ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN, KHỐI A - TRƯỜNG THPT NAM PHÙ CỪ potx

0
SGD_THNGYấN đề thi thử đại học lần II năm 201
Trờng thpt nam phù cừ Môn thi : Toán
******** (Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
4
2
5
3
2 2
x
y x = - +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x
M
= a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a
thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Câu II (2,0 điểm)
1/ Giải phơng trình:
4 4 4 4 4
3
( ) ( ) 4
4 4 2
sin x sin x cos x cos x sin x

p p

+ + + + + =
.

2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a)
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - - (1)
b)
2
(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
- + + =
(2)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1
2
0
(1 )
1
sinx
cosx
ln dx
sinx

p

+
ộ ự
+
ờ ỳ
+
ở ỷ
ũ

Câu IV (1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, AA = AB = AC và mặt phẳng (AAB)
vuông góc với mp(AAC). Tính
. ' ' 'ABC A B C
V
.
Câu V (1,0 điểm)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0
2
x

p

ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
.
p q
T cos x sin x =
Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A/ Theo chơng trình Chuẩn.
Câu VI.a (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đờng chéo BD có phơng trình:
2 1 0x y + + = . Điểm M nằm trên đờng thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC.
Đờng thẳng MC có phơng trình: 1 0x y + - = . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD.
2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phơng trình:
2 2 2
2 2 2 1 0x y z x y z + + + - + - = . Viết phơng trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một

đờng tròn có bán kính bằng 1.
3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: 1 2 1z i + + = , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
B/ Theo chơng trình Nâng cao.
Câu VI.b (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C):
2 2
( 1) ( 2) 9x y - + - = . Tìm trên đờng thẳng
D : 9 0x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60
0
.
2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đờng thẳng (d):
1
2 ( )
2
x t
y t t R
z t
= -
ỡ
ù
= - + ẻ
ớ
ù
=
ợ
Viết phơng trình đờng thẳng D đi qua A và cắt đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến Dlớn nhất.
3/ Tìm môđun của số phức:
3
1 2 (1 )
1

i i
z
i
+ - -
=
+
.
www.laisac.page.tl
1
Biểu điểm và đáp án môn toán
Câu Nội dung Điểm
Câu I
(2,0
đ
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ( 1,0
đ
)
1) TpxỏcnhD=R
2) Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
Ta có
( )
3 2
' 2 6 2 3y x x x x = - = -
,
' 0 0, 3y x x = = =
Trên các khoảng
( 3) -Ơ -
và

(0 3)
, ' 0y < nên hàm số nghịch biến
Trên các khoảng
( 30) -
và
( 3 ) +Ơ
, ' 0y > nên hàm số đồng biến
b) Cực trị
Tại
0x =
, hàm số đạt CĐ:
5
(0)
2
CD
y y = =
Tại 3x = , hàm số đạt CT:
( 3) 2
CT
y y = = -
c) Giới hạn::
lim lim
x x
y y
đ-Ơ đ+Ơ
= +Ơ = +Ơ
d) Bảng biến thiên:
x
-Ơ
3 -

0
3
+Ơ
y - 0 + 0 - 0 +
y
+Ơ
5
2
+Ơ
2 2
3) Đồ thị
* Điểm uốn
Ta có
2
'' 6 6y x = -
'' 0 1y x = =
Do y đổi dấu khi x đi qua 1 nên đồ thị có hai điểm uốn U
1
(-1;0) và U
2
(1;0)
* Đồ thị đi qua các điểm
3 5 3
( 2 ),( 3 2),(0 ),( 3 2),(2 )
2 2 2
- - - - - -
* Nhận xét:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Đồ thị cắt oy tại
5

(0 )
2
C
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. (1,0
đ
)
+ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
Vì
4
2
5
( ) ( 3 )
2 2
a
M C M a a ẻ ị - +
Ta có:
3 3
' 2 6 '( ) 2 6y x x y a a a = - ị = -
Vậy tiếp tuyến của (C) tại
4
2
5
( 3 )
2 2
a

