 ÷
 
 
r r

Khi đó
.a b c
 
∧ =
 
r r r
- 2 + 6 – 4 = 0 => ĐPCM
 Thay lời kết: Quả thực khi chúng ta tham khảo nhiều tài liệu chúng ta đương nhiên sẽ bị ảnh
hưởng bởi các tài liệu đó. Tài liệu thì lại rất nhiều, mới có, cũ có, mới nhưng viết theo lối cũ
có. Bởi vậy các em cần biết chọn cho mình các tài liệu tham khảo cho phù hợp. Trên đây là
10 điểm chú ý khi làm bài thi môn Toán các em nên biết để không bị mất điểm. Thực ra mà
nói Bộ GD&ĐT nói là không được dùng PP này hay PP kia nhưng vẫn chưa có 1 tài liệu nào
của Bộ GD ban hành về vấn đề này, nói rõ các lí do vì sao không được dùng. Trên đây chỉ là
rút kinh nghiệm bản thân qua các đáp án bài thi môn Toán các Khối A, B, D của đề thi
ĐH&CĐ qua các năm vừa qua, cùng với kinh nghiệm của một số thầy giáo khác. Một số ý
kiến khác… Tôi xin ghi chép, tổng hợp cẩn thận để các bạn yên tâm hơn trong khi đứng vào
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 11
TRỊNH HÀO QUANG – MOBIEL: 094-2222-408 (0972-805-357)
gianh giới “ được và không được”. Sẽ là rất đáng tiếc vì những cái gọi là “ Không biết không
có tội”.
Mong các em đạt được kết quả cao nhất!
 Giáo viên hocmai.vn: Trịnh Hào Quang
 Birthday: 09 – 09 – 1987
 Numberphone: 094 – 2222 – 408
 Email: ( )
 Yahoo: ladieubong_q
 Ola: Quanglyly
 From: Thanh Hoa City
10 điểm chú ý khi làm bài thi ĐH&CĐ môn Toán Page 12