M a a - + có PT:
4
3 2
5
(2 6 )( ) 3
2 2
a
y a a x a a = - - + - +
+ Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phơng trình:
4 4
2 3 2 2 2 2
5 5
3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0
2 2 2 2
x a
x a a x a a x a x ax a - + = - - + - + - + + - =
ờ
ở
ộ
= - + + =
=

0632)(
22
aaxxxg
ax
0,25
0,25
0,25

2
Yêu cầu bài toán đợc thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
ạ
<

ù
ợ
ù
ớ
ỡ
ạ
< -

ù
ợ
ù
ớ
ỡ
ạ - =
> - - = D

1
3
1
03

066)(
0)63(
2
2
2
22'
)(
a
a
a
a
aag
aa
xg
Vậy giá trị a cần tìm là:
{ }
( 3 3) \ 1a ẻ -
0,25
Câu II
(2,0
đ
) 1/ Giải phơng trình:
4 4 4 4 4
3
( ) ( ) 4
4 4 2
sin x sin x cos x cos x sin x

p p

+ + + + + =
(*) (1,0
đ
)
Ta có PT(*) sin
4
x + cos
4
x + sin
4
(x+
4

p

) + cos
4
(x+
4

p

)
4
3
4
2
sin x =
1 2sin
2

x cos
2
x + 1 2sin
2
(x+
4

p

).cos
2
(x+
4

p

)
4
3
4
2
sin x =
1-
2
1
sin
2
2x +1 -
2
1

sin
2
(2x +
2

p

)
4
3
4
2
sin x =
2 -
2
1
sin
2
2x -
2
1
cos
2
2x
4
3
4
2
sin x =

2
3
sin
4
4x =
2
3
sin
2
4x = 1
cos 4x = 0 4x =
2

p

+ kp x =
8

p

+ k
4

p

với k ẻ Z
Vậy PT có các nghiệm là: x =
8

p

+ k
4

p

với k ẻ Z
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0
đ
)
a)
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - -
(1)
b)
2
(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
- + + =
(2)
a) Giải bất pt:
2 2
( 3 ) 2 3 2 0x x x x - - -
(1)
Ta có (1)
2

2
2
2 3 2 0
2 3 2 0
( 3 ) 0
x x
x x
x x
ộ
- - =
ờ
ờ
ỡ
- - >
ù
ờ
ớ
ờ -
ù
ợ
ở

{ }
[
)
1
1
2 3
2
T

ổ ự
ị = -Ơ - ẩ ẩ +Ơ
ỗ
ỳ
ố ỷ
b) Giải pt:
2
(6 27) 8.(6 27) 3
x x x+
- + + =
(2)
Ta có (2)
(6 27) 8.(6 27) 9.3
x x x
- + + =

6 27 6 27
8. 9
3 3
x x
ổ ử ổ ử
- +
+ =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Vì
6 27 6 27
. 1
3 3

ổ ử ổ ử
- +
=
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
nên đặt
6 27
, 0
3
x
t t
ổ ử
+
= >
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
PT trở thành:
2
1 ( / )
8 9 1 0
1
( / )
8
t t m
t t
t t m
=
ộ

ờ
- + =
ờ
=
ở
Với
1 0t x = ị =
Với
6 27
3
1 1
log
8 8
t x
+
= ị =
0,25
0,25
0,25
3
2
6 27
3
1
0, log
8
T
+
ỡ ỹ
ù ù

ị =
ớ ý
ù ù
ợ ỵ
Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là:
6 27
3
1
log
8
x
+
=
*Lu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH:
2
2 3 2 0x x - - = sẽ bị mất nghiệm x = 2.
Nghĩa là bất PT:
( ) 0
( ). ( )
( ) 0
( ) 0
g x
f x g x o
g x
f x
ộ
=
ờ

ỡ

ờ
>
ù
ớ
ờ

ù
ờ
ợ
ở
0,25
Câu III
(1,0
đ
)
Tính tích phân: I =
1 sin
2
0
(1 )
ln
1 sin
x
cosx
dx
x

p

+

ộ ự
+
ờ ỳ
+
ở ỷ
ũ
( 1,0
đ
)
Ta có
ũ ũ ũ
+ - + + + =
2
0
2
0
2
0
)sin1ln()cos1ln(sin)cos1ln(

p p p

dxxdxxxdxxI
(I)
1
(I
2
) (I
3
)

Chứng minh: I
1
= I
3
Đặt:
2
x t dx dt

p

= - ị = Đổi cận
0
2
0
2
x t
x t

p
p

ỡ
= ị =
ù
ù
ớ
ù
= ị =
ù
ợ

2 2
1
0 0
ln(1 sin ) ln(1 sin )I t dt x dx

p p

ị = + = +
ũ ũ
. Suy ra I
1
- I
3
= 0
Tính:
ũ
+ =
2
0
2
)cos1ln(sin

p

dxxxI
Đặt:
:sincos1 xdxdtxt - = ị + =
Đổi cận
0 2
1

2
x t
x t

p

= ị =
ỡ
ù
ớ
= ị =
ù
ợ
Khi đó:
ũ
=
2
1
2
ln tdtI
Đặt:
ợ
ớ
ỡ
=
=
dtdv
tu ln
ù
ợ

ù
ớ
ỡ
=
=
tv
dt
t
du
1
ị
- =
2
12
ln ttI
2
1
2
1
)ln( tttdt - =
ũ
2ln 2 1 = -
Vậy:
2 2 1I ln = -
0,25
0,25
0,25
0,25
4
Câu IV

(1,0
đ
)
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC
Vì AA = AB = AC nên ' ( )A O ABC ^ do 'AO BC AA BC ^ ị ^
Gọi I là hình chiếu của B trên AA ' ( )AA BIC ị ị ^
0
90BIC ị é = và
2 2
BC a
IM = =
Tacó:
6
' ( ) ' ' '
' ' 6
MI AM a
AA BIC AA IM A AO MAI A O
A O AA
^ ị ^ ị D Ơ D ị = ị ị =
Vậy
2 3
. ' ' '
3 6 . 2
. ' .
4 6 8
ABC A B C ABC
a a a
V S A O = = =
Kết luận
0,25

0,25
0,5
Câu V
(1,0
đ
)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0
2
x

p

ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
. Tìm GTLN của biểu thức:
.
p q
T cos x sin x =
Vì
0T
0
2
x

p

ộ ự
" ẻ

ờ ỳ
ở ỷ
, nên T đạt GTLN khi
2 2 2
( ) .( )
p q
T cos x sin x =
lớn nhất
Xét hàm số:
2 2
( ) .( )
p q
y cos x sin x =
với
0
2
x

p

ộ ự
" ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
. Đặt t =
2
cos x , xét hàm số:
( ) (1 )
p q
f t t t = -

với
[ ]
01t ẻ
Ta có
[ ]
1 1
'( ) (1 ) ( ).
p q
f t t t p p q t
- -
= - - +
'( ) 0
p
f t t
p q
= =
+
hoặc t = 0 hoặc t = 1
Bảng biến thiên:
t
0
p
p q +
1
f(t) 0 + 0 - 0
f(t) 0 0
Nhìn vào BBT ta thấy
[ ]
01
( ) ( ) ( )

p q
p q p
max f t t
p q p q p q
= =
+ + +
Từ đó
[ ]
01
( ) ( )
p q
p q q
max y x arc tan
p q p q p
= =
+ +
Kết luận
* Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)
0,25
0,25
0,25
B
A
B
C
M
I
A
C
( )

maxf t
5
0,25
Câu VIa
(3,0
đ
)
1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0
đ
)
Vì ( 1 )C MC C t t ẻ ị - . Giả sử AC BD I ầ =
1 3
( )
2 2
t t
I
+ -
ị
Do 7 ( 78), ( 35)I BD t C I ẻ ị ị = - ị - -
Vì
AMC ACM MCB é = é = é ị
MC là phân giác trong
ACB é
của tam giác ABC
Từ A kẻ
1 1 1 1
( ). / (01) ( 10)AA MC A BC G s AA MC J J A ^ ẻ ầ = ị ị ị -
PT của BC:4 3 4 0x y + + =
Ta có
1 13

( 2) ( 12)
2 2
B BC BD B D = ầ ị ị - ị -
Vậy
1
( 2)
2
B -
, ( 78)C - ,
13
( 12)
2
D -
0,25
0,25
0,25
0,25
2) V iết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 1. (1,0
đ
)
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ
2 2 2
( , , ),( 0)n a b c a b c + + ạ
r
làm véctto pháp tuyến
có PT: 2 6 0ax by cz b c + + + + =
Từ giả thiết:
(20 2) ( )

( ( )) 3
B P
d I P
- ẻ
ỹ
ù
ị ị
ý
=
ù
ỵ
tìm đợc a, b, c suy ra PT mp(P)
Kết luận có hai mặt phẳng: (P
1
): x + y z 4 = 0 và (P
2
): 7x 17y + 5z 4 = 0
0,25
0,5
0,25
3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k:
1 2 1z i + + =
(*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0
đ
)
Gi z = x + yi , ( ,x y R ẻ ) và M(x ; y ) l im biu din s phc z.
Ta có :
2 2
1 2 1 ( 1) ( 2) 1z i x y + + = + + + =
ngtrũn(C):

2 2
( 1) ( 2) 1x y + + + =
cútõm(12)
ngthngOIcúphngtrỡnhy=2x
Sphczthamón iukin (*)vcúmụdunnhnhtkhivchkhiimbiudinnúthuc(C)v
gngctaOnht,úchớnhlmttronghaigiaoimcangthngOIv(C)
Khiútacanúthamónh
2 2
1 1
1 1
2
5 5
,
2 2
( 1) ( 2) 1
2 2
5 5
x x
y x
x y
y y
ỡ ỡ
= - - = - +
ù ù
=
ỡ
ù ù

ớ ớ ớ
+ + + =

ợ
ù ù
= - - = - +
ù ù
ợ ợ
Dễ dàng kiểm tra đợc z =
1 2
1 ( 2 )
5 5
i - + + - + là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,5
0,25
Câu VIb
(3,0
đ
)
1/ Tìm trên đờng thẳng (d): 9 0x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 60
0
. (1.0
đ
)
Đờng tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3
Vì ( 9)M M m m ẻD ị - +
Giả sử từ M kẻ đợc tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm
Xét hai trờng hợp :
a)
0
30IMB é =

Ta có :
0
6
30
IB
IM
sin
= =
0,25
0,25
6
Chú ý :
+ Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải đầy
đủ, chi tiết.
+ Nếu thí sinh làm theo cách khác nhng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định.
+ Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.
Từ đẳng thức : IM = 6
2
1 2
1
2 16 14 0 (18), (72)
7
m
m m M M
m
=
ộ
ị - + = ị
ờ
=

ở
b)
0
60IMB é =
Trờng hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai điểm
1 2
(18), (72)M M
thoả mãn yêu cầu bài toán.
0,25
0,25
3/ Viết phơng trình đờng thẳng D đi qua A và ( 1,0
đ
)
Giả sử Dcắt d tại M nên
(1 2 2 )M t t t - - +
Ta có
2
2
28 152 208
( , )
3 10 20
t t
d B
t t
- +
D =
- +
Xét hàm
2 2

2 2 2
28 152 208 16(11 8 60)
( ) '( )
3 10 20 (3 10 20)
t t t t
f t f t
t t t t
- + - -
= ị =
- + - +
2
28
'( ) 0 , ( )
30
3
11
t
t
f t lim f t
t
đƠ
= -
ộ
ờ
= =
ờ
=
ở
BBT
Từ BBT ta thấy ( ) 12 2 ( , ) 12 2

max
maxf t t d B t = = - ị D = = -
Khi đó đờng thẳng D có PT:
1 4 2
1 4 3
x y z - - -
= =
- -
0,25
0,25
0,5
3/ Tìm môđun của số phức:
3
1 2 (1 )
1
i i
z
i
+ - -
=
+
(1,0
đ
)
Ta có :
3 2 3
1 2 (1 ) 1 2 (1 3 3 )
1 1
i i i i i i
z

i i
+ - - + - - + -
= =
+ +
, do
2 3
1,i i i = - = -
nên
3 4 7 1
1 2 2
i
z i
i
+
= = +
+
Vậy
2 2
7 1 5 2
2 2 2
z
ổ ử ổ ử
= + =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
Kết luận
5 2
2
z =
0,5

0,5